Képalkotás modellezése, metrikái Orvosi képdiagnosztika 6. ea. 2015 ősz
Jelölésjegyzék Rendszer válasza f gerjesztésre: Dirac-delta: x ; egységugrás: 0 idejű Dirac-delta gerjesztése a rendszer válasza: h x, x h x x Konvolúció: g Fourier transzformáltja: G FT g g spektruma: G g sávszélessége: bwg X eloszlás várható értéke: X, szórása: std X 2 Szürkeárnyalatos képet leíró leképezés: I : R R Elemenkénti átlagolás: S f x h x, x0 LTI esetben: 0 0 1 x i 1: M I x, y 1 M I x, y i
Tartalom Elméleti áttekintés lineáris rendszerek: LTI rendszerek leírása konvolúciós integrál Rendszer identifikáció Folytonos idejű Fourier transzformáció Képalkotás mérése lineáris rendszerekkel: Point Spread Function, Modulation Transfer Function, Noise Power Spectra, SNR, CNR NEQ, DQE
Lineáris rendszerek Komplex, fizikai rendszerek sosem lineárisak Linearizálás nélkül kezelhetetlenül bonyolultak Leginkább sztochasztikus folyamatok Lin. rendszerként várható értékük jellemezhető Lineáris rendszerek jellemzői Rendszer: S : A B Lineáris: S a f b g a S f b S g a, b R f, g : C A
Lineáris rendszerek vizsgálata Eltolás-invariáns (idő invariáns) rendszer: S f x x y x S f y 0 0 Dirac impulzus: 2 1 x x lim exp 0 2 2 2 Impulzusválasz: h x, x S y x x Eltolás-invariáns rendszernél: 0 0 LTI rendszereket egyértelműen leírja h x, x h x x 0 0 h x
LTI rendszerek válasza (konvolúciós integrál) Közelítsük infinitezimális téglákkal f-et: S f x yˆ x : f j x hx, j x x Ha Közelítő modell helyességének feltételei: f folytonos h x, y is folytonos függvénye y -nak x 1 eltolás invariáns: Tömörebben: j S S f x lim yˆ x f x ' hx x ' dx ' x0 x ' y x : S f x f h x
LTI rendszerek válasza (konvolúciós integrál) + + :
LTI rendszerek válasza (konvolúciós integrál)
LTI rendszerek Impulzusválasz ( h) egyéb elnevezései: Súlyfüggvény Gerjesztés Válasz függvény Képalkotó rendszereknél: Point Spread Function Fizikai képalkotó rendszerek sajátosságai: Rögzített képek (projekciók, stb.): y h x 3 Általában x : R R, 2 y : R R a képalkotás, és a fizikai foton interakciók függvénye
Egyszerű rendszerek impulzusválasza Arányos tag: (szemléltetés) Integráló tag: Diffrenciáló tag: Holtidős tag:
Fourier Transzformáció Folytonos függvények lineáris transzformációja: 2 2 ; f x F e j e j F f x x dx x d Euler formula: LTI rendszerek vizsgálata Fourier tartományban: ' x ' Konvolúció tétel: exp j 2 x cos 2 x j sin 2 x j2 xx ' y x h x F e d dx ' 2 ' 2 ' j y x F h x e x dx ' e j x d x ' Y F H
LTI rendszerek konvolúció tétel LTI rendszer sajátfüggvényei az FT bázisfüggvényei (komplex exponenciálisak): frekvenciájú szinuszos jelre adott válasz is frekvenciájú szinuszos jel: LTI
LTI rendszerek átviteli függvény Átviteli függvény: H FT h H H exp j H értelmezése: H rendszer erősítése (1/ tehetetlensége): ~ jel változásának sebessége Fizikailag realizálható rendszerek sávkorlátozottak:, ha bw h H 1 Általában monoton csökkenő függvény H rendszer fázis tolása (késleltetése): FT f x x F exp j 2 x 0 0
LTI rendszerek identifikációja H meghatározása: Egységimpulzus ( x) gerjesztés Egységugrás gerjesztés: h x ds 1 x dx 1 x x ' dx ' Szinuszos vizsgálójellel (LTV-hez is jó): f x A cos 2 x 0 0 cos2 y x A A x H x 0 0 exp A j sign? esetén
LTI rendszerek identifikációja Multiszinuszos vizsgálójel (LTV rendszerekhez is): f x A cos2 i i x i i y x H i Fourier Sorfejtése megadja értékeit S Fehér zajjal: Bemeneti zaj: teljesítménysűrűség spektruma egyenletes Kimeneti zaj teljesítménysűrűség spektruma H 2
Képalkotó rendszerek jellemzése Képalkotás általános modellje: Lineáris rendszer: Lineáris rendszerek GV vizsgálat Ideális gerjesztés: dirac-delta Közelítése: pontszerű gerjesztés A gerjesztés is GV válasza egy lineáris rendszernek ( l,, ) Közvetlenül a ( h*l ) rendszert vizsgáljuk
Point Spread Function Általános modell (konv. integrál)- a gerjesztés képét elmosás és additív zaj degradálja: g x, y h x, y;, f, d dd x, y,, 0 f,, : gerjesztés (vizsgált objektum) xy, : additív zaj h x, y;,, : rendszer súlyfüggvénye PSF-je Inverz probléma később részletesen tárgyaljuk
Point Spread Function Nem szükségszerűen izotropikus: Fényképezőgépek / mikroszkópok inhomogén lencsék okozzák az anizotróp PSF-et PA röntgen, CT, DTS esetén tipikusan anizotróp MRI esetén felvételi paraméterek függvénye Nem szükségszerűen shift invariáns: Jelentősen nagyobb probléma Közelítés shift invariáns rendszerekkel: Alapelv: PSF folytonos függvény Isoplanatic régiók
Modulation Transfer Function (modulációs átviteli függvény) Tételezzük fel, hogy a PSF pozíció független Ekkor a PSF spektrumát érdemes vizsgálni: MTF: H F h Elterjedt még az OTF / MTF felbontás is: Optical Transfer Function: HH Modulation Transfer Function: Effektív felbontás (zaj nélkül): Képalkotásban 0.5-ös MTF érték határozza meg 0,0 HH bwh 0,0
Röntgen detektor MTF példák
MTF mérése MTF definiálásánál LTI modellt használtunk: Expected MTF: célja az alul-mintavételezés hatására keletkező moire hatásait degradálni Gyakori megvalósításai: Vonalpár fantom: MTF származtatható belőle Rés módszer: magas frekvencián pontosabb Él módszer: alacsony frekvencián pontosabb Általában egy irány mentén mérhető: Ami a fantom elhelyezésétől függ
MTF mérése vonalpár fantomok Catphan 500 FBP-vel rekonstruált axiális szelet
MTF mérése vonalpár fantom Digitális fényképezőgépekhez készült fantom:
MTF mérése: él módszer - A fantom éle nem párhuzamos az oszlopokkal. - Így lehetőség nyílik az él felül-mintavételezésére, korrigálható az alulmintavételezési probléma. - Az élre merőleges derivált adja meg a PSF-et.
MTF PSF közötti kapcsolat
MTF szerinti minősítés
Signal to Noise Ratio (jel / zaj viszony) Általános jelfeldolgozásban: Általában additív zaj Képalkotó rendszerek esete: f homogén objektum legyen SNR 10log P P 20 log A A db x,y 10 signal noise 10 signal noise N N a homogén objektum képének kiterjedése, fontos, hogy elegendően nagy legyen (pl.: 20 cm 20 cm) Egyéb módszerekkel is mérhető x, y x, y SNR I std I x,y N
Contrast to Noise Ratio (kontraszt / zaj viszony) Kontraszt önmagában nem jó minősítő: Gyakran főleg a zaj generálja Objektumok elkülönítését javítja a jobb kontraszt, de degradálja a nagyobb zaj CNRA, B CA, B N I x, y I x, y std I x, y x,y A A,B a két elkülöníteni kívánt objektum képe N azon régió, melyből becsülhető a képzaj: Ennek konkrét megválasztása esetfüggő Alkalmazása (mint metrika) főleg orvosi körben elterjedt x,y B x,y N
CNR mérése CT esetén - Fontos, hogy nem tételez fel lineáris képalkotást! - Szeleten belüli felbontás vs. sugárdózis optimalizáció - Nemlineáris rekonstrukciók minősítése Catphan 600
Röntgen kvantum jellemzői Kvantum: fotonok száma Fotonok eloszlása: Érzékelő felületén/ időben nem egyenletes Sugárzás inherens zaját ez a jelenség generálja Ergodikus eloszlással írható le Véletlen Poisson Folyamat: Q várható érték esetén Q szórás Ideális képalkotó rendszer: Plusz zajt nem generál ( SNR SNR ) out in
Noise Power Spectrum (zaj teljesítmény spektrum) A képzaj energiája frekvenciafüggő: DFT felbontásával szorzás oka: Összehasonlíthatóvá válnak különböző pixel méretű detektorok - mintavételezési területtel normálunk Parseval tétel:, lim bin 1:M 2 NPS u v f F I S Nx, Ny, M NPS u, v 2 N uv, 2D DFT felbontása (következő órán részletezzük): f f N 1 N N bin sampling samples x y x y
Normalized NPS: Noise Equivalent Quanta (zaj ekvivalens kvantum) Kompenzálja a rendszer erősítését (akkor van értelme, ha ROI-kat vizsgálunk) 2 NNPS u, v NPS u, v I x, y dxdy Noise Equivalent Quanta: xy, Mennyi foton lenne szükséges ugyanazon képminőség eléréséhez, ha ideális lenne a képalkotás NEQ u, v MTF u, v NNPS u, v SNR u, v 2 2
Detective Quantum Efficiency (kvantum feldolgozás hatékonysága) Eddigi metrikáknál nem vizsgáltuk a dózistól / fotonok számától való függést: DQE u, v NEQ u, v Q Q a vizsgált detektort elérő foton kvantum (kb. fotonok száma, dózis, ) Fontos interpretáció: 2 2 DQE u, v SNR u, v SNR u, v SNR out in u, v in : érzékelőelemre belépő jel (pl. röntgensugár, fotonok) SNR je A kész rendszer információ átvitelének hatékonyságát méri, értéke 0 és 1 között változik.
DQE számolási példák -1- Adott egy röntgen detektor, melyet az alábbi rendszer ír le: Egy ideális detektor és egy csillapító réteg soros kaszkádja (pl. CsI szcintillátor), a csillapító réteg nem változtatja az átmenő sugárzás eloszlásának osztályát. A szcintillátor a felületét elérő fotonok ¼-éből generál látható fotont, plusz zajt nem generál. Q=5000 röntgen foton/ pixel éri a teljes rendszert. NEQ=? DQE=? SNRin=? SNRout=?
DQE számolási példák -2- Adott egy röntgen detektor, mely: Ideális detektor, és zajos A/D átalakító soros kaszkádja, mely zaja ekvivalens 50 foton/pixel-el a belépő sugárzás fluxusában (inherens zaj). A kiolvasási zaj és a detektort érő fotonok zaja Poisson eloszlású, egymással korrelálatlan. Q=10000 foton/pixel éri a detektor felületét. NEQ=? DQE=? SNRin=? SNR=? Jó közelítéssel ez a két zajforrás aggregálódik (Hf. az aggregált rendszer metrikái).
Röntgen detektor kvantum modellje