Szinuzjel-illeztő módzer jeltorzulá méréekhez 1. Bevezeté A hangtechnika világában fonto a hangfeldolgozó hardverek, mint például erőítők, zabályozók, analóg-digitáli é digitáli-analóg átalakítók, illetve a hangtechnikában alkalmazott digitáli jelfeldolgozó algoritmuok átviteli tulajdonágainak imerete. Az átviteli tulajdonágot rontja az ezközök torzítáa, ami az ezköz nemlineári karakteriztikájából ered, illetve az ezközök zaja, ami miatt az ezköz az átvinni kívánt hang mellé, egy attól független jelet ad hozzá. A két átvitelt rontó hibát gyakran egyetlen mérőzámmal jellemzik. Ez lehet például a Signal to Noie and Ditortion Ratio, rövidítve SINAD, ami kifejezi egy a bemenetre adott tizta, zinuzo jel eetében a kimeneten mért felharmonikuok, zajok teljeítményének é a kimeneten mért tizta zinuzo jelkomponen teljeítményének arányát [1]. Egy máik változat ugyanerre a mérőzámra a otal Harmonic Ditortion + Noie, azaz HD+N, ami a SINAD reciproka [1]. Egy újabb mérőzám a Spuriou-Free Dynamic Range, SFDR, ami a kimeneten mérhető tizta zinuzo komponen amplitúdója é a többi frekvencia özetevő közül a legnagyobb amplitúdójú özetevő amplitúdójának aránya [1]. Meglepő dolgokra derülhet fény ezeknek a zámoknak a vizgálatakor. Korábbi munkahelyemen egy drága erőítő prototípuait állították elő. A HD+N méréekor az derült ki, hogy a bal catorna ugyan teljeen jól működik, vizont az öze kézülékben a jobb catornán a mérőzám 20 db-lel, azaz 10-zer nagyobb zajt mutatott. Az okra hamar fény derült: elfogyott egy alkatréz zállítmány, ezért a jobb catornára mindenhova már cak egy máik, olcóbb kondenzátor alkatrézt forraztottak be a gyárban, jó lez az úgy i felkiáltáal. A máik eet egy kollégámmal eett meg. Egy mérőerőítő teztelée orán a HD+N megintcak jóval gyengébb értékeket adott a vártnál, pedig minden alkatréz a megfelelő volt. Itt az derült ki, hogy a gyár az áramköri hordozólap előállítáakor egy technológiai lépét kihagyott, é nem tiztította azt meg alkoholo moáal a zennyeződéektől. Az emiatt a hordozólap felzínén kialakuló kúzóáramok hatáára az érzékeny bemenetű erőítő már hibáan működött. A turpiágra itt i hamar fény derült é mindezt ezeknek a peciáli mérőzámoknak a vizgálatával lehetett kideríteni. Jelenlegi munkám orán a HD+N mérőzámot digitáli zűrőalgoritmuok pontoágának az özehaonlítáára haználom. Azt, hogy mennyire fontoak ezek a mérőzámok, az i bizonyítja, hogy a méréükkel külön zabványok foglalkoznak [1], [2], amelyek még a méréekhez zükége algoritmu alapjait i rögzítik. A méréek rézleteivel a zabványok ajno nem foglalkoznak (perze nem i ez a dolguk). Azonban ahhoz, hogy a méréek gyorak é pontoak legyenek, zükég van további imeretekre i, amelyeket a méréeket végző emberek legnagyobb megdöbbenéemre gyakran nem imernek. A következőkben ezeket az imereteket zeretném özefoglalni. 2. A méré elve A HD+N, SINAD é SFDB mérőzámok méréi elve vizonylag egyzerű: a vizgálni kívánt kézülék vagy algoritmu bemenetére zinuzjelet adunk, a kimeneten megjelenő jelet pedig rögzítjük. Felmerül a kérdé, miért ilyen fura módon mérjük az ideálitól való eltérét, miért nem mérjük meg a rendzer zaját bemenő jel gerjezté nélkül, a nemlinearitát pedig felrajzolhatnánk ok pontban felvett egyenfezültég bemenetekhez tartozó kimenetekkel. A válaz erre egyzerű: a legtöbb hangtechnikai rendzer nem vizi át az egyenkomponent, ezért DC méréek legtöbbzör nem lehetégeek, a zaj értékét pedig befolyáolhatja a bemenő jel i (például a kézülék ennek hatáára melegedhet, ami megváltoztathatja a paramétereit, vagy például a legtöbb digitáli algoritmuban DC bemenő érték hatáára nem lép fel kvantálái zaj, de egyéb má eetben igen). ehát ninc má válaztá, zinuzo bemenőjellel kell dolgozni.
Mivel a vizgálni kívánt ezközök az elvi működéük alapján lineári átvitelűek, ezért zinuzo bemenő jel eetén a kimenő jelnek elméletileg egy tizta zinuzjelnek kell lennie. Amiben elméletileg i eltéré lehetége, az a kimenő jel amplitúdója é fázia. Ugyan a zinuzjel frekvenciája nem változik, azonban a méréek orán legtöbbzör ezt i imeretlennek tételezik fel. Ennek oka az, hogy a haznált jelgenerátor eetleg nem pontoan azt a frekvenciát generálja, amit mutat, illetve a digitáli rögzíté eetén a mintavételezéi frekvencia nem pontoan a névlege frekvencia. Éppen ezért a gyakorlatban bár cak nagyot kicit de a frekvencia eltér a kívánttól. Ponto méréekhez tehát ezt i meg kell majd mérni, illetve kezdetben imeretlennek kell feltételezni. A gyakorlatban még egy értéket meg zoktak határozni, ez pedig a kimenő jelben mérhető állandó komponen, a DC ofzet. Bár a rendzerek ilyet legtöbb eetben nem viznek át, de egy nemkívánt DC komponent maguktól generálhatnak. Így azután a zinuzjel leíráához négy paraméter kell: az amplitúdó, fázi, frekvencia é ofzet. A négyparamétere leírát kétféle módon lehet megadni. Mintavételezett jelek eetén a két megadái forma a következő: ( i) Amp in / f i O, illetve ( i) Ain / f i B co / f i O, ahol f a mintavételezé frekvenciája, a vizgált zinuzjel körfrekvenciája (2 f), (i) az általunk generált mintavételezett zinuzjel i-edik mintája, Amp, A, B,O é pedig a generált zinuzjel további paraméterei. A máodik módzert gyakran haználják, mert az elő eetben a együtthatónak több helye megoldáa lehetége, tekintve, hogy 2 zerint periodiku. Emiatt a matematikai módzerek eetleg megbolondulhatnak : a ok helye megoldá között nem képeek egyetlent kiválaztani, a módzer divergálhat. A máodik eetben vizont cak egyetlen megoldá létezik a négy paraméterre, így a helyzet egyzerűbb. A valóágban a kimenő jelben a zinuzjel mellett, annak további felharmonikuai jelenhetnek meg, valamint zaj jellegű komponenek. Ezeket úgy tudjuk a legpontoabban meghatározni, ha meghatározzuk a zinuzjel paramétereit, nagy pontoággal előállítjuk a kimenő zinuzjelet, majd kivonjuk az eredeti jelből, így cak a torzítá é zajkomponenek maradnak viza. A paraméterek meghatározáa úgy történik, hogy addig próbálgatunk zinuzjeleket a négy paraméter állítgatáával a kimenő jelre, amíg a próba zinuzjel é a kimenő jel közti különbég minimáli lez. A minimáli azt jelenti, hogy a paraméterek ponto beállítáával a maradvány jel energiája az elérhető legkiebbé válik. Ezt matematikailag a következőképpen lehet kifejezni: r N y i) ( i) i1 2 (, ahol y(i) az eredeti jel i-edik mintája, (i) az általunk generált jel i-edik mintája, N a mintavételezett, analizálandó jelzakaz mintazáma, r pedig a maradvány jel energiájával arányo érték, amit költégfüggvénynek zoktak hívni. A zinuzjelek próbálgatáa termézeteen nem vaktában történik. Ehhez több algoritmu i létezik. Az ide vonatkozó zabványok az ún. Newton-Gau féle iteráció algoritmut ajánlják, mert ún. nemlineári négyzete problémákra (a zinuz illeztéünk ilyen), ahol négyzetözegekből álló függvényt kell minimalizálni (ilyen a költégfüggvényünk) bizonyítottan ez a legebeebben konvergáló algoritmu.
3. A Newton-Gau módzer A Newton-Gau módzer alkalmazáához előzör a zinuzjel paramétereinek megkereééhez zükége paramétereket rendezzük egy vektorba: p [ Amp ; ; O; f ] az elő módzer eetén (amplitúdóval é zöggel történő leírá) illetve a máodik módzer (zinuz é kozinuz komponenekkel történő leírá) eetén p [ A; B; O; f ]. A mintavételezett eredeti jelet zintén írjuk fel vektor alakban: x [ x 1 ; ; x N ]. Ekkor, egy kezdeti értéket felvéve a p vektornak, az i+1 edik iteráció lépét é a p vektor értékét az i+1 edik lépében a következőképpen tudjuk megadni: p p i1 J p i J 1 p, J x, ahol J a Jacobi-mátrix. Ez egy N x 4-e mátrix, ahol N a mintavételezett jel mintazáma, a 4-e zám pedig a meghatározandó paraméterek záma. A tartalma az x vektor elemeinek előfokú parciáli deriváltjai a paraméterek zerint. Kifejtéük megtalálható [3]-ban. Ami rendkívül érdeke, hogy az elő módzer haználata eetén a Jacobi mátrix annyival egyzerűbb felépítéű lez, hogy a J J zorzatot kb. 25%-kal gyorabban tudjuk kizámolni. Ez azért nagyon fonto, mert egy iteráció lépé időzükégletét gyakorlatilag ennek a zorzatnak a kizámoláa határozza meg. N értéke ugyani tipikuan több ezer, vagy akár több zázezer, így a mátrix zorzat elemeinek a kizámoláa több tízezer illetve akár több millió zorzát é özeadát jelent. Az iteráció lépé többi elemének zámítáigénye ennek töredéke. Ennek az információnak az imeretében érdeme volna az elő módzert haználni, azonban felmerül a kérdé, vajon ezen módzer haználatánál hogyan tudjuk elérni, hogy az iteráció ne legyen emmiképp em divergen. Ehhez két dolgot kell teljeíteni: numerikuan tabillá kell tenni a zámítáainkat, é olyan kezdőértéket kell biztoítani az algoritmunak, ahonnan biztoan nem fog divergálni. Ezt a két pontot járjuk körbe a következő két fejezetben. 4. A numeriku tabilitá növelée A numeriku tabilitá azt jelenti, hogy a zámítáaink végeredménye ne változzék meg túlágoan, ha néhány rézeredménynél apró zámítái, kerekítéi hibák lépnek fel. Az iteráció lépéeknél a vezélye pont a mátrix inverz zámítá. Ez akkor tud intabillá válni, ha a mátrix legkiebb é legnagyobb ajátértéke közötti különbég nagyon nagy. Számítógépe zimulációk azt bizonyítják, hogy a ajátértékek aránya a mi feladatunknál akár 10^16 i lehet. Ez azért nagyon vezélye, mert az egyzere pontoágú lebegőponto zámábrázolá tartománya mindöze 10^7, de a duplapontoágú zámábrázolá i cupán 10^14 arányokat tud átfogni, tehát több mint két nagyágrenddel alatta lehetünk a zükége pontoágnak még duplapontoág eetén i. Felelege azonban a zámítáok pontoágát növelni. Megfelelő trükkel az inverz zámítá tabillá tehető: 1 J J E J x, p ahol E az egyégmátrix, λ pedig egy általunk megválaztandó ki értékű kontan, amivel a kapott új mátrixban minden ajátérték ennyivel lez nagyobb. Ha azt a trükköt i bevetjük, hogy a mátrix ajátértékeinek özege a mátrix főátlójában levő elemek özegével (a mátrix nyomával, angolul trace) egyenlő, így a legnagyobb é legkiebb ajátértékek aránya kordában tartható : p 1 J J c tracej J E J x,
ahol c értékének a zámábrázolá pontoágát érdeme megadni, azaz egyzere lebegőponto zámítáok eetén 10^-7 -t. A kapott új zámítá biztoan konvergálni fog, ugyani a bevitt új tag által a p -hez hozzáadott érték a gradien optimumkereő módzernek felel meg. Cupán a konvergencia ebeége fog ki mértékben cökkenteni, hizen a Newton-Gau módzer a leggyorabb. (Egyébként pedig a numerikuan tabillá tett telje megoldá pedig az ún. Levenberg-Marquardt iteráció módzerre haonlít). 5. A kezdőparaméterek meghatározáa Az iteratív algoritmu konvergáláához megfelelően kell megválaztani a kiindulái paramétereinket: megfelelően közel kell kerülni a valódi értékhez. Azt, hogy mik az elfogadható határok, a költégfüggvény analíziével lehet meghatározni. (Az ide vonatkozó képletek kb. 1 oldalt tennének ki, ezért mot nem írnám fel őket.) Az analíziből az derül ki, hogy az elő módzert haználva az iteráció gyakorlatilag érzéketlen az Amp é O paraméterek kezdeti értékére, vizont annál érzékenyebb a kezdőfázi é a frekvencia értékekre (a máodik módzer érzéketlen az A, B é O értékeire, de ugyanúgy érzékeny a frekvencia értékre). Az érzékenyéget a költégfüggvény grafiku ábrázoláával tudjuk zemléltetni. Az 1. ábra az elő módzer költégfüggvényét mutatja a frekvencia é a fázi függvényében. Az iteratív algoritmuok cak abban a tartományban konvergenek, ahol egy 3 D modellben egy golyót elengedve a golyó a helye megoldához gurul. 1. ábra: Szinuzjel illezté költégfüggvényének ( r ) jellegzete alakuláa az illeztett zinuzjel fáziának é frekvenciájának függvényében. Az ábrából i látható, valamint a költégfüggvény matematikai analízie é az ellenőrzéhez elvégzett zimulációk i azt mutatják, hogy a frekvencia ponto imeretében a fázi kezdőértéke +/- 180 fokban változhat, a fázi ponto imeretében a frekvencia kezdőértéke f 0.66 f / N lehet, ahol N a rögzített minták záma f a mintavételi frekvencia. Ha egyiket em imerjük pontoan, akkor az alábbi táblázat zerint változhat a kezdeti paraméterek hibája: f / N
0.66 0 0.5 60 0.33 100 0.17 135 0 180 A paraméterek kezdőértékének meghatározáára általában különböző interpoláció FF technikákat ajánlanak [4], [5], [6]. Ezek azonban cak a frekvenciát becülik meg, így cak a máodik módzerrel történő zinuzjel illezté módzerhez haználhatóak. az elő módzer alkalmazáához a méltatlanul elfeledett Quinn-módzert javalom, ami a jel FF-jének 3 legnagyobb amplitúdójú elemét haználja fel a becléhez. A módzer kevé zámítát igényel é ezzel a módzerrel a frekvencia mellett a fázit i nagy pontoággal meg lehet határozni (a megoldá egy nagyágrendben van a Cramer-Rao határértékkel). A módzer ponto leíráa megtalálható [7]-ben. 6. Özefoglalá Jelfeldolgozó ezközöknél egy fonto leíró paraméter a HD+N, aminek a ponto értékét az ezköz zinuzo gerjeztée eetén a kimeneten rögzített jelre illeztett zinuz egítégével lehet meghatározni. A feladat ponto é gyor elvégzée nem triviáli. Vizgálataimmal megállapítottam, hogy az amplitúdó é fázi paramétereket haználó leírá 25%-kal gyorabban tud konvergálni, mint a zinuz é kozinuzo illeztét haználó módzer. Az iteráció tabilitáát egy a Levenberg-Marquardt módzerre haonlító eljáráal lehet tabilizálni, ami a konvergencia ebeégét cak elhanyagolható mértékben cökkenti. Megvizgáltam é leírtam, hogy milyen kezdeti paraméter beállítáok eetén lez az eljárá konvergen é módzert ajánlottam a kezdőparaméterek minél pontoabb meghatározáára. Irodalomjegyzék 1. Draft IEEE Standard for erminology and et Method for Analog-to-Digital Converter, IEEE Std 1241, 2008. 2. IEEE Standard for Digitizing Waveform Recorder, IEEE Std 1057-1994, IEEE, December 1994. 3. amá B. Bakó, A fat ine-wave fit algorithm, Proc. of 10 th ICCC Conference, Zakopane, Poland, May 24-27, 2009, pp. 241-245. 4. Bilau,.Z., Megyeri,., Sarhegyi, A., Marku, J., and Kollar, I., Four parameter fitting of inewave teting reult: Iteration and convergence, Computer Standard and Interface, Vol. 26, pp. 51-56, 2004. 5. Anderon,.; Handel, P. IEEE tandard 1057, Cramer-Rao bound and the parimony principle, IEEE ranaction on Intrumentation and Meaurement, Volume 55, Iue 1, Feb. 2006 Page(): 44 53. 6. Handel, P. Propertie of the IEEE-SD-1057 four parameter ine wave fit algorithm, IEEE ranaction on Intrumentation and Meaurement., vol. 49, pp. 1189 1193, Dec. 2000. 7. B. G. Quinn, "Etimate of Frequency, Amplitude, and Phae from the DF of a ime Serie", IEEE ran. on Signal Proc. vol. 45 March 1997, pp 814-817.