Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n oszlopból áll akkor m n-es mátrixról beszélünk Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete a sorok száma pedig a függőleges mérete Példák -es mátrix 4 -es 5 -as 4 -es 5 -es Az A mátrix i-edik sora j-edik elemét általában a ij -vel jelöljük így az m n-es mátrix a a a n a a a n A vagy röviden a ij ill a ij i m j n a m a m a mn A valós számokból alkotott m n-es mátrixok halmazát R m n -nel jelöljük Minden n-dimenziós v v v n R n vektor azonosítható a v v n n-es ún sormátrixszal is v v n n -es ún oszlopmátrix szal és a III Definíció A mátrixot négyzetesnek hívjuk ha sorainak és oszlopainak száma azonos A négyzetes mátrix főátlója a bal felső elemet a jobb alsó elemmel összekötő átló folyamatos vonal jelöli lentebb mellékátlója a jobb felső és a bal alsó elem között húzódó átló szaggatott vonal jelöli ugyanott Determinánsok a a n a n a nn Minden négyzetes mátrixhoz tartozik egy meghatározó valós szám neve determináns Az n n-es A mátrix determinánsának jele deta vagy a a n a n a nn Először a -es és a -as mátrixok determinánsát definiáljuk a nagyobbakat később rekurzív módon Definíció -es: -as: a b c d ad bc a b c d e f aei + bfg + cdh ceg afh bdi g h i E két szabály könnyen megjegyezhető: a b c d ad bc A főátló folyamatos vonallal jelölve két elemének szorzatából kivonjuk a mellékátló pontozott vonallal jelölve két elemének szorzatát a b c a b d e f d e aei + bfg + cdh ceg afh bdi g h i g h Először a mátrix első két oszlopát a determináns mögé másoljuk Utána a főátló elemeit összeszorozzuk majd hozzáadjuk a vele párhuzamosan elhelyezkedő két számhármas szorzatát folyamatos vonalak ebből kivonjuk a
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév mellékátlóbeli elemek szorzatát és a vele párhuzamos két számhármas szorzatát pontozott vonalak Az eljárás neve Sarrus-szabály A -es és a -as determináns definíciójában is a tagok olyan szorzatok melyekben minden sorból egy tényező szerepel és minden oszlopból is Pl a -as determináns utolsó tagja bdi melyben b az első sor d a második sor i a harmadik sor eleme míg az oszlopokat tekintve b a másodikhoz d az elsőhöz és i a harmadikhoz tartozik! 6 ilyen szorzat van Példák a 4 4 b c a b c a c {{ b ac d e a b c d e f a b d + + a d f + b {{ e + c {{ c {{ d a {{ e b f adf {{ Definíció Egy determinánsban valamely elem aldeterminánsának nevezzük az adott elem sorának és oszlopának elhagyásával keletkező kisebb determinánst Az A négyzetes mátrix i-edik sora j-edik eleméhez a ij tartozó aldeterminánst A ij -vel jelöljük mátrix aldeterminánsainak mérete n n Az n n-es A nagyobb méretű determinánsok definícióját megadhatjuk eggyel kisebb méretű aldeterminánsok segítségével az eljárás neve determináns kifejtése aldeterminánsokkal Definíció Egy determináns rekurzív módon aldeterminánsokkal úgy kapható meg hogy tetszőlegesen választott sorban vagy oszlopban minden elemet megszorzunk a hozzá tartozó aldeterminánssal majd a kapott szorzatokat a sakktáblaszabály + + + + + szerinti előjelnek megfelelően összeadjuk ill kivonjuk Bizonyításra szorul hogy bármely sor vagy oszlop szerint számolva azonos eredményt kapunk Azt is ellenőrizni kell hogy a -as determináns értéke a Sarrus-szabály és a kifejtések szerint megegyezik Az utóbbi pl az első sor szerinti kifejtésre: a b c d e f g h i a e h f i b d g f i + c d g e h aei fh bdi fg + cdh eg aei afh bdi + bfg + cdh ceg aei + bfg + cdh ceg afh bdi A sakktáblaszabálynál az i-edik sor j-edik előjelét i+j is megadja: + + + + + Ezt felhasználva a determináns első sor szerinti kifejtése a a a a a a a a a a A a A + a A
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév Általában az i-edik sor szerint a j-edik oszlop szerint kifejtve pedig deta deta n i+j a ij A ij j n i+j a ij A ij i Az előző c példában a determinánst az első sor szerint kifejtve + {{{{{{ a második sor szerint a harmadik oszlop szerint pedig + {{{{ {{ + {{{{{{ A többi három kifejtés harmadik sor szerinti első oszlop szerinti második oszlop szerinti hasonlóan számolható ki 4 Definíció Felső háromszögmátrix nak nevezzük az olyan négyzetes mátrixot amelyiknek minden főátló alatti eleme nulla Az alsó háromszögmátrix olyan négyzetes mátrix melynek minden főátló fölötti eleme nulla A diagonálmátrix olyan négyzetes mátrix amelyik a főátlóján kívül csak nulla elemeket tartalmaz A diagonálmátrix egyszerre felső és alsó háromszögmátrix Állítás Minden háromszögmátrix determinánsa a főátlóbeli elemek szorzata Bizonyítás Felső háromszögmátrix determinánsát számoljuk ki alsóra hasonló a bizonyítás A determinánsokat minden esetben az első oszlop szerint kifejtve a a a a n a a a n a a a n a a a n a a n a a n a a n a + a a nn a nn a nn a a n a a n a a + a a a a a nn a nn a nn 5 ax + by e cx + dy f lineáris egyenletrendszer ahol a b c d e f R adott számok x y R az ismeretlenek Ez determinánsok felhasználásával is megoldható a b Az egyenletrendszer mátrixa A Az első egyenletet d-vel a másodikat pedig b-vel szorozva majd c d a kapott két egyenletet kivonva ax + by e / d I II ad bcx ed fb cx + dy f / b {{ deta
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév Hasonlóan kapható ax + by e cx + dy f / c / a II I ad {{ bc y af ec deta Ha deta akkor az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van és mindkét ismeretlen determinánsok hányadosaként kapható: ed bf x ad bc e b f d af ec a b y ad bc a e c f c d a b c d A nevezőben a rendszer determinánsa található a számlálót pedig úgy kapjuk hogy a rendszer determinánsában az éppen kiszámolandó változó együtthatói helyébe az adott együttható egyenletének jobb oldalán álló számokat írjuk Ha deta akkor az egyenletrendszernek ed bf af ec esetén végtelen sok megoldása van ha viszont ed bf vagy af ec akkor nincs megoldás Nagyobb lineáris egyenletrendszer megoldását is felírhatjuk determinánsok hányadosaként a fenti módon ha a rendszer determinánsa nullától különböző Ennek Cramer-szabály a neve Ha pedig a rendszer determinánsa nulla akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása vagy végtelen sok megoldása van Példa megoldása 4 9 x 5 4 mert a rendszer determinánsa 5x + 4y x + y 9 4 9 5 4 y 5 4 5 9 5 4 5 9 5 4 6 6 A kisebb mátrixok determinánsát gyorsan kiszámolhatjuk a nagyobbaknál hasznosak az alábbi ismeretek Állítás Elegendő feltételek arra hogy a négyzetes mátrix determinánsa nulla a A mátrix determinánsa nulla ha valamely sorának vagy oszlopának minden eleme nulla b A mátrix determinánsa nulla ha két sora vagy két oszlopa megegyezik c A mátrix determinánsa nulla ha egyik sora egy másik sor konstansszorosa vagy egyik oszlopa egy másik oszlop konstansszorosa Állítás Négyzetes mátrix néhány egyszerű megváltoztatásakor hogyan változik a determinánsa a Ha a mátrix valamely sorához hozzáadjuk egy másik sorát vagy valamely oszlopához hozzáadjuk egy másik oszlopát a determináns nem változik b Ha a mátrix valamely sorához hozzáadjuk egy másik sor konstansszorosát vagy valamely oszlopához hozzáadjuk egy másik oszlop konstansszorosát a determináns nem változik c Ha a mátrix elemeit tükrözzük a főátlóra a kapott mátrix ún transzponált mátrix ld később determinánsa egyenlő az eredeti mátrix determinánsával d Ha a mátrix két sorát vagy két oszlopát felcseréljük a determinánsa az eredeti determinánsának negatívjára azaz -szeresére változik e Ha a mátrix valamely sorának vagy valamely oszlopának minden elemét megszorozzuk ugyanazzal a konstanssal a determináns az eredeti konstansszorosára változik Bármely négyzetes mátrixot a fenti két állításban szereplő lépésekkel háromszögmátrixszá alakíthatjuk melynek determinánsa a főátlójában álló elemek szorzata E nyolc összefüggés szerint az eredeti mátrix determinánsát is ki tudjuk számolni Nagy mátrix esetén ez az eljárás általában gyorsabban ad eredményt mint a kifejtés valamely sor vagy oszlop szerint
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III Műveletek mátrixokkal Egy négyzetes mátrixot a főátlójára tükrözve ugyanolyan méretű négyzetes mátrixot kapunk melyet az eredeti mátrix transzponáltjának hívunk A transzponált fogalmát általánosíthatjuk nem feltétlenül négyzetes mátrixokra Definíció Az m n-es A a ij i m j n nevezzük az A T a ji i m j n n m-es mátrixot mátrix transzponált mátrix ának röviden transzponáltjának Példák a 4 T 4 b a c e b d f T a c e b d f c a b c T a b c Minden A mátrixra A T T A Azonos méretű mátrixok összegét különbségét valamint egy mátrix számmal való szorzatát úgy képezzük mint vektorokra a mátrixokra elemenként a vektorokra koordinátánként Definíció Két azonos méretű mátrix összege különbsége és egy mátrix számszorosa az az ugyanolyan méretű mátrix melynek elemeit úgy kapjuk hogy a két mátrixban az azonos helyen álló elemeket összeadjuk kivonjuk ill a mátrix minden elemét megszorozzuk az adott számmal Tehát a ij ± b ij a ij ± b ij λ a ij λa ij Példák a 4 b 4 c 5 4 5 8 + 5 + 8 6 + 6 7 + 6 4 + 7 9 5 8 5 8 4 6 6 7 6 4 7 5 5 5 5 5 4 5 Két mátrix szorzatát akkor definiáljuk ha az első tényező oszlopainak száma vízszintes mérete megegyezik a második tényező sorainak számával függőleges mérete Definíció Az m n-es A és az n p-es B mátrix szorzata az az m p méretű C mátrix melynek minden elemét úgy kapjuk hogy az első mátrixnak annyiadik sorát mint a keresett elem első indexe skalárisan szorozzunk a második mátrix annyiadik oszlopával mint a keresett elem második indexe sor-oszlop szorzás Az A a ij és B b ij mátrixok C c ij szorzatának elemei c ij a i b j + a i b j + + a in b nj hiszen i-edik sor a i a i a in j-edik oszlop b j b j c ij b nj Pontosan azoknak a mátrixoknak értelmezzük a szorzatát melyekre az első tényezőben a sorok ugyanolyan hosszúak mint a második tényezőben az oszlopok Példák négyzetes mátrixok szorzására:
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév 5 6 5 + 7 6 + 8 9 4 7 8 5 + 4 7 6 + 4 8 4 5 5 6 5 + 6 5 + 6 4 4 7 8 4 7 + 8 7 + 8 4 46 Általában AB BA vagyis a mátrixok szorzása nem kommutatív művelet A mátrixok szorzásának szabálya egyszerűen megjegyezhető ha a két mátrixot A és B az AB szorzatukkal együtt egy -es B A AB táblázatban helyezzük el Ekkor a szorzat elemei sorokat oszlopokkal szorozva anélkül kiszámolhatók hogy eltévesztenénk a sort vagy az oszlopot Amikor ui egy sort egy oszloppal megszorzunk szorzatuk helyét az adott sor és oszlop kijelöli 5 6 9 Példa Az A és B mátrixok AB szorzata így is kiszámolható: 4 7 8 4 5 5 6 4 4 7 8 9 5 6 7 8 9 5 6 4 7 8 9 4 5 6 4 7 8 9 4 5 Egy lépésben 5 6 4 Definíció Az 4 7 8 9 4 5 mátrixot -es egységmátrixnak hívjuk I -vel jelöljük Ezzel a mátrixszal szorozva a b a + c b + d a b c d a + c b + d c d a b a + b a + b a b c d c + d c + d c d Tehát bármely -es A mátrixszal szorozva AI I A A vagyis I úgy viselkedik a -es mátrixok szorzásakor mint a valós számok szorzásánál Definíció Azt az n n-es mátrixot amelyiknek a főátlójában -esek állnak a többi elem pedig n n-es egységmátrixnak nevezzük I n -vel jelöljük Az I n n n-es egységmátrix és tetszőleges n n-es A mátrix szorzata mindkét sorrendben A-t adja: I n A AI n A Azonos méretű négyzetes mátrixokkal számolva az egységmátrix indexét gyakran elhagyjuk röviden I-vel jelöljük
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév 5 Azonos méretű diagonálmátrixok szorzását egyszerűen elvégezhetjük A szorzat is ugyanolyan méretű diagonálmátrix a főátlójának elemeit az eredeti két mátrix azonos helyen álló elemeinek szorzataként kapjuk Állítás Az A a b és B diagonálmátrixok AB és BA szorzata megegyezik mégpedig AB BA a nn a b a nn b nn b nn Bizonyítás A C AB szorzatmátrix i-edik sorában a j-edik elem az A mátrix i-edik sorának és a B mátrix j-edik oszlopának skaláris szorzata vagyis c ij a i b j + a i b j + + a in b nj A diagonálmátrixok bármely sorában és bármely oszlopában egy elem a főátlóban álló kivételével mindegyik nulla így a c ij elemet adó sor-oszlop szorzat: i-edik sor a ii j-edik oszlop b jj Amikor a C szorzatmátrix főátlójának i-edik elemét számoljuk ki akkor egymással szorozzuk a diagonális elemeket a többi tag pedig ezért c ii a ii b ii A főátlón kívüli c ij i j elem pedig olyan szorzatok összege ahol a ii -t és b jj -t is nullával szorozzuk így c ij 6 A mátrixműveletekre érvényes több valós számokra ismert azonosság Állítás Ha α R és A B C olyan mátrixok melyekre a következő azonosságok egyik oldala értelmezve van akkor a másik oldal is értelmezve van és az egyenlőség fennáll: ABC ABC asszociativitás A + BC AC + BC és AB + C AB + AC disztributivitás mindkét módon αab αab AαB 7 Definíció Az A négyzetes mátrix hatványai is ugyanolyan méretű négyzetes mátrixok mégpedig A I A A A A A A A A A Példák a Ha A b Ha A 4 akkor akkor Teljes indukcióval következik A n A 7 4 4 5 A A 7 A 5 4 A A A A n 7 54 8 8
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév c Ha A akkor Teljes indukcióval bizonyíthatjuk hogy A n A 4 4 4 A A 4 8 A 4 4 8 8 6 A 4 A A 8 6 n n n n 8 Állítás Determinánsok szorzástétele Ha A és B azonos méretű négyzetes mátrixok akkor detab det A det B III4 Inverz mátrix Példa 4 4 és fordított sorrendben is 4 4 A valós számok körében ab ba esetén b a az a szám reciproka Az szám megfelelője a mátrixok között az egységmátrix ezért most olyan A és B mátrixokat vizsgálunk melyekre AB BA I Vajon mi a feltétele annak hogy mátrixok szorzata a két lehetséges sorrendben egyenlő legyen? Az A m n-es mátrix és a B p q-as mátrix AB szorzata akkor van értelmezve amikor n p és ekkor AB mérete m q A BA szorzat pedig akkor van értelmezve amikor q m és ebben az esetben BA p n-es mátrix Ha AB BA akkor n p és m q mellett a két szorzatmátrix méretének is meg kell egyeznie vagyis m p és q n Ekkor m n p q vagyis az eredeti két mátrix azonos méretű négyzetes mátrix A valós számok körében megismert reciprok megfelelője a mátrixok között az inverz mátrix Definíció Az A négyzetes mátrix inverz mátrix a röviden inverze a vele azonos méretű B mátrix ha AB BA I Bebizonyítható hogy az inverz definíciójában az AB I és BA I feltételek egyikéből következik a másik annak ellenére hogy általában a mátrixok szorzása nem kommutatív Ha ui A és B azonos méretű négyzetes mátrixok melyekre fennáll AB I akkor BA I is tehát a két mátrix egymás inverze 4 Állítás Minden négyzetes mátrixnak legfeljebb egy inverz mátrixa van vagyis az inverz mátrix egyértelmű Bizonyítás Ha az A négyzetes mátrixnak B és B is inverze akkor AB B A I AB B A I Ekkor a B AB szorzatot kétféleképpen csoportosítva megkapjuk hogy B és B egyenlő: Az A mátrix inverzét A jelöli B B AB {{ B AB {{ B I I 5 Nem minden négyzetes mátrixnak van inverze ahogy nem minden valós számnak van reciproka Osztani csak a nulla valós számmal nem tudunk inverze viszont több mátrixnak sem létezik Nullmátrix nak nevezzük az olyan mátrixot amelyiknek minden eleme nulla inverze a nagyobbaknak sem mert a b I c d A -es nullmátrixnak nincs Példák a A a b mátrixnak nincs inverze Ha ui volna az inverze akkor teljesülne c d a b I c d Ezzel ellentétben a b c d hiszen a két mátrix bal felső eleme különbözik a + c b + d I
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév b Az 4 a b mátrixnak sincs inverze mert ha lenne és az inverz c d a b 4 c d összefüggésből a szorzat bal felső és bal alsó elemére következne ami ellentmondás a + c a + 4 c volna akkor az 6 A fenti három mátrixnak nincs inverze és egy másik közös tulajdonságuk hogy a determinánsuk nulla Általában is érvényes a következtetés Állítás Ha egy négyzetes mátrixnak van inverze akkor a determinánsa nem nulla Bizonyítás Ha az A négyzetes mátrixnak van inverze akkor AA I A determinánsok szorzástétele szerint ezért det A det A det A detaa det I Az inverz mátrixra képlet adható Először -es mátrix inverzét adjuk meg: a b d b Ha A és deta ad bc akkor ezt a B mátrixszal szorozva c d c a a b d b ad + b c a b + ba ad bc AB c d c a cd + d c c b + da ad bc és ezért d b a b da + bc db + bd BA c a c d ca + ac cb + ad A következő eredményt kaptuk a b Állítás Ha A c d Példák 5 4 a b c 4 4 5 4 4 6 A det A B det A B A I és deta ad bc akkor A deta 4 5 4 ad bc ad bc d b c a 7 Nagyobb négyzetes mátrixok inverzére is ismerünk képletet aminek speciális esete a -esre vonatkozó előbbi állítás Definíció Az A négyzetes mátrix adjungáltjának nevezzük azt az A-val azonos méretű négyzetes mátrixot amelyiknek minden eleme az adott elem főátlóra vontakozó tükörképének transzponált elem aldeterminánsa a sakktáblaszabály szerinti előjellel megszorozva Az A mátrix adjungáltjának jele A adj Tehát A a ij adjungáltja A adj i+j A ji a b Példa Az A c d d b mátrix adjungáltja A adj c a mert
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév a tükörképe önmaga a hozzá tartozó aldetermináns d b tükörképe c és a c-hez tartozó aldetermináns b c tükörképe b és a b-hez tartozó aldetermináns c d tükörképe önmaga a hozzá tartozó aldetermináns a Állítás Egy A négyzetes mátrixnak pontosan akkor van inverze ha a determinánsa nem nulla és ekkor az inverze A deta A adj 8 Diagonálmátrix inverz mátrixát könnyen meghatározhatjuk Ha a diagonálmátrix egyik főátlóbeli eleme sem nulla akkor a determinánsa nem nulla ezért van inverze ami az eredetivel azonos méretű diagonálmátrix és a főátlójának bármely eleme az eredeti mátrix ugyanazon a helyen álló elemének reciproka Állítás Ha A a a nn és a ii i n akkor A a Bizonyítás A diagonálmátrixok szorzására vonatkozó állításból következik hogy e két mátrix szorzata mindkét sorrendben az I n egységmátrix 9 Az ax + by e cx + dy f egyenletrendszer inverz mátrix felhasználásával is megoldható Először átírjuk a rendszert egyetlen egyenletté x a b amelyikben az ismeretlen az vektor Az egyenletrendszer A mátrixával y c d ax + by e cx + dy f a b x c d y {{ A Ha deta akkor A-nak van inverze amivel balról szorozva az egyenletet x e A / A y f balról A x {{ A y I A e f e f a nn tehát x A y e f deta d b c a e f de + bf deta ce + af ed bf ad bc af ce ad bc Példa Az 5x + 4y x + y 9 egyenletrendszer megoldása inverz mátrix segítségével: 5x + 4y x + y 9 5 4 x y 9 x y 5 4 9 és alapján azaz x y x y 5 4 4 5 4 5 4 5 + 4 9 9 + 5 9
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III5 Mátrix és vektor szorzata Mátrix és vektor szorzatát úgy kapjuk hogy a vektort oszlopmátrixként tekintve azaz n -es mátrixszal azonosítva ha a vektornak n koordinátája van a két mátrixot szorozzuk: A v Av Definíció Az A m n-es mátrix és a v R n vektor szorzata az az Av R m vektor melynek koordinátái Av a v + a v + + a n v n Av i a i v + a i v + + a in v n Av m a m v + a m v + + a mn v n Ha A n n-es négyzetes mátrix és v n-dimenziós vektor akkor Av is n-dimenziós vektor Az egységmátrix a nevéhez híven viselkedik mátrix és vektor szorzásakor is: Bármely v R n vektorra I n v v Példák a I v v: b I v v: v v + v v v v + v v v v v + v + v v + v + v v v v v + v + v v III6 Lineáris leképezések a b Ha A akkor e mátrix által megadott c d R R v v av + bv A v v cv + dv függvény síkbeli vektorokhoz síkbeli vektort rendel tehát geometriai transzformáció Hasonlóan az m n-es A mátrix a v Av hozzárendelési szabállyal meghatároz egy R n R m típusú függvényt Példa Melyik síkbeli transzformációt adja a mátrixszal való szorzás? A hozzárendelés v v v v v v ami felcseréli a két koordinátát Az első és harmadik síknegyed közös szögfelező egyenesére vonatkozó tükrözés tesz így ez a keresett transzformáció Példa A síkon a vízszintes tengelyre vonatkozó tükrözés megadható mátrixszal való szorzásként Ennél a tükrözésnél a vektor vízszintes koordinátája változatlan marad a függőleges koordinátája a - v v szeresére változik vagyis a hozzárendelés szabálya Ez a hozzárendelés megadható mint v v mátrixszal való szorzás: v v v v ezért a vízszintes tengelyre vonatkozó tükrözés mátrixa
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév 4 Ha A m n-es mátrix u v R n vektorok és λ R akkor Au + v Au + Av Aλv λ Av Ezek az azonosságok a mátrixok szorzatára tanult azonosságokból következnek mivel mátrix és vektor szorzatát a mátrixok szorzatának mintájára definiáltuk Az első azonosság szerint a vektorok összeadása és mátrixszal való szorzása felcserélhető műveletek a második pedig azt jelenti hogy a vektor számmal és mátrixszal való szorzása is felcserélhető 5 A mátrixszal való szorzás fenti két tulajdonságát követeli meg az alábbi fogalom Definíció Az f : R n R m függvényt lineáris leképezésnek nevezzük ha fu + v fu + fv u v R n fλv λfv v R n λ R Az f : R n R m függvény geometriai transzformáció minden n-dimenziós vektorhoz egy m-dimenziós vektort rendel 6 Ha A m n-es mátrix akkor az fv Av v R n függvény lineáris leképezés Más lineáris leképezés nincs is minden lineáris leképezés megadható mátrixszal való szorzásként Állítás Minden f : R n R m mátrixszal való szorzás Ha lineáris leképezéshez megadható olyan mátrix melyre az f lineáris leképezés a e e e n a standard bázis akkor a mátrix úgy kapható hogy e bázisvektorokon felvett értékeket mint oszlopvektorokat egymás mellé írjuk: A fe fe fe n Bizonyítás Az f lineáris leképezést egyértelműen meghatározzák a standard bázison felvett fe fe fe n értékek hiszen tetszőleges v v v v n R n vektorra fv fv e + v e + + v n e n v fe + v fe + + v n fe n Ha f az A a ij mátrixszal való szorzás akkor a a a n a a a n fe Ae a m a m a mn szerint Ae az A mátrix első oszlopa hasonlóan Ae az A mátrix második oszlopa Ae n az A mátrix utolsó oszlopa Ezért f mátrixa csak a bázisvektorokon felvett értékeket mint oszlopvektorokat egymás mellé írva kapható mátrix lehet: A fe fe fe n f és az A mátrixszal való szorzás is lineáris leképezés az e e e n bázisvektorokhoz a két függvény ugyanazt rendeli így megegyeznek 7 Példa A síkon az első és harmadik síknegyed közös szögfelező egyenesére vonatkozó tükrözés mátrixa mert e szögfelezőre vonatkozó tükrözés lineáris leképezés és e e A fe fe Az egyik bevezető példában is ezt kaptuk a a a m
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév cos ϕ sin ϕ 8 Példa A síkon az origó középpontú ϕ szögű pozitív irányú elforgatás mátrixa mert ez az sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ elforgatás lineáris leképezés és az elforgatáskor e e sin ϕ cos ϕ 9 Vajon miért a tanult módon definiáltuk két mátrix szorzatát nem az összeadás és a kivonás mintájára? Az utóbbi két műveletet azonos méretű mátrixok között értelmeztük mégpedig a két mátrixban azonos helyen álló elemeket összeadtuk ill kivontuk A szorzat definíciójakor az volt a matematikusok célja hogy két lineáris leképezés kompozíciójának mátrixa egyenlő legyen a két lineáris leképezés mátrixának szorzatával vagyis ha a g : R p R n lineáris leképezés mátrixa az A n p-es mátrix és az f : R n R m lineáris leképezés mátrixa a B m n-es mátrix akkor az f g : R p R m kompozíció mátrixa a BA m p-es mátrix Ez a cél teljesül hiszen minden v R p vektorra f gv fgv fav BAv BAv tehát f g mátrixa f mátrixa g mátrixa III7 Valós sajátérték-feladat Az A n n-es négyzetes mátrix és a v R n n-dimenziós vektor Av szorzata is n-dimenziós vektor A nullvektortól különböző v vektor pontosan akkor párhuzamos az Av vektorral amikor van olyan λ R szám melyre Av λv Az ilyen nullvektortól különböző vektort amelyik párhuzamos a mátrixszorosával a mátrix sajátvektorának fogjuk hívni Definíció Az n n-es A mátrixnak λ R valós sajátértéke és v R n ha Av λv Av λv Av λiv A λiv Az utóbbi egy lineáris egyenletrendszer vektoregyenletté átírt alakja Ennek megoldása v v v n v egy hozzá tartozó sajátvektor neve triviális megoldás Az egyenletrendszernek pontosan akkor ez az egyetlen megoldása ha a determinánsa nem nulla azaz det A λi Ha pedig det A λi akkor van nemtriviális megoldás ami λ-hoz tartozó sajátvektort ad Tehát a sajátértékeket egyenlet megoldásával kaphatjuk meg Állítás λ R pontosan akkor sajátértéke az A mátrixnak ha det A λi Az A λi mátrix A-ból úgy kapható hogy a főátló elemeiből kivonunk λ-t Definíció Ha A n n-es mátrix akkor det A λi n-edfokú algebrai egyenlet amit A karakterisztikus egyenlet ének hívunk A det A λi polinom neve karakterisztikus polinom Minden n-edfokú algebrai egyenletnek legfeljebb n gyöke van ezért minden n n-es mátrix sajátértékeinek száma legfeljebb n Példák a sajátértékei és sajátvektorai i A sajátértékek: A λi λ λ λ λ λ Látszik hogy A λi valóban megkapható A főátlójának elemeiből λ-t kivonva det A λi λ λ λ λ λ 5λ + 4 λ 5 ± 5 6 5 ± λ 4 λ
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév ii A λ 4 sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet v v v + v Av λ v 4 4v v v v + v 4v v v v v v v v + v 4v v + v 4v Az egyenletrendszer egyik egyenletéből a másik az oldalak felcserélésével nyerhető tehát a kettő nem független A sajátvektorok v v v v pl 4 4 A λ sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet v v Av λ v v v v + v v v + v v v v v v Ez a két egyenlet sem független a sajátvektorok v v v v pl A BRA b 4 sajátértékei és sajátvektorai i A sajátértékek: det A λi λ 4 λ λ4 λ λ 7λ + λ 5 λ ii A λ 5 sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet v v v Av λ v 5 v 5v v v 4 v v v + 4v 5v v v Tehát v v így a sajátvektorok v v v v pl A λ sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet v v Av λ v 4 v v v v v v + 4v v v v v v Ebből v v vagyis a sajátvektorok v v v v pl A BRA c sajátértékei és sajátvektorai i A sajátértékek: det A λi λ λ λ λ λ λ 5 λ ± 6
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév ii A λ + 6 sajátértékhez tartozó sajátvektorokat megadó egyenlet Av λ v v + v 6 v v v + v + 6 v v + v + 6 v v 6 v v 6 v Bár kevésbé látható az egyenletrendszer két egyenlete között van kapcsolat az első egyenletet szorozva majd az oldalakat felcserélve kapható a második egyenlet A sajátvektorok v v v pl vagy 6 6 v 6 -dal A λ 6 sajátértékhez tartozó sajátvektorok egyenlete Av λ v v v 6 v v v + v 6 v v + v 6 v v 6 v v 6 v d Ez az egyenletrendszer sem független egyenletekből áll a sajátvektorok v v 6 v v pl vagy 6 4 sajátértékei és sajátvektorai 6 6 i A sajátértékek: det A λi λ 4 6 λ λ6 λ 4 λ6 λ λ λ 6 A háromszögmátrix sajátértékei mindig a főátlóban álló számok ii A λ sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet 4 v v Av λ v v + 4v v 6 v v 6v v 4v v Mindkettő a v feltételt jelenti Viszont v -ről nem követelünk meg semmit így a nulla kivételével tetszőleges lehet ezért a sajátvektorok v v v pl A λ 6 sajátértékhez tartozó sajátvektorok egyenlete 4 v v Av λ v 6 v + 4v 6v 6 v v 6v 6v 4v v 6v 6v e A második egyenlet azonosság csak az első szab feltételt a koordinátákra v 4 v abból a sajátvektorok v 4 v 4 v v pl vagy 4 sajátértékei és sajátvektorai i A sajátérték: det A λi λ λ λ λ λ 4λ + 4 λ λ kétszeres sajátérték ii A sajátvektor-egyenlet v v Av λ v v v v v v v + v v v v v v A sajátvektorok v v v v pl
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév f sajátértékei és sajátvektorai i A sajátérték: det A λi λ λ λ λ λ λ λ kétszeres sajátérték ii A hozzá tartozó sajátvektorok egyenlete v v Av λ v v v v v v v v v tetszőleges Ezért bármely v R v sajátvektor A sajátvektort meghatározó egyenletrendszer mindig összefüggő az egyenletek között van összefüggés vagy az egyik egyenlet azonosság Ha egy feladat megoldásakor nem ezt látjuk az számolási hibára utal Definíció Ha A négyzetes mátrix akkor a deta λi karakterisztikus egyenlet valódi komplex megoldásait az A mátrix valódi komplex sajátérték einek nevezzük Az A négyzetes mátrix deta λi karakterisztikus egyenletének megoldásai a komplex számok körében a mátrix valós sajátértékei és a valódi komplex sajátértékei Ezeket nevezzük a mátrix sajátértékeinek Mivel a komplex számok körében minden n-edfokú egyenletnek multiplicitással számolva n megoldása van ezért minden n n-es mátrixnak multiplicitással számolva n sajátértéke van multiplicitással számolva azt jelenti hogy mindegyiket annyiszor számoljuk ahányszoros gyöke az egyenletnek ill a karakterisztikus egyenletnek 4 Állítás Minden háromszögmátrix sajátértékei a főátlóban álló számok Bizonyítás A λi is háromszögmátrix aminek a determinánsa a főátlóbeli elemek szorzata Így pl felső háromszögmátrixra a λ a n det A λi a λ a nn λ λ a λ n a nn a nn λ 5 Egy négyzetes mátrixot szimmetrikusnak mondunk ha szimmetrikus a főátlójára vagyis a főátlójára szimmetrikusan elhelyezkedő elemek megegyeznek Definíció Az A a ij ijn négyzetes mátrixot szimmetrikusnak nevezzük ha a ij a ji indexre minden i és j Állítás Ha egy n n-es mátrix szimmetrikus akkor n db valós sajátértéke van multiplicitással számolva mindegyiket annyiszor ahányszoros gyöke a karakterisztikus egyenletnek valódi komplex sajátértéke nincs 6 Az alábbi egyszerű összefüggés a mátrix sajátértékei és determinánsa között lehetőséget ad a kiszámolt sajátértékek ellenőrzésére: Állítás A -es mátrix két különböző sajátértékének szorzata ill a kétszeres sajátértékének négyzete egyenlő a mátrix determinánsával a b Bizonyítás Az A mátrix karakterisztikus egyenlete c d deta λi a λ c b d λ a λd λ bc λ a + dλ + ad bc Az egyik Viete-formula szerint e másodfokú egyenlet gyökeinek a sajátértékek: λ és λ lehet λ λ is szorzata az egyenlet konstans tagjának és főegyütthatójának hányadosa vagyis λ λ ad bc det A 7 Állítás Egy négyzetes mátrix adott sajátértékhez tartozó sajátvektorai és a nullvektor alteret alkot vagyis adott sajátértékhez tartozó sajátvektorok lineáris kombinációja is ugyanahhoz a sajátértékhez tartozó sajátvektor vagy a nullvektor
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév Bizonyítás Ha u v R n az A mátrix λ valós sajátértékéhez tartozó sajátvektorai vagy a nullvektor és α R akkor Au λu + Au + Av λu + λv Av λv {{{{ Au+v λu+v Au λu / α αau {{ Aαu αλu {{ λαu alapján u + v és αu is λ-hoz tartozó sajátvektora A-nak vagy a nullvektor A nullvektorra nyilván A λ Következmény Egy -es mátrix adott valós sajátértékéhez tartozó összes sajátvektora és a nullvektor által alkotott halmaz vagy egy origón átmenő egyenes minden vektora vagy a sík minden vektora Egy -es mátrix adott valós sajátértékéhez tartozó összes sajátvektora és a nullvektor által alkotott halmaz vagy egy origóra illeszkedő egyenes minden vektora vagy egy origóra illeszkedő sík minden vektora vagy a tér minden vektora Definíció A négyzetes mátrix adott sajátértékéhez tartozó összes sajátvektor és a nullvektor által alkotott halmazt az említett sajátértékhez tartozó sajátaltér nek nevezzük 8 Állítás Ha az A négyzetes mátrixnak λ λ k különböző valós sajátértékei akkor egy-egy azokhoz tartozó v v k sajátvektort választva ez a k számú vektor lineárisan független Bizonyítás Ha nem volna mindig igaz az állítás akkor volna olyan legkisebb számú vektor melyek nem alkotnak lineáris független rendszert Indirekt módon tegyük fel hogy a v v k vektorok lineárisan összefüggőek vagyis van olyan nem triviális α v + + α k v k lineáris kombinációjuk amelyik a nullvektor valamint k-nál kevesebb vektor mindig lineárisean független Szorozzuk az A mátrixot ezzel a lineáris kombinációval akkor A Aα v + + α k v k α Av + + α k Av k α λ v + + α k λ k v k Ha pl α akkor az α v + + α k v k egyenletet λ k -val szorozva a kapott egyenletet vonjuk ki az elsőből: α λ k v + + α k λ k v k α λ λ k v + + α k λ k λ k v k Itt α λ λ k ami azt jelenti hogy a v v k vektorok egy nem triviális lineáris kombinációja a nullvektort állítja elő tehát ez a k vektor is lineárisan összefüggő Ez ellentmond az indirekt feltevésünknek így az utóbbi hamis III8 Házi feladatok? Megoldás: det 5+ + 4 4 5 4 5 4 4 a? b? c? 5 5 d Ellenőrizze a c feladat eredményét 5 Megoldás: a b 8 9 9 d 4 5 Oldja meg a Megoldás: 5 x y 9 x + 6y 9 a A rendszer determinánsa x 9 9 6 6 c és 5 5 4 5 egyenletrendszert a a Cramer-szabály alkalmazásával b inverz mátrixszal! 6 9 így 9 6 9 6 7 9 y 9 9 6 9 9 6 9 9
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév b x y 9 x + 6y 9 x y 9 9 x 9 6 y 9 6 6 9 9 9 + 9 9 9 9 + 9 9 9 x y 9 6 x y 9 9 4 Adja meg a síkon a második és a negyedik síknegyed közös szögfelező egyenesére vonatkozó tükrözés mátrixát! v v Megoldás: E szögfelezőre vonatkozó tükrözéskor mátrixszal való szorzásként v v v v v v Tehát a második és a negyedik síknegyed közös szögfelező egyenesére vonatkozó tükrözés mátrixa Másik megoldás: E tükrözésnél e e ezért a mátrix 5 Adja meg a síkon az origóra vonatkozó középpontos tükrözés mátrixát! v v Megoldás: Az origóra vonatkozó tükrözéskor ezért v v miatt a mátrix v tükörkép v v v v Másik megoldás: Az origóra vonatkozó tükrözéskor e v e ezért a mátrix 6 Határozza meg az alábbi mátrixok sajátértékeit és sajátvektorait! Adjon meg egy-egy konkrét sajátvektort! a Megoldás: i A sajátértékek: det A λi λ λ λ λ λ 5λ + 4 λ 4 λ ii A λ 4 sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet v v v Av λ v 4 v 4v v v v v v + v 4v v v A két egyenlet ugyanazt a v v feltételt jelenti ezért a sajátvektorok v v v v pl A λ sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet v v Av λ v v v v v v v + v v v v v v Mindkét egyenlet a v v feltétellel ekvivalens így a sajátvektorok v v v v pl
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév b Megoldás: i A sajátértékek: det A λi λ λ λ λ 6λ + 8 λ 6± 6 ± ii A λ 4 sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet v v Av λ v 4 v + v 4v v v v v v v + v 4v v v v A sajátvektorok v v v v pl A λ sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet v v Av λ v v + v v v v v + v v v v v v v v c 4 4 A sajátvektorok v v v v pl Megoldás: i A sajátértékek: det A λi 4 λ 4 λ 4 λ λ 8λ + λ 8 ± 64 48 λ 6 λ ii A λ 6 sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet 4 v v Av λ v 6 4v + v 6v v 4 v v v + 4v 6v v A sajátvektorok v v v v pl A λ sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet 4 v v Av λ v 4 v v 4v + v v v + 4v v v v A sajátvektorok v v v v pl