LOGO Kvantum-hibajavítás I. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar
Ismétléses kódolás
Klasszikus hibajavítás Klasszikus modell: BSC (binary symmetric channel) Hibavalószínűség: p p 0.5 Kódszavak használata Blokk-kódolás K x : x az üzenet kódolásához felhasznált bitek száma Eredeti üzenet: k bit, felhasznált bitek száma: n R(K)=k/n Klasszikus védelem csatornazaj ellen Ismétléses-kód Példa Hiba: 2 bit sérülése esetén R(K 3 )=1/3 1 hiba tolerálható Gyenge hatékonyság, idő+erőforrásigény K : 0 3 000, 1 111. 000 0 111 1 001 0 110 1 010 0 101 1 100 0 011 1
Kvantumcsatorna A kvantumállapotok tökéletes meghatározása a gyakorlatban nehezen kivitelezhető Zajos kvantumcsatorna Kvantumkapuk zaja Detektorok, mérőberendezések Megoldás: kvantum-hibajavító algoritmusok Jelentős elméleti eredmények születtek, de továbbra is sok a megoldatlan probléma Kvantumállapotok és a külvilág kapcsolata Dekoherencia Mérések okozta irreverziblis zavarok Számos olyan probléma, amelyekkel klasszikus hibajavító algoritmusok esetén nem találkozhattunk
Kvantum-hibajavítás Eltérések a klasszikus hibajavító algoritmusokhoz képest 1. Kvantumállapotok klónozhatatlansága Egy adott kvantumállapot pontos lemásolása nem lehetséges. 2. Több hibalehetőség Bithiba Fázishiba Bit és fázishiba Dekoherencia 3. A kvantumállapoton végrehajtott mérés hatására a kvantumállapot megsemmisül 4. Diszkrét helyett folytonos hibák
Hibalehetőségek Dekoherencia ( ) α 0 + β 1 környezet α 0 környezet + β 1 környezet. A B Kvantumállapotok torzulása U helyett V unitér transzformáció U helyett ρ nem-unitér transzformáció: ρ AkρA k k. Mérési zaj, téves kimeneti eredmények Kvantumrendszerek instabilitása
Kapcsolat a környezettel Problémák A külső környezettel kapcsolatba lépve a zárt kvantumrendszer koherens tulajdonságai megsemmisülnek A rendszer további időfejlődése nem adható meg unitér műveletekkel rendszer környezet A kvantumrendszer és a külső környezet teljes Hilbert-tere: H = Hrendszer Hkörnyezet. i r+ kt U = e H, + = H I + I H + H. A rendszer időfejlődését leíró U unitér operátor: ahol Hr k r k r k dekoh A zárt kvantumrendszeren belüli tiszta kvantumállapot kapcsolatba kerül a külvilággal, a kvantumrendszer kevert állapotba kerül. ψ = ψ ψ c n n ρ = ψ ψ. 0 rendszer környezet n 0 0 rendszer rendszer 0 n
Hibajelenségek A kvantumállapot lehetséges sérülései Relatív fázisszög hibája: a 0 + b 1 a 0 b 1. Valószínűségi amplitúdók negálódása: a 0 + b 1 b 0 + a 1. Valószínűségi amplitúdók és relatív fázis hibája: a 0 + b 1 b 0 a 1. A hibák, az ismeretlen kvantumállapot kódolk dolása után,, a hibajavítás s szakasz előtt lépnek fel!
Hibajelenségek A hibákat leírhatjuk unitér kvantum transzformációkkal Bithiba (bit-flip): X-transzformáció σ a b 0 1 a b x = =. b a 1 0 b a Fázishiba (phase-flip): Z-transzformáció σ a a 1 0 a a = = Z. b b 0 1 b b Bit és fázishiba: Y-transzformáció (Y=XZ) σ Y a b b 0 i a b = i = = i. b a a i 0 b a
A 4 lehetséges leképezés β 0 + α 1 α 0 β 1 Bit hiba Fázis hiba α 0 + β 1 Identitás β 0 α 1 Bit ÉS fázis hiba A kvantum-hibajavító kódolás során összesen 3 eltérő tulajdonságú hibajelenséggel kell számolnunk Klasszikus rendszerek esetében csak a bithibák javítása volt a feladatunk
Kvantum ismétléses-kódolás A klasszikus ismétléses-kódolás egyszerűen megfeleltethető klasszikus, nem szuperponált kvantumállapotokkal: 0 000, 1 111. Szuperpozícióban lévő kvantumállapotok esetén azonban a kvantumállapotok többszörözése nem lehetséges (no-cloning). Ψ Ψ Ψ Ψ. Az ismeretlen kvantumállapotok által realizált leképezés a következő: ( α 0 + β 1 ) ( α 0 + β 1 ) ( α 0 + β 1 ) Az ismeretlen kvantumállapotot így egy összefonódott kvantumállapotba transzformáljuk: ( ) Ψ = α 0 + β 1 α 000 + β 111 = Ψ' = α 000 + 0 001 + 0 010 + 0 011 + 0 100 + 0 101 + 0 011 + β 111.
Hibajavító kódok tulajdonságai Ha egy kvantum-hibajavító kód képes javítani az A és B hibákat, akkor ezen kóddal az αa + βb jellegű hibák is javíthatóak. Bármilyen 2x2-es mátrix leírható az αi + βx + γy + δz alakban. A kvantumbit meghibásodása általánosan a ρ ΣAk ρ Ak formában adható meg A hiba a ψ kvantumállapotot a kevert ψ Ak ψ állapotba transzformálja, ahol Ak egy a 2x2-es mátrix. A kvantumbiten fellépő X, Y, és Z típusú hibákat javító kvantumkóddal az összes lehetséges egy-kvantumbites hiba javítható. A t darab kvantumbiten fellépő X,Y,Z hibákat javító kvantumkóddal az összes lehetséges t kvantumbites hiba korrigálható. Az I, X, Y, Z Pauli-operátorok tetszőleges M,N párosítása kommutatív, ha MN=NM, illetve anti-kommutatív, ha MN=-NM.
Az elemi CNOT kapu CNOT kapu működése leírható a klasszikus XOR művelet segítségével: CNOT A, B = A, B A A CNOT kapu működési elve: A vezérlő kvantumbit A B cél kvantumbit B A
Az elemi CNOT kapu A két bementi kvantumbit: vezérlő és cél kvantumbit A A B B A Ha a vezérlő kvantumbit 0, akkor a célbit változatlan marad : 00 00 vagy 01 01. Egyébként a célbit értéke negálódik : 10 11 vagy 11 10. A kimenet : AB, AB, A
Készíthető kvantumbit-másoló kapu? Klasszikus rendszerek esetén egy tetszőleges bit másolása az XOR művelettel megvalósítható: másolandó bit eredeti bit x x x x 0 y x y x 0 bemenet másolt bit
Készíthető kvantumbit-másoló kapu? másolandó kvantumbit ψ = a 0 + b 1 a 0 + b 1 Kimenet a 00 + b 10 0 a 00 + b 11 0 bemenet
Készíthető kvantumbit-másoló kapu? ψ ψ = a 00 + b 11 =??? Egy kvantumállapot nem másolható, hiszen ab 0. ( )( ) 2 2 ψ ψ = a 0 + b 1 a 0 + b 1 = a 00 + ab 01 + ab 10 + b 11 2 2 a + ab + ab + b a + b 00 01 10 11 00 11. Vagyis, egy ismeretlen kvantumállapot lemásolása NEM LEHETSÉGES! - NO CLONING TÉTEL -
Redundáns kódolás Az ismétléses kódolás sem sértheti a klónozhatatlansági-tételt α 0 + β 1 α 000 + β 111 (α 0 + β 1 ) 3 A redundáns kódolás során az ismeretlen kvantumállapot egyes bázisállapotait sokszorosítjuk. A szuperpozíciós állapot kiterjesztésével, redundanciával kódoljuk az állapotot No-cloning tételt nem sértjük
Kvantum ismétléses-kódolás ( ) Hogyan valósítható meg a Ψ = α 0 + β 1 α 000 + β 111 = Ψ' leképezés? A kvantumáramkör bemenetére az ismeretlen Ψ = α 0 + β 1 állapotot adjuk ( ) A kvantumhálózat egyes állapotai így a következők lesznek: ψ = α 000 + β 100. 1 ψ = α 000 + β 101. 2 ψ = α 000 + β 111. 3
Egyszeres bithiba és fázishiba javítás
Kvantum-hibajavítás Valószínűségi amplitúdó felcserélődése (logikai érték negálódása) Megfeleltethető az Ψ ismeretlen kvantumállapoton végrehajtott X- transzformációnak Tegyük fel, hogy a Ψ = α 000 + β 111 állapot harmadik kvantumbitjének valószínűségi amplitúdói negálódnak. A hibás állapot: I I X = α 001 + β 110. Hogyan detektálható a hiba? A hibás α 001 + β 110 állapot egyes kvantumbitjeihez kiegészítő kvantumbiteket rendelünk A kiegészítő kvantumbitek segítségével meghatározzuk a bemeneti állapothoz tartozó szindrómavektorok értékét Az eredeti kvantumállapoton nem hajtunk végre mérést
Kvantum-hibajavítás Valószínűségi amplitúdó felcserélődése (bit-hiba javítása) Az áramkör állapotai: ψ = α 001 + β 110, ψ = α 00100 + β 11000, 1 2 ψ = α 00101 + β 11001, ψ = α 001 + β 110 0 1. 3 4
Kvantum-hibajavítás Valószínűségi amplitúdó felcserélődése (bit-hiba javítása) Szindróma számítás, hibajavítás: A szindrómát az M1 és M2 mérések segítségével határozzuk meg. A hibajavítást az R hibajavító áramkör végzi. A hibajavításhoz szükséges az M1 és M2 mérések eredményeként előállt szindróma.
Szindróma meghatározása Kódolt állapot Kiegészítő kvantumbitek 0 0 Szindróma A szindróma első bitje: Az első két kvantumbit azonos vagy eltérő-e? A szindróma második bitje: a második és harmadik kvantumbit azonos vagy eltérő-e?
Szindróma meghatározása A szindróma segítségével: detektálható a hiba jelenléte pontosan meghatározható a hiba helye. Pl.: Az α 010 + β 101 állapot szindrómája 11, így a második bit a hibás. Javítás: X-transzformációval, amelyet a 2. kvantumbitre alkalmazunk A kapott szindróma értéke nem függ az α és β valószínűségi amplitúdóktól A hibát így az eredeti kvantumállapot megsemmisítése nélkül sikerült meghatároznunk és javítanunk!
Bithiba javítása A kapott szindróma és a hibajavítási művelet kapcsolata:
Bithiba javítása A szindróma alapján az áramkör negálja a harmadik kvantumbit értékét: α 001 + β 110 α 000 + β 111. Az áramkör egyetlen kvantumbit helyreállítására képes. A javítás után a Ψ kvantumállapot egyértelműen visszaállítható.
α 0 + β 1 0 Bithiba javítása kódolás hiba dekódolás javítás? 0 U 1. Kódolás: hiba dekódolás javítás 2. Ortogonális hibák 3. szindróma (no-cloning kikerülve!)
Összefoglalás: Bit-flip javítása Példa: BSC R(K 3 )=1/3: Pr helyes = 1 p + 3 1 p p = 1 3p 2 p. A bit-flip hiba megfelel az X unitér kvantum-transzformációnak 0 1 σ X =. X 0 = 1, X 1 = 0 1 0 A kvantumcsatorna átviteli modellje: ( ) ( p) Φ ρ = 1 ρ + pσ ρσ. A teljes bit-flip hibajavító kódolási és javítási folyamat [ ] ( ) 3 ( ) 2 ( 2 3 ) X X
Relatív fázishiba javítása A kvantumbit fázishibája: a a 1 a, ahol a 0,1. ( ) { } A hibajelenség a Z unitér kvantum-transzformációval írható le A bit-flip hiba elleni kódolás nem segít σ Z 1 0 =. 0 1 α + β α β 000 111 000 111. Az előzőekben alkalmazott kódolással tovább növeltük a hiba bekövetkezésének valószínűségét. Megoldás???
Relatív fázishiba javítása A kvantumállapotban bekövetkező sérülés legyen: α 000 + β 111 α 000 β 111. Amely állapot dekódolás után: α 0 + β 1 α 0 β 1 +. A hiba javításához változtatunk a kódolást végző kvantumhálózaton: A Hadamard-kapuk implementálásával áttértünk a +/- bázis elemeire: ψ 1 = α +++ + β, ahol 1 1 + = ( 0 + 1 ), = ( 0 1 ). 2 2
Relatív fázishiba javítása Tegyük fel, hogy a fázishiba a harmadik kvantumállapoton lép fel: α + ++ + β α ++ + β +. A Hadamard-kapuk utáni szindróma számítás eredménye: A kapott állapot azonos a valószínűségi amplitúdó sérülése esetén előállt eredménnyel. ( ) ψ2 = α 001 + β 110 0 0. A bázisok cseréjével a bitnegálódást javító áramkört fázisjavításra, illetve a fázisjavító áramkört bit-negálódás javításra használhatjuk!
Fázishibából bithiba Bázist váltunk: A fázishibát bithibává konvertáltuk az új bázisban H H H H H H fázishiba bithiba
Fázishibából bithiba A Hadamard transzformációval válthatunk bithiba és fázishiba között H Az új bázisban: ( ) α 0 + β 1 = α + + β. a fázisfordítást az X-transzformációval, X + = +, X =. a bit negálást a Z-transzformációval modellezzük: Z + =, Z = +.
α 0 + β 1 0 0 Relatív fázishiba javítása kódolás hiba dekódolás H H H H H H javítás? U hiba dekódolás javítás 1. Kódolás: (no-cloning kikerülve!) 2. Ortogonális hibák 3. szindróma
Szindróma meghatározása Helyesen kódolt 000 vagy 111 állapotokra: a csoport első két bitjének paritása páros a második és harmadik bitből képzett paritás szintén páros. Ha az első 2 bit közül 1 hibás: Az első két bitre meghatározott paritás páratlan
Szindróma meghatározása Páros paritás Bithiba javításnál: A Z Z I sajátértéke +1, az első két bit helyes Fázishiba javításnál: Az X X I sajátértéke +1, az első két bit helyes Páratlan paritás: Bithiba javításnál: A Z Z I sajátértéke -1, a bithiba az első vagy a második kvantumbiten keletkezett Fázishiba javításnál: Az X X I sajátértéke -1, a fázishiba az első vagy a második kvantumbiten keletkezett
Szindróma meghatározása A Z Z mérésével a bithibák (X) detektálhatóak Az X X mérésével a fázishibák (Z) detektálhatóak. Példa: 1 kvantumbites fázishiba detektálása
Szindróma meghatározása A kiegészítő kvantumbit bemérése után: A kapott eredmény valószínűséggel illetve valószínűséggel A kiegészítő kvantumállapot bemérésével, az eredeti kvantumállapot megsemmisítése nélkül detektálható a hiba A kiegészítő kvantumbit mérési eredménye helyes bitre: +1, hibás bitre: -1.
Szindróma meghatározása Példa: Három kvantumbites ismétléses kód A 3 kvantumbit között van-e hibás, ha igen melyik az? Bithibavizsgálat (X-hiba) paritásellenőrzéssel első 2 kvantumbitre: Z Z I 2. és 3. kvantumbitre: I Z Z A kapott eredmény alapján meghatározható a hiba helye A kiegészítő kvantumbiten (szindrómavektor bitjén) hajtjuk végre a mérést A Z Z mérésével a bithibák (X) detektálhatóak Az X X mérésével a fázishibák (Z) detektálhatóak.
Szindróma meghatározása Az első 3 kvantumbitre végrehajtott Z Z I paritásvizsgálat jellemzői: A kiegészítő kvantumbit kezdeti állapota A kiegészítő kvantumbit egy irányított-z transzformáció cél kvantumbitje A vezérlő kvantumbit az első Z transzformáció esetén az 1. kvantumbit A második Z transzformáció esetén a 2. kvantumbit A kapu 1 logikai értékű vezérlő-kvantumbitre aktiválódik
Szindróma meghatározása A kapott Z Z I leképezés utáni rendszerállapoton elvégezzük a szindróma bemérését. A beméréshez a kiegészítő kvantumállapot bázisának megfelelő bázist használjuk. A mérés eredménye a Z Z I transzformáció sajátértéke: +1 vagy - 1, a tag aktuális értékétől függően. Ha a és b bitek értéke különböző, a kimenet értéke -1.
Eredmények felhasználása A hibák által generált alterek ortogonálisak, dimenziójuk azonos. Az alterek egymástól egyértelműen megkülönböztethetőek A hibák azonosíthatóak a kvantumállapotok bemérése nélkül is
Eredmények felhasználása A Z Z mérésével a bithibák (X) detektálhatóak: A szindrómavektor bitjeit irányított-z kapuk felhasználásával állítjuk elő javítás hiba
Összefoglalás: fázishiba javítása Az új konstrukció megvéd az egyszeres fázisfordulási hibától Azonban a bit-flip hiba ellen nem nyújt védelmet A fázisfordítás unitér transzformációja: A teljes fázishiba-javítás kódolási és javítási folyamata: σ Z 1 0 =. 0 1 Z 0 = 0, Z 1 = - 1
Kvantum-hibajavítás Bithiba és relatív fázishiba Valószínűségi amplitúdó hiba (bithiba): X-transzformáció Relatív fázishiba: HZH transzformáció Probléma: Mi történik akkor, ha a két típusú hiba EGYIDEJŰLEG lép fel? Az előzőekben ismertetett hibajavító áramkörök csak egyetlen típusú hiba egyidejű javítására alkalmazhatóak Új konstrukcióra lesz szükségünk Shor-féle hibajavító kódolás
LOGO Köszönöm a figyelmet! Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar