Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23.
Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Homogén lineáris egyenletrendszer Mátrixegyenlet Leontyev-modell Sajátérték, sajátérték 3 Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Paraméteres rang Paraméteres egyenletrendszer Paraméteres inverz Paraméteres Leontyev-modell
Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Sajátérték, sajátvektor Deníció Egy λ R szám az A R n n mátrix sajátértéke, ha létezik olyan v 0 vektor, melyre Av = λv. A fenti denícióban szerepl v oszlopvektor t az A mátrix λ sajátértékéhez tartozó sajátvektornak nevezzük. Megjegyzések: Deníció Egy mátrixnak több sajátértéke is lehet. Egy sajátértékhez több sajátvektor is tartozik. Az Uλ = {x R n : Ax = λx} vektorhalmazt a λ sajátértékhez tartozó sajátaltérnek nevezzük.
Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Sajátérték, sajátvektor. Feladat Határozzuk meg a ( 7 3 5 mátrix sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátvektorokat (a sajátalterek egy-egy bázisát)! ) Deníció Egy A R n n mátrix karakterisztikus polinomja f A (x) = A xe, ahol E az (n n)-es egységmátrix. Tétel A λ szám pontosan akkor sajátértéke az A-nak, ha λ gyöke az A karakterisztikus polinomjának.
Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Sajátérték, sajátvektor. Feladat Határozzuk meg a ( 7 3 5 mátrix sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátvektorokat (a sajátalterek egy-egy bázisát)! ) λ = 4, λ 2 = 8 U 4 = [( )] [( 3, U 8 = )]
Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Sajátérték, sajátvektor 2. Feladat Határozzuk meg a ( 9 6 8 5 mátrix sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátvektorokat (a sajátalterek egy-egy bázisát)! ) λ = 3, λ 2 = U 3 = [( )] [( 3, U = 4 )]
Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Sajátérték, sajátvektor 3. Feladat Határozzuk meg az 2 0 0 3 0 2 mátrix sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátvektorokat (a sajátalterek egy-egy bázisát)! λ = 2, λ 2 = U 2 =, U = 0 0
Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Sajátérték, sajátvektor 4. Feladat Határozzuk meg a 2 3 2 3 2 mátrix λ = sajátértékéhez tartozó sajátaltér egy bázisát! U = 0, 0
Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Homogén lineáris egyenletrendszer Mátrixegyenlet Leontyev-modell Sajátérték, sajátérték 3 Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Paraméteres rang Paraméteres egyenletrendszer Paraméteres inverz Paraméteres Leontyev-modell
Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Homogén lineáris egyenletrendszer Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Homogén lineáris egyenletrendszer Mátrixegyenlet Leontyev-modell Sajátérték, sajátérték 3 Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Paraméteres rang Paraméteres egyenletrendszer Paraméteres inverz Paraméteres Leontyev-modell
5. Feladat Adjuk meg a következ homogén lineáris egyenletrendszer egy fundamentális rendszerét! (= Adjunk bázist a megoldásalterében!) 3x + 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 0 8x + 5x 2 + 3x 3 + 5x 4 = 0 2x x 2 x 3 x 4 = 0 6. Feladat Adjuk meg a következ homogén lineáris egyenletrendszer egy fundamentális rendszerét! (= Adjunk bázist a megoldásalterében!) 2x + x 2 + x 3 + 3x 4 = 0 5x 3x 2 2x 3 6x 4 = 0 (,,, 0) ; (0,, 0, ) (,,, 0) ; (, 3, 0, )
Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Mátrixegyenlet Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Homogén lineáris egyenletrendszer Mátrixegyenlet Leontyev-modell Sajátérték, sajátérték 3 Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Paraméteres rang Paraméteres egyenletrendszer Paraméteres inverz Paraméteres Leontyev-modell
Mátrixegyenlet 7. Feladat Adja meg a következ mátrixegyenlet megoldását! ( ) ( ) 6 2 2 4 X = 3 2 8. Feladat Adja meg a következ mátrixegyenlet megoldását! ( ) ( ) 2 3 0 2 X = 2 5 2 ( a X = 3a b 2 3b ), X = 3 6a 5 6b 8 4a 3 4b a b
Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Leontyev-modell Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Homogén lineáris egyenletrendszer Mátrixegyenlet Leontyev-modell Sajátérték, sajátérték 3 Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Paraméteres rang Paraméteres egyenletrendszer Paraméteres inverz Paraméteres Leontyev-modell
Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Leontyev-modell Leontyev-modell 9. Feladat Egy gazdaság ráfordítási mátrixa ( 0, 6 0, 2 A = 0, 0, 2 Mennyi nyersanyagra van szükség el állításához? ). ( 6 7 ) vektornyi termékek 2 M köd képes-e a gazdaság? ( ) 0 3 Mekkora legyen a bruttó kibocsátás a d = nettó 2 kibocsátás eléréséhez? 4 Nyereséges-e a termelés, ha a rögzített árrendszer v = (; 5)?
Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Leontyev-modell Leontyev-modell 9. Feladat megoldása ( ) 5 vektornyi nyersanyagra van szükség. 2 ) 2 Igen, mert a ( 8 3 3 ( 8 3 3 3 4 3 3 nemnegatív. ) ( 2 0 2 2 3 4 3 Leontyev-inverz minden eleme ) ( ) 28 = 6 4 I. terméken a veszteség 0,. II. terméken a nyereség 3, 8. Összesen a nyereség 3, 7.
Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Sajátérték, sajátérték Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Homogén lineáris egyenletrendszer Mátrixegyenlet Leontyev-modell Sajátérték, sajátérték 3 Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Paraméteres rang Paraméteres egyenletrendszer Paraméteres inverz Paraméteres Leontyev-modell
Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Sajátérték, sajátvektor Sajátérték, sajátérték 0. Feladat Határozza meg a következ mátrix sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátalterek egy bázisát! ( ) 5 4 8 λ = 9, [( λ 2 = )] 4 [( 0, 25 U 4 =, U 9 = )]
Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Sajátérték, sajátvektor Sajátérték, sajátérték. Feladat Határozza meg a következ mátrix sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátalterek egy bázisát! 4 0 0 5 0 3 4 2 λ = 4, λ 2 = 5, 6 λ 3 = 2 U 4 = 6, U 5 = 0 7 4, U 2 = 0 0
Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Homogén lineáris egyenletrendszer Mátrixegyenlet Leontyev-modell Sajátérték, sajátérték 3 Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Paraméteres rang Paraméteres egyenletrendszer Paraméteres inverz Paraméteres Leontyev-modell
Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Paraméteres rang Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Homogén lineáris egyenletrendszer Mátrixegyenlet Leontyev-modell Sajátérték, sajátérték 3 Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Paraméteres rang Paraméteres egyenletrendszer Paraméteres inverz Paraméteres Leontyev-modell
Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Paraméteres rang Paraméteres rang 2. Feladat A p valós paraméter értékét l függ en határozzuk meg a következ mátrix rangját! 2 p 3 3 4 2 0 p Ha p = 3, akkor a rang 2. Ha p 3, akkor a rang 4. 2.+ Feladat Mindegyik esetben adja meg a mátrix egy maximális méret nemelt n aldeterminánsát!
Paraméteres rang 3. Feladat A p valós paraméter értékét l függ en határozzuk meg a következ mátrix rangját! p 6 3 p 2 0 3 p 2 + 4 2 p + Ha p =, akkor a rang 2. Ha p = 2, akkor a rang 3. Ha p / { 2, }, akkor a rang 4. 3.+ Feladat Mindegyik esetben adja meg a mátrix egy maximális méret nemelt n aldeterminánsát!
Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Paraméteres egyenletrendszer Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Homogén lineáris egyenletrendszer Mátrixegyenlet Leontyev-modell Sajátérték, sajátérték 3 Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Paraméteres rang Paraméteres egyenletrendszer Paraméteres inverz Paraméteres Leontyev-modell
Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Paraméteres egyenletrendszer Paraméteres egyenletrendszer 6.9. Feladat Adjuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldását az a valós paraméter értékét l függ en. x 3x 2 + 2x 3 = 2x 4x 2 + 8x 3 = 0 3x + 5x 2 4x 3 = a Ha a =, akkor a megoldás ( 2 8x 3, 2x 3, x 3 ). Ha a, akkor nincs megoldás.
20. Feladat Adjuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldását a p valós paraméter értékét l függ en. x + x 2 + 3x 3 x 4 = x + (p )x 2 + 4x 3 2x 4 = 3 3x + (2p + 3)x 2 + (p + 9)x 3 4x 4 = 6 2x 2x 2 7x 3 + 3x 4 = 3 Ha p {, 2}, akkor nincs megoldás. Ha p / {, 2}, akkor egyetlen megoldás van: ( ) 9 p (p )(p 2), p 2, 4 (p )(p 2), p 2 + 3p 6. (p )(p 2)
20. Feladat javítva Adjuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldását a p valós paraméter értékét l függ en. x + x 2 + 3x 3 x 4 = x + (p+)x 2 + 4x 3 2x 4 = 3 3x + (2p + 3)x 2 + (p + 9)x 3 4x 4 = 6 Ha p = 0, akkor nincs megoldás. 2x 2x 2 7x 3 + 3x 4 = 3 Ha p =, akkor végtelen sok megoldás van: ( 3 2x 4,, + x 4, x 4 ), x 4 R. Ha p / {0, }, akkor darab megoldás van: ( p, p, 0, ).
Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Paraméteres inverz Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Homogén lineáris egyenletrendszer Mátrixegyenlet Leontyev-modell Sajátérték, sajátérték 3 Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Paraméteres rang Paraméteres egyenletrendszer Paraméteres inverz Paraméteres Leontyev-modell
Paraméteres inverz 5. Feladat Határozza meg az A = 2 3 a 0 a mátrix inverzét az a paraméter értékét l függ en! Ha a = 3, akkor az A mátrixnak nem létezik inverze. 2 Ha a 3 2, akkor A = a 2a 3 a 2a 3 3 a 2a 3 0 2a 3 2a 3 2a 3.
Paraméteres inverz 5. Feladat Határozza meg az A = x 3 2 x 0 2 mátrix inverzét az x paraméter értékét l függ en! Ha x = 7, akkor az A mátrixnak nem létezik inverze. 6 Ha x 7 6, akkor. A = 2x 6x 7 4 6x 7 2 6x 7 3 2x 6x 7 2 6x 7 6x 7 2x 6x 7 7 6x 7 3x 6x 7.
Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Paraméteres Leontyev-modell Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok) Homogén lineáris egyenletrendszer Mátrixegyenlet Leontyev-modell Sajátérték, sajátérték 3 Gyakorló feladatok a zh-ra (nehezebb feladatok) Paraméteres rang Paraméteres egyenletrendszer Paraméteres inverz Paraméteres Leontyev-modell
Paraméteres Leontyev-modell 6. Feladat Milyen p valós paraméter esetén lesz az A = ráfordítású mátrixú gazdaság m köd képes? Ha 0 p 2, 25, akkor a gazdaság m köd képes. 7.8. Feladat ( 0, 5 0, 2 p 0, Az x paraméter mely értékei esetén lesz az alábbi mátrix egy m köd képes gazdaság ráfordítási mátrixa? ( ) 0, 2 x 0, 4 0, 5 ) Ha 0 p <, akkor a gazdaság m köd képes.