Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet
Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz az egyik változó bármely értéke mellett a másik változóak ugyaaz az eloszlása. Virág Katali (Bolyai Itézet) Függetleségvizsgálat 2 / 17
Két diszkrét változó Khi-égyzet-próba függetleségvizsgálatra Khi-égyzet-próba függetleségvizsgálatra Feltételek Az aszimptotikus khi-égyzet-eloszlás megfelelő haszálatához a következő feltételek szükségesek: Elemszám: elég agy elemszámú mita Várt gyakoriságok: mide cella várt gyakoriságáak legalább 5-ek kell leie. Virág Katali (Bolyai Itézet) Függetleségvizsgálat 3 / 17
Két diszkrét változó Khi-égyzet-próba függetleségvizsgálatra Tegyük fel, hogy X és Y diszkrét változók. X és Y lehetséges értékei: x 1, x 2,..., x r és y 1, y 2,..., y s. Nullhipotézis H 0 : P(X = x i, Y = y j ) = P(X = x i )P(Y = y j ), 1 i r, 1 j s A két változó függetle. Virág Katali (Bolyai Itézet) Függetleségvizsgálat 4 / 17
Két diszkrét változó Khi-égyzet-próba függetleségvizsgálatra A megfigyelt gyakoriságok táblázata: kotigecia táblázat: y 1 y 2... y s Total x 1 O 11 O 12... O 1s 1. x 2 O 21 O 22... O 2s 2......... x r O r1 O r2... O rs r. Total.1.2....s Az ismeretle valószíűségeket a relatív gyakoriságokkal becsüljük: ˆP(X = x i ) = i. Így H 0 teljesülése eseté: ˆP(Y = y j ) =.j ˆP(X = x i, Y = y j ) = ij ij = i..j ˆP(X = x i, Y = y j ) = i..j Virág Katali (Bolyai Itézet) Függetleségvizsgálat 5 / 17
Két diszkrét változó Khi-égyzet-próba függetleségvizsgálatra Várt gyakoriságok: a ullhipotézis teljesülése, azaz függetleség eseté: E ij = i..j Megfigyelt gyakoriságok y 1 y 2... y s Total x 1 O 11 O 12... O 1s 1. x 2 O 21 O 22... O 2s 2............. x r O r1 O r2... O rs r. Total.1.2....s Várt gyakoriságok y 1... y s Total x 1 1..1... x 2 2..1..... x r r..1... 1..s 1. 2..s 2.......... r..s r. Total.1....s Virág Katali (Bolyai Itézet) Függetleségvizsgálat 6 / 17
Két diszkrét változó Khi-égyzet-próba függetleségvizsgálatra Próbastatisztika r s χ 2 (O ij E ij ) 2 = i=1 j=1 a megfigyelt és a várt gyakoriságok közötti eltérést jelzi. Nulleloszlás Közeĺıtőleg khi-égyzet-eloszlás (r 1)(s 1) szabadsági fokkal. E ij Virág Katali (Bolyai Itézet) Függetleségvizsgálat 7 / 17
Két diszkrét változó Khi-égyzet-próba függetleségvizsgálatra A feltételek em teljesülése eseté Lehetséges megoldások Cellák egyesítése Fisher-féle egzakt próba: fisher.test(). p-érték számítása Mote Carlo szimulációval: chisq.test(x, simulate.p.value = TRUE) Virág Katali (Bolyai Itézet) Függetleségvizsgálat 8 / 17
Két ormális eloszlású változó Pearso-féle korrelációs együttható Pearso-féle korrelációs együttható Mikor haszáljuk Két folytoos változó közötti lieáris kapcsolat jellemzésére. Értéke -1 és 1 közé esik. Előjele A lieáris kapcsolat iráyát mutatja. Nagysága A lieáris kapcsolat szorosságát mutatja. Virág Katali (Bolyai Itézet) Függetleségvizsgálat 9 / 17
Két ormális eloszlású változó Pearso-féle korrelációs együttható A Pearso-féle korrelációs együtthatóra voatkozó hipotézisvizsgálat Feltétel Kétdimeziós ormális eloszlás. Nullhipotézis H 0 : ρ = 0 A két változó korrelálatla. Virág Katali (Bolyai Itézet) Függetleségvizsgálat 10 / 17
Két ormális eloszlású változó Pearso-féle korrelációs együttható A Pearso-féle korrelációs együttható becslése i=1 r = (x i x)(y i ȳ) ( 1)SD x SD y Próbastatisztika t = r 2 1 r 2 Nulleloszlás Studet-féle t-eloszlás 2 szabadsági fokkal. Virág Katali (Bolyai Itézet) Függetleségvizsgálat 11 / 17
Két folytoos változó Spearma-féle rag korreláció Spearma-féle rag korreláció Ha a Pearso-féle korreláció ormalitási feltétele sérül Két változó közötti mooto kapcsolat vizsgálatára. cor.test(x, y, method = spearma ) Virág Katali (Bolyai Itézet) Függetleségvizsgálat 12 / 17
Egy ormális eloszlású és egy diszkrét változó Egyszempotos ANOVA Egyszempotos ANOVA Feltételek Függetle megfigyelések Csoportokéti ormális eloszlás Variaciák homogeitása Virág Katali (Bolyai Itézet) Függetleségvizsgálat 13 / 17
Egy ormális eloszlású és egy diszkrét változó Egyszempotos ANOVA Nullhipotézis H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k Alapötlet A függő változó variabilitását két részre osztjuk: Csoportok közötti variacia: a csoportátlagok közötti variabilitást méri. Csoporto belüli variacia: egyedek közötti külöbség (véletle hiba). Ha a csoportok közötti variacia sokkal agyobb, mit a csoportoko belüli variacia, akkor arra következtetük, hogy em mide átlag azoos. Virág Katali (Bolyai Itézet) Függetleségvizsgálat 14 / 17
Egy ormális eloszlású és egy diszkrét változó Egyszempotos ANOVA Próbastatisztika F = csoportok közötti variacia csoportoko belüli variacia Nulleloszlás F -eloszlás k 1 és k szabadsági fokokkal. Virág Katali (Bolyai Itézet) Függetleségvizsgálat 15 / 17
Egy folytoos és egy diszkrét változó Kruskal-Wallis H-teszt Kruskal-Wallis-féle H-próba Ha az egyszempotos ANOVA ormalitási feltétele sérül Azt vizsgálja, hogy az eloszlások eltolással átvihetők-e egymásba. kruskal.test() Virág Katali (Bolyai Itézet) Függetleségvizsgálat 16 / 17
Függetleségvizsgálatok Diszkrét Folytoos Normális Diszkrét Khi-égyzet-próba függetleségvizsgálatra Spearma-féle Folytoos Kruskal-Wallis-Teszt korr. együtthatóra voatkozó próba Spearma-féle Pearso-féle Normális Egyszempotos ANOVA korr. együtthatóra korr. együtthatóra voatkozó próba voatkozó próba Virág Katali (Bolyai Itézet) Függetleségvizsgálat 17 / 17