A talajok in situ feszültségi állapota

Miskolci Egyetem Mőszaki Földtudományi Kar Mikoviny Sámuel Doktori Iskola PhD - kutatószeminárium PhD-hallgató A talajok in situ feszültségi állapota Szemináriumvezetı dr. Somosvári Zsolt egyetemi tanár Miskolc 27. június

1. Bevezetı A talajok kezdeti feszültségállapotát, különösen a vízszintes feszültségeket viszonylag kevés gyakorlati geotechnikai feladat hagyományos megoldásához kellett ismerni. A földstatikai feladatok nagyobb részét ugyanis úgy oldjuk meg, hogy különválasztjuk a teherbírási határállapok, a talajtörés okozta állékonyságvesztés, illetve a használhatósági határállapotok, a talaj alakváltozása miatti elmozdulások vizsgálatát. Az elıbbieket a csúszóvonalak elméletére építve, a talajt merev-képlékeny közegnek tekintve, állandó nyírószilárdsági jellemzıket feltételezve vizsgáljuk. Megállapítjuk az adott peremfeltételekre érvényes egyensúlyi határállapotot, és azzal szemben kellı biztonságot megkövetelve méretezzük a szerkezeteket. Eközben nem vizsgáljuk az alakváltozásokat és az elmozdulásokat, célunk csak az, hogy e határállapotokat elkerüljük. Így oldjuk meg a rézsőállékonysági, földnyomási és alaptörési feladatainkat. A használhatósági határállapotokat a biztonsággal csökkentett terhelésekre vagy az állékonyságvesztéssel szemben kellı biztonságot nyújtó geometriára vonatkozóan vizsgáljuk. A talajban mőködı feszültségeket általában a lineáris rugalmasságtan alapján vagy még ennél is egyszerőbb feszültség-eloszlási modellek alapján határozzuk meg. A feszültségekbıl az alakváltozásokat (majd az elmozdulásokat) általában lineáris összefüggéssel számítjuk, s a legtöbb esetben lineáris alakváltozási állapotot is feltételezünk, pl. a süllyedéseket a függıleges feszültségekbıl az összenyomódási modulussal meghatározva, vagy pl. amikor a Winkler-féle modellel egy fal vízszintes elmozdulásait határozzuk meg. E hagyományos számítások bizonyos korrekciójaként esetleg a feszültség-alakváltozás kapcsolatot már nem lineáris (hanem pl. a szemilogarit-mikus) összefüggéssel írjuk le. A vázolt rendszerben a talajok kezdeti feszültségi állapotát lényegében nem kell ismerni. Az egyensúlyi határállapotot az nem befolyásolja, miként a konstansnak feltételezett nyírószilárdsági paramétereket sem, a lineárisan rugalmas anyagok esetében csak a feszültségnövekmény számít. A nem-lineáris modellekben már megjelenik ugyan a kezdeti állapot, de pl. a lineáris alakváltozási állapot feltételezésével dolgozó süllyedésszámítási modellekben csak a kezdeti függıleges feszültségeket kell ismerni, amelyek könnyen meghatározhatók. A hagyományos eszköztárnak talán egyetlen olyan része van, mely a nehezebben megállapítható kezdeti vízszintes feszültségek ismeretét is megkívánja, a rugalmasan befogott, kihorgonyzott (megtámasztott) falak deformációinak és igénybevételeinek vizsgálata. Erre a hazai gyakorlat a Czap-féle programot használja, s annak bemenı adata a nyugalmi nyomás tényezıje. Van még néhány feladat, mely a kezdeti (nyugalmi) állapot mérlegelésébıl indul ki, ilyen pl. a cölöpök palástellenállásának becslése, de valójában a mindennapi gyakorlat még nem érzékeli a kezdeti feszültségállapot jelentıségét. Ekként inkább csak hazafiúi büszkeségünket erısíti, hogy a nyugalmi nyomás tényezıjére a most megjelent Eurocode 7 is, mely Jáky professzor ismert képletét ajánlja (lásd késıbb), s ezzel, mintegy hivatalosan is a magyar geotechnika legnagyobb produkciójaként ismeri azt el. A talajmechanika azonban napjainkban különös fejlıdést él át. A nagykapacitású személyi számítógépek terjedésével lényegében mindenki számára lehetıvé vált olyan véges elemes programok alkalmazása, melyek már képesek arra, hogy a talajok mechanikai viselkedését a valósághoz híven nem-lineáris anyagmodellekkel írják le. Ezek a talaj kezdeti feszültségállapotából indulnak ki, kezelik a terhelések, geometriai változások okozta állapotváltozásokat, akkor is, ha közben a vizsgált talajzóna már részben képlékeny állapotba jut. A kezdeti feszültségi állapot, illetve az azt leíró K -tényezı ezekben a modellekben lényeges szerepet játszik: bemenı adat, melyet a felhasználó megadhat, vagy a programok maguk határozzák meg. Így a K -tényezı jelentısége megnıtt, érdemes ezért az ezzel kapcsolatos ismereteket áttekinteni. A jelen dolgozat 1992 évi egyetemi doktori értekezésem korszerősítése, továbbgondolása (Szepesházi, 1992). 27. június 1

2. A K -állapot értelmezése, jellemzése 2.1. Alapösszefüggések A feszültségi állapot in situ jelzıvel való megjelölése valójában térbeli és idıbeli értelmezést ad. A térben a vizsgált talajzóna egy pontjának természetes, valós ( ott helyben uralkodó) feszültségállapotára utal. Ha így beszélünk róla, akkor általában (hallgatólagosan) feltételezzük, hogy a talajt vízszintes térszínnel lehatárolt végtelen féltérnek tekintjük. Az idıbeliség azt jelenti, hogy vizsgált pontnak a talaj keletkezése és a késıbbi geológiai hatások nyomán, a mérnöki beavatkozás (terhelés, geometriai változtatás) elıtt kialakult mechanikai állapotot vizsgáljuk. Ezt az állapotot szokás in situ, kezdeti vagy nyugalmi állapotnak, vagy a legegyszerőbben K - állapotnak nevezzük. A K -állapot valójában a mechanikai állapotjellemzık (feszültségek, alakváltozások, elmozdulások) egy speciális együttese, sıt a legújabb modellek szerint bizonyos anyagjellemzıket (elsısorban alakváltozási modulusokat) is kapcsolhatunk hozzá. Az egyezményes definíció szerint a talaj egy pontjában akkor van K -állapot, ha ott nincsenek vízszintes (horizontális) fajlagos alakváltozások és elmozdulások: ε = ε = ε 2.1 u x y h = = u = u 2.2 x y h = Az elsı feltétel tulajdonképpen tengelyszimmetrikus alakváltozási állapotot jelent. A legtöbb gyakorlati geotechnikai feladatunkban síkbeli alakváltozási állapotot felvéve dolgozunk, ami az y-irányú alakváltozások zérus voltát tételezi fel. Így inkább csak az x-irányú alakváltozások zérus voltát szokás hangsúlyozni, és az ehhez tartozó x-irányú feszültségrıl szokás nyugalmi nyomásként beszélni. (Valójában ilyenkor az y-irányra vonatkozóan is nyugalmi állapotot tételezünk fel, de ezzel még szintén külön kell foglalkoznunk.) A földnyomások kérdéskörében megfogalmazott eredeti definíció szerint a nyugalmi állapot a 2.2 feltétel teljesülését jelentette, azaz hogy, a vizsgált földtömeget megtámasztó függıleges fal vízszintes elmozdulása zérus. A tetszıleges lehatárolású talajtömegek mechanikai állapotának vizsgálatakor viszont inkább a 2.1 értelmezés válik lényegessé, inkább erre gondolunk, amikor a K -állapot teljesülésérıl beszélünk. Valójában az elmozdulási peremfeltételek és a geometriai egyenletek miatt mindkét feltevés általában egyszerre teljesül. Amikor a K -állapotról az elıbbi alakváltozási-elmozdulási feltételt rögzítve beszélünk, illetve azzal számolunk, akkor valójában már egy feszültségi állapotra gondolunk, melyet egyetlen tényezıvel, a vizsgált pont vízszintes σ h és függıleges σ v hatékony feszültségének hányadosaként értelmezett K -tényezıvel lehet megragadni: σ h K = 2.3 σ v Az indexben szereplı a kezdeti jelzıre utal. A K -állapotban vízszintes térszín esetén a függıleges és a vízszintes feszültségek egyben fıfeszültségek is. Mint már említettük a K -tényezı számítására a normálisan konszolidált (NC-) talajok esetében ma szinte minden szakirodalom (így az MSZ EN 1997-1:26) és számítógépes program Jáky (1944) K NC = 1 sin ϕ 2.4 27. június 2

képletét ajánlja, melyben ϕ a talaj hatékony belsı súrlódási szöge. Ez a képlet,5 körüli értékeket ad, így az NC-talajok esetében a függıleges feszültség az elsı fıfeszültség. (A következıkben még tárgyalni fogjuk a 2.4 képlet helyességét, de elıre bocsátjuk, hogy az noha sok tekintetben vitatható végül is elfogadható eredményt szolgáltat. Mindenesetre a vele kapcsolatos kétségek ellenére ahhoz itt elfogadhatjuk, hogy segítségével a K -állapot általános jellegzetességeit megismerjük.) Régóta ismert (l. Kézdi, 1961), hogy egy ülepedés (az elsı terhelés) utáni tehermentesüléskor a vízszintes feszültségek nem csökkennek olyan mértékben, mint a függıleges feszültségek, a talaj oldalirányban befeszül. Az elıterhelt (OC-) talajban a K -tényezı nagyobb, s erre a szakirodalom általában a ( ), 5 OC K NC = K OCR = (1 sin ϕ ) OCR 2.5 összefüggést fogadja el, ahol az elıterheltségi viszonyszám OCR σ vmax = 2.6 σ v ahol σ v max a vizsgált pontban valaha mőködött legnagyobb hatékony függıleges normálfeszültség. A 2.5 szerint nagyobb elıterheltség esetén a vízszintes feszültségek nagyobbak lehetnek a függılegesnél, s így az utóbbi harmadik fıfeszültséggé is válhat. (A 2.5 képlet helyességét is érdemes vizsgálni, erre az 5. fejezetben térünk ki, a 2.5 képletet azonban az elıterheltség okozta sajátosságok bemutatására mindenképpen megfelelınek tarthatjuk.) A 2.6 képletet mind a tehermentesülésre, mind az újraterhelésre el szokás fogadni, s úgy tekintik, hogy az újraterhelés során, amint a σ v közelít σ v max értékéhez, s így OCR 1,-hez, K is közelít a 2.4 szerinti értékhez. A 2.1. ábra azt mutatja be, miként alakult egy általam végzett triaxiális vizsgálat során a vízszintes és a függıleges feszültségek viszonya egy laza, egyszemcsés, finom homok (e=,55, C u =1,9, D m =,25 mm) elsı terhelése, tehermentesülése és az újraterhelése során. A 2.2. ábra az elıbbi alapján a 2.3 2.6 képletek felhasználásával készült, s erre berajzoltuk a 2.5. szerinti elméleti vonalat is. Az ábrákról megállapítható, hogy a normálisan konszolidált állapotra K,43 const. érték adódott, ami a 2.4 képlet szerint ϕ =35 belsı súrlódási szögnek felel meg, s ez reális, a tehermentesülési görbék jól illeszkednek a 2.5 szerinti vonalhoz, az újraterhelés a tehermentesüléshez képest sokkal kisebb K -értékekkel következett be. A K -állapotú újraterhelést tehát úgy tőnik még tovább kellene kutatni, mert a 2.5 képlet erre nem igazán érvényes. Ez a felvetés azonban túlmutat a K -tényezın, mert a legtöbb korszerő talajmodell axiómaként fogadja el, hogy a tehermentesülés és az újraterhelés azonos anyagtörvény szerint zajlik. Valójában a különbözı feszültség-alakváltozás összefüggésekben is hasonló hiszterézis tapasztalható, mint amilyent itt és a K -tényezı vonatkozásában mutat a 2.1. és 2.2. ábra, ám a hiszterézist általában kiegyenlítve veszik figyelembe. 27. június 3

1 vízszintes hatékony feszültség 8 6 σ' h kpa 4 2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 függıleges hatékony feszültség σ' v kpa 2.1. ábra. A vízszintes és a függıleges feszültségek változása K -állapotban egy homoktalaj elsı terhelése, tehermentesítése és újraterhelése során. 1, nyugalmi nyomás szorzója K,8,6,4,2, 1, 1,5 2, 2,5 3, 3,5 4, elıterheltségi viszonyszám OCR 2.2. ábra. A K -tényezı változása az elıterheltség függvényében egy egyszemcsés homoktalaj elsı terhelése, tehermentesítése és újraterhelése során. 27. június 4

2.2. A nyírószilárdság mobilizálódása K -állapotban A 2.3. ábrán a K -állapotot a Mohr-féle feszültségábrázolásban mutatjuk be a Coulombegyenessel együtt. Látható, hogy a K -állapot vonala laposabb a Coulomb-egyenesnél, s levezethetı, hogy a K -állapotok Mohr-köreit a 1 K sin ϕ κ = arc sin = arc sin 2.7 K 2 sin ϕ hajlású egyenes érinti. Belátható, hogy a releváns 2 < ϕ < 4 tartományban,59 ϕ < κ <, 71 ϕ 2.8 azaz úgy is tekinthetı, hogy a normálisan konszolidált talaj K -állapotában a nyírószilárdság kb. kétharmada mobilizálódik. Ha viszont elıterheltté válik a talaj, akkor a Mohr-kör sugara csökken, azaz a nyírószilárdság kevésbé van kihasználva. A korszerő talajmodellekben általában a σ 1 + σ 2 + σ = 2.9 3 p 3 átlagos normálfeszültséggel és a q = σ σ = σ σ 2.1 1 3 1 3 deviátorfeszültséggel írjuk le a talajok feszültségi állapotát (Schofield és Wroth, 1968). Ezek nagysága K -állapotban a 2.4. képletet is bevezetve 2 K 3 2 sin ϕ = σ z = σ z 2.11 3 3 p ( 1 K ) σ = σ ϕ q = z sin 2.12 A 2.4. ábra a p q koordinátarendszerben mutatja be a K -állapotot. A K -vonal, melyen az ülepedés során halad a pont feszültségi állapota ( 1 K ) q 3 3 sin ϕ η = = = 2.13 p 2 K 3 2 sin ϕ A törési vonalra vonatkozóan, ha a Coulomb-törvényt elfogadjuk, illetve a törési állapotra érvényes 1 sin ϕ σ = σ = σ 2.14 3 2 1 sin ϕ összefüggést bevezetjük, levezethetı, hogy q 6 sin ϕ M = = 2.15 p 3 sin ϕ Így ebben a tárgyalási módban a 2 < ϕ < 4 tartományban a mobilizáltság,57 M < η <,69 M 2.16 Ez lényegében azonos a 2.8 szerinti értékekkel. 27. június 5

nyírófeszültség τ törési vonal K -vonal ϕ' χ NC OC1 OC2 σ xnc σ xoc1 σ z σ xoc2 normálσ' feszültség 2.3. ábra. K -állapotok a Mohr-féle koordinátarendszerben. deviátorfeszültség q törési vonal K o -vonal 1 NC q NC M η 1 OC ε v =const. q oc1 p OC1 p OC2 p NC átlagos normálfeszültség p q oc2 2.4. ábra. K -állapotok a p q koordinátarendszerben 27. június 6

2.3. A feszültség-alakváltozás kapcsolat K -állapotban A talajok ülepedése K -állapotban oldalirányú alakváltozás nélkül következik be. Úgy tekinthetı, hogy a K -állapot p átlagos hatékony normálfeszültsége térfogati kompressziót, q deviátorfeszültsége nyírási alakváltozásokat okoz. Ez a kettıs hatás csökkenti a talaj hézagtényezıjét. Izotróp kompresszió esetén, azaz ha csak p feszültség mőködik, nagyobb p értékre van szükség egy bizonyos tömörség (hézagtényezı) eléréséhez, mint K -állapotban, mert ez utóbbiban p mellett q deviátorfeszültség is hat. A 2.4. ábrán bejelölt lila vonal ezt fejezi ki. A K -állapotban bekövetkezı tömörödést az ödométeres vizsgálattal kiválóan lehet modellezni, így kapjuk a kompressziós görbét. Ezt a hagyományos ábrázolásban a 2.5. ábra mutatja, s ezen jól érzékelhetı a talaj felkeményedı jellege, az összenyomódási folyamat során a tömörödı talajban ugyanazon feszültségnövekmény hatására egyre kisebb lesz a fajlagos összenyomódás növekménye. Az ábrán jelezzük azt is, hogy a tehermentesítés és az újraterhelés során laposabb a kompressziós görbe, mint az elsı terheléskor. A kompressziós görbe világszerte elterjedt, nálunk kevésbé használatos ábrázolását mutatja a 2.6. ábra. Ezen a σ v függıleges hatékony feszültségek logaritmusának függvényében ábrázoljuk a talaj hézagtényezıjének változását. Egyezményesen elfogadott, hogy ebben az ábrázolásban a kompressziós görbe egyenes, s hajlása a normálisan konszolidált talaj (az elsı terhelés) esetében a C c kompressziós index, míg a túlkonszolidált talaj (a tehermentesülés és az újraterhelés) esetében a C ur tehermentesítési-újraterhelési index. A kompressziós összefüggés σ v > σ vmax terhelés esetén e σ σ v max v = e Cur ln Cc ln 2.17 σ v σ v max Ezen összefüggés továbbfejlesztése látható a 2.7. ábrán, ahol a p átlagos hatékony normálfeszültség logaritmusának függvényében a ν =e fajlagos térfogat változását adhatjuk meg (Schofield és Wroth, 1968). A feszültség-alakváltozás viszonyának ezen összefüggéstendszere része a legtöbb korszerő anyagmodellnek. Itt a K -állapotú kompresszió egyeneseinek hajlása λ (NC-talaj) és κ (OC-talaj). Ebben az ábrázolásban megadható az izotróp kompresszió és a törési állapot vonala is: hajlásukat a kísérletek szerint a K -vonaléval azonosra vehetjük, s a K -vonal két oldalán helyezkednek el összhangban a 2.4. ábra lila vonalának alakjával. Az általánosított kompressziós összefüggés p >p max terhelés esetén p p max ν = ν κ ln λ ln 2.18 p p max A 2.7. ábra a 2.4. ábrával együtt érzékelteti igazán a K -állapotnak az új talajmodellekben betöltött általánosabb szerepét, jelentıségét. 27. június 7

σ v σ vmax σ' v ε v 2.5. ábra. A K -állapotbeli összenyomódás ábrázolása: a hagyományos kompressziós görbe. e e e min 1 C ur OC NC 1 C c ln σ v ln σ' vmax ln σ' v 2.6. ábra. Összenyomódás K -állapotban: a kompresszió görbe szemilogaritmikus ábrázolása. ν törési vonal K -vonal izotróp kompresszió ν ν 1 κ OC NC 1 ν=e λ ln p ln p' max ln p' 2.7. ábra. A térfogatváltozás K -állapotbeli törvényeinek általánosítása. 27. június 8

3. Jáky képlete Az elıbbiekben érzékeltettük a K -állapot jelentıségét, s azt hogy ezt lényegében a K - tényezıvel fogalmazzuk meg, melynek meghatározására általában Jáky 2.4 képletét használjuk. Jáky az 1948 évi rotterdami konferencián megjelent dolgozatában szerepeltette elıször a 2.4 formulát, de az a publikáció (Jáky, 1944), melyben a képlet levezetése szerepel, valójában más végeredményt tartalmazott. A Mérnökegylet lapjában megjelent dolgozatot a világ aligha ismerhette meg, valószínőleg inkább Kézdi (1961) mőve lehetett (volna) igazi forrás. Valójában azonban úgy tőnik a képlet eredete nem nagyon ismert, gyakori, hogy azt empirikusnak gondolják. Magam 1992-ben foglalkoztam elıször a képlettel, s akkor igyekeztem tisztázni a 2.4 közismertté vált formula tartalmát. Ekkor úgy tőnt, hogy bár fel kellett fedeznem eredetének önkényes elemeit sikerült rámutatni arra, hogy a 2.4 formula végül is Jáky megközelítésébıl is származtatható. Késıbb, tovább vizsgálva a problémát, azt kellett azonban felismernem, hogy a Jáky-féle levezetés súlyosabb problémákat is felvet. A következıkben igyekszem bemutatni Jáky eredeti levezetésének lényegét, annak elemzését, kritikáját és javítási próbálkozásait. 3.1. Jáky eredeti megoldása Jáky 1944-ben közölt levezetésében a 3.1. ábrán látható földék feszültségállapotának megoldásából származtatta a K -tényezıt. Azt tételezte fel, hogy a földék szimmetriatengelyében nyugalmi állapot uralkodik, ami jogosnak látszik. x x 1 O a Jáky (1944) b Jáky-Szepesházi (1992) c Szepesházi (1992) τ xz t ϕ A B a 45+ϕ/2 c b C z 3.1. ábra. A Jáky által vizsgált földék és a nyírófeszültség változásának különbözı közelítései. A természetes rézsővel határolt, szimmetrikus, síkbeli alakváltozási állapotú földék rézsőfelszínének közelében a ϕ hajlás miatt képlékeny határállapot van. Jáky erre a zónára érvényesnek tekintette Rankine-nek ϕ hajlású végtelen rézsőre vonatkozó megoldását. Eszerint a rézsővel párhuzamos és a függıleges síkok csúszólapok, a feszültségi fıirány pedig a vízszintessel 27. június 9

45+ϕ/2 szöget zár be. Jáky úgy tekintette, hogy a Rankine-féle megoldás a földék csúcsából induló fıirány vonaláig érvényes. Rankine szerint az OAB tartományban 2 sin ϕ σ = t 3.1 z sin ϕ cos ϕ σx = t ctgϕ 3.2 τ xz = t 3.3 E képletekben 2 t = z γ sin ϕ cos ϕ x γ sin ϕ 3.4 melyben γ a földék térfogatsúlya. Az OB-vonalon x 1 = z tg( 45 ϕ / 2) 3.5 És így 2 sin ϕ σ = x γ 3.6 z 1 1 cos ϕ σ x 1 = x 1 γ cos ϕ 3.7 τ xz 1 = x 1 γ sinϕ 3.8 Az OBC tartomány feszültségállapotára Jáky (1944) azt a feltevést tette, hogy abban a τ xy nyírófeszültség a τ xy1 értékrıl másodfokú parabolaként csökken a C függélyig zérusra, mivel ott a szimmetria miatt ez kötelezı: 2 2 x x τ xz = τxz1 = γ sin ϕ tg( 45 + ϕ / 2) 3.9 2 x z 1 E feltételezésbıl a Cauchy-féle egyensúlyi egyenletekbıl levezethetık az OBC tartománybeli normálfeszültségek: σz = z γ x γ sin ϕ tg( 45 + ϕ / 2) 2 ln 1 3.1 x tg 45 z + ( + ϕ / 2) 2 3 sinϕ x σ = γ sinϕ tg( 45 + ϕ / 2) + z γ (1 sinϕ) 3 3.11 x 2 3 z sinϕ A két feszültség értéke az OC-tengelyben, az x= helyen σz = z γ 3.12 2 sin ϕ σ = z γ (1 sin ϕ) 3 3.13 x sin ϕ A két feszültség hányadosa a nyugalmi nyomás szorzója: 2 sin ϕ σx K = = (1 sin ϕ) 3 3.14 σ sin ϕ z 27. június 1

A 3.1 képletrıl Jáky kimutatta, hogy a 2 < ϕ < 4 tartományban nagyon jól közelíthetı a K =,9 (1 sin ϕ) 3.15 képlettel. Ez volt Jáky 1944 évi levezetése, és a 3.15 képletet tette közzé a Mérnökegylet lapjában. Ezután a rotterdami konferencián közölt cikkében Jáky elhagyta a,9 szorzót, és a már tárgyalt K = (1 sinϕ) 3.16 szorzót alkalmazta, ám erre magyarázatot nem adott, s magam sehol sem találtam indoklást. Ekként meg kell állapítanunk, hogy Jáky közhasználatú 3.16 (2.4) képlete valójában megalapozatlan, legfeljebb a 3.15 praktikus egyszerősítésének tekinthetjük. 3.2. A Jáky-levezetés 1992-es elemzése Az elıbbiekben bemutatott 3.15 és 3.16 képlet közötti különbség kb. 15 %-kal eltérı eredményt ad a 2 < ϕ < 4 tartományban. Ezt akár el is nézhetnénk, de a K -állapot fokozott jelentısége miatt mindenképpen érdemesnek látszott tisztázni, valójában mit is jelent a Jáky által 1948-ban bevezetett egyszerősítés. E célból 1992-ban megvizsgáltam, hogy mire jutunk, ha a 3.9 másodfokú parabola helyett más kitevıjő hatványfüggvénnyel írjuk le τ xz nyírófeszültség OBC tartománybeli változását. Ha az általános τ xz = τ xz1 β x 3.17 x1 hatványfüggvényt vesszük fel, és aztán Jáky nyomán elvégezzük a levezetést, meglepetésre azt kapjuk, hogy éppen β=1 esetén kapjuk meg a 3.16 képletet, ami τ xz lineáris átmenetét jelenti az x 1 helyen lévı τ xz1 és az x= helyen levı τ xz = zérus között. Valójában 1992-ben azt gondolhattam, hogy ez a feltevés semmivel sem rosszabb, mint Jáky eredeti parabolikus átmenete volt. Annyiban talán még indokoltabbnak is ítélhettem, hogy a lineáris átmenet a legtermészetesebb. Ellene szólt viszont, hogy ekkor az x= helyen, a szimmetriatengelyben nem vízszintes a τ xz függvény érintıje, amit elvileg akkor elvárhatónak gondoltam. Kifogásolható volt az is, hogy a B-vonalon, az x=x 1 helyen sem folytonos így τ xz változása, bár a törés a lineáris változás esetén kisebb, mint a parabolikusnál. Azt lehetett persze gondolni, hogy az egyenesek között az átmenetnél adódó szög a valóságban lekerekedik. 1992-ben, hogy az x=x 1 és az x= helyeken szebb illeszkedést kapjunk, s ennek hatását megvizsgálhassuk, kerestem egy olyan függvényt, melynek deriváltja az x=x 1 helyen azonos a τ xz addigi lineáris függvényével, illetve x= helyen zérus. Ilyenként választottam a B C x τ xz = A z x e 3.18 függvényt, illetve ennek B τ = A z x ( C x) 3.19 xz Maclaurin-sorát. A függvény konstansait a deriváltak elıbbi illeszkedési követelményeibıl és a τ xy értékek x=x 1 helyen kötelezı azonosságából lehetett megállapítani. Ebbıl Jáky nyomán le lehetett vezetni a K = ( 1 sinϕ) 1 3.2 sinϕ ( sinϕ) ( sinϕ + 4,5 + 4 sinϕ + 3) 27. június 11

összefüggést. Errıl belátható, hogy a 2<ϕ<4 tartományban 1,2 % hibával közelíthetı a ( 1 ϕ) K =,95 sin 3.21 képlettel. A 3.21 képlet tehát éppen az eredeti 3.15 és az ismertté vált 3.16 képlet átlaga. Ennek alapján 1992-ben azt gondoltam, nem érdemes a háromféle megoldás különbségének túlzott jelentıséget tulajdonítani, s a 3.18 képletet, mert tetszetısebbek a peremfeltételei, jobbnak tekinteni. Az elemzésbıl akkor inkább azt szőrtem le, hogy az ismert 3.16 képlet is származtatható a Jáky-féle alapgondolatból, annak egy lehetséges megoldásaként tekinthetjük. 3.3. A Jáky-féle megoldás felülvizsgálata Sajnálatos módon 1992-ben nem ismertem fel, hogy a Jáky-féle levezetésnek más, az elıbbieknél súlyosabb ellentmondásai vannak ( mentségemre: eddig senki sem). Jáky a σ z feszültség x<x 1 =z tg(45 ϕ/2) tartománybeli változására levezetése eredményeként a 3.1 képletet adta meg, majd a K -tényezı meghatározásakor úgy tekintette, hogy ennek x= helyen σ z =z γ az értéke. Ám belátható, (eddig talán a tisztelet homályosította el látásunkat), hogy x= nem része a 3.1 függvény értékkészletének, nyilvánvaló, hogy a logaritmus-jel utáni törtbe x= nem helyettesíthetı be. A 3.1 képletet, illetve az x>x 1 =z tg(45 ϕ/2) tartományra a Rankine-féle 3.4 képletet egy felvett esetre (belsı súrlódási szögre, mélységre, térfogatsúlyra) a 3.2. ábrán ábrázoltam. Látható, hogy a Jákynak, a Cauchy-féle egyenletbıl levezetett 3.1 képlete sem ad σ z =z γ=2 kpa értéket az x= helyre, ott a -hez tart. A 3.2. ábrán megrajzoltam a 3.17 képletbıl kiindulóan levezett σ z 2 β 1 sin ϕ β x = z γ tg( 45 ϕ / 2) + z γ sinϕ 1 ( ) 3.22 cos ϕ 2 β z tg 45 ϕ / 2 megoldás képét a β=1,, β=1,5 és β=,9 esetekre. Érdekes módon a β=1, eset az x>x 1 tartományra a σ z = 167 kpa = const. értéket adja. β=1,5 az OC-tengelyhez közelítve növekvı értékeket eredményez, és a tengelyt σ z 2 kpa-nál közelíti, de aztán a + -hez tart. Megjegyzem, hogy tovább növelve β értékét a σ z feszültségek rohamosan nınek, és fizikailag értelmetlen eredményre vezetnek. A β=,9 az OC-tengelyhez közelítıen csökkenı értékeket eredményez, s -hez tart. Ezt a görbét kb. ki lehet egyenlíteni az x=x 1 és σ z =167 kpa, ill. az x= és σ z =1 kpa koordinátájú pontokat összekötı egyenessel, aminek jelentısége még elıkerül. Megjegyzem, hogy tovább csökkentve β értékét a σ z feszültségek rohamosan csökkennek, és fizikailag értelmetlen eredményre vezetnek. A 3.22 képletbıl az is látható, hogy a β=2 valóban nem értelmezhetı, tehát Jáky 3.9 kiinduló feltételezése szerencsétlen volt. Az is megállapítható, hogy β=1 esetén az x= helyen a 3.22 képlet sem értelmezhetı, tehát helyettesítési értéke nincs, viszont a határértéke σ z =167 kpa. A 3.2. ábrán vázolt megoldásokkal kapcsolatban statikai érzékünk is azt mondatja, hogy a függıleges feszültségeknek az OC vonal felé növekedniük kell, de a σ z =z γ nagyságot ott sem érhetik el. Képzeljünk el ugyanis valamely z mélységben egy vízszintes felszínt, s tekintsük a felette levı földéket lineárisan változó, szimmetrikus, megoszló terhelésnek. Nyilvánvaló, hogy a feszültségszétterjedés miatt az e terhelésbıl a z mélység alatt keletkezı függıleges feszültségek már kevéssel e szint alatt kiegyenlítıdésnek indulnak. Így a tengelyvonalban z γ-nál kisebb lesz a feszültség, míg a tengelytıl távolodva nagyobb annál, mint ami a hely felett levı földmagasság- 27. június 12

ból adódna. (Ez utóbbit jelöli a 3.2. ábrán a z γ (piros) vonal.) Nyilvánvaló viszont, hogy a z mélységben mőködı σ z függıleges feszültségek integráljának ki kell adnia a földék súlyát, mely általában és példánkban 1 2 1 2 G = z γ ctgϕ = 1 2 ctg3 = 1732 kn/ m 3.23 2 2 25 2 15 1 x = x 1 5 függıleges feszültség σ z kpa Jáky (1944) β λ= 1, β k= 1,5 β j =,94 z m γ heurisztikus m közelítés ϕ = 3 z = 1 m γ = 2 kn/m 3-5 -1 2 15 1 5-15 távolság a földék tengelyétıl x m 3.2. ábra. A függıleges feszültségek változásának lehetıségei a földékben A 3.2. ábrán vázolt σ z feszültségváltozások közül csak az fogadható el, melyre igaz, hogy az alatta levı terület a z γ (piros) vonal alatti területtel azonos nagyságú. Belátható, hogy ha az x>x 1 tartományra elfogadjuk a Rankine-féle 3.1 összefüggést, akkor a területegyenlıség csak kb. a β=,9 esetre érvényes vonallal volna teljesíthetı, mely azonban a csökkenés miatt irreálisnak ítélhetı. Ha a β=1,5 esetre érvényes enyhén növekvı és közelítıleg kb. σ z =2 kpa-t elérı vonalat tekintjük, abból 221 kn/m terület adódna, vagyis nincs meg a vetületi egyensúly. Ha a β=1, esetet vesszük alapul, akkor a σ z =167 kpa=const. vonat kapjuk, amivel a teljes terület 1925 kn/m lenne. Érdemes megemlíteni, hogy a 3.22 képlet elsı tagja, azaz a 3.6 képlet, lényegében minden reális ϕ-re a σ z,83 z γ értéket adja, ez érvényes az x=x 1 helyen, s innen nyilván már nehezen növekedhet OC felé a σ z úgy, hogy közben a vetületi egyensúly is meglegyen. Mindezekbıl úgy tőnik, ha az x>x 1 helyre még elfogadjuk a Rankine-féle 3.6 értéket, akkor nem tudunk az OC felé való növekedés és a függıleges vetületi egyensúly követelményét egyaránt kielégítı megoldást találni. 27. június 13

Azt kell tehát megállapítanunk, hogy Jáky megoldása, amelybıl a 3.16 képlet keletkezett, ötféle okból sem helyes, az általa levezetett 3.1 képlet nem ad az OC-vonalra σ z =z γ függıleges feszültséget, amivel pedig Jáky továbbszámolt, a 3.1 képlettel aligha teljesül a függıleges vetületi egyensúly, nincs ésszerő indok arra, hogy a függıleges feszültségek az x<x 1 tartományban úgy változzanak, amiként azt a 3.1 képlet kiadja, nem tőnik helyesnek az a feltételezés, hogy a Rankine-féle megoldás még az x=x 1 helyen is érvényes lenne, a levezetéssel nyert 3.14 képletet Jáky indoklás nélkül módosította a 3.16 képletre. Hasonló módon kell értékelnünk természetesen a 3.22 képletet is, ez sem ad ésszerő megoldásokat, ami szintén azt jelzi, hogy nem lehet abból kiindulni, hogy a Rankine-féle megoldás még az x=x 1 helyen is érvényes. Statikai érzékünk azt diktálja, hogy egy olyan σ z feszültségváltozás lehet reális, amilyent például a 3.2. ábrán zöld színnel jelöltünk. Ez az OC-tengely felé növekszik és ott olyan értéket (most 15 kpa-t) ér el, hogy teljesül a függıleges vetületi egyenlet. 3.4. A földék mechanikai állapotának véges elemes vizsgálata Egy ésszerő megoldás kereséséhez a PLAXIS véges elemes programmal is megvizsgáltam a földék mechanikai állapotát. A szimmetria miatt elég volt a földék felét modellezni, s tengelyében az oldalirányú elmozdulást megtiltottam. A földék anyagának súrlódási szögét és térfogatsúlyát ugyanarra vettem, mint amilyen a 3.2. ábrán látható, viszont a kohéziót PLAXIS program számítástechnikai követelményei miatt 1 kpa-ra kellett felvenni. Hogy ez ne zavarja meg az elemzést, a rézső hajlását a természetes hajlásnál kissé meredekebbre, 3,25 hajlásúra vettem. A rugalmassági modulust nagyon nagyra választottam, hogy a földék lényegileg merev-képlékeny viselkedést mutasson, amilyent Jáky feltételezett. A földék alá ugyanezt a talaj illesztettem, szükségszerően vízszintes térszínnel, s hogy ez következtetéseinket ne befolyásolja, a földék magasságát 7 m-re választottam, s az eredményeket a felsı 3 m tartományból vettem ki. A modell a 3.3. ábrán látható. Érzékelhetı, hogy a programmal nagyon finom hálót szerkesztettem, hogy a feszültségváltozások jól érzékelhetık legyenek. Az ábra jelzi, hogy z=3 m mélységben jelöltem ki egy metszetet, mert a következıkben látni fogjuk, hogy a felsı 1 m kissé zavaros képet mutat, nyilván a véges elemes analízis a ék csúcsát nehezen kezeli. A 3.4 ábrán mutatom be, miként változnak a függıleges normálfeszültségek. Érzékelhetı, hogy az ék csúcsa körüli zónát kivéve a kontúrvonalak szabályosak, egyenlı távolságban követik egymást, azaz σ z mindig arányos a mélységgel. Látható ugyanakkor, hogy a tengelyben mindig kisebbek, mint ami a z γ képletbıl adódna, pl. a 7 m mélységben, az alapján éppen 1 kpa adódik, ami 7 %-a a 7 2=14 kp-nak. A 3.5 ábrán a vízszintes normálfeszültségek változása látható. Ez a rézsőtalp körül kevésbé szabályos, de a tengely felé közeledve hasonló, mint az elıbbi. A 3.6. ábra a vízszintes nyírófeszültségeket mutatja. Ezen jól érzékelhetı a maximális nyírófeszültségek helyének változása, s azt lehet megállapítani, hogy az inkább a mindenkori alapvonal felében, illetve attól a rézsőláb felé vannnak, mintsem a 3.1. ábra szerinti OB-vonalon. Látható az is, hogy a τ zx -vonalak csak kb. 1 m mélységig párhuzamosak a határállapotban levı rézsőfelszínnel, illetve ez a mélység lefelé kissé növekedik. Mindezek azt jelzik, hogy a Rankine-állapot csak szőkebb tartományban érvényesül, mint azt Jáky feltételezte. 27. június 14

3.3. A földék véges elemes modellezése 27. június 15

3.4. ábra. A függıleges normálfeszültségek alakulása a földékben 27. június 16

3.5. ábra. A vízszintes normálfeszültségek alakulása a földékben 27. június 17

3.6. ábra. A vízszintes nyírófeszültségek alakulása a földékben 27. június 18

A 3.7. ábra a z=3 m mélységben felvett vízszintes sík mentén bekövetkezı feszültségváltozásokat érzékelteti. Látható, hogy a σ z feszültség szabályosan parabolikus, olyan, mint amilyent heurisztikus alapon is várhatunk, s amilyent a 3.2. ábrára is berajzoltunk. A tengelybeli 464 kpa a z γ képletbıl adódó 6 kpa-nak 77 %-a. A vízszintes feszültség meglepı módon a lábvonal felétıl alig növekszik. A nyírófeszültség összhangban a 3.6. ábra kapcsán tett megállapításokkal már a lábvonal felétıl csökken, s a tengelyben zérus. Ám a τ zx (x) függvény ide nem vízszintes érintıvel csatlakozik, ahogy azt Jáky a 3.9 képlettel biztosítani akarta, sokkal inkább lineáris átmenettel, amint pl. a 3.1 ábrán a b-vonallal a 3.16 képlethez vázoltuk. 3.7. ábra. A feszültségek változása z=2 m mélységben (a földék tengelye a bal oldalon van. felül: középen: alul: a σ z függıleges feszültségek változása a max. érték 464 kpa, a σ x vízszintes feszültségek változása a max. érték 153 kpa, a τ xz vízszintes nyírófeszültségek változása a max. érték 78 kpa, A 3.8. ábra a földék tengelyében kiadódott függıleges és vízszintes normálfeszültségek változását mutatja. (A nyírófeszültségeket nem érdemes bemutatni, mert azok 1,5 kpa alatt maradnak, vagyis az elıbbiek szerint kötelezı zérustól alig különbözik.) Látható, hogy a függıleges feszültségek változása csaknem hibátlanul lineáris, a vízszinteseké a földék talpától felfelé lényegében szintén az, a felsı 15 m-ben ezen is érzékelhetı rendetlenség van. Ha a két ábra lineáris szakaszait összevetjük, akkor a vízszintes és függıleges feszültségek hányadosára,33 körüli értéket kapunk. Ez pedig ϕ=3 esetén éppen a Rankine-féle tg 2 (45-ϕ/2) aktív földnyomási szorzónak felel meg, tehát nem a mindenképpen,5 körüli nyugalmi nyomási szorzónak. A 3.9 ábrán azt mutatom be, hogy a vízszintes feszültségek valószínőleg azért olyan kicsik, mert a tengelyben ugyan nincs elmozdulás, de tıle kis távolságban már gyorsan kialakulnak az aktív állapotnak megfelelı mozgások. 27. június 19

Meg kell tehát állapítanunk, hogy ezek az elemzések annak a koncepciónak a jogosságát is kétségbe vonják, hogy a földék tengelybeli feszültségi állapotát nyugalmi állapotnak tekinthetjük. Vessük ezt egybe azzal, hogy az elızı fejezetben is éppen a tengelyvonalra kaptunk furcsa eredményeket. A tengelyvonal talán inkább egy nehezen értékelhetı, matematikailag szinguláris helynek, mintsem a nyugalmi állapot vonalának gondolható. 3.8. ábra. A feszültségek mélység szerinti változása a földék tengelyében. balra: a σ z függıleges feszültségek változása a max. érték 142 kpa, jobbra: a σ x vízszintes feszültségek változása a max. érték 75 kpa. 3.8. ábra. A vízszintes elmozdulások változása földékben. 27. június 2

3.5. A teljes földék feszültségi állapotának leírása Látván azt, hogy a Rankine-állapotot nem lehet a földékben olyan mértékben kiterjeszteni, miként azt Jáky tette, illetve, hogy a függıleges feszültségek x szerinti változását valamilyen hatványfüggvénnyel lehet közelíteni, miközben z szerinti változásuk lineárisnak vehetı, tettem még egy kísérletet arra, hogy a földék egészére érvényes, az elıbbiekben kifogásolt vonásokat kiküszöbölı feszültségfüggvényeket állítsak elı, melyekbıl azután a K -tényezı meghatározható lesz. A függıleges feszültségek változását B σ = A z x c 3.24 z + alakkal kerestem. Kikötöttem rá, hogy a rézsőfelszínen másodrendően is egyezzen meg a Rankineállapotnak megfelelı 3.1 és 3.4 képletekkel leírható feszültségekkel, azaz az x=z ctgϕ helyen σ z =, illetve dσ z /dx = - γ tgϕ (sin 2 ϕ), ami a 3.1 és 3.4 képletek deriválásából adódik. Elıírtam természetesen, hogy a 3.24 integrálja a teljes x= és x=z ctgϕ tartományra legyen azonos a földék súlyával. A σ x vízszintes normálfeszültségre és a τ zx vízszintes nyírófeszültségre is kikötöttem, hogy az x=z ctgϕ helyen zérusok legyenek. A Cauchy-egyenletekbıl ezek alapján levezethetık voltak a következı feszültségek: σ z 2 2 2 sin ϕ 1 + sin ϕ γ x = z 1 3.25 2 2 sin ϕ z ctgϕ σ τ x zx 2 2 3+ 2 sin ϕ cos ϕ x = z γ 1 3.26 2 3 + 2 sin ϕ z ctgϕ 2 2 2 sin ϕ sin ϕ x = x γ 1 3.27 2 2 sin ϕ z ctgϕ Könnyen belátható, hogy mindegyik képlet az x=z ctgϕ helyen zérust ad, és az is, hogy ugyanott x szerinti deriváltjaik is azonosak a 3.1 3.4 képletekével. (Még a σ x és τ xz függvényeké is, pedig azokra azt nem kötöttük ki.) Az x= helyen a nyírófeszültség zérus, aminek helyességét már láttuk. A 3.25 3.27 képletek tehát egy elég jónak látszó megoldást adnak. Képüket az eddigiekben is számított esetekre a 3.9. ábra mutatja, s ezen a véges elemes analízisbıl kiadódottakhoz nagyon hasonló függvényeket kaptunk, de a σ x és τ xz értékei kisebbek. Ha a tengelybeli σ x és σ z értékeket összevetjük, hányadosuk,26-ra adódik, ami még az aktív földnyomás,33 szorzójánál is kisebb. Kb. kétszeres σ x (és τ xz ) értékeket kellett volna kapnunk, s azokból kb. a ϕ=3 esetén várható,5 körüli nyugalmi nyomási szorzó adódna. Úgy tőnik tehát, hogy a 3.24 alakú függvényt keresve egy viszonylag sok feltételt kielégítı megoldást kaptunk ugyan a földék feszültségi állapotára, de ebbıl is kisebb K -tényezı adódik, mint amit várunk. A próbálkozás mindenesetre azt jelzi, hogy elıállíthatók önkényes kiindulópontból különbözı megoldások, s azok között elvileg minıségi különbséget állapíthatnánk meg a peremfeltételeknek való megfelelés szerint. Ám úgy tőnik, e jobb minıség nem garantálja, hogy a K -tényezıre jobb oldást kapjunk. 27. június 21

25 σ z sz σm x τk z z γ m ϕ = 3 z = 1 m γ = 2 kn/m 3 2 feszültségek 15 p kpa 1 5 2 15 1 5 távolság a földék tengelyétıl x m 3.9. ábra. A földék feszültségi állapotának egy lehetséges megoldása A jelen fejezet és a korábbiak alapján ki kell mondani, hogy a földék feszültségállapotából legalább is az eddigi megközelítésekkel nem lehet a nyugalmi nyomás szorzójára olyan képletet levezetni, mely összhangban van a mérésekkel és más alapon nyert képletekkel, illetve Jáky világhírővé vált 3.16 képletével. Azt is ki kell mondani, hogy ez utóbbi képlet valójában megalapozatlan, s a bemutatott elemzésekkel sem sikerült alátámasztani, mint ahogy azt 1992-ben végzett vizsgálataim nyomán vélelmeztem. A helyzet valójában rosszabbodott, egyértelmővé vált, hogy Jáky téves feltételezések, levezetésbeli hibák, helytelen megfontolások és önkényes módosítások szerencsés összegzıdéseként kapta világhírővé vált képletét. E megállapításokból fakadó teendıket most nem fogalmazom meg, hiszen az is elképzelhetı, hogy Jáky bemutatott matematikai elemzései és esetleg vizsgálati adatok alapján felismerte a K -tényezı reális értéktartományát, s ennek nyomán vette fel a vonzó alakú K =1-sinϕ képletet. Mivel elméleti alátámasztást nem tudott hozzá adni, Rotterdamban indoklás nélkül tette azt közzé. Ekként a képlet egy heurisztikus megoldásnak is tekinthetı, melyet azóta a szakma elfogadott. E lehetıség feltételezése mellett még inkább indokoltnak látszik azonban, hogy összevessük a képletet mások megoldásaival, illetve mérési eredményekkel. 27. június 22

4. A különbözı eredető K -tényezık összehasonlító értékelése 4.1 A K -tényezık rendszerezése, összehasonlítása A K -tényezı meghatározására a szakirodalomban viszonylag sok képlet található, s ezek részben különbözı eredetőek. Az ismert képleteket a 4.1. táblázat és a 4.1. ábra tartalmazza. A földstatikai képletek közé azokat sorolhatjuk, melyek valamely speciális peremfeltételekkel felvett földtest fizikai és geometriai összefüggéseinek alkalmazásából erednek. Jáky (1944, 1948) képletérıl az elıbbiekben részletesen volt szó. Láttuk ugyan, hogy elméleti megalapozottsága kétes, de természetesen az összevetésben helye van. Mint bemutattuk, az 1944 évi megoldás egy természetes hajlású rézsőkkel határolt, szimmetrikus földék feszültségállapotának a vizsgálatából ered. A táblázatba a levezetés után bevezetett közelítı képlet került. Az 1948-as évhez a világhírővé vált képletet rendeltük, melyet a rotterdami konferencián megjelentett cikkben külön indoklás nélkül adott meg. Matsuoka, Sakakibara (1987) képlete egy új anyagmodellbıl ered, abból adódik ki, ha képleteibe az oldalirányú fajlagos alakváltozás nullértékségét bevezetjük. A második csoportba tartozó képleteket abból a megfontolásból vezették le, hogy a nyugalmi állapot a nyírószilárdság egy bizonyos mobilizálódási szintjét jelenti, amint arra az 1. fejezetben rámutattam. Az alapösszefüggés azonos, az aktív földnyomás szorzója: K 1 sin ϕ 2 mob = tg (45 ϕmob / 2) = 4.1 sin ϕmob E képletek közti különbséget a ϕ mob súrlódási szögre tett különbözı feltevések adják, melyek vagy empirikus eredetőek, vagy anyagmodellbıl levezetett összefüggések vagy spekulatív megfontolások, illetve ezek kombinációja. A szemcsemechanikai összefüggések gömbökbıl álló halmazok egy merev falra ható nyomásának levezetésébıl erednek. E megközelítések több vitatható elemet is tartalmaznak, a legkritikusabb részletük, miként számítsuk át a szemcsék közti súrlódást a talajok belsı súrlódási szögére. Az empirikus képletek párhuzamosan mért K -tényezık és belsı súrlódási szögek szinuszai közti korrelációs vizsgálatok eredményei. Közülük a legelfogadottabb Mayne és Kulhavy (1982) összefüggése, mely 121 adatpár feldolgozásából származik. İk a függvény keresésekor ϕ=-hoz rögzítették az 1, értéket, s így állapították meg a sinϕ legjobb korrelációs együtthatót adó szorzóját. Bizonyos mértékig tehát ráerıszakolták a Jáky-formulát az adatokra, bár sinϕ szorzója kijöhetett volna másra is. A 4.1. ábrán ábrázoltam a táblázatban megadott képleteket, s errıl a következıket lehet leszőrni: a görbék többsége a ϕ<25 tartományban viszonylag közel fut egymáshoz, csak néhány lóg ki, ϕ>25 esetén néhány görbe már jócskán eltér a többitıl, de a többség itt is,1-en belül van, Matsuoka és Sakakibara, illetve Yamaguchi képlete a ϕ>3 tartományban lényegesen különbözik a többitıl, Pruska görbéje pedig már ϕ=2 -tól jóval a többi felett halad, Rowe görbéje, miként szerzıje ajánlotta is, csak ϕ>25 tartományra, a szemcsés talajokra alkalmazható, amiként Boltoné is, Brooker és Ireland, ill. Schmidt képlete csak a kötött talajokra jó, miként arra is ajánlották ıket, Jáky eredeti képlete, annak általam javított változata és Simpson képlete elég jól egyezik és egy kissé alacsonyabb értéket adnak, mint a többi, Jáky közismert képlete kb. az átlagot adja. 27. június 23

4.1. táblázat. A K -tényezı számítására ajánlott képletek Képletcsoport Földstatikai levezetés Szerzı, forrás Jáky (1944) Jáky (1948),9 Képlet K ( 1 sin ϕ ) 1 sinϕ Matsuoka, Sakakibara 1 (1987) 2 sinϕ Rowe (1962) 1 sin,85 sin,85 ( ϕ 8) ( ϕ 8) Nyírószilárdság mobilizálódásából felvéve Vierbzbiczky 1 sin,67 ϕ (1979) sin,67 ϕ Bolton (1991) 1 sin sin ( ϕ 11,5 ) ( ϕ 11,5 ) Simpson (1992) 1 1 sinϕ 2 1 sin ϕ 2 Szemcsemechanikai levezetés Pruska (1972) ( 45 / 2) tg ϕ Yamaguchi 1,414 sinϕ (1972) sinϕ Fuchs 1,64 sin ϕ (1975),64 sin ϕ Brooker, Ireland (1965),95 sin ϕ Empírikus Schmidt (1966) 1, 1,2 sin ϕ Mayne, Kulhawy (1982) 1 1,3 sinϕ 27. június 24

1,,8 K,6 Jáky (1944),4 Jáky (1948) Matsuoka, Sakakibara (1987) Rowe (1962) Vierzbiczky (Rymsza, 1979) Bolton (1991) Simpson (1992),2 Yamaguchi (1972) Pruska (1972), Fuchs (1975) Brooker, Ireland (1965) Schmidt (1966) Mayne, Kulhawy (1982) 1 2 3 4 5 ϕ' 4.1. ábra. A különbözı K -képletek ábrája 27. június 25

4.2. A képletek értékelése a mérési adatok tükrében A szakirodalomból 156 K ϕ mérési eredményt győjtöttem össze. Ezekkel értékelhetı az elıbbiekben megadott képletek alkalmassága. Az elsı lépésben megállapítottam mindegyik képletre és mindegyik mérési adatpárra vonatkozóan a számított és mért K -tényezık k hányadosát, majd képeztem mindegyik képletre vonatkozóan e k hányados átlagát és szórását. Ezen statisztikai paraméterek minısítik egy képlet jóságát, s ezeket a 4.2. ábrán ábrázoltam. Nyilvánvaló, azok a legjobb képletek, melyek a k=1, és s= koordinátájú ponthoz a legközelebb vannak.,4 Jáky (1944) Jáky (1948) Matsuoka, Sakakibara (1987) s k szórás k = K K mért szám Rowe (1962) Vierzbiczky (Rymsza, 1979) Bolton (1991) Simpson (1992) Pruska (1972) Yamaguchi (1972) Fuchs (1975) Brooker, Ireland (1965) Schmidt (1966) Mayne, Kulhawy (1982),3,2 k s k N = átlag szórás 156 adat,1,,8,9 1, 1,1 1,2 k átlag 4.2. ábra. A K -tényezık minısége a mérési eredmények tükrében Az ábrán az látszik, hogy Vierzbiczky képlete a legjobb, annál alig gyengébb Simpsoné, majd Rowe képlete következik. Azt lehet tehát megállapítani, hogy azok a képletek bizonyultak a legjobbnak, melyek a K -tényezıt a nyírószilárdság részleges mobilizálódásából fogalmazzák meg. Tegyük hozzá, Rowe képlete még jobb minısítést kapna, s hasonlóan jó lenne Bolton ugyanilyen eredető képle- 27. június 26

te is, ha ezeket csak a ϕ>25 tartományra vizsgálnánk, amiként ık azt ajánlották. Itt azért nem ezt tettük, mert a gyakorlat szempontjából mindenképpen célszerő, ha minden talajfajtára ugyanazt a képletet használjuk. Úgy tőnik tehát, hogy elvileg a mobilizálódási megközelítés lehet a legjobb. Sajnos ennek elméleti alapjai a legkevésbé ismertek, például a legjobbnak talált Vierzbiczkyképletrıl mindössze Rymsza (1991) tanulmányából szereztem tudomást, s azt egyébként egyetlen a K -témakörrel foglalkozó dolgozat sem említi. Vierzbiczky eredeti publikációját pedig nem sikerült felkutatni. Simpson képlete a szerzı publikációjában megjelenik, ott vázolja ún. tégla- (bricks) modellje alapjait is, de azt teljeskörően nem mutatja be, s hogy abból miként következik K -képlete, az sem derül ki. Rowe és Bolton képlete a mobilizálódás elve mellett kísérleti adatokon alapul. Viezbiczky-képlete valószínőleg heurisztikus jellegő volt, a 4.2. ábra viszont azt mutatja, hogy a kísérleti adatok alapján is ésszerő a nyírószilárdság kétharmadának mobilizálódását feltételezni. A 4.2. ábrán az is érzékelhetı, hogy Jáky (1948), valamint Mayne és Kulhawy (1982) K =1-sinϕ képlete alig gyengébb az elıbbieknél. Az utóbbi persze nem véletlenül illeszkedik a mérési eredményekhez, hiszen a Mayne és Kulhawy által feldolgozott adatok átfedésben vannak az általam felhasználtakkal. Jáky-képletének jósága azt sugallja, hogy népszerőségét valószínőleg nem a világ nagyobb részén ismeretlen, az elıbbiekben sajnos kétségesnek talált elméleti hátterének, hanem a mérési adatokkal való jó egyezéseknek köszönhette. A legjobbnak talált képleteket a 4.3. ábrán a mérési adatokkal együtt külön is ábrázoltam. 1, Jáky (1948) K,8 Viezbiczky (Rymsza, 1979) Simpson (1992) Mayne és Kulhawy (1982) Rowe (1962),6,4,2, 1 2 3 4 5 6 ϕ' 4.3. ábra. A legjobb képletek és a mérési adatok 27. június 27

Errıl az ábráról mindenek elıtt az állapítható meg, hogy a releváns tartományban sokkal kisebb a képletek közötti különbség, mint amekkora az adatok szóródása e képletek görbéi körül. Érzékelhetı továbbá, hogy Vierzbiczky és Simpson képlete alighanem csak azért jobb a K =1-sinϕ képletnél, mert a ϕ>48 tartományban levı 4 ponthoz közelebb vannak. E pontok egyébként tızegtalajokra vonatkoznak, melyek magas súrlódási szöge valójában a diagenezis kezdeti fázisában bekövetkezı markáns állapot- és szilárdságjavulás kifejezése, s így talán külön elbírálást is érdemelnének. Egy ilyen statisztikai elemzés egyébként közelebb is hozta a 4.3. ábrán ábrázolt képleteket a 4.2. ábrán bemutatott ábrázolásban. A különbségeknek azonban nincs gyakorlati jelentısége, ezért azt állapíthatjuk meg, hogy Jáky K =1-sinϕ képlete csaknem ugyanolyan jó, mint Vierzbiczkyé. A képlet elterjedtsége, szimpatikus alakja indokolja használatát, ha mögé már nem is nagyon állíthatunk elfogadható elméleti hátteret. A képlet esztétikumát illetıen, aminek azért van haszna és szerepe, Vierzbickyé is versenyképes, Rowe, Simpson és Bolton képlete e tekintetben talán kevéssé elınyös. Vierzbiczky képletének hátterérıl csak a lényegét, a mobilizálódás elvét ismerjük, de úgy vehetjük, hogy a többiek mélyebb elméleti munkája az ı megfontolásait is igazolja. A 4. fejezet elemzéseinek zárásaként az fogalmazható meg, hogy noha Jáky képletének elméleti megalapozottságát a 3. fejezetben bemutatott vizsgálatok kétségessé teszik, a mások képleteivel és a mérési adatokkal való összevetés tulajdonképpen némi igazolást adott a képletnek. Rögzíthetjük, hogy nincsenek a szakirodalomban olyan más megoldások, melyeket elméleti alapok meggyızıen igazolnának. A nyírószilárdság részleges (kb. kétharmados) mobilizálódásán alapuló különbözı formulák lényegében azonos eredményre vezetnek, s ezek nagyon hasonló számértékeket adnak, mint Jáky képlete. A mérések is e mobilizálódási megközelítés helyességét igazolják, de a mérési adatokkal való összevetés Jáky képletét is közel ilyenre minısíti. Mindezek mellett Jáky képlete mellett szól elterjedtsége és elınyös alakja is. Feltárt ellentmondásainak értékelése egy magyar geotechnikus számára sajátos etikai kérdéseket is felvet, ezek megválaszolásához, illetve a belılük fakadó teendık megfogalmazásához idıre van szükség Itt érdemes még megemlíteni, hogy a K -tényezı természetesen mérhetı is, számos laboratóriumi és terepi módszert fejlesztettek ki, melyekrıl jó áttekintést ad doktori értekezésem (Szepesházi, 1992). A szakirodalom újabb áttekintése azt mutatta, hogy e tekintetben nincs újdonság, továbbá azt is, hogy a gyakorlatban meglehetısen ritka az ilyen vizsgálat. Úgy tőnik, a speciális vizsgálatok költsége és a kapott eredmények megbízhatósága nem áll arányban egymással, mivel mind a terepi, mind a laboratóriumi vizsgálat elıkészítésekor lényegében elkerülhetetlen a nyugalmi állapotot bizonyos mértékő megzavarása. Míg más talajvizsgálatok esetében a terhek és az alakváltozások növekedése e zavarások hatását valamelyest csökkenti, a mért K -tényezıben ez a dolog lényegénél fogva nagy. Mindezek miatt is van különös jelentısége a K -tényezı számításának, így pl. Jáky képletének is. 27. június 28

5. Az elıterhelt talajok K -tényezıje A 2. fejezetben már rámutattam az elıterheltség hatására, s ott jeleztem, hogy általában a 2.5 képlettet fogadhatjuk el az elıterheltség hatásának figyelembevételére. Ismertettem egy saját kísérletemet, mely megmutatta, hogy a tehermentesülési ágra a 2.5 képlet valóban jellemzı, de az újraterhelés során a hiszterézis miatt a K -tényezı kisebb. A szakirodalomban számos kísérleten alapuló munkát találhatunk, de lényegében valamennyi megegyezik abban, hogy a K OCR kapcsolat K OC NC m = K OCR 5.1 képlettel írható le, s az m kitevıre az 5.1. táblázatban szereplı ajánlások lelhetık fel. 5.1. táblázat sorszám szerzı, forrás talajfajta m kitevı 1. Schmidt (1966) agyag sin (1,2 ϕ ) 2. Alpan (1967) agyag,541 / (1,8 exp I P ) 3. Alpan (1967) homok,9,7 sin ϕ 4. Campanella és Vaid (1972) agyag,41 5. Schmertmann (1975) homok,42 6. Ladd és tsai (1977) agyag,44,1 I P 7. Belotti és tsai (1981) homok,48 8. Ghionna és tsai (1981) homok,42,46 9. Mayne és Kulhawy (1982) minden sin ϕ 1. Sherif és ishibashi (1981) homok,7 11. Azzouz és Lutz (1986) agyag,4 12. Ashmeida és Parry (1986) agyag ϕ (rad) 13. Tsuchida Kikuchi (1991) agyag,4,55 14. Eurocode 7 (26) minden,5 Mayne és Kulhawy (1982) 82 adat feldolgozásával állította elı képletét, ezért általában azt tekintik a legmegbízhatóbbnak. Lényegében a többi is összhangban van vele, kivéve Alpanét. Ha az egyszerőség céljából m=const. értékkel kívánunk számolni, akkor agyagokra m=,4,45, homokokra m=,5,55 vehetı fel, de átlagosan megfelel az m=,5 is, amit az Eurocode 7 is ajánl. Belátható, hogy ezek lényegében összhangban vannak Mayne és Kulhawy (1982) javaslatával is. Érdekes és mélyebb tartalmú összefüggések adódnak a K OCR kapcsolatra a legújabb talajmodellekbıl, melyekre a 2. fejezetben már utaltam. A Cam Clay modell Ohta és Hata (1971) szerinti kiterjesztése ésa a PLAXIS programban szereplı Hardening Soil modell alapját képezı elméletek (Vermeer, 1978, Schanz, 1998) is az p λ κ p ε v = ln ± D ( η η ) 5.2 e p összefüggéssel írják le a képlékeny fajlagos térfogatváltozást a 2. fejezetben bevezetett jelölések értelmében. Ebben az elsı tag a p átlagos normálfeszültség, a második a deviátorfeszültség változá- 27. június 29