The problem. Each unitary transform having eigenvector has eigenvalues in the form of. Phase ratio:

Átírás

1 Ismétlés

2 The problem Each unitary transform having eigenvector has eigenvalues in the form of. Phase ratio:

3 How to initialize? Quantum Phase Estimator

4 Prob. amplitudes

5

6

7 Brutális!

8 A H kapuk feletti Fourier-trafók. Néhány R kapuval kigészítve feletti Fourier-trafók lesznek

9 IQFT

10 Searching in an Unsorted Database "Man - a being in search of meaning." Plato

11 History of data base searching v

12 History of data base searching v

13 History of data base searching v

14 History of data base searching v4 Grover algorithm

15 Objectives Finding a certain entry in a database N items of size. The DB is unsorted. The DB contains M copy of the requested entry. Best classical solution: N question. How can be exploited quantum phenomena? x =?

16 General model of quantum algorithms Classical input Quantum output Initialization Parallelization Amplitude ampl. Measurement Quantum input Classical output

17 Grover operator

18 Grover operator T = H

19 Grover operator

20 Geometrical interpretation

21 Required number of iterations

22 Error analysis

23 Questions What will happen if M=N/2? What shall we do if M>N/2? Is it possible to find the marked item with a single step? How to decrease the error probability? Idea No. 1. Idea No

24 Quantum counting special phase estimation Calculation of M can be traced back to phase estimation on the Grover operator.

25 Quantum counting special phase estimation

26 RSA feltörése Grover algoritmussal N gyökéig kell keresni, hogy prím-e a szám?

27 RSA feltörése Grover algoritmussal Brutális!

28 Multiverzum

29 Multiuser detection based on Grover algorithm

30 Direct sequence spread spectrum DS SS 3G mobile Gyorsan változó kód (chip) nagyfrekis komponensek j ( f ) s ( f ) Kóder t ( f ) r ( f ) Dekóder ~ ( ) f Szûrõ ( ) f c(t) Álvéletlen zaj vagy álvéletlen kód Szinkronizálás c(t)

31 Keskenysávú interferencia elnyomása s ( f ) t ( f ) j ( f ) S s0 S t0 S j0 B B t s S j0 f f f S j0 B s r ( f ) B j S t0 S j0 B s B B j t B t ~ ( ) f S s0 S j0 B B j t B j ( ) f S s0 f f f B t B t B s

32 Feldolgozási nyereség PG: Processing Gain Tulajdonképpen a kiterjesztés mértéke PG=kiterjesztett sávszélesség/eredeti sávszélesség A gyakorlatban SF=chipsebesség/bitsebesség SF: spreading factor

33 Kódosztás CDMA: Code Division Multiple Access A spektrumkiterjesztés a felhasználókhoz rendelt ortogonális kódokkal Kombinált PHY + MAC Kódok ortogonalitása korlátozott

34 Detektálás

35 Detektálás

36 Detektálás

37 Hiba a detektálás során

38 Kvantum többfelhasználós detekció Feladat: DS-CDMA rendszerben együttes detekció a bázisállomáson. Vett komplex alapsávi jel:

39 A detektor kimenete: Egyfelhasználós detekció

40 Kvantum többfelhasználós detekció MLS, Maximum Likelihod Sequence (jointly optimum) detekció: MBER, Minimum Bit Error Ratio (individually optimum) detekció:

41 Kvantum többfelhasználós detekció Csatorna mátrix:

42 Komplexitás: Kvantum többfelhasználós detekció

43 Kvantum egzisztencia tesztelés

44 Kvantum egzisztencia tesztelés Cél: annak eldöntése, hogy a keresett elem egyáltalán előfordul-e az adatbázisban? Klasszikus bonyolultság: O(N). Speciális fázisbecslés a Grover-operátoron. Fázisbecslés: Unitér operátor sajátértéke: Fázis: Fázistényező közelítése:

45 Kvantum fázisbecslés komplexitás: p qbit Klasszikus bizonytalanság Kvantum bizonytalanság

46 Kvantum bizonytalanság

47 Kvantum egzisztencia tesztelés Klasszikus bizonytalanság Komplexitás:

48 Kvantum egzisztencia tesztelés Hiba, ha az MSB biten 0-tól eltérő érték van.

49 Kvantum egzisztencia tesztelés Kvantum bizonytalanság: Komplexitás: p

50 Kvantum szélsőérték keresés Klasszikus rendezetlen adatbázis Rendezés + Logaritmusos keresés A rendezés nem mindig tehető meg! A klasszikus logaritmusos keresés kombinálása kvantum egzisztencia teszteléssel

51 Kvantum szélsőérték keresés Adatbázis (függvény!): Feladat: A kereső algoritmus: Grover kereséssel: Komplexitás:

52 Alap Grover-algoritmus A Grover-algoritmus hiányosságai: Az index regiszter bemeneti állapota rögzített (valós, egyenletes amplitúdó eloszlás). Nem biztosított az 1 valószínűségű találat.

53 Általánosított Grover-algoritmus 1.1. tézis 2-dimenziós bázis a V térben: Egyes speciális állapotok nem képezhetők le. Általánosított Grover-operátor:

54 Meghatározandó paraméterek és nem ismert!

55 Általánosított Grover-operátor Feltétel: legyen az, térben. Q megőrzi a teret. Q alakja a V 2-dimenziós térben Q sajátértékei:

56 Lépésszám Illesztési feltétel: lépésszám

57 Optimális lépésszám Az 1 valószínűségű találathoz szükséges lépésszám:

58 Beállítások Fázisbecslés O(ld 3 (N)) := a létrehozásához szükséges kapuk összessége := a felhasználó indító klasszikus állapota