Kvantuminformatikai alapismeretek összefoglalása
|
|
- Anna Csenge Sipos
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Kvantuminformatikai alapismeretek összefoglalása sa Gyöngy ngyösi LászlL szló BME Villamosmérn rnöki és s Informatikai Kar
2 Támadás s kvantumszámítógéppel Egy klasszikus algoritmusnak egy U unitér transzformáci ció feleltethető meg. Minden klasszikus algoritmus megvalósíthat tható unitér r transzformáci cióval egy kvantumszámítógépben A szuperponált kezdőállapot segíts tségével pedig párhuzamosan végrehajthatv grehajtható az előírt művelet m az összes lehetséges bemenő adatra A műveletvm veletvégrehajtás s teljes mértm rtékben párhuzamosan törtt rténik
3 A kvantumhálózat működésének m elméleti leti alapjai A kvantumszámítások sok során n kihasználhat lható kvantumjelenségek: Szuperpozíci ció Összefonódott állapotok Hullámf mfüggvények interferenciája Kvantumalgoritmusok Kvantum-teleport teleportáció Kvantum-párhuzamoss rhuzamosság Kvantum keresés
4 Vezérelhet relhető kvantumkapu Bármilyen U kvantumkapu működése m vezérelhet relhető Vezérlő kvantumbit U n db cél kvantumbit Ha a vezérlő kvantumbit magas szintű, akkor az U transzformáció végrehajtódik. A CNOT ekvivalens egy kontrollált-x kapuval
5 Kvantum-transzform transzformációk U u u = 1 u u 1 11 unitér akkor, és csak akkor, ha UU * * u u u u 1 = = = 1 1 u u u u * * 1 11 I
6 Unitér r transzformáci ciók U U 1 = = = UU U U I = = = = = = = = = i i 1 = = = i i 1 2 II I I 2 XX X I 2 YY Y I ZZ = Z = = = I...
7 Kvantum-transzform transzformációk α = 1 α1 α α α α 1 1
8 Kvantum-transzform transzformációk H mátrix alakban: ϕ mátrix alakban: 1 i e φ
9 Motiváci ció Megbízhatunk zhatunk-e e a jelenlegi titkosítási si technikákban? kban? A napjainkban alkalmazott titkosítási si eljárások ereje a gyakorlati feltörhetetlens rhetetlenség biztosításában ban rejlik Elméletileg letileg azonban feltörhet rhetőek ek A feltörés s sikere a birtokunkban lévől számítási si kapacitást stól függ A modern titkosítás s alapköve: RSA (1977: Rivest-Shamir Shamir-Adleman) A hatékonyabb feltöréshez vezető lehetséges utak: Elméleti leti jellegű áttörés s a matematikában Kevésb sbé valósz színű Gyakorlati jellegű,, technikai áttörés Kvantumszámítógépek megjelenésével
10 Motiváci ció A szilíciumchipek sebessége másfm sfél évente megkétszerez tszereződik A Moore-törv rvény alapján n 217-re egy bit informáci ciót t egy atomban fogunk kódolni k A hagyományos, napjainkban alkalmazott technológi giák k pár p éven belül elérik a végsv gső fizikai határokat Hogyan tovább?
11 Fejlődési ütem Forradalom a számítástechnik stechnikában? Dinamikusan fejlődő tudományter nyterület Folyamatos kutatás s a világ g számos országában Már r elérhet rhető a működőképes m kvantumszámítógép A tudományos publikáci ciók, cikkek száma az elmúlt lt néhány n ny évben exponenciális sebességgel növekszik n Óriási lehetőségek a kvantumjelenségek kihasználásban sban: Összefonódott állapotok Teleportáci ció Szupersűrűségű tömörítés Kvantum hibajavítás Kvantumkriptográfia
12 A kvantuminformatika megjelenése
13 Kvantuminformatika Aki a kvantummechanikát tanulmányozza, nyozza, és s nem szédül l bele, az nem is érti. rti. Niels Bohr A kvantumvilágban tapasztalható jelenségek a klasszikus, hétköznapi felfogásunkt sunktól l nagymért rtékben különbk nböznek Egy kvantumrendszerben az elvégzend gzendő feladatok szuperpozíci ciós állapotba hozhatók, azaz egyidejűleg végrehajthatók. A szuperpozíci ció felhasználásával N db kvantumbittel 2 N művelet hajtható végre egyidejűleg!
14 Kvantumállapotok jellemzése valósz színűségi amplitúdóik ik alapján ψ = α + β ψ = α + β 1 Normáltsági feltétel α 2 + β 2 = P() = P(1) = 1 2
15 A kvantumbit Egy klasszikus bittel ellentétben, tben, a kvantumbit nem csupán n a vagy 1 állapot valamelyikében lehet, hanem a két k állapot közötti k szuperpozíci cióban is. Kvantumbit megvalósítása sa Pl. hidrogén atommal Alapállapot: Gerjesztett állapot: Feles spinű részecskékkel, kkel, pl. elektron, proton
16 Kvantumállapot mérésem A mérés m s kvantum-áramk ramkörös s jelölése ψ M (A kimenet egy klasszikus érékű bit lesz) Ha ψ = α + β 1 akkor: M = : vagy M = 1: α β 2 2 valószínűséggel valószínűséggel
17 EPR állapotok felhasználása sa EPR jelenség (Einstein, Podolsky, Rosen) A pár p r egyik tagja valamilyen egyértelm rtelmű kvantumállapotba kerül, akkor a pár p r másik m tagja, a másik m részecske r kénytelen k ezzel ellentétes tes állapotot elfoglalni. A szubatomi részecskék k között k mesterségesen létrehozhatl trehozható A kapcsolat megmarad bármekkora b távolst volság g esetén n is Összefonódott állapotok felhasználása sa Teleportáci ció: nem közvetlenk zvetlenül l a részecskét t teleportáljuk ljuk át, hanem egy létező elemi részecske r állapotát, azaz tulajdonságait visszük át t egy másik, már m r létezl tező elemi részecskr szecskére. A kvantumállapot átviteléhez nincs szüks kség g a két k t részecske r fizikai kapcsolatára, így összefonódott állapotokat használunk lunk.
18 RSA feltörése: prímfaktoriz mfaktorizáció Az NFS algoritmussal egy 53 bites szám m faktorizáci ciója, 14 PC-vel 1 hónapig h tartott Moore törvt rvénye alapján, 218-ra 14 PC teljesítm tménye megfelel 1. mai PC teljesítm tményének nek (1-szeres növekedn vekedés) Mire lesz elég? Klasszikus rendszerek esetén, a faktorizált számok méretében 18 bites növekedés érhető el egy év alatt. Az NFS algoritmussal elérhető eredmények, klasszikus rendszerekben bites RSA kulcsot 21-re, míg egy 124 bites RSA kulcsot 218-ra leszünk képesek feltörni a jelenlegi klasszikus architektúrákkal.
19 Mennyire kell tartanunk a kvantumszámítógépek támadt madásától? Peter Shor prímfaktoriz mfaktorizációs s algoritmusa Amíg g a prímfaktoriz mfaktorizáció klasszikus rendszerekben exponenciális, addig kvantumos rendszerekben négyzetes növekményű végrehajtási időt t igényel Peter Shor Az RSA feltörése egy 16 klasszikus számítógépb pből álló hálózatnak 8 hónapigh tartott. Ugyanezen feladat egyetlen kvantumszámítógéppel néhányny másodperc alatt végrehajthatv grehajtható. Az alapprobléma: Egy nőn még g mindig kiszámíthat thatóbb, mint az elektron. Az első kereskedelmi forgalomban is kapható kvantumszámítógép p bemutatása D-Wave,, 27. február r 13. Mérő László Mérő László
20 Kvantuminformatika Egyéb b eredmények: Adatbázis szűrés Lov Grover kvantumalgoritmusa Az 56 bites DES feltörése kvantumszámítógéppel 185 lépésbl sből végrehajtható (másodperc töredt redéke) Mai klasszikus rendszerű szuperszámítógépnek pnek 1 év Adott egy adatbázis USA lakosságával: 27 adat Egyetlen elem megtalálásához klasszikus rendszerben átlagosan 27 /2 = 135 millió lépés s szüks kséges A kvantumos változat v esetében kb. 16 ezer lépésből l megtalálhat lható a keresett elem
21 Kvantum operátorok Egy kvantumrendszeren belül, l, minden kvantum-transzform transzformáció reverzibilis A klasszikus Boole-algebra felett értelmezett operátorok esetén n ez nem követelmény Egy reverzibilis művelet m mindig megadható egy unitér r mátrixm formájában: ( U T )* = U 1
22 Lényegesebb alap kvantum-kapuk kapuk A klasszikus rendszerkehez hasonlóan, an, a logikai műveletek végrehajtv grehajtásához hoz különbk nböző kvantum kapukat definiálhatunk α + β 1 α + β 1 X Z β + α 1 α β 1 α + β 1 H α β 2 2
23 Kvantum CNOT kapu Klasszikus rendszerek esetén n a NAND kapu az ún. univerzális kapu A NAND kapuk segíts tségével tetszőleges áramkör r felépíthet thető NOT kapu NAND-ból ÉS kapu NAND-ból VAGY kapu NAND-ból Létezik kvantum rendszerekben UNIVERZÁLIS kvantum kapu?? Vagyis, bármilyen b tetszőleges, n kvantumbiten elvégezhet gezhető logikai művelet felépíthet thető véges számú elemi kvantumkapuból l? Igen, kvantumrendszerek esetében is létezik l univerzális kapu, azonban ezen kapu működése m klasszikus rendszerkben nem értelmezhető.
24 Az univerzális kvantum kapu Controlled-NOT (CNOT) kapu A két k t bementi kvantumbit: vezérl rlő és s cél c l kvantumbit A A B B A Ha a vezérlő kvantumbit, akkor a célbit változatlan marad : vagy 1 1. Egyébként a célbit értéke negálódik : 1 11 vagy A kimenet : AB, AB, A
25 Az elemi CNOT kapu CNOT kapu működése m leírhat rható a klasszikus XOR művelet segíts tségével: CNOT A, B = A, B A A CNOT kapu működési m elve: A vezérlő kvantumbit A B cél kvantumbit B A
26 Lényegesebb alap kvantum-kapuk kapuk Készíthető kvantumbit-másol soló kapu? - Klasszikus rendszerek esetén n egy tetszőleges bit másolása sa az XOR művelettel m megvalósíthat tható: másolandó bit eredeti bit x x x x y x y x bemenet másolt bit
27 Lényegesebb alap kvantum-kapuk kapuk Készíthető kvantumbit-másol soló kapu? Hogyan alakul a helyzet egy kvantumrendszeren belül? l? másolandó kvantumbit ψ = a + b 1 a + b 1 Kimenet a + b 1 a + b 11 bemenet
28 Kvantumállapot másolhatatlansm solhatatlansága Készíthető kvantumbit-másol soló kapu? Vajon? ψ ψ = a + b 11 ( )( ) 2 2 ψ ψ = a + b 1 a + b 1 = a + ab 1 + ab 1 + b 11 Azaz, egy kvantumállapot nem másolhatm solható,, hiszen ab. 2 2 a + ab + ab + b a + b Vagyis, egy ismeretlen kvantumállapot lemásol solása sa NEM LEHETSÉGES! - NO CLONING TÉTELT TEL -
29 Kvantumkriptográfia A fotonok polarizáci ciós állapotainak összefoglalásasa Ortogonális bázisvektorokb Szuperpozíci ciós állapot leírása valósz színűségi amplitúdókkal Az állapothoz tartozó valósz színűségi amplitúdók, valamint a használt bázisb orientáci ciója meghatározz rozzák a mérési m eredmények kimenetelét. t.
30 A kvantumkriptográfia működési elve
31 Kvantumkriptográfia A kvantumkriptográfi fiában a biteket a fotonok polarizáci ciós s szögével reprezentáljuk Az egyeseket és s nullákat rektilineáris ris és diagonális bázisokkal kódoljuk k A téves bázisb zisú mérések irreverzibilis változást okozhatnak a kvantumrendszerben
32 Kvantumkriptográfia A rektilineáris ris és s diagonális szűrőkkel előáll llítható fotonok, és s azok bináris értékei
33 Kvantumkriptográfia A fotonok értékeinek dekódol dolására kétfk tféle bázist b választhatunk A vevő rektilineáris ris polársz rszűrővel tökéletesen t azonosítja a függőlegesen és vízszintesen polarizált lt fotonokat, az átlósakat azonban nem, mivel azokat véletlenszerűen en függf ggőlegesnek vagy vízszintesnek v mérim
34 Kvantumkriptográfia Ha a vevő diagonális szűrőt t alkalmaz, akkor az átlósan polarizált lt fotonokat tökéletesen felismeri, de a vízszintesen és függőleges fotonokat helytelenül átlós s polarizálts ltságúaknak azonosítja tja. A kapott bit értéke így véletlenszerű lesz.
35 Kvantumkriptográfia alkalmazása A kommunikáci ció résztvevői Alice Eve Bank Kvantumcsatorna Publikus csatorna
36 Kvantumkriptográfia alkalmazása A kvantumcsatorna egyirány nyú,, Alice-től l a Bank felé A kvantumcsatornát, t, így az ott folyó kommunikáci ciót t a kvantummechanika alaptörv rvényei védik v A kvantumcsatornán n törtt rténik a titkos kulcs kialakítása Szimmetrikus, OTP kulcs A publikus csatorna kétirányú A detektorok egyeztetésére használjuk
37 Kvantumkriptográfia alkalmazása A kommunikáci ció során n Alice és s a Bank a kvantumcsatornán keresztül l hozza létre l a titkos kulcsot A használt bázisokat b és s a kulcs elemeit a publikus csatornán keresztül l egyeztetik
38 Kvantumkriptográfia alkalmazása A protokoll támadt madása
39 Kvantumkriptográfia alkalmazása Eve megjelenése a protokollban Mi teszi lehetetlenné a lehallgató dolgát? Eve egy fotont csak egyszer mérhet be Nincs informáci ciója a bemérend rendő foton bázisb zisáról Az elfogott fotonok felét t tudja csak helyesen bemérni A detektoregyeztetés s során n a felek téves t detektorválaszt lasztásaihoz saihoz tartozó bitek kikerülnek a kulcsból Ez az informáci ció a lehallgatón n nem segít, mivel a Bank által helyesen bemért fotonok felét t szintén n tévesen t határozta meg A téves t bázisb zisú lehallgatás s irreverzibilis változv ltozásokat okoz a rendszerben!!
40 Kvantumkriptográfia Animáci ció: : A protokoll működésének m bemutatása
41 Kvantumkriptográfia Összefoglalás Jelenleg nem kínál k l előny nyöket, mert az RSA révén r rendelkezésünkre nkre áll a gyakorlatilag feltörhetetlen kódk A kvantumszámítógépek megjelenéséig még m g biztonságban vagyunk A kvantumkriptográfia nem csupán n gyakorlatilag feltörhetetlen kód, hanem abszolút értelemben is az. A kvantumelmélet let lehetetlenné teszi, hogy Eve helyesen értelmezze az Alice és s Bob között k kialakult kulcsot A lehallgatási próbálkoz lkozásokat pedig Alice és s Bob azonnal észreveszi Kijelenthető,, hogy ha egy kvantumkriptográfi fiával titkosított tott üzenetet valaha is megfejtenének, nek, akkor hibás s a kvantumelmélet, let, ami az egész fizikát t alapjaiban döntend ntené össze
42 Kvantumkriptográfia Az első kvantumkriptográfi fiára épülő banki tranzakció 25: Ausztria, BécsB A megvalósításhoz shoz szüks kséges eszközök k már m r elérhet rhetőek ek a piacon Quantique, Magiq A technológia jelenleg még m drága,a potenciális vásárlv rlói i kör k r is meglehetősen szűkre szabott Elsődleges célcsoport c jelenleg: Kutatóint intézetek, kormányzati hivatalok, bankok, üzleti élet, nemzetbiztonság, katonaság
43 Valódi véletlenszámgenerátor Kvantum-véletlensz letlenszámgenerátor Foton alapú véletlenszám m előáll llítás 3 féle f implementáci ció PCI, USB, OEM-chip Valódi véletlenszv letlenszámok előáll llítása 4/16 Mbps-es sebességgel Alacsony költsk ltségek Szélesk leskörű felhasználási si lehetőség Kvantumkriptográfia PIN generálás Statisztikai kutatások Numerikus módszerek m alkalmazása Szerencsejátékok, stb
44 Kvantumbitek ábrázolása
45 Kvantuminformáci ció ábrázolása A kvantumbit A kvantumbit állapotának leírására ra a Dirac-féle braket szimbólumot használjuk Ket: : oszlopvektor Bra: : sorvektor, ket adjungáltja Azaz a sorvektor az oszlopvektor komplex konjugált elemeinek transzponáltja A szuperpozíci ciós állapot szemléltet ltetésére pedig a Bloch-gömb mböt
46 Kvantuminformáci ció ábrázolása e iθ = cosθ + isinθ iφα iφβ ψ = α + β 1 = re + re 1 iθ z = a + bi = r(cos θ + i sin θ) z = re. α β α β = 1 ψψ =1 A kvantumbiteken végrehajtható U unitér transzformációk megadhatóak elemi forgatási transzformációkkal.
47 Kvantuminformáci ció ábrázolása Az I-transzformáció az ún. identitás transzformáció, amely transzformáció esetén a kimeneti kvantumállapot megegyezik a bementi kvantumállapottal. Az I-transzformáció tehát a következőképpen írható le: σ I = I 1 = 1 ekkor 1 1 a b = a b, így φ = a + b 1. Az X-transzformáció egy kvantumbit állapotát negálja. A kimeneti állapotot így a következőképpen írhatjuk le: φ = σx ψ σ X = 1 X = 1 ekkor 1 1 φ = a 1 + b. a b = b a,
48 Kvantuminformáci ció ábrázolása Az Y-transzformáció a negáló és komplex-fázisfordító transzformáció, amelyet a következőképpen adhatunk meg: σ Y = Y j = j ekkor j j így φ = j a 1 j b. a b = b j a, A kiindulási állapotot kék színnel, a transzformált φ = j a 1 j b kimeneti kvantumállapotot pedig zöld színnel jelöltem.
49 Kvantuminformáci ció ábrázolása A Z-transzformáció a fázisfordító transzformáció. A transzformációval előállítható kimeneti φ kvantumállapot a következőképpen határozható meg: σ Z = 1 Z = 1 ekkor 1 1 φ = a b 1. a b = a b, A kék színnel jelölt ψ = a + b 1 kiindulási kvantumállapoton végrehajtott σ transzformáció eredményét Z
50 Kvantuminformáci ció ábrázolása A Hadamard-transzformáció képes arra, hogy egy bázisállapotban lévő kvantumbitet szuperponált állapotba vigyen. Ennek értelmében, ha egy n-bites kvantumregiszter minden kvantumbitjére Hadamard-transzformációt alkalmazunk, a kvantumregiszterben -tól 2 n -1 -ig az összes szám szuperpozíciós állapotát kezelhetjük párhuzamosan σ H = H = a b = 1 a b +, 2 a b így φ = 1 ( + 1) a + 1 ( 1) b. 2 2 Amíg tehát egy klasszikus regiszter csak egy konkrét számot kezel egyidejűleg, addig egy kvantumregiszteren elvégzett művelet egyszerre kerül végrehajtásra az összes, 2 n értéken. 1 ψ = + 2 ( 1 )
51 Kvantuminformáci ció ábrázolása
52 Több kvantumbites rendszer Két kvantumbites kvantumrendszer leírása: Lehetséges bázisállapotok: ( α + α 1 ) ( β + β 1 ) 1 1 = 1 = 1 1 = = 11 A bázisállapotokhoz tartozó valószínűségi amplitúdókkal: αβ + αβ 1 + αβ 1 + αβ vektor alakban: αβ αβ α1β α1β1 1 α = α 1 β β 1
53 Több kvantumbites rendszer A két kvantumbites α + α 1 + α 1 + α kvantumrendszer bemérésekor a x y kimenet valószínűsége: α xy 2
54 Több kvantumbites rendszer A szuperponált két kvantumbites α + α 1 + α 1 + α kvantumrendszer valószínűségi amplitúdói: = α α α α Azonban nem minden két kvantumbites rendszer adható meg tenzor-szorzat alakban. A felbonthatatlan kvantumállapotok az összefonódott kvantumállapotok.
55 EPR állapotok Nem összefonódott két kvantumbites állapot: 1 ξ = ( + 1 ) Vektor formában: ξ = Sűrűségmátrix formájában: ρξ = ξ ξ =. 2 Az állapot felbotható részrendszerek tenzorszorzatára: ρ ξ = 2 1 1
56 EPR állapotok Összefonódott állapot : + 1 Ψ = + 2 ( 11 ) Sűrűségmátrix : ρ + =Ψ Ψ =, Ψ Az összefonódott állapotok nem bonthatóak fel részrendszerek tenzorszorzatára!
57 Összefonódott állapotok létrehozása Az összefonódott állapotok létrehozásához mindösszesen egy Hadamard kapura, illetve egy CNOT kapura lesz szükségünk: x y Kimenet 1 2 ( + 11 ) x H ( ) y ( 11 ) ( 1 1 )
58 Az áramkör r működésem H 1 2 ( + 1 )? CNOT = = = + 1 CNOT ( CNOT + CNOT 1 ) ( + 11 )
59 EPR állapotok felhasználása sa A kvantumszámítógépek közti k adatátvitelhez tvitelhez ne legyen szüks kség közvetlen fizikai kontaktusra az egyes kvantumbitek közöttk A kvantumbitek fizikai realizáci ciója legyen a lehető legegyszerűbb Foton alapú kommunikáci ció helyett lézernyall zernyaláb, vagy mikrohullám Az összefonódott állapotban lévől kvantumbitek egy kvantum-buszon keresztül l kommunikálnak egymással A kvantum-busz fizikai megvalósítása sa lehet: lézer vagy mikrohullám
60 Kvantum-transzform transzformációk Unitér r transzformáci ciók A kvantumkapuk és s a felépített kvantumáramk amkörök reverzib ibilisekilisek (nincs informáci cióveszteség) Kimeneti szálak száma = Bemeneti szálak száma A kimenet a bemeneti eneti vektorok permutáci ciója Klasszikus logikai szabályrendszerek leírhat rhatók Kvantumjelenségek gek: kvantumállapotok fázisa, f összefonódottság
61 Kvantum-transzform transzformációk Átvitel-bemenet nélkn lküli li összeadás megvalósítása sa Alapprobléma: : A klasszikus sum = x 1 x és carry = x 1 x függvények implementálása x 1 x y 1 y U add x 1 x y 1 carry y sum
62 Kvantum-transzform transzformációk A félösszeadó unitér r mátrixa: m U ADD =
63 Kvantum-transzform transzformációk Half Adder : egyszerűsített implementáci ció x 1 x C 2 NOT (Toffoli) CNOT x 1 sum y y carry
64 Kvantum-transzform transzformációk c n 1 Klasszikus összeadó a b a 1 b 1 s s 1 s 2 a 2 b 2 s 3 a 3 Sum b 3 c n Carry
65 Kvantum-transzform transzformációk Kvantumösszeadó σ x : Pauli-féle X transzformáció, NOT művelet Irányított-σ x : controlled-not, CNOT kapu Controlled-controlled σ x = Toffoli-kapu Controlled σ x = C-NOT kapu
66 Elemi kvantumáramk ramkörök Reverzibilis áramkörök: k: ötlet megszület letése a 8-as években (Feynman), cél: c energiaveszteség g minimalizálása Bennett, Toffoli: bármilyen klasszikus logikai transzformáci ció megvalósíthat tható reverzib ibilisilis műveletekkel Annyi bemenő bit értékét t kell a kimeneten megőrizni, amelyből egyértelm rtelműen en eldönthet nthető a bemenő bitek értéke. i n bemenet Klasszikus logikai függvény m kimenet f(i) i Reverzibilis kvantum függvény irreleváns állapotok f(i) kiegészítő kvantumbitek
67 Elemi kvantumáramk ramkörök Hogyan állítható elő a klasszikus kus f függvény kvantumos változata? A függvf ggvény legyen f :i f(i), n bemenettel el és m kimenettel Kvantum-kim kimenet reverzibilis: : a klasszikus megvalósításhoz shoz képest k n bit extrae kimenet + m bit extra bemenet szüks kséges A klasszikus f függvény kvantumos változata így: f rev : i, j i, f(i) j ahol az XOR művelet Valósítsuk meg az ÉS S függvf ggvény kvantumos változatv ltozatát: t: f(a,b) ) = AND(a,b a,b) a b c Reverzibilis ÉS kapu a b f = ab c a b c a b f
68 Elemi kvantumáramk ramkörök A kapott kvantum-transzform ranszformációt a Toffoli kapuval realizálhatjuk lhatjuk AND művelet: c =, esetén NAND művelet: ha c = 1. a b c Reverzibilis ÉS kapu a b f = ab c a b c a b f
69 Elemi kvantumáramk ramkörök Reverzibilis kvantum kapuk: Minden klasszikus logikai függvf ggvény leírha rható univerzális kvantum műveletekkelm Nem létezik l három h bemenetűnél kisebb univerzális reverzibilis kvantumkapu
70 Elemi kvantumkapuk ismertetése se
71 Elemi kvantumáramk ramkörök NOT Bemeneti állapot: c + c 1 1 Kimeneti állapot: c 1 + c 1 A NOT leképezés: 1 és 1 A transzformáci ció mátrixa: (NOT)(NOT NOT)= )=Identitás transzformáci ció = 1 1 NOT NOT NOT
72 Elemi kvantumáramk ramkörök GyökNOT Imaginárius elemek A transzformáci ció mátrixa: i/ 1/2 1/ 1/2 1 i 1 = 1/ 1/2 i / 1/2 2 1 i Így a kimenetelekk valósz színűsége: : i/ 2 2 = ½ és 1 : 1/ 2 2 = ½. A véletlenszerv letlenszerű viselkedés s eliminálhat lható: (NOT lesz) 1 2 i 1 i 1 1 i 1 i = i i NOT NOT
73 Elemi kvantumáramk ramkörök Komplex elemek helyett csak valós értékekkel számolunk: i =. 2 1 i Funkcionalitása azonos: Véletlenszerű kimenet Konkatenáci ciója NOT transzformáci ció =
74 Elemi kvantumáramk ramkörök Hadamard H 1/ 2 + 1/ 2 1 és 1 1/ 2 1/ 2 1. Az 1/ 2 normalizálást elhagyva: x (-1) x x 1 x Fázisfordítás 1 e iφ φ
75 Univerzális kvantum-transzform transzformációk Követelmény: U tetszőleges ψ állapot A Hadamard és fázisfordító kapukból felépíthető minden 1-kvantumbites, univerzális műveletm Példa: Az áramkör kimenete: ψ = cos θ + e iφ sin θ 1 H 2θ H π 2 + φ
76 Elemi kvantumáramk ramkörök Controlled NOT (CNOT) kapu x y CNOT x x y x y x x y CNOT leképez pezés: x x x σ x 1 x NOT x x x x NEM KLÓNOZ NOZÁS!!! Csak és s kizárólag ismert, és 1 bázisállapotokra okra érvényes!
77 Az elemi kvantumáramk ramkörök felépítése Univerzális lis, reverzibilis kapu A végrehajtv grehajtás s során n nem veszítünk informáci ciót A Toffoli kapu a z értékét akkor módosm dosítja, ha x és s y is 1 : ( ) T x, y, z = z xy.
78 Elemi kvantumáramk ramkörök Controlled CNOT (C 2 NOT vagy Toffoli kapu) a b c a b ab c
79 Elemi kvantumáramk ramkörök Irány nyított U unitér transzformációk: u u 1 u 1 u 11 U U U U C(U) C 2 (U)
80 Elemi kvantumáramk ramkörök Bármilyen C 2 (U) kapu felépíthet thető CNOT,, illetve C(V) és C(V ) kapukból, ahol V 2 = U = U V V V 1/2 (1+i) (1-i) (1-i) (1+i) (1-i) (1+i) 1/2 (1+i) (1-i)
81 Elemi kvantumáramk ramkörök Az áramkör r működése m kontrollbit esetén 1 1? = x U x x V x x V V V x
82 Az áramkör r működése m aktív v kontroll esetén ? = x U U x x V x V x V V V U x
83 Kvantum párhuzamossp rhuzamosság alkalmazása
84 Kvantum párhuzamossp rhuzamosság Bármilyen bináris f függvényre, ahol f :,1,1, { } { } létrehozható olyan U f unitér r kvantumáramk ramkör, r, amellyel elvégezhet gezhető az f függvény által meghatározott műveletm Azaz, minden klasszikus rendszerű f művelet egyértelm rtelműen en megfeleltethető egy kvantum- transzformáci ciónak: U f : x, y x, y f ( x) bináris összeadás
85 Kvantum párhuzamossp rhuzamosság Mire képes k a megkonstruált U f kvantumáramkörünk? 1 x y x U f y f(x) A kvantumáramkör kimenete: f f ( 1 ) ψ = U = U 1 =, 1 f ()
86 Kvantum párhuzamossp rhuzamosság Mi törtt rténik, ha a bemenetre szuperpozíci ciós állapotot adunk? 1 2 ( + 1 ) 1 x y x U f y f(x) Kvantum párhuzamosság!!! Az f() és az f(1) értékét egyetlen bemeneti bittel meghatároztuk. ψ + 1 = U f = U f 2, f () + 1, f (1) = 2, f () + 1, f (1) = 2
87 Kvantum párhuzamossp rhuzamosság Egyetlen lépésben l meghatározhatjuk a következő művelet értékét: t: f () f(1) Egy klasszikus rendszerben ehhez a következk vetkező lépéseket kellene végrehajtanunkv grehajtanunk: 1. Az f() értékének kiszámítása sa 2. Az f(1) értékének kiszámítása sa 3. A két k t eredmény bináris összeadásasa Ahol az f továbbra is: f {,1} {,1} :
88 Kvantum párhuzamossp rhuzamosság H x x H 1 H y U f y f(x) ψ = 1 ψ 1 =
89 Kvantum párhuzamossp rhuzamosság H x x H 1 H y U f y f(x) ψ ha f() = f(1), ± 2 2 = 1 1 ha f() f(), 1 ± 2 2
90 Kvantum párhuzamossp rhuzamosság H x x H 1 H y U f y f(x) A kapott eredmény átírása után: ψ 3 1 = ± f( ) f(1) 2 Azaz, megkaptuk a keresett műveleti értéket: f ( ) f (1) Az f kiegyensúlyozott vagy konstans? Egyetlen lekérdezéssel megválaszoltuk.
91 Kvantum keresés implementálása
92 Kvantum keresés A kvantum-keres keresési si algoritmus szemléltet ltetése: általában az adatbázis zis-keresésen sen keresztül Szemléletesebb letesebb példap lda: gráfsz fszínezés Gráfszínezési probléma megoldása kvantum-kereséssel Feladat: közös éllel rendelkező csomópontok kiszínezése eltérő színnel Cél: kiszínezés végrehajtása minimális számú színnel A gráf 3-színnel kiszínezhető
93 csomópont lehetséges színei Gráf színezés kvantum-algoritmussal Az összes lehetséges színkombináció 2. csomópont lehetséges színei 3. csomópont lehetséges színei 4. csomópont lehetséges színei 1 kimenet: akkor és csak akkor, ha a csp. 1 és csp. 2 színe eltérő F(x) ÉS művelet: 1 kimenet csak a keresett színezés esetén
94 Az összes lehetséges kombináció előállítására a Hadamard transzformációt alkalmazzuk > > > H H H H Az összes lehetséges színkombináció H f(x) A Hadamard transzformációval a kvantumállapotok szuperponált állapotba kerültek ÉS művelet: 1 kimenet csak a keresett színezés esetén Az összes lehetséges bemeneti kombinációt egyidejűleg vizsgálhatjuk!
95 Gráf f színez nezés s kvantum-keres keresésselssel
96 > 1 2 n ( ) f ( x 1 ) ( x 1 ) Az orákulum egy Karnaugh táblának feleltethető meg Minden helyes mintermre (1) -1 kimenettel 1> orákulum f(x) Rossz mintermek () kódolása: 1 A Hadamard transzformációkkal előállított szuperponált állapotokkal az összes lehetséges helyes mintermet párhuzamosan határozhatjuk meg
97 Kvantum-keres keresés: s: Belső f függvény meghatároz rozása 1 lépésbenl
98 A lehetséges belső f függvf ggvények A kvantum kereséssel egyetlen lekérdezésből megállapíthatjuk a belső orákulum függvény típusát.
99 Az orákulum tulajdonságai Az f : {,1} 2 {,1} belső függvény kimenete csak egyetlen x {,1} 2 bementre 1: f (x) = 1 Cél: azon x {,1} 2 bemenet megtalálása, amelyre f (x) = 1 A négy lehetséges belső függvénytípust egyetlen lekérdezésből megállapíthatjuk!
100 Kimeneti állapot: A belső f függvény leképezése: x 1 x 2 y f x 1 x 2 y f(x 1,x 2 ) Előállítjuk az összes lehetséges bemeneti kombinációt az f: függvény teszteléséhez 1 H H H Kvantum keresés f A bemeneti állapot: ( )( 1 ) (( 1) f() + ( 1) f(1) 1 + ( 1) f(1) 1 + ( 1) f(11) 11 )( 1 ) A helyes bemenetek a kvantumállapotok fázisában kódolva jelennek meg!
101 H H X X H f H H X H H X H 1 H H M M M állapot = 1 állapot = állapot = állapot = állapot = állapot = állapot = ab c ab c ,3 11.3,3 1.3,3.3,3 ab c 1 1.3, ,3 1.3,3.3,3 ab c 1 1.3, ,3 1.3,3.3,3 ab c ,3.3,3.3 -,3.3,3 ab c ,5.5,5 ab c ,
102 H H X X H f H H X H H X H 1 H H M M M áll. = áll. = áll. = áll. = áll. = áll. = áll. = -1 áll. = 1 ab c 1 1.3, ,3 1.3,3.3,3 és 11 közötti fáziscsere ab c ,3.3,3.3 -,3.3,3 Hadamard: és 11 megkülönböztetése ab c ,5.5,5 Ha az első bit 1 invertáljuk a 2.-at ab c , ab c Invertálás és 11 között ab c Hadamard ab c
103 H H X X H f H H X H H X H 1 H H M M M ψ = ψ 1 = ψ 1 = ψ 11 = A Hadamard transzformáció után már ismert a helyes megoldás a -1 fázis alapján. Azonban a megoldás ekkor még a komplex Hilbert-térben értelmezett. A megoldást valahogyan ki kell nyernünk. A helyes kimenethez tartozó fázis: -1.
104 Minden helyes színezési lehetőség negatív fázissal jelenik meg Inicializáló állapot > Hadamard transzformáció Orákulum: komparátorok, ÉS kapuk Hadamard transzformáció Bemeneti bitek Orákulum kimenete
105 Kvantum keresés A node az U = UU iterációt többször alkalmazza a kvantumregiszterre I s k Az iteráció eredményeként a keresett k állapotot kiemeli a ψ állapotból Az iteráció leírható egy θ szögű forgatási transzformációval is, amelyre Az U iteráció j alkalommal történő végrehajtása után az ψ állapotból I kiemelhetjük a keresett k állapotot. 2 1 θ = 2 n sin. A k állapot valószínűségi amplitudója ekkor: (( ) ) a = sin 2 j+ 1 θ. j k
106 Kvantum keresés A ψ vektor tükrözése L-en Az ψ vektor elforgatása
107 Kvantum keresés L és L közti távolság: 1 2 θ Tetszőleges ψ állapot elforgatása 2θ -vel: 1. ψ tükrözése L mentén 1 2. Kapott eredmény tükrözése L mentén Egy iterációs lépé s: ψ elforgatása 2θ -vel 2
108 Kvantum keresés π 2θ Az U I iterációt j = alkalommal végrehajtva az ψ kindulási állapoton, 4θ a keresett k állapot fázisa: így az állapot előfordulási valószínűsége a node kvantumregiszterén belül: Hibázási valószínűség: j a k ( 2 j 1) + θ π 2, π = sin = 1. 2 N π 12, ha a node az U I iterációt int szer hajtja végre. 4θ
109 Kvantum teleportáci ció
110 SWAP állapotok felcserélése A A A ( A B) = B B B A B A B A B ( A B) = A
111 A csomópontok kommunikáci ciója- Kvantumteleportáci ció ψ H M1 + Ψ M2 X M2 Z M1 ψ ψ 1 ( α + β 1 ) ( 11 ) + = ψ Ψ = + 2
112 A csomópontok kommunikáci ciója- Kvantumteleportáci ció ψ H M1 + Ψ M2 X M2 Z M1 ψ ψ 1 2 ( α ( + 11 ) + β 1 ( 11 )) 1 = +
113 A csomópontok kommunikáci ciója- Kvantumteleportáci ció ψ H M1 M2 + Ψ X M2 Z M1 ψ ψ 2 = ( α + β 1 ) + 1 ( α 1 + β ) + ( ) ( ) α β α 1 β
114 A csomópontok kommunikáci ciója- Kvantumteleportáci ció ψ H M1 M2 + Ψ X M2 Z M1 ψ, 1, 1 vagy 11
115 Kvantumteleportáci ció - Összefoglalás Alice Bob kvantumbitje α + β 1 I 1 α 1 + β X 1 α β 1 Z 11 α 1 β Y = ZX Bob transzformáci ciója Eredmény α + β 1
116 Kvantumteleportáci ció - Összefoglalás A teleportáci ció segíts tségével egy adott kvantumbit újraépíthető egy fizikailag különbk nböző helyen, azonban az eredeti kvantumállapot megsemmisül A teleportáci cióhoz szüks kséges EPR állapotok elemi kvantumáramk ramkörökkelkkel létrehozhatóak ak Olcsó megvalósítás, s, hatékony működésm A kvantumteleportáci ció kombinálhat lható a kvantum-párhuzamoss rhuzamosság jelenségével A párhuzamos, p elosztott rendszerű kvantumhálózat hatékonys konysága tovább fokozható
Valóban feltörhetetlen? A kvantumkriptográfia biztonsági analízise
Valóban feltörhetetlen? A kvantumkriptográfia biztonsági analízise Gyöngyösi László gyongyosi@hit.bme.hu Hacktivity 2008 Budai Fonó Zeneház, 2008. szeptember 21. Tartalom Motiváció A kvantuminformatikáról
Részletesebbenprímfaktoriz mfaktorizáció szló BME Villamosmérn és s Informatikai Kar
Kvantumszámítógép hálózat zat alapú prímfaktoriz mfaktorizáció Gyöngy ngyösi LászlL szló BME Villamosmérn rnöki és s Informatikai Kar Elemi kvantum-összead sszeadók, hálózati topológia vizsgálata Az elemi
RészletesebbenKvantum-hibajavítás I.
LOGO Kvantum-hibajavítás I. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Ismétléses kódolás Klasszikus hibajavítás Klasszikus modell: BSC (binary symmetric channel) Hibavalószínűség: p p 0.5
Részletesebbenszló BME Villamosmérn és s Informatikai Kar
Kvantumhálózatok tanítása Gyöngy ngyösi LászlL szló BME Villamosmérn rnöki és s Informatikai Kar Tartalom Mobil ágensek vezérl rlése az Intelligens térben t kvantum- tanulással Megerősítéses ses tanulás
RészletesebbenKvantumkriptográfia II.
LOGO Kvantumkriptográfia II. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Titkos kommunikáció modellje k 1 k 2 k n k 1 k 2 k n A titkos kommunikáció során Alice és Bob szeretne egymással üzeneteket
RészletesebbenKvantumkriptográfia I.
LOGO Kvantumkriptográfia I. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Tantárgyi weboldal: http://www.hit.bme.hu/~gyongyosi/quantum/ Elérhetőség: gyongyosi@hit.bme.hu Tartalom Motiváció A
RészletesebbenKvantum-kommunikáció komplexitása I.
LOGO Kvantum-kommunikáció komplexitása I. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Klasszikus információ n kvantumbitben Hány klasszikus bitnyi információ nyerhető ki n kvantumbitből? Egy
RészletesebbenKvantum párhuzamosság Deutsch algoritmus Deutsch-Jozsa algoritmus
LOGO Kvatum párhuzamosság Deutsch algoritmus Deutsch-Jozsa algoritmus Gyögyösi László BME Villamosméröki és Iormatikai Kar Bevezető Kvatum párhuzamosság Bármilye biáris üggvéyre, ahol { } { } : 0, 0,,
RészletesebbenKvantumkriptográfia III.
LOGO Kvantumkriptográfia III. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Tantárgyi weboldal: http://www.hit.bme.hu/~gyongyosi/quantum/ Elérhetőség: gyongyosi@hit.bme.hu A kvantumkriptográfia
RészletesebbenAhol a kvantum mechanika és az Internet találkozik
Ahol a kvantum mechanika és az Internet találkozik Imre Sándor BME Híradástechnikai Tanszék Imre Sándor "The fastest algorithm can frequently be replaced by one that is almost as fast and much easier to
RészletesebbenKvantumszámítógép a munkára fogott kvantummechanika
Kvantumszámítógép a munkára fogott kvantummechanika Széchenyi Gábor ELTE, Anyagfizikai Tanszék Atomoktól a csillagokig, 2019. április 25. Kvantumszámítógép a hírekben Egy új technológia 1940-es 1980-as
RészletesebbenA kvantumkriptográfia infokommunikációs alkalmazásai
A kvantumkriptográfia infokommunikációs alkalmazásai GYÖNGYÖSI LÁSZLÓ, IMRE SÁNDOR Budapesti Mûszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Híradástechnikai Tanszék {gyongyosi, imre}@hit.bme.hu Kulcsszavak: kvantumkriptográfia,
RészletesebbenBevezetés a kvantum informatikába és kommunikációba Féléves házi feladat (2013/2014. tavasz)
Bevezetés a kvantum informatikába és kommunikációba Féléves házi feladat (2013/2014. tavasz) A házi feladatokkal kapcsolatos követelményekről Kapcsolódó határidők: választás: 6. oktatási hét csütörtöki
RészletesebbenA kvantumelmélet és a tulajdonságok metafizikája
A kvantumelmélet és a tulajdonságok metafizikája Szabó Gábor MTA Bölcsészettudományi Központ email: szabo.gabor@btk.mta.hu p. 1 Kvantumelmélet Kialakulása: 1900, Planck: energiakvantum 1905, Einstein:
RészletesebbenKvantum-hibajavítás III.
LOGO Kvantum-hibaavítás III. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar A kvantum hibaavítási folyamat formális leírása Eredmények formalizálása Legyen A egy x-es komplex mátrix: ahol a,
RészletesebbenGROVER-algoritmus. Sinkovicz Péter. ELTE, MSc II dec.15.
ELTE, MSc II. 2011.dec.15. Áttekintés Feladat Algoritmus Kvantum keresési algoritmus áttekintése Input: N = 2 n elemű tömb, Ψ 1 = 0 1 kezdőállapot, f x0 (x) orákulum függvény. Output: x 0 keresett elem
RészletesebbenKvantum-tömörítés II.
LOGO Kvantum-tömörítés II. Gyöngyös László BME Vllamosmérnök és Informatka Kar A kvantumcsatorna kapactása Kommunkácó kvantumbtekkel Klasszkus btek előnye Könnyű kezelhetőség Stabl kommunkácó Dszkrét értékek
RészletesebbenDIGITÁLIS TECHNIKA I BINÁRIS SZÁMRENDSZER BEVEZETŐ ÁTTEKINTÉS BINÁRIS SZÁMRENDSZER HELYÉRTÉK. Dr. Lovassy Rita Dr.
26..5. DIGITÁLIS TEHNIK I Dr. Lovassy Rita Dr. Pődör álint Óbudai Egyetem KVK Mikroelektronikai és Technológia Intézet INÁRIS SZÁMRENDSZER 5. ELŐDÁS 2 EVEZETŐ ÁTTEKINTÉS 6. előadás témája a digitális rendszerekben
RészletesebbenKvantum-hibajavítás II.
LOGO Kvantum-hibajavítás II. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar A Shor-kódolás QECC Quantum Error Correction Coding A Shor-féle kódolás segítségével egyidejűleg mindkét típusú hiba
RészletesebbenKvantum-informatika és kommunikáció féléves feladatok (2010/2011, tavasz)
Kvantum-informatika és kommunikáció féléves feladatok (2010/2011, tavasz) 1. Ön egy informatikus öregtalálkozón vesz részt, amelyen felkérik, hogy beszéljen az egyik kedvenc területéről. Mutassa be a szakmai
RészletesebbenBevezetés az informatikába
Bevezetés az informatikába 4. előadás Dr. Istenes Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Programozáselmélet és Szoftvertechnológiai Tanszék Matematikus BSc - I. félév / 2008 / Budapest Dr.
Részletesebbenaz Excel for Windows programban
az Excel for Windows táblázatkezelőblázatkezel programban Mit nevezünk nk képletnek? A táblt blázatkezelő programok nagy előnye, hogy meggyorsítj tják és könnyebbé teszik a felhasználó számára a számítási
RészletesebbenA kvantum-kommunikáció leírása sűrűségmátrix segítségével
LOGO A kvantum-kommunikáció leírása sűrűségmátrix segítségével Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Hogyan tekinthetünk a sűrűségmátrixokra? Zaos kvantumrendszerek kvantumállapotra
Részletesebbendolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa
Kódelméletlet dolás dolás o Kódolás o Betőnk nkénti nti kódolk dolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa o A kódok k hosszának alsó korlátja McMillan-egyenlıtlens tlenség Kraft-tételetele o Optimális
RészletesebbenKvantum alapú hálózatok - bevezetés
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Mobil Kommunikáció és Kvantumtechnológiák Laboratórium Kvantum alapú hálózatok
RészletesebbenKonzulensek: Mikó Gyula. Budapest, ősz
Önálló laboratórium rium 2. M.Sc.. képzk pzés Mikrohullámú teljesítm tményerősítők linearizálása adaptív v módszerekkelm Készítette: Konzulensek: Sas Péter P István - YRWPU9 Dr. Sujbert László Mikó Gyula
RészletesebbenDigitális technika VIMIAA01
BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA01 Fehér Béla BME MIT Digitális Technika Elméleti
RészletesebbenSTATISZTIKA. ( x) 2. Eloszlásf. 9. gyakorlat. Konfidencia intervallumok. átlag. 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% (cm)
Normális eloszlás sűrűségfüggvénye STATISZTIKA 9. gyakorlat Konfidencia intervallumok f σ π ( µ ) σ ( ) = e /56 p 45% 4% 35% 3% 5% % 5% % 5% Normális eloszlás sűrűségfüggvénye % 46 47 48 49 5 5 5 53 54
RészletesebbenDigitális technika VIMIAA02
BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA02 Fehér Béla BME MIT Digitális Technika Elméleti
RészletesebbenDigitális technika VIMIAA01
BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA01 Fehér Béla BME MIT Digitális Technika Elméleti
RészletesebbenShor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra
Ivanyos Gábor MTA SZTAKI Debrecen, 20 január 2. Tartalom és kvantum-áramkörök 2 A diszkrét log probléma Kvantum bit Állapot: a B = C 2 komplex euklideszi tér egy egységvektora: az a 0 + b szuperpozíció
RészletesebbenInformatika kvantum elveken: a kvantum bittől a kvantum számítógépig
Informatika kvantum elveken: a kvantum bittől a kvantum számítógépig A tudós leírja azt, ami van, a mérnök viszont megalkotja azt, ami soha nem volt. Gábor Dénes Imre Sándor, BME-HIT Egy egyszerű kérdés
RészletesebbenKvantum mechanikával tunningolt klasszikus kommunikáció. Imre Sándor BME-HIT
Kvantum mechanikával tunningolt klasszikus kommunikáció Imre Sándor BME-HIT A kvantummechanika posztulátumai mérnöki megközelítésben 1. Posztulátum: kvantum bit Hilbert-tér 2. Posztulátum: logikai kapuk
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenDIGITÁLIS TECHNIKA I
DIGITÁLIS TECHNIKA I Dr. Kovács Balázs Dr. Lovassy Rita Dr. Pődör Bálint Óbudai Egyetem KVK Mikroelektronikai és Technológia Intézet 11. ELŐADÁS 1 PÉLDA: 3 A 8 KÖZÜL DEKÓDÓLÓ A B C E 1 E 2 3/8 O 0 O 1
RészletesebbenKvantum-számítógépek, univerzalitás és véges csoportok
Kvantum-számítógépek, univerzalitás és véges csoportok Ivanyos Gábor MTA SZTAKI BME Matematikai Modellalkotás szeminárium, 2013 szeptember 24. Kvantum bit Kvantum bitek Kvantum kapuk Kvantum-áramkörök
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben4. Fejezet : Az egész számok (integer) ábrázolása
4. Fejezet : Az egész számok (integer) ábrázolása The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An Information Technology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson
Részletesebben1. Kombinációs hálózatok mérési gyakorlatai
1. Kombinációs hálózatok mérési gyakorlatai 1.1 Logikai alapkapuk vizsgálata A XILINX ISE DESIGN SUITE 14.7 WebPack fejlesztőrendszer segítségével és töltse be a rendelkezésére álló SPARTAN 3E FPGA ba:
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 11. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenDigitális technika VIMIAA02 2. EA Fehér Béla BME MIT
BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA02 2. EA Fehér Béla BME MIT Digitális Technika
RészletesebbenKvantum infokommunikáció, a titkosítás új lehetőségei
Kvantum infokommunikáció, a titkosítás új lehetőségei A tudós leírja azt, ami van, a mérnök viszont megalkotja azt, ami soha nem volt. Gábor Dénes Imre Sándor, BME-HIT 2016.10.06. 2 Ki tudja, hogy mi ez?
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenKvantumos információ megosztásának és feldolgozásának fizikai alapjai
Kvantumos információ megosztásának és feldolgozásának fizikai alapjai Kis Zsolt Kvantumoptikai és Kvantuminformatikai Osztály MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont H-1121 Budapest, Konkoly-Thege Miklós út 29-33
RészletesebbenElőadó: Dr. Oniga István DIGITÁLIS TECHNIKA 3
Előadó: Dr. Oniga István DIGITÁLIS TEHNIK 3 Logikai függvények logikai függvény olyan egyenlőség, amely változói kétértékűek, és ezek között csak logikai műveleteket végzünk függvények megadása történhet
RészletesebbenROBOTIKA. Kürti. Levente
ROBOTIKA Kürti Levente Megnevezés Robot: a cseh robota szóból származik = munka teljes egész szében ember által készk szített szerkezetek mozogni tudnak, a mozgásban több t szabadságfokkal rendelkeznek
Részletesebbenpjárművek diagnosztikai
Gépjárműdiagnosztika Bevezetés s a gépjg pjárművek diagnosztikai vizsgálat latába DIAGNOSZTIKA = Dyagnosis görög g szó JELENTÉSE megkülönb nböztető felismerés, s, valamely folyamat elindító okának biztos
RészletesebbenKriptográfia Tizedik előadás SHA, Whirlpool, HMAC és CMAC
Kriptográfia Tizedik előadás SHA, Whirlpool, HMAC és CMAC Németh L. Zoltán SZTE, Számítástudom studomány Alapjai Tanszék 2008 ősz Hash és MAC algoritmusok Hash Függvények tetszőleges méretm retű adatot
RészletesebbenKvantum informatika és kommunikáció:
Kvantum informatika és kommunikáció: múlt jelen A tudós leírja azt, ami van, a mérnök viszont megalkotja azt, ami soha nem volt. Gábor Dénes Imre Sándor, BME-HIT IMRE SÁNDOR imre@hit.bme.hu BME Villamosmérnöki
RészletesebbenGeotermikus energiahasznosítás - hőszivattyú
Geotermikus energiahasznosítás - hőszivattyú Viczai JánosJ egyetemi adjunktus BME Építész Kar Épületenergetikai és Épületgépészeti Tanszék Egy kis törtt rténelem Működési elve már m r régóta r ismert,
RészletesebbenMer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40
Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenMáté: Számítógép architektúrák
Bit: egy bináris számjegy, vagy olyan áramkör, amely egy bináris számjegy ábrázolására alkalmas. Bájt (Byte): 8 bites egység, 8 bites szám. Előjeles fixpontok számok: 2 8 = 256 különböző 8 bites szám lehetséges.
Részletesebbenkommunikáci rendszerek III. adás s 10
Irány nyító és kommunikáci ciós rendszerek III. Előad adás s 10 Hálózati alapismeretek A számítógép-hálózat zat egy olyan speciális rendszer, amely a számítógépek egymás s közötti k kommunikáci cióját
RészletesebbenLineáris kódok. sorvektor. W q az n dimenziós s altere. 3. tétel. t tel. Legyen K [n,k,d] kód k d (k 1). Ekkor d(k)=w(k)
Defiíci ció. Legye S=F q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. r. K lieáris kód, k ha K az S k-dimeziós s altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor. W
RészletesebbenÖsszeadás BCD számokkal
Összeadás BCD számokkal Ugyanúgy adjuk össze a BCD számokat is, mint a binárisakat, csak - fel kell ismernünk az érvénytelen tetrádokat és - ezeknél korrekciót kell végrehajtani. A, Az érvénytelen tetrádok
RészletesebbenKvantumszámítógépes algoritmusok
Kvantumszámítógépes algoritmusok Hallgatói jegyzetek Ivanyos Gábor el adásai alapján Debreceni Egyetem, 0 tavaszi félév Tartalomjegyzék. Bevezetés (Barnák Albert) 3.. n dimenziós kvantumrendszer.........................
Részletesebben1. Az adott kapcsolást rajzolja le a lehető legkevesebb elemmel, a legegyszerűbben. MEGOLDÁS:
1. Az adott kapcsolást rajzolja le a lehető legkevesebb elemmel, a legegyszerűbben. MEGOLDÁS: A legegyszerűbb alak megtalálása valamilyen egyszerűsítéssel lehetséges (algebrai, Karnaugh, Quine stb.). Célszerű
RészletesebbenMáté: Számítógép architektúrák
Fixpontos számok Pl.: előjeles kétjegyű decimális számok : Ábrázolási tartomány: [-99, +99]. Pontosság (két szomszédos szám különbsége): 1. Maximális hiba: (az ábrázolási tartományba eső) tetszőleges valós
RészletesebbenAlgoritmusok Tervezése. 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás
Algoritmusok Tervezése 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás Mi az algoritmus? Lépések sorozata egy feladat elvégzéséhez (legáltalánosabban) Informálisan algoritmusnak nevezünk bármilyen jól definiált
Részletesebben1. Alapfogalmak Algoritmus Számítási probléma Specifikáció Algoritmusok futási ideje
1. Alapfogalmak 1.1. Algoritmus Az algoritmus olyan elemi műveletekből kompozíciós szabályok szerint felépített összetett művelet, amelyet megadott feltételt teljesítő bemeneti adatra végrehajtva, a megkívánt
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
RészletesebbenOrtogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenLogisztikai módszerek
BME GTK Ipari menedzsment és Vállalkozásgazdasági Tanszék Menedzser program Logisztikai módszerek dr. Prezenszki József - dr. Tóth Lajos egyetemi docens egyetemi docens LOGISZTIKAI MÓDSZEREK 3. Raktározás,
RészletesebbenShannon és Huffman kód konstrukció tetszőleges. véges test felett
1 Shannon és Huffman kód konstrukció tetszőleges véges test felett Mire is jók ezek a kódolások? A szabványos karakterkódolások (pl. UTF-8, ISO-8859 ) általában 8 biten tárolnak egy-egy karaktert. Ha tudjuk,
RészletesebbenÁramkörök elmélete és számítása Elektromos és biológiai áramkörök. 3. heti gyakorlat anyaga. Összeállította:
Áramkörök elmélete és számítása Elektromos és biológiai áramkörök 3. heti gyakorlat anyaga Összeállította: Kozák László kozla+aram@digitus.itk.ppke.hu Elkészült: 2010. szeptember 30. Utolsó módosítás:
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenDr. Oniga István DIGITÁLIS TECHNIKA 8
Dr. Oniga István DIGITÁLIS TECHNIA 8 Szekvenciális (sorrendi) hálózatok Szekvenciális hálózatok fogalma Tárolók RS tárolók tárolók T és D típusú tárolók Számlálók Szinkron számlálók Aszinkron számlálók
RészletesebbenRobotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
RészletesebbenHibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós
Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott
RészletesebbenVéges állapotú gépek (FSM) tervezése
Véges állapotú gépek (FSM) tervezése F1. A 2. gyakorlaton foglalkoztunk a 3-mal vagy 5-tel osztható 4 bites számok felismerésével. Abban a feladatban a bemenet bitpárhuzamosan, azaz egy időben minden adatbit
RészletesebbenProjekttervezési. Sikeres projekt ismérvei ELEMZÉSI SZAKASZ. Projekttervezési technikák, k, lnak. Meggyőző
Sikeres projekt ismérvei Projekttervezési technikák áttekintése Swot elemzés Problémafa mafa-célfa elemzés Érdekcsoportelemzés Logikai keretmátrix trix Világosan átlátható Meggyőző Mérhető ELEMZÉSI SZAKASZ
RészletesebbenA/D és D/A konverterek vezérlése számítógéppel
11. Laboratóriumi gyakorlat A/D és D/A konverterek vezérlése számítógéppel 1. A gyakorlat célja: Az ADC0804 és a DAC08 konverterek ismertetése, bekötése, néhány felhasználási lehetőség tanulmányozása,
RészletesebbenSkalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.
1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége
RészletesebbenÖsszefonódottság detektálása tanúoperátorokkal
Összefonódottság detektálása tanúoperátorokkal Tóth Géza Max-Plank-Intitute für Quantenoptik, Garching, Németország Budapest, 2005. október 4. Motiváció Miért érdekes a kvantum-informatika? Alapvető problémák
RészletesebbenKvantumáramkör-szimulációs rendszer gyorsításának vizsgálata
Kvantumáramkör-szimulációs rendszer gyorsításának vizsgálata Kabódi László konzulens: Dr. Friedl Katalin Tartalomjegyzék. Bevezet. A kvantumalgoritmusok áttekintése.. A qubit......................................
Részletesebben1. A komplex számok definíciója
1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van
Részletesebben5. KOMBINÁCIÓS HÁLÓZATOK LEÍRÁSÁNAK SZABÁLYAI
5. KOMBINÁCIÓS HÁLÓZATOK LEÍRÁSÁNAK SZABÁLYAI 1 Kombinációs hálózatok leírását végezhetjük mind adatfolyam-, mind viselkedési szinten. Az adatfolyam szintű leírásokhoz az assign kulcsszót használjuk, a
RészletesebbenDIGITÁLIS TECHNIKA 8 Dr Oniga. I stván István
Dr. Oniga István DIGITÁLIS TECHNIA 8 Szekvenciális (sorrendi) hálózatok Szekvenciális hálózatok fogalma Tárolók RS tárolók tárolók T és D típusú tárolók Számlálók Szinkron számlálók Aszinkron számlálók
RészletesebbenA fény és az igazi véletlen
A fény és az igazi véletlen Kiss Tamás Magyar Tudományos Akadémia Wigner Fizikai Kutatóközpont Kvantummérés Lendület csoport Fény A világ teremtése 1 Kezdetben teremtette Isten a mennyet és a földet. 2
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenERLANG PROGRAMOK TRANSZFORMÁCI CIÓJA ERLANG
KLIENS-SZERVER SZERVER ALAPÚ ERLANG PROGRAMOK TRANSZFORMÁCI CIÓJA ERLANG OTP SÉMÁRAS Király Roland kiralyroland@inf.elte.hu Támogatók: - GVOP-3.2.2 3.2.2-2004-07-0005/3.00005/3.0 ELTE IKKK - Ericsson Hungary
RészletesebbenSzámítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
RészletesebbenAz összefonódás elemi tárgyalása Benedict Mihály
Az összefonódás elemi tárgyalása Benedict Mihály Elméleti Fizikai Iskola Tihany 2010, augusztus 31 Kétrészű rendszerek, tiszta állapotok, Schmidt fölbontás és az összefonódási mértékek Példák a kvantumoptikából
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenA tervfeladat sorszáma: 1 A tervfeladat címe: ALU egység 8 regiszterrel és 8 utasítással
.. A tervfeladat sorszáma: 1 A ALU egység 8 regiszterrel és 8 utasítással Minimálisan az alábbi képességekkel rendelkezzen az ALU 8-bites operandusok Aritmetikai funkciók: összeadás, kivonás, shift, komparálás
RészletesebbenKvantumszimulátorok. Szirmai Gergely MTA SZFKI. Graphics: Harald Ritsch / Rainer Blatt, IQOQI
Kvantumszimulátorok Szirmai Gergely MTA SZFKI Graphics: Harald Ritsch / Rainer Blatt, IQOQI A kvantummechanika körülvesz tranzisztor számítógép, mobiltelefon A kvantummechanika körülvesz tranzisztor számítógép,
RészletesebbenRegresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.
Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
Részletesebben2013.11.25. H=0 H=1. Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban,
Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban, akkor a i (gyakorisága) = k i a i relatív gyakorisága: A jel információtartalma:
RészletesebbenWavelet transzformáció
1 Wavelet transzformáció Más felbontás: Walsh, Haar, wavelet alapok! Eddig: amplitúdó vagy frekvencia leírás: Pl. egy rövid, Dirac-delta jellegű impulzus Fourier-transzformált: nagyon sok, kb. ugyanolyan
RészletesebbenEllenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t
Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,
RészletesebbenKomplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)
RészletesebbenMegoldás Digitális technika I. (vimia102) 3. gyakorlat: Kombinációs hálózatok minimalizálása, hazárdok, a realizálás kérdései
Megoldás Digitális technika I. (vimia102) 3. gyakorlat: Kombinációs hálózatok minimalizálása, hazárdok, a realizálás kérdései Elméleti anyag: Lényegtelen kombináció (don t care) fogalma Kombinációs hálózatok
RészletesebbenA továbbiakban Y = {0, 1}, azaz minden szóhoz egy bináris sorozatot rendelünk
1. Kódelmélet Legyen X = {x 1,..., x n } egy véges, nemüres halmaz. X-et ábécének, elemeit betűknek hívjuk. Az X elemeiből képzett v = y 1... y m sorozatokat X feletti szavaknak nevezzük; egy szó hosszán
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
RészletesebbenDIGITÁLIS TECHNIKA GYAKORLÓ FELADATOK 2. Megoldások
DIGITÁLIS TECHNIKA GYAKORLÓ FELADATOK 2. Megoldások III. Kombinációs hálózatok 1. Tervezzen kétbemenetű programozható kaput! A hálózatnak két adatbenemete (a, b) és két funkcióbemenete (f, g) van. A kapu
RészletesebbenKoós Dorián 9.B INFORMATIKA
9.B INFORMATIKA Számítástechnika rövid története. Az elektronikus számítógép kifejlesztése. A Neumann-elv. Információ és adat. A jel. A jelek fajtái (analóg- és digitális jel). Jelhalmazok adatmennyisége.
RészletesebbenModern fejlemények a kvantumelméletben. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3.
Modern fejlemények a kvantumelméletben Bevezetés Ádám Péter, Diósi Lajos Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3. Iskola témája, bevezetés célja Iskola témája kvantumoptika és
Részletesebben