Tartalomjegyzék BEVEZETÉS FELADATOK. Lebegőpontos számok.............................. Normák, kondíciószámok........................... 5. Lineáris egyenletredszerek megoldása, mátrixok felbontása........ 8.4 Legkisebb négyzetek módszere.........................5 Sajátérték feladatok..............................6 Lagrange interpoláció............................. 6.7 Hermite interpoláció, spline-interpoláció.................. 8.8 Nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek................ 0.9 Közelítő integrálás.............................. MEGOLDÁSOK. Lebegőpontos számok.............................. Normák, kondíciószámok........................... 9. Lineáris egyenletrendszerek megoldása, mátrixok felbontása........ 6.4 Legkisebb négyzetek módszere........................ 5.5 Sajátérték feladatok............................. 56.6 Lagrange interpoláció............................. 66.7 Hermite interpoláció, spline-interpoláció.................. 7.8 Nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek................ 78.9 Közelítő integrálás.............................. 84 4 BEFEJEZÉS 96 5 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS 97 6 IRODALOMJEGYZÉK 98
BEVEZETÉS Ezt a feladatgyűjteményt a Debreceni Egyetem három Gazdaságinformatikus szakos hallgatója (Potyók Nikolett, Lehóczky Bence, Jobbágy Dávid állította össze, Dr. Baran Ágnes témavezető, és Kézi Csaba Gábor konzulens segítségével. Célunk az volt, hogy a jelenleg folyó előadás anyagához bőséges, és lehetőségeinkhez képest megfelelő szakmai színvonalú feladatgyűjteményt adjunk hallgatótársaink kezébe. Ez a példatár főként azoknak a gazdaságinformatikus hallgatóknak készült, akiknek szüksége van további gyakorlásra a gyakorlati órákon kívül, hogy elsajátítsák a numerikus matematika tantárgy feladatainak megoldását, illetve nagy segítséget nyújthat a vizsgákra való felkészülésben. Külön témakörbe szedtük a hasonló feladattípusokat, amikhez nem csak a végeredményt, hanem útmutatást is közöltünk a Megoldások című részben a könnyebb megértés érdekében. Reméljük, hogy ez a példatár és feladatgyűjtemény hasznosan fogja szolgálni a Debreceni Egyetem gazdaságinformatikus-képzés célkitűzéseit, valamint a hallgatók órákra való felkészülését.
FELADATOK. Lebegőpontos számok. Adott a, t, k +, k számábrázolási jellemzők esetén írjuk fel a legnagyobb ábrázolható lebegőpontos számot (M, a legkisebb pozitív ábrázolható számot (ε 0, illetve az jobb- és baloldali szomszédját!. Adott a, t, k és k + számábrázolási jellemzők mellett hány darab pozitív lebegőpontos szám írható fel?. a, t 4 esetén írjuk fel az alábbi számok lebegőpontos alakját! 6, 4,, 5, 5 8, 5 8. 4. a, t 4, k, k + esetén írjuk fel az alábbi számokhoz rendelt lebegőpontos számot szabályos kerekítés, ill. levágás esetén!, 7, e. 5. a, t 4, k, k + esetén ábrázoljuk számegyenesen az összes pozitív lebegőpontos számot! 6. Legyen k + > t. Melyik a legkisebb természetes szám, amely nem lebegőpontos? 7. Legyen a, t 4, k 4, k + 4. Keressünk olyan x, y > 0 lebegőpontos számokat, melyekre: (a x y és fl(x y 0 (b fl(x + y x (c x + y [ M, M ], de x + y nem lebegőpontos szám!
8. Legyen t < k +, s (0, lebegőpontos szám és ( s A Lehet-e túlcsordulás, ha det A. értékét számítógéppel számítjuk ki? P. Határozza meg számítógépén ε értékét! P. Az alábbi algoritmus elméletileg minden x 0 esetén az x eredeti értékét adja vissza. Vizsgálja meg mi történik a gyakorlatban, ha az algoritmust x 000, x 00 kezdőértékkel futtatja! Mi az oka a tapasztalt jelenségnek? for i : 60 end x x for i : 60 end x x P. Tekintsük az alábbi azonosságot(ahol x 0! ( x 0 + x x 0, Az x,..., 00 értékekre számítógépén tesztelje a fenti egyenlőség teljesülését! e P4. Ismert, hogy lim x n x x értékek esetén!. Számítsa ki az ex x hányados értékét egyre csökkenő P5. Legyen x. Ciklusban futtassuk le néhányszor az x 4x utasítást, ami elméletileg az x értéket adja vissza. Mit tapasztalunk a gyakorlatban? 4
. Normák, kondíciószámok. Mutassa meg, hogy a lineáris normált tér bármely x, y elemére teljesül! x y x y. A?, A?, A? A (. Az alábbi A mátrix esetén A?, A? Adjon meg egy-egy olyan x 0 vektort, mellyel Ax A x, illetve Ax A x teljesül! (a (b A A 0 5 9 8 4 0 5 4 4. Bizonyítsa be, hogy az egységmátrix normája minden indukált mátrixnormában! 5. Bizonyítsa be, hogy vektornorma által indukált mátrixnormában teljesül minden A, B R nxn esetén. AB A B 6. Legyen n > és tekintsük R n n -en az ú.n. Frobenius normát: ( n A F n i j a ij /, A R n n Származtatható-e ez a mátrixnorma valamilyen vektornormából? 5
7. Legyen A (a ij R n n. Mutassa meg, hogy A max a ij i,j normát definiál R n n -en! Lehet-e ez a norma vektornorma által indukált? 8. Legyen λ az A R n n mátrix egy tetszőleges sajátértéke. Bizonyítsa be, hogy λ A teljesül minden indukált mátrixnorma esetén! 9. Számítsa ki cond (A-t az alábbi mátrixok esetén! A ( 4 A ( a, (a R A 4 5 0. Oldja meg az alábbi egyenletrendszereket, hasonlítsa össze a megoldásokat! (, 000 ( x x (, (, 000 ( x x (, 000. Jelölje λ max, ill. λ min az A abszolút értékben legnagyobb, ill. legkisebb sajátértékét. Bizonyítsa be, hogy λ max cond(a. λ min. Oldja meg az Ax b lineáris egyenletrendszert, ha A ( 0, 99 0, 99 0, 98 Tegyük fel, hogy b helyett b + δb ismert, b + δb (, 99, b, 97 (, 98, 98 Oldja meg az A(x + δx b + δb lineáris egyenletrendszert! Számítsa ki a δx x, δb b relatív hibákat!.. 6
. Legyen A A(s s ( + s s s + s, s (0,. Határozza meg az A és cond (A értékeket! 4. Legyen A A(s az előző feladatban definiált mátrix. Oldja meg az Ax b lineáris egyenletrendszert, ahol b (, T, majd oldja meg az egyenletrendszert akkor is, ha a b vektor δb (ε, ε T (ahol ε > 0 hibával terhelten adott. Számítsa ki a megoldás relatív hibáját (maximum-normában! 5. Legyen A R n n reguláris mátrix, 0 c R. cond(ca? 7
. Lineáris egyenletredszerek megoldása, mátrixok felbontása. Határozza meg az alábbi mátrixok inverzét Gauss-Jordan eliminációval! A 0 ; B 4 5 ; C 4 0 ; D.. Oldja meg LU-felbontással az Ax b egyenletrendszert! Határozza meg az A mátrix determinánsát! 4 A, b ; 4 0 5 C D B 4 4 7 5 9 5 4 6 9 6 7 4 8 5 0 4 5 5 a 6 E F G 6 4 4 4 4 6 0, b, b, b 4 5 a, b 4 4 4 8 6 6 8 8, b, b 6 ; 4 5 9 0 8 4 5 0 ; ; (a R ; ; 5 6 ;
H I 4 6 5 4 8 8 7 4 5 6 4 5 8 5 6 5, b, b 4 8 5 4 5 4 8 ;.. Határozza meg az alábbi mátrixok PLU felbontását! Számítsa ki a mátrixok determinánsát! A C E 0 4 0 4 8 0 0 0 0 4 0 4 0 4 8 ; B ; D ; F 4 6 5 4 0 5 4 4 6 4 5 5 4 ; ;. 4. Vizsgálja meg mi történik, ha egy A (a ij n i,j mátrixot balról, ill. jobbról megszorzunk egy d 0... 0 0 d... 0 D. 0 0... d n diagonális mátrixszal! 5. Határozza meg az alábbi mátrixok LDL T -felbontását! A 4 8 8 0 0 5 ; B 9 7 4 4 4 ;
C 9 ; D 7 8 7 8 6. 6. Határozza meg az alábbi mátrixok Cholesky-felbontását! Számítsa ki a mátrixok determinánsát! A C 9 6 5 4 6 4 6 4 6 4 9 6 ; B ; D 9 9 9 9 9 7 9 9 7 7 9 7 0 ; ; E 6 8 4 8 4 4 ; F 4 4 4 5 5 5 a + 0 (a R. P. Főelem választás nélküli Gauss-eliminációval oldja meg az alábbi egyenletrendszereket! Határozza meg az egzakt megoldást is és magyarázza meg a tapasztalt jelenséget! ( ( 0 7 x x ( és ( ( x 0 7 x ( 0
.4 Legkisebb négyzetek módszere. Határozzuk meg az alábbi adatokat négyzetesen legjobban közelítő egyenes egyenletét! (a t i 0 f i (c 5 t i 9 f i 4 4 (b t i f i 0 0 (d t i 0 4 f i 0. Határozzuk meg az alábbi pontokat négyzetesen legjobban közelítő másodfokú polinomot! t (a i 0 t (b i 0 f i f i 0. Az alábbi adatokat négyzetesen legjobban közelítő F(t n c i t i alakú függvényt keresünk. Milyen n értéket érdemes választani? Határozzuk meg az ehhez tartozó polinomot! i0 t i f i, 0,8, 4. Közelítsük az alábbi adatokat F (t c 0 + c cos(πt + c sin(πt alakú modellel! 5 t i 0 y i 5 5 4 Mit tapasztalunk, ha a fenti modellel a következő adatokat közelítjük? 5 t i 0 5 f i 4
5. Határozzuk meg a t i 0 0,5 0,5,,5,8,,5 f i,5,7,8,,,,5,4,7,7 adatokat négyzetesen legjobban közelítő egyenes egyenletét! 6. Határozzuk meg a t i 0,5 0,6 0,7 0,9,,4,6,8 f i 8, 7 6, 5, 5 4,5 4,4,9,7,5 adatokat négyzetesen legjobban közelítő F(ta+ b t alakú függvényt! 7. Határozzuk meg a t i 0 0, 0,5 0,6 0,8,,,5,6,8,9 f i,9,4,,9, 0,5 0, 0 0, 0,5,,6,9 adatokat négyzetesen legjobban közelítő alakú függvényt! F(ta+b cos(πt+c sin(πt
.5 Sajátérték feladatok. Határozzuk meg az alábbi mátrixok sajátértékeit és sajátvektorait! (a (b (c A A A ( 4 5 ( ( 5. Mutassuk meg, hogy ha λ az A mátrix sajátértéke, akkor λ A, ahol a norma tetszőleges vektornorma által indukált mátrixnorma.. Bizonyítsuk be, hogy A mátrix pontosan akkor szinguláris, ha a 0 sajátértéke! 4. Mutassuk meg, hogy ha a reguláris A mátrixnak λ sajátértéke, akkor /λ sajátértéke A -nek. Mi lesz az A mátrix /λ sajátértékéhez tartozó sajátvektor? 5. Bizonyítsuk be, hogy ha az A mátrixnak λ sajátértéke, akkor λ sajátértéke A -nek! 6. Bizonyítsuk be, hogy ha az A mátrixnak λ sajátértéke, akkor az A ce (c R mátrixnak λ c sajátértéke! Mi lesz az A ce mátrix λ c sajátértékéhez tartozó sajátvektor? 7. Bizonyítsuk be, hogy ha egy A R n n mátrix szigorúan domináns főátlójú, akkor reguláris! 8. Mit tudunk mondani az alábbi mátrixokról a Gersgorin-tétel alapján? A 4 0 7 B 4 7 C 4 5
9. Mit tudunk mondani az alábbi mátrix sajátértékeinek elhelyezkedéséről? A 8 0 5 0 0 0 0 0 7 0 0 4 Mit mondhatunk az A regularitásáról? Legyen v (, 7,, 5, T. Melyik λ esetén lesz minimális az Av λv euklideszi normája? 0. Legyen A 0 0 Legyen v ( 5, 0, 4 T az A egyik sajátvektorának közelítése. Melyik λ esetén lesz minimális az Av λv euklideszi normája? Ez a λ sajátértéke-e A-nak?.. Alkalmazzuk a hatványmódszert az alábbi mátrixokra! Az iterációt addig folytassuk, amíg a λ K λ K ɛ( + λ K leállási feltétel nem teljesül. (a (b (c (d A A A A ( 0 0 4
(e (f (g A A A 0 0 0 4 4 4 0 4 0 0 4 0 0 4 0 0 4 (h A 0 5 7 5 (i A 5
.6 Lagrange interpoláció. Határozzuk meg az alábbi pontokra illeszkedő minimális fokszámú polinomot! (a (, 6, (, 7, (, 8, (,, (, 9 (b (,, (, 8, (,, (, (c (,, (, 4, (, (d (, 5, (,, (0,, (, 5 (e (, 4, (,, (, 0, (, 40 (f (, 8, (, 5, (,, (, 0, (, 7. Határozzuk meg a (, 6, (0, 4, (,, (, 0 pontokra illeszkedő minimális fokszámú polinomot! Határozzuk meg azt a minimális fokszámú polinomot, amely az előző pontokon kívül áthalad a (, ponton is!. Közelítsük az f(x cos( π x függvényt a [, ] intervallumon másodfokú polinommal a x, x 0, x pontokra támaszkodva! 4. Az alábbi táblázatban egy másodfokú p polinom helyettesítési értékei láthatóak, melyek közül pontosan egy hibás. Határozza meg a hibás értéket, helyettesítse a helyes értékkel és adja meg a p polinomot! x i - - 0 p i 5 9 5 5 5. Becsüljük meg az interpoláció maximális hibáját az alappontok által kifeszített intervallumon, ha az f(x e x függvényt közelítjük az x 0, x, x 0 alappontokra támaszkodva! 6
6. Igazoljuk, hogy ha f kétszer folytonosan differenciálható, akkor linerális interpoláció esetén az interpoláció hibájára f(x L (x M 8 h, a x b teljesül, ahol a és b a két alappont, h b a és M max a x b f (x. 7. Milyen sűrűn kell megadni az f(x cos(x függvény értékeit az [0, π] intervallumon, hogy szakaszontkén lineárisan interpolálva a hiba kisebb legyen, mint 0, 5 0 4? 7
.7 Hermite interpoláció, spline-interpoláció. Határozzuk meg az alábbi adatokra illeszkedő minimális fokszámú polinomot! (a x i f(x i 4 6 94 f (x i 9 7 (b x i f(x i 7 f (x i 4 8 f (x i 40 (c x i f(x i 4 9 f (x i 5 9 69 f (x i 4 (d x i f(x i f (x i 59 (e x i f(x i 0 f (x i 0 0 0 f (x i 6. Legyen az f valós függvény differenciálható az x 0 pontban. Hermite interpoláció segítségével írjuk fel az f függvény x 0 -beli érintőjének egyenletét!. Írjuk fel az x 0, f(x 0, f (x 0, f (x 0,..., f (n (x 0 adatokra illeszkedő Hermite - polinomot! 4. Írjuk fel az f(x cos x x x függvény x 0 pontbeli érintőjének egyenletét! 8
5. Határozzuk meg azt a folytonosan differenciálható, szakaszonként harmadfokú { H (x, ha x [, ] H(x H (x, ha x (, ] polinomot, melyre H( 4, H( 6, H(, H (, H (, H ( 9 teljesül! 6. Határozzuk meg azt a folytonosan differenciálható, szakaszonként harmadfokú { H (x, ha x [, ] H(x H (x, ha x (, ] polinomot, melyre H( 4, H( 6, H(, H (, H ( α, H ( 9 teljesül, ahol α R! 7. Az előző feladatban határozzuk meg α értékét úgy, hogy H(x kétszer folytonosan differenciálható legyen! 9
.8 Nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek. Közelítse a x cos(x egyenlet [-π/, π/] intervallumbeli gyökét fixpont-iterációval! Mit mondhatunk a módszer konvergenciájáról?. Közelítse a x x + 4 0 egyenlet [0,] intervallumbeli gyökét fixpont-iterációval! Vizsgálja meg az iteráció konvergenciáját!. Közelítse az ln(x x egyenlet gyökét! 4. Mutassa meg, hogy f(x e x 4x függvénynek van zérushelye a [0,] intervallumban! Igazolja, hogy az x n+ e xn, n0,,... iteráció tetszőleges x 0 [0,] kezdőpont esetén tart ehhez a gyökhöz! 5. Közelítse 5 értékét Newton-módszerrel! 6. Közelítse Newton-módszerrel az e x sin(x egyenlet valamely gyökét! 7. Vizsgálja meg a Newton-módszer viselkedését, ha azt valamilyen x 0 0 kezdőpontból indítva az f(x0 egyenlet megoldására alkalmazzuk, ahol f(x { x, ha x 0, x, ha x < 0. 8. Közelítse az x x 0 egyenlet gyökét Newton-módszerrel az x 0, 5 pontból indulva! 9. Közelítse x x + 0 egyenlet gyökét Newton-módszerrel az x 0, 5 pontból indulva! Ugyanilyen x 0 esetén alkalmazza az x k+ x k f(x k f (x k, k0,,... iterációt! Mit tapasztal? 0
0. Vizsgálja meg a x x 0 egyenlet megoldására az (a x k+ x k (b x k+ (x k / iterációkat a [,] intervallumon!. Tekintsük a 4x + cos(x x x + sin x x, x [ π, π] egyenletrendszert. Mit mondhatunk az egyenletrendszer megoldhatóságáról, illetve az x (k+ 4 + 4 cos(x(k x (k x (k+ + sin x(k (k0,,,... eljárás konvergenciájáról?. Közelítse az x x x 0, x + 0, x + 0, x 0, x + 0, x + 0, x 0, x x x + 0, egynletrendszer [0, ] [0, ] [0, ]-beli gyökét fixpont-iterációval! Vizsgálja meg az eljárás konvergenciáját!
.9 Közelítő integrálás. Közelítsük az alábbi integrálokat összetett trapéz-, ill. Simpson-formulával úgy, hogy a megadott intervallumot m részintervallumra osztjuk! Becsüljük meg a közelítés hibáját! (a 6 x dx, m 5 (b ln(x dx, m 5 (c 0 ex dx, m 5 (d x ln xdx, m 4 (e π 4 0 ln(cos xdx, m (f 0 ex dx, m. Közelítsük a fenti integrálokat összetett trapéz-, ill. Simpson-formulával úgy, hogy m-et abból a feltételből határozzuk meg, hogy a hiba kisebb legyen, mint 0, 5 0 4!. Közelítsük ln( értékét összetett trapéz-formulával úgy, hogy a hiba kisebb legyen, mint 0, 5 0! 4. f(x xdx típusú integrálokat szeretnénk közelíteni 0 i a if(x i alakú kvadratúrával, ahol x 0, x 0, 5, x. Határozza meg a kvadratúra súlyait úgy, hogy a kvadratúra pontos legyen minden legfeljebb másodfokú polinom esetén! 5. Az f(xdx integrál közelítésére az ( a 0 f + a f(0 + a 5 ( 5 kvadratúrát szeretnénk használni. Határozza meg az a 0, a, a együtthatókat úgy, hogy a kvadratúra pontos legyen minden legfeljebb másodfokú polinom esetén! Vizsgálja meg, hogy magasabb fokú polinomok esetén hogy viselkedik a kvadratúra!
MEGOLDÁSOK. Lebegőpontos számok. Legnagyobb ábrázolható lebegőpontos szám: M : a k + t i a k+ ( a t. ( a a a k+ + a +... + a a i a a a t Legkisebb ábrázolható pozitív szám: ε 0 : a k ( a + 0 +... + 0 a k. Az jobboldali szomszédja: [+, 0,..., 0, ] a ( a + + a t + ε a t. Az baloldali szomszédja: ( a [+ 0 a, a,..., a ] a 0 a a t. +... + a a t. A pozitív lebegőpontos számok alakja: [+ k m, m,..., m t ]. Itt k helyére (k + + k +-féle számot írhatunk, m helyére (a -féle, míg m,..., m t helyére a-féle értéket. Tehát a pozitív lebegőpontos számok száma: (k + + k + (a a t.
. Lebegőpontos alak: ±a k ( m a + m a + m a + m 4 a 4. 6 lebegőpontos alakja: ( 6 4 + ( 4 +. 4 [+ 0 0]. 4 lebegőpontos alakja: 4 ( 6 + +. 4 [ 0 ].,5 lebegőpontos alakja:, 5 6 ( + +. 4 [+ 0 ]. 5 8 lebegőpontos alakja: 5 8 0 5 ( 8 0 +. [+ 0 0 0]. 5 8 lebegőpontos alakja: 5 8 5 ( 6 + + +. 4 [+ ]. 4
4. Megkeressük az -hoz legközelebbi lebegőpontos számot. Azaz megkeressük a nála kisebb lebegőpontos számok közül a legnagyobbat, és a nála nagyobbak közül a legkisebbet. Az így megtalált két lebegőpontos szám közül a keresett számhoz közelebb eső lesz a szabályos kerekítéssel megadott szám. Levágás esetén pedig az előbb megtalált kettő lebegőpontos szám közül a nullához közelebbi lebegőpontos számot ábrázoljuk.. + 8 < < + 8 + 6. azaz: 0 48 48 48 Lebegőpontos alak szabályos kerekítés esetén: [+ 0 ]. Lebegőpontos alak levágás esetén: [+ 0 0]. 7 e Az adott számábrázolási jellemzők mellett a legkisebb pozitív ábrázolható szám: ε 0. Mivel <, így a gép - függetlenül attól, hogy szabályos kerekítéssel 6 7 6 vagy levágással kerekít - az -hez a 0-t rendeli. Alulcsordulás lép fel. 7 e, 78., 78-hoz legközelebbi lebegőpontos számok a, 5 < e <, 75. Szabályos kerekítésnél a, 75-t kell felírni lebegőpontosan :, 75 + 0, 75 + + ( + + 4 4 8 ( + + 8 6. Lebegőpontos alak szabályos kerekítés esetén: [+ 0 ]. Levágás esetén a, 5-t kell felírni lebegőpontosan:, 5 + 0, 5 + ( + 4 ( + 8. Lebegőpontos alak levágás esetén: [+ 0 0]. 5. A. feladat alapján összesen 48 db szám lesz: (( + ( + 48. 8 k 0 esetén az alábbi számok ábrázolhatóak:, 9, 0,..., 5. 6 6 6 6 Ezekből a többi karakterisztikához tartozó számokat úgy kapjuk, hogy a kettő alkalmas hatványával szorozzuk az előző számokat. 6. Két szomszédos, k karakterisztikájú szám távolsága: a k a t ak t. 5
Ha kt, akkor ez a távolság. k t karakterisztika mellett a legnagyobb lebegőpontos szám: a t ( a t a t. Ennek jobboldali szomszédja(a legkisebb t + karakterisztikájú szám: a t+ a at. t+ karakterisztika esetén két szomszédos lebegőpontos szám távolsága a, így az a t + nem lebegőpontos. 7. (a x y és fl(x y 0 A legkisebb ábrázolható szám: ε 0 : a k. A fenti adatoknak megfelelően a legkisebb ábrázolható szám: ε 0 : 5. Olyan lebegőpontos számokat kell keresnünk, melyek távolsága kisebb, mint. Lehetséges értékek: x 9 ; y 8. 8 8 Vagyis: fl(x y, 8 8 <. Mivel a fl(x y kisebb, mint ε 0, ezért fl(x y 0. (b fl(x + y x Lehetséges számok: x ; y, ugyanis az adott jellemzők mellett a jobboldali szomszédja +, így a + -et a gép -re kerekíti, 4 vagyis: fl(x + y. (c x + y [ M, M ], de x + y nem lebegőpontos szám! Lehetséges számok: x ; y, mert ezek összege nem lebegőpontos szám. 6 8. det(a s. A legrosszabb esetet kell megkeresni. Ebben a helyzetben ez az, amikor az s a legkisebb, azaz az baloldali szomszédját kell megkeresni. Az baloldali szomszédja: a t. Tehát det A akkor a legnagyobb, ha s a t, vagyis s a t. det A s a t at a t+ ( a a < ak+ +... + a M a a t tehát nincs túlcsordulás. 6
P. A feladat Matlab programkódja: e ; while( + e > e e/; end e A feladat megoldása: ε, 044604950e 06. ε értékét a Matlab beépített konstansként is ismeri (eps. P. A fenti algoritmus MATLAB-ban megírva: x 00; fori : 60 x sqrt(x; end fori : 60 x x ; end Azt fogja végül kiírni, hogy x. Ennek oka, hogy a > esetén n a tart -hez, ha n. Ha a gyökvonások eredményeit kiiratjuk, akkor látható, hogy i 55 esetén a gyökvonás eredményét a gép pontosan -nek látja. Néhány részeredmény kiírva: i x 5,5478984689458 0,004507645446 0,0000049847 0,00000000488899 40,00000000000488 50,000000000000004 P. ( 0x + x x 0, Az azonosság Matlab-ban megírva a következőképpen néz ki: k 0; forx : 00 if((((/x /0 + x x 0, k k + ; end end 7
A fenti MATLAB programot lefuttatva azt tapasztaljuk, hogy k értéke 0. Azaz a MATLAB szerint az egyenlőség egyetlen x-re sem teljesül. Ennek oka, hogy a 0, nem lebegőpontos szám. P4. A feladat Matlab-ban megírva: x ; fori : 60 (exp(x /x x x/; end A ciklust 5-ig futtatva a hányados értékére -et ad eredményül, de 54-ig futtatva a hányados értéke már 0. Ennek oka, hogy lim x 0 e x. Így egy idő múlva a gép e x értékét -nek látja, ekkor a hányados értéke is 0. P5. A feladat Matlab-ban megírva: x /; fori : 40 x 4 x ; end Ha a ciklust 40-szer futtatjuk le az eredmény: 696. Ennek oka, hogy az nem lebegőpontos szám (lásd 4.feladat. Így a kerekítési hibák a ciklus minden lépésében halmozódnak. Néhány részeredmény 5 tizedesjegyre kerekítve: i eredmény 0, 0, 0 0,9 0 0,988850 6 0,50000000000000 7 0 8-0 - 5-845 40-696 8
. Normák, kondíciószámok. A bizonyítandó állítás ekvivalens azzal, hogy: x y x y x y Az második egyenlőtlenség igazolása a háromszögegyenlőtlenség segítségével: x (x y + y x y + y ezt átrendezve: x y x y. Az első egyenlőtlenség az x és y szerepének felcserélésével adódik.. Sornorma: A max { +, + } 5 Oszlopnorma: A max { +, + } 4 Spektrálnorma: A λ max (A T A A T A ( ( ( 0 8 8 8 Karakterisztikus polinom: 0 λ 8 8 8 λ (0 λ(8 λ 64 λ 8λ + 6 Az A T A sajátértékei: λ 8λ + 6 0 λ, 8± 8 64, így 8+ A 8 64 4, 06. (a A 9, A 6. A 0 5 9 8 Az. mátrixnorma esetén az alkalmas x vektort úgy kaphatjuk, hogy keresünk egy olyan j 0 indexet, melyre n i a ij0 max j 9 n a ij i
(azaz ahol az egy oszlopban álló mátrixelemek abszolútértékeinek összege maximális, és x-nek azt a vektort választjuk, melynek j 0 -adik koordinátája, a többi 0. Jelen esetben a. oszlopban a legnagyobb a számok abszolútértékének összege, 0 így x e 0. Ellenőrizzük, hogy ezzel az x vektorral valóban teljesül-e az egyenlőség! x, Ax 9, Ax 9 A x. 8 A. mátrixnorma esetén keresnünk kell egy olyan i 0 indexet, melyre n j a i0 j max i n a ij (azaz ahol az egy sorban álló elemek abszolútértékének összege maximális, és x legyen az a vektor, melynek j-edik koordinátája: x j sgn(a i0 j, j,..., n. A fenti mátrix esetén i 0 (a második sorban a legnagyobb az elemek abszolútértékének az összege, így x. Ellenőrizzük, hogy ezzel az x vektorral valóban teljesül-e az egyenlőség! x, Ax 6, Ax 6 A x. 5 j (b A 0, A 0 A 4 0 5 4 Az a részben leírtak alapján j 0, így x e Ekkor x, Ax 4 4 Az a részben leírtak alapján i 0, azaz x Ekkor x, Ax 7 0 0 0., Ax 0 A x.., Ax 0 A x. 0
4. E max x 0 Ex x max x 0 x x 5. AB max x 0 (AB x x max x 0 A (Bx x max x 0 A Bx x A max x 0 Bx x A B 6. Az egységmátrix normája: E n F n, így nem teljesül a 4. feladatban szereplő tulajdonság, azaz a Frobenius norma nem származtatható semmilyen vektornormából. 7. Belátjuk, hogy a norma definíciójában megkövetelt 4 tulajdonság teljesül.. A 0 minden A R n n esetén. Ez a tulajdonság teljesül, hiszen abszolútértékek maximuma mindig nemnegatív.. A 0 A 0 Ha A 0, akkor a ij 0 i, j-re, így A 0 Ha A 0, akkor max a ij 0 i,j azaz a ij 0 i, j-re, így A 0.. λa λ A λ R, A R n n esetén λa max i,j λa ij max i,j λ a ij λ max a ij λ A. i,j 4. A + B A + B A, B R n n esetén A + B max i,j a ij + b ij max i,j ( a ij + b ij max i,j a ij +max b ij A + B. i,j Tehát a függvény tényleg normát definiál R n n -en. Megmutatjuk, hogy ( ez a norma nem származtatható ( semmilyen vektornormából. Legyen A B, ekkor AB, így A B, míg AB, azaz az indukált normák 5. feladatban bizonyított tulajdonsága nem teljesül.
8. Ha v 0 a λ-hoz tartozó sajátvektor, akkor Av λv, azaz λ v λv Av A v λ v A v ezt az egyenlőtlenséget v 0-val osztva kapjuk az állítást. 9. (a det(a 0 a determináns nem nulla, tehát a mátrix invertálható A ( ( 5 5 0 4 A 6, A 5 0, így cond (A A A. 5 0 -es mátrix esetén a cond (A-t az alábbi képlet segítségével is meghatározhatjuk: cond (A A A. det(a (b det(a a + ha a akkor A nem invertálható, egyébként igen. Mivel a ismeretlen, ezért több eset áll fenn:. eset: ha + a, azaz a, akkor A. Ekkor A, és így cond (A A A det(a 9 a +.. eset: ha < + a, azaz < a, akkor A + a, és A + a, azaz cond (A A A det(a ( + a a +. (c det(a 8 a determináns nem nulla, tehát a mátrix invertálható A 8 7 8 9 8 0 4 8 A 9, A 8 8 cond (A A A 4 8 4 4 T 7 8 8 9 8 8 0 8 4 8 0. Az első esetben x, x 0, a második esetben x, x, tehát a jobboldalon egy 0 4 nagyságrendű változás a megoldásban nagyságrendű változást okozott.
. Először belátjuk, hogy ha a reguláris A mátrixnak λ,..., λ n sajátértéke, akkor A - nek λ,..., λ n sajátértéke. Legyen λ az A sajátértéke, v 0 a hozzátartozó sajátvektor. Ekkor Av λv, A A v λ A v. Felhasználva, hogy egy reguláris mátrixnak a 0 nem sajátértéke az előző egyenlőtlenséget oszthatjuk λ-val: λ v A v. Így látható, hogy A -nek λ sajátértéke. Visszatérve a feladatban megfogalmazott állítás bizonyítására, a 8. feladat állítása szerint λ max A, illetve az előbb belátott lemma alapján λ min A. Így λ max λ min A A cond(a. (. Könnyen ellenőrizhető, hogy x. Rátérve a második egyenletrendszer megoldására: (x + δx A (b + δb ( 0, 98 0, 99 det(a 0, 000, A 0,000 0, 99 ( ( ( 9800 9900, 98 98 (x + δx. 9900 0000, 98 98 Így δx ( 97 99 δx 99 x δb 0,0 b,99, azaz 99, ( 9800 9900 9900 0000 0, 005. Látható, hogy a megoldás relatív hibája 4 nagyságrenddel nagyobb a relatív jobboldali hibájánál. Ennek oka, hogy: cond (A A A, 99 9900 960.. A + s s + s s + s s + s s s.
det(a s (( + s ( s 4, így A 4s ( + s s s + s Ekkor A +s 4s + s 4s +s + s, így cond 4s 4s s (A. s Látható, hogy amíg a determináns értéke s-től függetlenül állandó, addig a kondíciószám függ az s értékétől. Ha s közel van 0-hoz, akkor ez tetszőlegesen nagy lehet.. 4. Használjuk ki, hogy az előző feladatban meghatároztuk A -et! Ax b x A b ( ( + s s 4s s + s ( s 4s s Hibával terhelt jobboldal esetén ( s s. A (x + δx b + δb Ax + Aδx b + δb Aδx δb δx A δb Így δx 4s ( + s s s + s ( ε ε 4s ( ( + s ε (s ε (s ε ( + s ε ( ε s ε s Mivel δx ε s x s, a megoldás relatív hibája: δx x ε s Észrevehetjük, hogy a jobboldal relatív hibája: így δx x Ez azt jelenti, hogy ekkor a ε s cond (A δb b. δb b ε, továbbá cond (A s, δx x cond (A δb b egyenlőtlenség éles. 4
5. Mivel (c A c A, így cond(ca ca (ca cond(ca c A c A cond(a, azaz egy mátrix kondíciószáma nem változik ha egy 0-tól különböző számmal szorozzuk a mátrixot. Ugyanakkor det(ca c n det(a, így látható, hogy a kondíciószám nem függ a mátrix determinánsától. 5
. Lineáris egyenletrendszerek megoldása, mátrixok felbontása. Amilyen elemi átalakításokkal kapjuk az A mátrixból az E-t, ugyanolyan elemi átalakításokkal kapjuk az E-ből az A mátrix inverzét. Az A mátrix inverze: 0 0 (A E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 6 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 4 4 5 6 4, tehát az A mátrix inverze: A 4 5 6 4 A B mátrix inverze: A C mátrix inverze: A D mátrix inverze: B C D 7 8 8 9 8 8 5 4 7 4 0 0 0 0 7 6 5 6 0 0 0 5 6 6 6
. Az A mátrix LU felbontása: A 4 4 0 5 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 8 A determinánsok szorzástételét felhasználva det(adet(ldet(udet(u4 Mivel ALU, ezért az Axb egyenletrendszert LUxb alakban is felírhatjuk. Bevezetve az y:ux jelölést, előbb az Lyb majd az Uxy egyenletrendszert kell megoldanunk.. Lyb 0 0 0 4 y y y y, y 4, y. Uxy megoldásvektor: 4 0 0 0 x x x x. 4 A B mátrix LU felbontása: 4 4 B 7 5 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 5 0 0 0 4 4 0 5 0 0 4 A determinánsok szorzástételét felhasználva det(bdet(ldet(udet(u 00 azaz a B mátrix szinguláris.. Az Lyb egyenletrendszer megoldása: 7
y, y 7, y 0. Uxy 4 4 0 5 0 0 0 x x x 7 0 Az Uxy lineáris egyenletrendszer. egyenletét minden x R vektor teljesíti, így az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. Legyen x t, ahol t R tetszőleges. Ekkor 5x + t 7 x 7 t 5 4x 4x + x x 9+t 0 megoldásvektor: 9+t 0 7 t 5 t. A C mátrix LU felbontása: C 9 5 4 6 9 6 7 4 8 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 5 0 0 4 0 4 0 0 5 0 0 0 0 4 0 5 5 0 6 4 det(c 6. Az Lyb egyenletrendszer megoldása: y, y, y 4, y 4. Az Uxy egyenletrendszert megoldva a megoldás: x, x, x, x 4. 8
A D mátrix LU felbontása: 0 D 4 5 5 a 6 det(d a 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a + 0 0 0 a 6.Lyb 0 0 0 y y y 4 5 a y 4, y 5, y (a +.Uxy 0 0 0 0 a + x x x 4 5 (a + megoldásvektor a esetén: x ha azonban a, akkor az egyenletrendszer: 0 0 0 0 0 x x x Ennek végtelen sok megoldása van, ugyanis az Uxy lineáris egyenletrendszer. egyenletét minden x R vektor teljesíti. Legyen x t, ahol t R tetszőleges. Ekkor x t 5 x 5 t x + x 4 x 7 + t 4 5 0. megoldásvektor: 7 + t 5 t t. 9
Az E mátrix LU felbontása: E 6 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 det(e. Az Lyb egyenletrendszer megoldása: y 0, y 8, y 4. Az Uxy egyenletrendszert megoldva a megoldásvektor: Az F mátrix LU felbontása: det(f0 F 4 4 6 0 0 0 0 x. Lyb egyenletrendszer megoldása:. 0 0 0 0 4 0 0 0 0 y, y, y 4 0 0. Uxy egyenletrendszer 4 0 0 0 0 x x x ami ellentmondásos. A G mátrix LU felbontása: 40
G 4 4 4 8 6 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 4 4 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 6 0 0 4 det(g 48. Az Lyb egyenletrendszer megoldása: y 5, y 6, y 5, y 4 6. Az Uxy egyenletrendszer megoldása: x, x, x, x 4 A H mátrix LU felbontása: 4 H 6 5 4 8 8 7 0 0 0 0 0 4 5 0 0 0 0 0 0 0 4 5 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 5 7 det(h. Az Lyb egyenletrendszer megoldása: y, y, y 4, y 4 6 4
. Az Uxy egyenletrendszer megoldása: x, x 4, x, x 4 Az I mátrix LU felbontása: 4 I 5 6 4 5 8 5 6 5 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 4 8 4 0 0 0 0 5 4 0 4 8 4 0 0 0 0 0 4 0 4 8 4 0 0 0 8 8 det(i48. Az Lyb egyenletrendszer megoldása: y 4, y 8, y 4, y 4 6. Az Uxy egyenletrendszer megoldása: x, x 4, x 0, x 4. Mivel a 0, ezért sorcserét kell végre hajtani. A 0 0 0 P 0 0 0 0 0 0 0 0 0 permutációs mátrixszal balról szorozva egy mátrixot, annak első és második sora felcserélődik. Így 0 A P 0 4 4 8 0 4
és erre a legutóbbi mátrixra már végrehajtható az LU felbontás első lépése. 0 0 0 0 A P 0 0 0 0 4 4 0 0 0 4 8 7 0 0 0 P 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 5 5 A legutolsó mátrixban a főelem ( az a elem 0, így újra sorcserére van szükség. A mátrixszal A P P 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 P 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 5 5 0 0 0 6 : P LP U Mivel ezért ahol LP 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 P A P P LU : P LU P P P 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. : P L Az determinánsok szorzástételét felhasználva det(adet(pdet(ldet(u5 B mátrix PLU felbontása: B 4 6 5 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0
det(b C mátrix PLU felbontása: 0 0 C 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 det(c D mátrix PLU felbontása: 0 D 5 4 det(d 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 5 0 0 0 5 E márix PLU felbontása: E 0 4 0 4 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 det(e0 F mátrix PLU felbontása: 4 6 F 4 5 5 4 det(f0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 8 4 6 0 0 7 5 0 0 0 4 0 0 0 0 4. balról szorozva d 0... 0 a a... a n d a d a... d a n 0 d... 0 a a... a n.. d a d a... d a n. 0 0... d n a n a n... a nn d n a n d n a n... d n a nn 44
jobbról szorozva a a... a n d 0... 0 d a d a... d n a n a a... a n 0 d... 0.. d a d a... d n a n. a n a n... a nn 0 0... d n d a n d a n... d n a nn 5. Az A mátrix LDL T felbontása: 4 8 A 8 0 0 5 0 0 0 0 0 0 Az B mátrix LDL T felbontása: B 7 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 8 0 4 4 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Az C mátrix LDL T felbontása: C 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 8 0 4 4 0 4 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 4 5 45
A D mátrix LDL T felbontása: D 7 8 7 8 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6. Az A mátrix Cholesky-felbontása: A 9 6 5 4 6 4 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 6 0 0 6 0 0 6 0 4 6 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 6 0 4 0 0 9 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 6 0 4 5 6 0 6 6 7 0 0 0 0 0 0 9 6 0 4 0 A determinánsok szorzástételét felhasználva det(adet(ldet(udet(u6 46
A B mátrix Cholesky-felbontása: 9 9 B 9 9 9 7 det(b 0 0 0 0 0 0 9 9 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 9 0 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 A C mátrix Cholesky-felbontása: 4 6 C 4 9 6 det(c4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 6 0 0 47
A D mátrix Cholesky-felbontása: det(d0 D 9 9 7 7 9 7 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 9 9 0 6 4 0 0 0 9 0 0 0 6 0 0 0 0 0 4 0 0 0 9 9 0 6 4 0 4 0 4 0 0 48
Az E mátrix Cholesky-felbontása: 6 8 4 E 8 4 4 det(e04 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 6 8 4 0 9 0 0 0 4 8 0 0 8 0 6 8 4 0 9 0 0 0 4 8 0 0 0 4 6 0 0 0 0 9 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 4 0 0 0 Az F mátrix Cholesky-felbontása: 4 4 F 4 5 5 5 a + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 4 4 0 0 0 a 4 0 0 0 0 0 0 a 0 0 0 a 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 8 4 0 9 0 0 5 8 0 0 8 0 4 4 0 0 a + 9 49
det(f4a P. Számítógéppel (dupla pontosságú számítás mellett kiszámolva az első egyenletrendszer megoldására a következőt kapjuk: x 0, x. Ugyanakkor a második egyenletrendszer esetén x, x adódik. Azt látjuk tehát, hogy két matematikailag ekvivalens egyenletrendszer esetén lényegesen különböző megoldásokat kaptunk a gépi megoldás során. Egyik megoldás sem pontos, de látható, hogy a második megoldás közelebb van a valódi megoldáshoz. A jelenség magyarázata az, hogy a kerekítési hibákból adódó pontatlanságok nagy hibákat okozhatnak osztás során, ha a nevező abszolút érétkben kicsi. Az előző esetben pontosan ez a helyzet (hiszen a megoldás során az a 0 7 elemmel osztunk. Az ilyen hibák elkerülése érdekében használjuk a főelemválasztást. 50
.4 Legkisebb négyzetek módszere. (a A modell: F(ta+bt, a mérési adatok száma m4. A modell paramétereit az m m m t i ( i a f i m m i t b m i t i f i i t i i lineáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk. Behelyettesítve a megadott értékeket: ( ( ( 4 a. 6 b 6 A mátrix determinánsa 0, így a lineáris egyenletrendszer egyértelműen megoldható (ez már az adatokból is leolvasható, mivel legalább különböző t i érték adott. Az egyenletrendszer megoldása: i ( a b 0 ( 6 4 Így az illesztett modell: F(t 5 + t. (b ( 6 ( 5. A modell: F(ta+bt a mérések száma m5. Mivel a t i értékek között van legalább különböző, ezért a feladat egyértelműen megoldható. A megoldandó egyenletrendszer: ( 5 4 4 6 ( a b ( 5. A mátrix determinánsa 64, így ( a b 64 ( 6 4 4 5 az illesztett modell: F(t 8 t. (c ( 5 ( 8 A modell továbbra is: F(ta+bt de a mérések száma 6 így az m6. Mivel itt is van 5
legalább különböző t i érték így a feladat egyértelműen megoldható. A megoldandó egyenletrendszer: ( 6 9 4 ( a b ( 0 8. A mátrix determinánsa 05 4 így ( a b 4 05 ( 9 4 6 ( 0 8 ( 4 az illesztett modell: F(t 4 + t. (d A megoldandó egyenletrendszer: ( 5 0 0 0 ( a b ( 7 4. A mátrix determinánsa 50, így ( a b 50 az illesztett modell: F(t 0 0 t. ( 0 0 0 5 ( 7 4 ( 0 0. (a A modell amivel közelítünk az F (t c + c t + c t alakú. Az ismeretlen c, c, c paramétereket az A T A A T f Gaus- féle normálegyenlet megoldásával kapjuk, ahol t t t t c f A t t ; x c ; f f. c t 4 t f 4 Ebből A T A m m t i i m t i i m t i i m t i i m t i i m t i i m t i i m t 4 i i ; A T f m f i i m t i f i i m t i f i i 5
az adatokat behelyettesítve: 4 6 6 8 6 8 8 Ennek megoldása: c 7 40, c 5 40, c 5 40 c c c így az illesztett modell: F(t 7 40 + 5 40 t 5 40 t. (b A modell amivel közelítünk az F (t c + c t + c t alakú. Az ismeretlen c, c, c paramétereket a 5 7 c 7 9 c 0 7 9 9 c 4 egyenlet megoldásával kapjuk. 5 9 9. Ennek megoldása: c, c 4, c 4 így az illesztett modell: F(t 4 t + 4 t.. Mivel az alappontok között csak különböző érték szerepel elsőfokú polinommal érdemes közelíteni (magasabb fokszámú polinom esetén a megoldandó lineáris egyenletrendszer szinguláris lesz, a feladatnak végtelen sok megoldása lesz. A modell : F(ta+bt, a mérési adatok száma pedig m5. A modell paramétereit az m m t i i m t i i m t i i ( a b m f i i m t i f i lineáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk. Behelyettesítve a megadott értékeket: ( ( ( 5 a 5.. b. A mátrix determinánsa 54, így a lineáris egyenletrendszer egyértelműen megoldható. Az egyenletrendszer megoldása: i 5
( a b 54 ( 5 ( 5.. ( 6 60 60. Így az illesztett modell: F(t 6 60 + 60 t. 4. Itt is a Gauss-féle normálegyenletet kell megoldani ami a következő A T Ax A T f Az A matrix: cos(πt sin(πt 0 cos(πt sin(πt 0 A cos(πt sin(πt cos(πt 4 sin(πt 4 0 0. cos(πt 5 sin(πt 5 0 cos(πt 6 sin(πt 6 0 Kiszámoljuk az A T A és A T f mátrixokat: A T A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 A T f 0 0 0 0 0 0 5 5 4 7 4 9 4. az adatokat behelyettesítve: 6 0 0 c c c Ennek megoldása: c 77, c 8 96, c 67 96 7 4 9 4. Így az illesztett modell: F(t 77 + 8 96 cos(πt 67 96 sin(πt. 54
Ha a második táblázat adatait közelítjük: A 0 0 0 0 A T A 4 0 0 Mivel det(a T A0, ezért a lineáris egyenletrendszer megoldása nem egyértelmű. Ez már abból is látható, hogy az A mátrix oszlopvektorai nem lineárisan függetlenek. 5. A modell: F(ta+bt, a mérési adatok száma m0. Az illesztett model: F(t.565406 + 0.4904 t 6. A modell: F(ta+ b, a mérési adatok száma m0. t Az illesztett model: F (t.988087 +.0770 t 7. A modell: F (t a + b cos(πt + c sin(πt, a mérési adatok száma m. Az illesztett model: F (t.994687 + 0.7560 cos(πt + 0.97947590 sin(πt 55
.5 Sajátérték feladatok. (a A ( 4 5 A sajátértékek meghatározásához írjuk fel az A mátrix karakterisztikus polinomját! det(a λe λ 4 5 λ ( λ (5 λ ( λ λ + A sajátértékek a karakterisztikus polinom gyökei lesznek: λ λ + 0 λ, ± 9 8 A λ sajátértékhez tartozó sajátvektort az ±, λ, λ. (A Ev 0 lineáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk. ( ( 4 v 4 v ( 0 0, így v ( 0, 6 0, 8. A λ sajátértékhez tartozó sajátvektort az (A Ev 0 lineáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk. ( ( v 4 4 v ( 0 0, így v (. 56
(b A A mátrix karakterisztikus egyenlete: Ennek gyökei: ( λ 4λ + 4 0. λ, 4 ± 6 6 4, λ. A mátrixnak egy kétszeres multiplicitású valós sajátértéke van. A λ sajátértékhez tartozó sajátvektort az (A Ev 0 lineáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk. ( ( v v ( 0 0, így v (. (c A karakterisztikus egyenlet: Ennek gyökei A ( 5 λ λ + 0, λ, ± 4 8 ± 4 ± 4 ± i ±i, λ, ±i A mátrix sajátértékei komplexek. A λ + i sajátértékhez tartozó sajátvektort az (A ( + i Ev 0 lineáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk. ( ( i 5 v i v ( 0 0, 57
így ( v 5 (i + A λ i sajátértékhez tartozó sajátvektort az. (A ( i Ev 0 lineáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk. ( ( + i 5 v + i v ( 0 0, így ( v 5 ( i.. Induljunk ki az Av λv egyenletből, majd vegyük mindkét oldal normáját! Ebből v 0 miatt következik, hogy A v Av λv λ v A λ.. Ha A-nak a 0 sajátértéke, akkor det(a 0E 0, tehát det(a 0, azaz A szinguláris. Ha A szinguláris akkor det(a 0, azaz a λ 0 megoldja a det(a λe 0 egyenletet, tehát A-nak a 0 sajátértéke. 4. Legyen v 0 a λ sajátértékhez tartozó sajátvektor: A v λ v. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát balról A -gyel: Az A mátrix reguláris, így λ 0. v λ A v. λ v A v, azaz az A mátrixnak λ sajátértéke, a hozzátartozó sajátvektor v. 58
5. Legyen v 0 a λ sajátértékhez tartozó sajátvektor. A v λ v / A A v λ A v A v λ (λ v A v λ v, azaz λ az A mátrix sajátértéke, a hozzátartozó sajátvektor v. 6. Legyen v 0 az A mátrix λ sajátértékéhez tartozó sajátvektor. A v λ v / ce v (A ce v (λ c v, tehát λ c sajátértéke az A ce mátrixnak, v pedig a λ c sajátértékhez tartozó sajátvetor. 7. Ha egy mátrix domináns főátlójú, akkor a főátlóban álló elemek nagyobbak, mint a velük egy sorban lévő elemek abszolútértékeinek összegei. Ez alapján a Gersgorin körök uniójában nincs benne a 0, tehát az nem sajátértéke a mátrixnak, így a mátrix reguláris. 8. (a A mátrix sajátértékei a 4 középpontú és 4 sugarú, középpontú és sugarú, 7 középpontú és sugarú körök uniójában helyezkednek el. A 0 beleesik a 4 középpontú körbe, így lehet, hogy a mátrix nem invertálható. A körök nem metszik egymást, így minden körben pontosan darab sajátérték található, amelyek valósak. (b A mátrix sajátértékei a 4 középpontú és sugarú, középpontú és sugarú, 7 középpontú és sugarú körök uniójában helyezkednek el. A 0 nem tartozik egyik körhöz sem, tehát a mátrix invertálható. Mind három kör metszi egymást, így a sajátérték ezek uniójában bárhol lehet. Mivel a mátrix szimmetrikus, így sajátértékei biztosan valósak, a Gersgorin körök elhelyezkedéséből következően pedig pozitívak. A mátrix így pozitív definit. 59
(c A mátrix sajátértékei a 4 középpontú és 5 sugarú, 5 középpontú és sugarú, középpontú és sugarú körök uniójában helyezkednek el. A 0 beleesik a 4 középpontú körbe, így lehet, hogy a mátrix nem invertálható. A körök nem metszik egymást, így minden körben pontosan darab sajátérték található, amelyek valósak. 9. A mátrix sajátértékei a 8 középpontú és 6 sugarú, 5 középpontú és sugarú, középpontú és sugarú, 7 középpontú és 4 sugarú, 4 középpontú és sugarú körök uniójában helyezkednek el. A 0 nem tartozik egyik körhöz sem, tehát A mátrix reguláris. A és 4 középpontú körök uniójában, a 8 az 5 és a7 középpontú körök uniójában pedig darab sajátérték található. 0. Ha adott az A R n n mátrix és a v R n, v 0 vektor, akkor a J(λ A v λ v függvény minimumhelye Av, v λ v, v. Ezt a hányadost nevezzük Rayleigh hányadosnak. Esetünkben: így λ 4 λ Av, v v, v ( ( + 7 7 + 6 + 5 0 + 4 ( + 7 + + 5 + 4, esetén lesz minimális az Av λv euklideszi normája.. v 5 0 4, Av 5, λ így a minimumhely λ. Av, v v, v A E ( 5 ( 5 + 4 ( 5 + 4, 0 0 0 0. det(a E 0, tehát a sajátértéke az A mátrixnak. 60
. (a A (, ɛ 0.0. Az y (0 -t tetszőlegesen választjuk ki, innentől kezdve ez érvényes az alábbi feladatokra is! ( ( Ay (0 y (0 Ay (0 λ 0, y (0 + 0 0 y (0, y (0 + 0 y ( Ay (0 ( Ay ( ( 4 λ Ay (, y ( y (, y ( 0 5 Mivel a sajátérték két egymást követő közelítőértéke megegyezik, az iterációt abbahagyjuk. Könnyen ellenőrizhető, hogy annak ellenére, hogy az iteráció leállási feltétele teljesül (tetszőleges ɛ esetén, λ nem sajátértéke a mátrixnak. A jelenség oka, hogy a mátrix sajátértékei komplexek ( ± i. (b Az y (0 0 0 A vektorból indítva az iterációt K λ K 4,4857 4,56586 4,70857 4 4,8066 5 4,8974 6 4,964 7 4,96060 8 4,9777 9 4,986477 0 4,99906 ɛ 0, 00. K 0 esetén teljesül a leállási feltétel. A λ (0 -hez tartozó sajátvektor közelítés: 0, 005678 y (0 0, 707095 0, 707095 Mivel Ay (0 λ 0 y (0 ɛ, ezért az iteráció sikeres. 6
(c Az y (0 0 0 A 0 0 vektorból indítva az iterációt λ K K,,4765,444 ɛ 0, 00. K esetén teljesül a leállási feltétel. A λ ( -hoz tartozó sajátvektor közelítés: 0, 497468 y ( 0, 70669 0, 497468 Mivel Ay ( λ y ( ɛ, ezért az iteráció sikeres. (d Az y (0 0 0 A vektorból indítva az iterációt K -0,7486 -,647059-0,767........ 7,997504 8,0097 ɛ 0, 00. λ K K 8 esetén teljesül a leállási feltétel. A λ (8 -hoz tartozó sajátvektor közelítés: 0, 5808 y (8 0, 577778 0, 5787 6
Mivel Ay (8 λ 8 y (8 ɛ, ezért az iteráció sikeres. (e Az y (0 0 0 A 0 0 vektorból indítva az iterációt λ K K,666666,976744,99856 4,999908 ɛ 0, 00. K 4 esetén teljesül a leállási feltétel. A λ (4 -hez tartozó sajátvektor közelítés: 0, 575086 y (4 0, 5885 0, 575086 Mivel Ay (4 λ 4 y (4 ɛ, ezért az iteráció sikeres. (f Az y (0 0 0 A 0 4 4 4 0 vektorból indítva az iterációt K,777777 4,060606,95604 4 4,086 5,989857 6 4,004856 7,99756 8 4,009 ɛ 0, 00. λ K 6
K 8 esetén teljesül a leállási feltétel. A λ (8 -hoz tartozó sajátvektor közelítés: 0, 66 y (8 0, 9758 0, 66 Mivel Ay (8 λ 8 y (8 ɛ, ezért az iteráció sikeres. (g Az y (0 0 0 0 A 4 0 0 4 0 0 4 0 0 4 vektorból indítva az iterációt K 9 esetén teljesül a leállási feltétel. A λ (9 -hez tartozó sajátvektor közelítés: y (9 λ K K 5 5,970 5,5964 4 5,09 5 5,04975 6 5,040 7 5,00995 8 5,00709 9 4,99989 ɛ 0, 00. 0, 5604 0, 486969 0, 878 0, 796406 Mivel Ay (9 λ 9 y (9 ɛ, nem teljesül ezért az iteráció sikertelen. Az iteráció más kezdővektorokból indítva sem lesz sikeres, aminek az az oka, hogy a mátrix sajátértékei komplexek. 64
(h Az y (0 0 0 A 0 5 7 5 vektorból indítva az iterációt λ K K -7,4857-4,0408-5,8407 4-5,96457 5-5,5978 6-5,6870 7-5,70750 8-5,6867 9-5,688746 ɛ 0, 00. K 9 esetén teljesül a leállási feltétel. A λ (9 -hez tartozó sajátvektor közelítés: 0, 464045 y (9 0, 79 0, 87767 (i Mivel Ay (9 λ 9 y (9 ɛ, ezért az iteráció sikeres. Az y (0 0 0 A vektorból indítva az iterációt K λ K - - ɛ 0, 00. Mivel a sajátérték két egymás követő közelítőértéke megegyezik, az iterációt abbahagyjuk. Mivel λ esetén az A v λ v egyenlet teljesül, ezért λ sajátértéke a mátrixnak. 65
.6 Lagrange interpoláció. (a (, 6, (, 7, (, 8, (,, (, 9 Készítsük el az osztott differenciák táblázatát: 6 7 ( 7 ( 6 ( ( ( 8 ( 7 9 ( ( ( 0 9 ( ( 9 8 ( ( ( 8 ( 6 ( 9 ( 9 ( 0 ( 6 ( ( ( ( Az illesztett polinom: N 4 (x 6 (x + + 0 (x + (x + (x + (x + (x + + + (x + (x + (x + (x x 4 + x x + x. (b (,, (, 8, (,, (, A differenciatáblázat: Az illesztett polinom: 8 5 9 0 9 N (x + (x + 5 (x + (x + + 9 (x + (x + (x 0 9 0 x + 5 5 x + 69 0 x + 478 5 7 5 0 x + 5 x + 9 0 x. 66
(c (,, (, 4, (, A differenciatáblázat: 9 4 Az illesztett polinom: N (x + 9 (x + (x + (x + x + x +. (d (, 5, (,, (0,, (, 5 A differenciatáblázat: Az illesztett polinom: 5 8 5 0 7 5 N (x 5+8 (x+ 5 (x+ (x++ (x+ (x+ x x +x x+. (e (, 4, (,, (, 0, (, 40 A differenciatáblázat: 4 8 0 0 40 Az illesztett polinom: N (x 4 (x++ (x+ (x + (x+ (x (x x x x+4. 67
(f (, 8, (, 5, (,, (, 0, (, 7 A differenciatáblázat: 8 5 0 9 0 6 7 Az illesztett polinom: N 4 (x 8 (x + + 0 (x + (x + (x + (x + (x + + (x + (x + (x (x.. A differenciatáblázat: 6 5 0 4 4 7 0 7 0 Az első 4 pontra illeszkedő polinom: N (x 6 + 5 (x + 4 (x + x + (x + x (x x x 5x + 4. Ha azt a minimális fokszámú polinomot keressük, amely az előző pontokon kívül áthalad a (, ponton is, akkor az előző táblázatunkat kiegészítjük az új adattal, és kiszámítjuk az utolsó "ferde" sort: 68
6 5 0 4 4 7 0 7 0 4 Az 5 pontra illeszkedő polinom: N 4 (x N (x + (x + x (x (x x4 + x 5x x + 4.. Számítsuk ki a függvény értékét az x, x, x pontokban: f(x 0; f(x ; f(x 0. Az adataink tehát: (, 0, (0,, (, 0. A differenciatáblázat: 0 0 0 Az illesztett másodfokú polinom: N (x 0 + (x + (x + x x + x x x. 4. Egy másodfokú polinomot egyértelműen meghatároz különböző helyen vett helyettesítési értéke. Ha a táblázatban szereplő értékek pontosak lennének, akkor bármelyik adat ugyanazt a polinomot határozná meg. Először illesszünk az első adatra polinomot: 5 6 9 4 0 5 69
A differenciatáblázatból felírva az interpolációs polinomot N (x 5 4 x + x (x + x x + 5 adódik. Számítsuk ki milyen értékeket vesz fel az N polinom az,, pontokban! N ( ; N ( ; N ( 5. Látható, hogy az x és x 5 helyeken felvett érték megegyezik a táblázatban adott értékekkel, azaz az N polinom a (, pont kivételével minden pontra illeszkedik. Ebből következik, hogy az x helyen megadott helyettesítési érték hibás, a helyes érték. A p polinom: p(x N (x x x + 5. 5. Ha az f függvény (n + -szer folytonosan differenciálható és L n (x az (x i, f(x i, i 0,,..., n adatokra épülő Lagrange-polinom, akkor az interpoláció maximális hibája: f(x L n (x M n+ (n +! ω n+(x, ahol ω n+ (x (x x 0 (x x... (x x n, M n+ max x [a,b] f n+ (x. A maximális hiba megadáshoz először kiszámoljuk a függvény harmadik deriváltját: f (x e x. A harmadik derivált abszolútértékének maximuma az alappontok által kifeszített intervallumon: M. ( ω (x (x + x + x x + x + x. A [, 0] intervallumban az ω (x függvénynek x -nál van maximuma, a 6 maximum értéke. Így 6 f(x L (x 6 6 8, 0 0. 6. Általános esetben az interpoláció maximális hibája f(x L n (x M n+ (n+! ω n+(x, azaz n esetén f(x L (x M! ω (x adódik. ω (x (x a(x b, azaz ω (x egy olyan másodfokú polinom, melynek zérushelyei a és b, a főegyütthatója pedig pozitív. 70
Ebből következik, hogy ω (x minimumhelye a gyökök számtani közepe: x a+b. Felhasználva, hogy x [a, b] esetén ( ( ( ω (x a + b ω a + b a + b a b ( ( a + b a a + b b b a a b (b a 4 (b a 4 teljesül, az f(x L (x M! ω (x M (b a 4 M 8 (b a M 8 h összefüggést kapjuk, ami a bizonyítandó állítás. 7. Szakaszonként lineáris interpoláció esetén a hiba a következő módon becsülhető (ld. 6. feladat: f(x L (x M 8 h. Ha h értékét úgy határozzuk meg, hogy M 8 h < 0 4 teljesüljön, akkor a hiba a megadott korlát alatt marad. Mivel f (x cos(x, ezért M max f (x max cos(x. x [0,π] x [0,π] Tehát 8 h < 0 4 h < 4 0 4 h < 0 0, 0. Ha az egyes részintervallumok hossza legfeljebb 0, 0, akkor a hiba a megadott korlát alatt marad. 7
.7 Hermite interpoláció, spline-interpoláció. (a A differenciatáblázat: 4 9 9 4 4 ( 6 4 ( 7 6 8 ( 7 7 8 8 ( 4 ( 6 6 5 ( ( 88 7 54 6 7 ( 94 6 88 5 7 54 88 94 5 94 5 ( Az illesztett polinom: H(x 4 + 9 (x + 4 (x + + 6 (x + (x + 5 (x + (x + + (x + (x (x x 5 + x 4 + x x + 4. (b A differenciatáblázat: Az illesztett polinom: 0 4 47 64 4 44 0 7 9 4 7 7 6 0 7 7 8 8 7 H(x (x + + (x + + (x + (x + 47 (x + (x + + + 64 (x + (x + 9 (x + (x + (x 9x 6 98 x5 7 x4 + 7 x + 55 x 65 85 x + x(x +. 7
(c A differenciatáblázat: Az illesztett polinom: 4 5 4 4 5 9 8 5 7 9 59 8 80 4 89 00 9 80 69 9 H(x 4 + 5 (x + (x + + 4 (x + (x + (x + (x + + 5 (x + (x + (x + (x (x x 6 + x 5 x 4 + 4x x +. (d A differenciatáblázat: Az illesztett polinom: 0 0 0 6 8 5 0 9 59 H(x + (x + + (x + (x + (x + (x (x. 7
(e A differenciatáblázat: Az illesztett polinom: 0 0 0 8 8 6 6 0 0 4 8 4 0 4 4 4 0 H(x 0 0 (x + + 8 (x + 6 (x + (x + + + 6 (x + (x + 4 (x + (x + + (x + (x + (x.. Az x 0, f(x 0, f (x 0 adatokból elkészített differenciatáblázat: x 0 f(x 0 x 0 f(x 0 f (x 0 Az f függvény x 0 -beli érintőjének egyenlete a következő: y(x f(x 0 + f (x 0 (x x 0.. Helyettesítsük be a fenti függvénybe az x 0-t. Azaz f(0 cos(0 (0 (0, az eredmény f(0. A függvény első deriváltja: f (x sin x x. Azaz f (0 sin(0 (0, az eredmény f (0. Így x 0 0 f(x 0, f (x 0 amiből a differenciatáblázat: 0 0 74
Felírva az interpolációs polinomot a fenti függvény x 0 pontbeli érintőjének egyenletét kapjuk, ami: y(x x. 4. A differenciatáblázat: x 0 f(x 0 x 0 f(x 0 x 0 f(x 0 x 0 f(x 0 x 0 f(x 0.. x 0 f(x 0 f (x 0 f (x 0 f (x 0 f (x 0. f (x 0 f (x 0 f (x 0 f (x 0. f (x 0 f (x 0! f (x 0!. f (x 0! f (4 (x 0 4!. f (4 (x 0 4!... f (n (x 0 n! Az illesztett polinom: H(x f(x 0 + f (x 0 (x x 0 + f (x 0 + f (x 0! (x x 0 + + f (n (x 0 n! (x x 0 + (x x 0 n, ami pontosan az f függvény x 0 körüli n-ed fokú Taylor-polinomja. 5. Az adatok táblázatban: x i H(x i 4 6 H (x i 9 A H polinomot úgy határozzuk meg, hogy illeszkedjen az alábbi adatokra: x i H (x i 4 6 H (x i A differenciatáblázat: 75
4 4 6 6 6 Az illesztett polinom a differenciatáblázat alsó éléből felírva: H (x 6 + (x + 6 (x + (x (x +. A H szakaszonként harmadfokú polinom folytonosan differenciállható lesz, ha H -t úgy határozzuk meg, hogy illeszkedjen a következő adatokra: x i H (x i 6 H (x i 9 A differenciatáblázat: 6 6 5 4 9 Az illesztett polinom: H (x 6 + (x 5 (x + 4 (x (x. 6. x i - H(x i 4 6 H (x i - α 9 Ebből az első polinom: x i - H(x i 4 6 H (x i - α A differenciatáblázat: 4 4 6 6 α 76 α α 5 4
Az illesztett polinom: H (x 6 + α (x + α (x + α 5 4 (x (x +. A második polinom: A differenciatáblázat: Az illesztett polinom: x i H(x i 6 H (x i α 9 6 6 α α 9 + α 4 H (x 6 + α (x + α (x + + α 4 (x (x. Látható, hogy a feladat tetszőleges α R esetén megoldható. 7. H kétszer folytonosan differenciálható, ha kétszer differenciálható és a második deriváltja folytonos. H ( α + α 5 α 6 4 H ( α + +α 4 ( α α α Ebből a kétszer folytonosan differenciálhatóság feltétele a α 6 α egyenlet teljesülése, aminek megoldásaként α adódik. Így a keresett polinomot megkapjuk, ha az előző feladatban α helyére -et helyettesítünk. { 6 + H(x (x + (x 4 7(x 8 (x +, ha x [, ] 6 + (x + (x 4 + 9(x 8 (x +, ha x (, ]. 77