Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01.
Köszönetnyilvánítás Az Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék című oktatási segédanyag a TÁMOP-4..1.B-10//KONV-010-0001 jelű projekt részeként az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg.
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 1 Paraméteres megadású görbék 1 1.1 Görbék paraméteres megadása.......................... 1 1. Paraméteres alakban adott függvény deriváltja.............. Görbék polárkoordinátás megadása 5.1 Polárkoordinátás megadású görbék...................... 5. Polárkoordinátás alakban adott függvény differenciálása...... 8 Útmutatások és megoldások 9.1 Görbék paraméteres megadása.......................... 9. Paraméteres alakban adott függvény deriváltja.............. 5. Polárkoordinátás megadású görbék.......................4 Polárkoordinátás alakban adott függvény differenciálása...... 78 Irodalomjegyzék 90
1 1 Paraméteres megadású görbék 1.1 Görbék paraméteres megadása 1.1.1. Írja fel annak a körnek a paraméteres egyenletrendszerét, amely átmegy az origón és középpontja az M, 0) pont! 1.1.. Adja meg az { xt) = t + 1, yt) = t 1, t [ 1, + ) paraméteresen adott függvény Descartes-koordinátás egyenletét, majd vázolja a függvény grafikonját! 1.1.. Adja meg az { xt) = 1 + cos t, yt) = + sin t, t [0, π) paraméteresen adott görbe Descartes-koordinátás egyenletét, majd vázolja és nevezze meg a görbét! 1.1.4. Adja meg az { xt) = 4 + cos t, yt) = 5 + sin t, t [0, π] paraméteresen adott görbe Descartes-koordinátás egyenletét, majd vázolja és nevezze meg a görbét! 1.1.5. Köszöbölje ki az { xt) = + 4 cos t, yt) = 1 + 4 sin t, t [ π, π ] paraméteresen adott görbe egyenletrendszeréből a t paramétert! Nevezze meg a görbét! 1.1.6. Határozza meg az { xt) = + 4 cos t, yt) = 5 + sin t, t [0, π) ellipszis középpontjának koordinátáit és tengelyeinek hosszát! Adja meg az ellipszis Descarteskoordinátás egyenletét! Határozza meg az ellipszis lineáris és numerikus excentricitását, valamint a fókuszpontok koordinátáit! Vázolja a görbét! 1.1.7. Adja meg paraméteresen az x + y 4y = 0 egyenletű kört! 1.1.8. Adja meg paraméteresen az x 5 + y 144 = 1 egyenletű ellipszist! Vázolja a görbét!
1.1 Görbék paraméteres megadása 1.1.9. Vázolja az { xt) = sin t, yt) = cos t, t R paraméteres egyenletrendszerrel adott görbét! Adja meg a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! 1.1.10. Vázolja az xt) = t + 1 t, yt) = t 1 t, t R \ {0} paraméteres egyenletrendszerrel adott görbét! Írja fel a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! Adja meg a görbe nevezetes adatait! 1.1.11. Vázolja az xt) = 1 cos t, yt) = tg t, { π } t R \ + kπ, k Z paraméteres egyenletrendszerrel adott görbét! Írja fel a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! Adja meg a görbe nevezetes adatait! 1.1.1. Írja fel annak a hiperbolának a paraméteres egyenletrendszerét, amelynek aszimptotái az y = ±x egyenesek és egyik fókusza az F 1 5, 0) pont! 1.1.1. Mekkora az x y = 8 hiperbola valós féltengelye, képzetes féltengelye, lineáris és numerikus excenrticitása? Írja fel a x y = 8 hiperbola paraméteres egyenletrendszerét! 1.1.14. Vázolja az { xt) = ch t, yt) = sh t, t R paraméteres egyenletrendszerrel adott görbét! Adja meg a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! 1.1.15. Vázolja az { xt) = ch t, yt) = sh t, t R paraméteres egyenletrendszerrel adott görbét! Adja meg a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! 1.1.16. Vázolja az { xt) = ± 4 ch t, yt) = 5 + sh t, t R
1. Paraméteres alakban adott függvény deriváltja paraméteres egyenletrendszerrel adott hiperbolát! Adja meg a hiperbola Descartes-koordinátás egyenletét, fókuszpontjait, lineáris és numerikus excentricitását! 1.1.17. Küszöbölje ki az asztroida paraméteres egyenletrendszeréből a paramétert! Vázolja a görbét! { xt) = cos t, t R. yt) = sin t, 1.1.18. Küszöbölje ki az alábbi paraméteres egyenletrendszerből a paramétert! Nevezze meg a görbét! { xt) = 1 + t, t R. yt) = 1 t, 1.1.19. Vázolja az alábbi paraméteresen adott görbéket! Küszöbölje ki a paramétert! Milyen határok között változik x és y? { { xt) = t, xt) = sin t, a) t R; b) t R; yt) = t, yt) = sin t, { xt) = sgn t, { xt) = 1 + t, c) yt) = sgn t, t R; d) yt) = t, t R. 1.1.0. Vázolja az π ) xt) = cos sin t, π ) yt) = sin sin t, π t π paraméteres egyenletrendszerrel adott görbét! Adja meg a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! 1. Paraméteres alakban adott függvény deriváltja 1..1. Határozza meg y = dy dx paraméteres alakban adott görbére! 1... Határozza meg y = dy dx értékét az { xt) = t + t, értékét az yt) = t 7 + t + 1, { xt) = cos t, yt) = sin t, paraméteres alakban adott görbére, ha t 0 = π 4! t R t R
1. Paraméteres alakban adott függvény deriváltja 4 1... Határozza meg y = dy dx 1..4. Határozza meg y = dy dx értékét az alábbi paraméteres alakban adott görbére! { xt) = et sin t, értékét az yt) = e t cos t, { xt) = cos t, yt) = sin t, paraméteres alakban adott görbére, ha t 0 = π! 1..5. Határozza meg az t R. t R { x = 5 cos t y = 4 sin t t [0, π] paraméteres alakban adott ellipszisnek a t 0 = π paraméterértékhez tartozó pontjához húzott érintő 4 iránytangensét! Vázolja a görbét! 1..6. Határozza meg y = dy dx értékét az alábbi paraméteres alakban adott görbére, ha t 0 = 1! { xt) = t 5 + sinπt), t R. yt) = t + e t, 1..7. Határozza meg y = dy dx pontban! 1..8. Határozza meg y = dy dx pontban! értékét az alábbi paraméteres alakban adott görbére a P 1, 1) { xt) = t + e t, yt) = t + e t, t R. értékét az alábbi paraméteres alakban adott görbére a P 1, 0) cos t xt) =, e t sin t yt) =, e t t R. 1..9. Adja meg az alábbi paraméteres alakban adott görbe t 0 = 0 paramétrértékű pontjában az érintőegyenes egyenletét! { xt) = e t, t R. yt) = 5e t,
5 1..10. Mikor merőleges az görbe érintője az x + y + = 0 egyenesre? { xt) = t 5, yt) = t + 1, t R 1..11. Határozza meg a 9x + 16y = 5 egyenletű ellipszis azon érintőit, amelyek párhuzamosak a 4y + x = 4 egyenessel! 1..1. Határozza meg az { xt) = 8 cos t, yt) = 8 sin t, t [0, π) paraméteres alakban adott asztroida azon pontjait, amelyekhez húzott érintők párhuzamosak az y = x egyenessel! Görbék polárkoordinátás megadása.1 Polárkoordinátás megadású görbék.1.1. Adja meg az alábbi, Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben adott pontok polárkoordináta-rendszerbeli megfelelőjét! a) P 1, ); b) P 5, 5 ); c) P 0, 1); d) P 4 1, )..1.. Adja meg az alábbi, polárkoordináta-rendszerben adott pontokat Descartes-féle derékszögű koordinátákkal! a) Q 1, π ); b) Q, π ) ; 6 4 c) Q 4, 5π ); d) Q 4 4, π )..1.. Nevezze meg a ϕ = π polárkoordinátás megadású görbét! Adja meg Descartes-koordinátás 4 egyenletét!.1.4. Nevezze meg a ϕ = π polárkoordinátás megadású görbét! Adja meg Descartes-koordinátás egyenletét!.1.5. Vázolja az alábbi, polárkoordinátás megadású köröket! Írja fel a Descartes-koordinátás egyenletet! Adja meg a körök paraméteres egyenletrendszerét is! a) r = 4; b) r = cos ϕ; c) r = 6 sin ϕ; d) r = 6sin ϕ + cos ϕ).
.1 Polárkoordinátás megadású görbék 6.1.6. Adja meg az alábbi körök polárkoordinátás egyenletét! a) x + y = 100; b) x + y 4) = 16; c) x 6) + y = 6; d) x + y = 8x; e) x + y = y; f) x 4) + y 4) =. Írja fel a Descartes-.1.7. Vázolja és nevezze meg az alábbi, polárkoordinátás megadású görbéket! koordinátás egyenletet! Adja meg a paraméteres egyenletrendszert is! a) r = 10 cos ϕ; b) r = cos ϕ ; c) r = 4 sin ϕ ; d) r = cos ϕ ; e) r = 1 sin ϕ ; f) r = 5 π ); cos + ϕ g) r = cos ϕ π ); h) r = 8 cos ϕ π ). 4.1.8. Vázolja az alábbi polárkoordinátás egyenlettel adott görbéket! Írja fel a Descarteskoordinátás egyenleteket is! a) r = 8 sin ϕ; b) r = sin ϕ; c) r = cos ϕ; d) r = sin ϕ; e) r = cos ϕ; f) r = 1 + cos ϕ; g) r = 4 + cos ϕ; h) r = sin ϕ; i) r = sin 4ϕ; j) r = + cos ϕ..1.9. Vázolja az alábbi polárkoordinátás egyenlettel adott kardioidokat! Írja fel a Descarteskoordinátás egyenleteket is! a) r = 1 + cos ϕ; b) r = 1 cos ϕ; c) r = 1 + sin ϕ; d) r = 1 sin ϕ..1.10. Vázolja az r = cos ϕ polárkoordinátás megadású görbe grafikonját! Milyen kapcsolat van az r = cos ϕ és az r = 1 + cos ϕ görbék grafikonjai között?
.1 Polárkoordinátás megadású görbék 7.1.11. Vázolja az r = sin ϕ polárkoordinátás megadású görbe grafikonját! Adja meg a görbe Descartes-koordinátás egyenletét!.1.1. Vázolja az r = sin ϕ polárkoordinátás megadású görbe grafikonját! Milyen kapcsolat van az r = sin ϕ és az r = 1 cos ϕ görbék grafikonjai között?.1.1. Vázolja az r = sin ϕ és az r = + cos ϕ limakonok grafikonját! Milyen kapcsolat van a görbék grafikonjai között?.1.14. a) Írja fel az alábbi kúpszeletek egyenletét poláris koordinátákkal! x 4 + y = 1; b) x 5 + y 16 = 1; c) x = y; d) y = 16x; e) x 5 y 16.1.15. Vázolja az r = polárkoordinátás megadású görbét és adja meg a Descarteskoordinátás egyenletét! = 1; f) xy = 4. 6 9 5 sin ϕ.1.16. Vázolja az alábbi spirálisokat! a) r = 4ϕ; b) r = ϕ ; c) r = ϕ ; d) r = 6 ϕ + ; e) r = ± ϕ; f) r = ± ϕ; g) r = e ϕ ; h) r = 1 4 eϕ..1.17. Írja fel az alábbi görbe polárkoordinátás egyenletét és vázolja a görbét! x + y ) y = x + xy.1.18. Határozza meg a ϕ = π egyenes és az r = 5ϕ archimedesi spirális metszéspontjait!.1.19. Számítsa ki az r = 4 1 cos ϕ) kardioid és az r = 4 sin ϕ kör metszéspontjait!.1.0. Vázolja az r = 4 sin ϕ és az r = 4 cos ϕ görbéket közös koordináta-rendszerben, majd határozza meg a metszéspontjaikat!.1.1. Keresse meg az r = 4 cos ϕ és az r = 4 sin ϕ görbék metszéspontjait!
. Polárkoordinátás alakban adott függvény differenciálása 8. Polárkoordinátás alakban adott függvény differenciálása..1. Legyen r = cos ϕ. Számítsa ki az alábbi kifejezéseket! a) c) e) dr dϕ ; b) d r dϕ ; d r dϕ ; d) dr d r π ) ; f) dϕ 4 π... Határozza meg az r = cos 4 ϕ derivált értékét, ha ) dϕ π 6 d r dϕ ) ; 5π 6 a) ϕ = π ; b) ϕ = π. ). polárkoordinátás megadású függvény esetén a dr dϕ... Határozza meg az r = 1 + cos ϕ, 0 ϕ < π) polárkoordinátákkal adott függvény dy dx deriváltjának értékét a ϕ 0 = π 6 helyen!..4. Határozza meg az r =..5. Adja meg az r = 4 1 cos ϕ 4 1 cos ϕ parabola érintőjének meredekségét a ϕ 0 = π pontban! parabolának azt a pontját, ahol az érintő meredeksége 1!..6. Írja fel az r = ϕ archimedesi spirálishoz húzott érintő egyenletét a ϕ 0 = π 6 pontban!..7. Írja fel az r = eϕ logaritmikus spirálishoz húzott érintő egyenletét a ϕ 0 = π 6 pontban!..8. Írja fel az r = 4 4 cos ϕ ellipszis érintőjének polárkoordinátás egyenletét a ϕ 0 = π pontban!..9. Írja fel az r = 1 ϕ hiperbolikus spirális normálisának polárkoordinátás egyenletét a ϕ 0 = π pontban!..10. Hol metszi a ϕ = 0 egyenest az r = sin ϕ görbéhez a ϕ 0 = π 6 pontba húzott érintő?..11. Írja fel az r = 1 cos ϕ kardioid ϕ 0 = π pontjában az érintőegyenes egyenletét!..1. Keresse meg az r = 1 + sin ϕ kardioid vízszintes és függőleges érintőit!
9 Útmutatások és megoldások.1 Görbék paraméteres megadása 1.1.1. Az x ) + y = 9 kör paraméteres egyenletrendszere: { xt) = + cos t, t [0, π). yt) = sin t, 1.1.. A paraméteres egyenletredszerből: t = x 1 adódik, ha t [ 1, + ). A paraméteres egyenletrendszer másik összefüggését felhasználva az y = x 1) 5 Descartes-koordinátás egyenlethez jutunk, ha x [0, + ). A függvény grafikonja:
.1 Görbék paraméteres megadása 10 1.1.. A paraméteres egyenletrendszerből: továbbá: azaz felhasználva, hogy t R esetén adódik, hogy 0 x és y 4, cos t = x 1 és sin t = y, cos t + sin t = 1, x 1) + y ) = 1, amely egy K1, ) középpontú r k = 1 sugarú kör Descartes-koordinátás egyenlete. A görbe grafikonja: 1.1.4. A paraméteres egyenletrendszerből: 5 x és 5 y 6, továbbá: cos t = x + 4 és sin t = y 5. Felhasználva, hogy t R esetén cos t + sin t = 1,
.1 Görbék paraméteres megadása 11 adódik, hogy x + 4) + y 5) = 1, y 5, amely egy K 4, 5) középpontú r k = 1 sugarú félkör Descartes-koordinátás egyenlete. A görbe grafikonja: 1.1.5. A paraméteres egyenletrendszerből: x és y 1, továbbá: 4 cos t = x és 4 sin t = y 1. Felhasználva, hogy t R esetén 4 cos t) + 4 sin t) = 16, adódik, hogy x ) + y 1) = 16, x, y 1, amely egy K, 1) középpontú r k = 4 sugarú negyedkör Descartes-koordinátás egyenlete. 1.1.6. A paraméteres egyenletrendszerből: x 6 és y 8,
.1 Görbék paraméteres megadása 1 továbbá: cos t = x és sin t = y 5 4. Felhasználva, hogy t R esetén cos t + sin t = 1, adódik, hogy ) ) x y 5 + = 1, 4 amely egy K, 5) középpontú ellipszis Descartes-koordinátás egyenlete. A görbe grafikonja: Az ellipszis vízszintes féltengelyhossza: a függőleges féltengelyhossza: a = 4, b =. A vízszintes tengelyhossz tehát a = 8, a függőleges tengelyhossz pedig b = 6 egység. A két fókusz távolságának fele az ellipszis lineáris excentricitása: c = a b, ha a > b,
.1 Görbék paraméteres megadása 1 azaz A fókuszpontok: Az ellipszis numerikus excentricitása: c = 16 9 = 7. F 1 7, 5) és F + 7, 5). ε = c a = 7 4. 1.1.7. Az x + y 4y = 0 kör paraméteres egyenletrendszere: { xt) = cos t, t [0, π). yt) = + sin t, 1.1.8. Az ellipszis paraméteres egyenletrendszere: { xt) = 5 cos t, Grafikonja: yt) = 1 sin t, t [0, π).
.1 Görbék paraméteres megadása 14 1.1.9. A paraméteres egyenletrendszerből: továbbá: 1 x 1 és 1 y 1, y = cos t = cos t sin t = 1 sin t = 1 x, ahol 1 x 1. A görbe tehát egy alulról nyitott parabolaív. A parabola csúcsa a C0, 1) pont, szimmetriatengelye az y-tengely. A görbe grafikonja: 1.1.10. A paraméteres egyenletrendszerből: Az első egyenletből kivonva a másodikat az x = t + + 1 t és y = t + 1 t. x y = 4 hiperbolát kapjuk, amelynek egymásra merőleges aszimptotái az y = ±x egyenesek. A valós és képzetes féltengelyhossz: a = b =. A hiperbola lineáris excentricitása: c = a + b = 4 + 4 =,
.1 Görbék paraméteres megadása 15 A fókuszpontok koordinátái: A hiperbola numerikus excentricitása: F 1, 0) és F, 0). Grafikonja: ε = c a = = > 1. 1.1.11. A paraméteres egyenletrendszerből: vagyis az x = 1 cos t = sin t + cos t cos t x y = 1 = tg t + 1 = y + 1, hiperbolát kapjuk, ahol a = b = 1. A hiperbola lineáris excentricitása: c = a + b =.
.1 Görbék paraméteres megadása 16 A fókuszpontok koordinátái: F 1, 0) és F, 0). A hiperbola numerikus excentricitása: ε = c a = > 1. Egymásra merőleges aszimptotái az y = ±x egyenesek. Grafikonja: 1.1.1. Ha az x a y = 1 hiperbola két azimptotája b akkor tehát y = x és y = x, b a =, b = a. Ha az egyik fókusz az F 1 5, 0) pontban van, akkor c = 5, vagyis a c = a + b
.1 Görbék paraméteres megadása 17 összefüggésből adódik, hogy Felhasználva, hogy b = a adódik, hogy azaz A hiperbola Descartes-koordinátás egyenlete: A fenti hiperbola paraméteres egyenletrendszere: 5 xt) = cos t, yt) = 5 tg t, Egy másik lehetőség: a + b = 5. 5a = 5, a = 5 és b = 5. xt) = 5t + x 5 y 0 = 1. 5 4t, yt) = 5t 5 4t, { π } t R \ + kπ, k Z t R \ {0}. 1.1.1. Az x y = 8 egyenletből a hiperbola középponti egyenlete: x 8 y 4 = 1, vagyis a hiperbola valós féltengelye a = 8 =, képzetes féltengelye b = 4 =. Lineáris excentricitása: c = a + b = 8 + 4 = 1 =. Numerikus excenrticitása: ε = c a = = A fenti hiperbola paraméteres egyenletrendszere: xt) = cos t, t R \ yt) = tg t, Egy másik lehetőség:. { π + kπ, k Z } xt) = t + t, yt) = t 1 t R \ {0}. t,
.1 Görbék paraméteres megadása 18 1.1.14. A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy x 1 és y R, továbbá x = ch t és y = sh t. Felhasználva, hogy t R esetén ch t sh t = 1 adódik, hogy a görbe Descartes-koordinátás egyenlete: x y = 1, x 1. Tehát az x y = 1 hiperbola jobb oldali ágáról van szó. Grafikonja: 1.1.15. A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy x és y R, továbbá x = 4 ch t és y = 9 sh t.
.1 Görbék paraméteres megadása 19 Felhasználva, hogy t R esetén ch t sh t = 1 adódik, hogy a görbe Descartes-koordinátás egyenlete: Tehát az x 4 y 9 x 4 y 9 = 1, x. = 1 hiperbola bal oldali ágáról van szó. Grafikonja: 1.1.16. A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy továbbá Felhasználva, hogy t R esetén x R \, 6) és y R, x ) = 16 ch t és y 5) = 9 sh t. ch t sh t = 1 adódik, hogy a hiperbola Descartes-koordinátás egyenlete: x ) 16 y 5) 9 = 1.
.1 Görbék paraméteres megadása 0 A hiperbola aszimptotái a K, 5) pontban metszik egymást, valós féltengelyének hossza a = 16 = 4, képzetes féltengelyének hossza pedig b = 9 =. Lineáris excentricitása: c = a + b = 16 + 9 = 5 = 5. Numerikus excenrticitása: ε = c a = 5 4. Fókuszpontjai: A hiperbola aszimptotái a F 1, 5) és F 7, 5). x + 4y = 14 és x + 4y = 6 egyenesek. Grafikonja:
.1 Görbék paraméteres megadása 1 1.1.17. A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy x = cos t és y = sin t. Felhasználjuk, hogy t R esetén azaz cos t + sin t = 1, x + y = 1, amely az asztroida Descartes-koordinátás egyenlete. Grafikonja: 1.1.18. A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy t = x 1, így y = 1 x 1) = x. A görbe tehát az x + y = egyenes.
.1 Görbék paraméteres megadása 1.1.19. a) A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy x R és y R + {0}, továbbá x = t, vagyis a függvény az y = x, x R parabola. b) A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy 1 x 1 és 0 y 1, továbbá x = sin t, vagyis a függvény az y = x parabola [ 1, 1] intervallum feletti íve. Grafikonja:
.1 Görbék paraméteres megadása c) A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy x { 1, 0, 1} és y {0, 1}, továbbá vagyis a függvény az parabola alábbi három pontja: x = sgn t, y = x P 1 1, 1), P 0, 0), P 1, 1). Grafikonja: d) A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy x 1 és y R, továbbá azaz t = y, x = 1 + y) = y 6y + 10,
.1 Görbék paraméteres megadása 4 vagyis a görbe az x 1 = y ) parabola, amelynek csúcsa a C1, ) pont, szimmetriatengelye pedig az y = egyenes. Grafikonja: 1.1.0. Ha π t π, akkor π π sin t π, így cos π x cos 0 és sin π ) y sin π, azaz x és y. A paraméteres egyenletrendszerből kapjuk, hogy π ) π ) x = 9 cos sin t és y = 9 sin sin t, összeadva a fenti két egyenletet és felhasználva, hogy α = π sin t esetén is fennáll a cos α + sin α = 1
. Paraméteres alakban adott függvény deriváltja 5 azonosság, adódik az π ) π ) x + y = 9 cos sin t + 9 sin sin t = 9. implicit egyenlet. Tehát az π ) x = cos sin t, π ) y = sin sin t, π t π paraméteres megadású görbe az origú középpontú r k = sugarú kör Grafikonja: [ ], intervallum feletti íve.. Paraméteres alakban adott függvény deriváltja 1..1. ẋt) = dx dt = t + 1 és ẏt) = dy dt = 7t6 + 1. Így y = dy dx = ẏt) ẋt) = 7t6 + 1 t + 1.
. Paraméteres alakban adott függvény deriváltja 6 1... ẋt) = dx dt = sin t és ẏt) = dy dt = cos t. Így y = dy dx = ẏt) ẋt) = cos t sin t = ctg t. Ha t 0 = π 4, akkor π ) y t0) = y = ctg π 4 4 = 1. 1... A szorzat deriválási szabályát használva: ẋt) = dx dt = et sin t+e t cos t = e t sin t+cos t) és ẏt) = dy dt = et cos t e t sin t = e t cos t sin t). Így y = dy dx = ẏt) ẋt) = cos t sin t sin t + cos t. 1..4. Az összetett függvény deriválási szabályát használva: ẋt) = dx dt = cos t sin t) és ẏt) = dy dt = sin t cos t. Így Ha t 0 = π, akkor y = dy dx = ẏt) ẋt) = sin t cos t cos t sin t) = sin t cos t π ) y t0) = y = tg π =. = tg t. 1..5. Ha t 0 = π 4, akkor Az érintő meredekségét a π ) xt 0 ) = x = 5 4 pontban keressük. Határozzuk meg y -t! és 5 P 0, 4 ) π ) yt 0 ) = y = 4 4. így ẋt) = dx dt = 5 sin t és ẏt) = dy dt y = dy dx = ẏt) ẋt) cos t = 4 5 sin t = 4 ctg t. 5 = 4 cos t,
. Paraméteres alakban adott függvény deriváltja 7 Ha t 0 = π 4, akkor π ) m = y t 0 ) = y = 4 4 5 ctg π 4 = 4 5. Az érintő meredeksége tehát 4. Az ellipszis grafikonja: 5 1..6. A deriválási szabályok alapján: Így Ha t 0 = 1, akkor ẋt) = dx dt = 5t4 + π cosπt) és ẏt) = dy dt = 1 + et. y = dy dx = ẏt) ẋt) = 1 + e t 5t 4 + π cosπt). y t 0 ) = y 1) = 1 + e 5 + π. 1..7. A P 1, 1) pont a t 0 = 0 paraméterértéknek felel meg. A deriválási szabályok alapján: Így ẋt) = dx dt = t + et és ẏt) = dy dt = 1 + et. y = dy dx = ẏt) ẋt) = 1 + et t + e t.
. Paraméteres alakban adott függvény deriváltja 8 Ha t 0 = 0, akkor y t 0 ) = y 0) =. 1..8. A P 1, 0) pont a t 0 = 0 paraméterértéknek felel meg. A deriválási szabályok alapján: ẋt) = dx dt = sin t et cos t e t e t és ẏt) = dy dt = cos t et sin t e t e t. Így Ha t 0 = 0, akkor y = dy dx = ẏt) ẋt) = cos t sin t sin t + cos t. y t 0 ) = y 0) =. 1..9. Ha t 0 = 0, akkor x 0 = xt 0 ) = x0) = és y 0 = yt 0 ) = y0) = 5, vagyis az érintőt a P, 5) pontban kell meghatározni. A deriválási szabályok alapján: ẋt) = dx dt = et és ẏt) = dy dt = 5e t. Így Ha t 0 = 0, akkor y = dy dx = ẏt) ẋt) = 5 e t. m = y t 0 ) = y 0) = 5. A P, 5) pontban az érintőegyenes egyenlete: y = 5 x ) + 5, átrendezve: 5x + y 0 = 0. 1..10. A deriválási szabályok alapján: Így ẋt) = dx dt Az x + y + = 0 egyenes explicit alakja: = 4t és ẏt) = dy dt = t + 1. y = dy dx = ẏt) ẋt) = t + 1. 4t y = x,
. Paraméteres alakban adott függvény deriváltja 9 vagyis az egyenes meredeksége 1, a rá merőleges egyeneseké pedig 1. Olyan pontokat keresünk, ahol y = dy dx = 1, azaz t + 1 = 1. 4t A felírt egyenletet megoldva két gyököt kapunk: A keresett pontok: t 1 = 1 P 1 4 9, 10 ) 7 és t = 1. és P, ). 1..11. A 9x + 16y = 5 egyenletű ellipszis paraméteres egyenletrendszere: xt) = 1 cos t, t [0, π). 1 yt) = sin t, A deriválási szabályok alapján: ẋt) = dx 1 dt = Így A 4y + x = 4 egyenes explicit alakja: sin t és ẏt) = dy dt = y = dy dx = ẏt) ẋt) = ctg t. 4 y = 4 x + 1, 1 cos t. vagyis az egyenes meredeksége. Olyan pontokat keresünk az ellipszisen, ahol 4 azaz Ekkor y = dy dx = 4, 4 ctg t = 4. ctg t =,
. Paraméteres alakban adott függvény deriváltja 0 azaz t 1 = π 6 és t = 7π 6. A keresett pontok: P 1 1, A P 1 pontba húzott érintő egyenlete: A P pontba húzott érintő egyenlete: ) 1 4 y = 4 y = 4 ) 1 1 és P,. 4 x x + ) 1 1 + 4. ) 1 1 4.
. Paraméteres alakban adott függvény deriváltja 1 1..1. A deriválási szabályokat használva: ẋt) = dx dt = 4 cos t sin t) és ẏt) = dy dt = 4 sin t cos t. Így y = dy dx = ẏt) ẋt) = 4 sin t cos t 4 cos t sin t) = sin t = tg t. cos t Az y = x egyenes meredeksége 1. Olyan pontokat keresünk az asztroidán, ahol y = dy dx = 1, azaz tg t = 1, tehát A keresett pontok: t 1 = π 4 és t = 7π 4. P 1, ) és P, ).
. Polárkoordinátás megadású görbék. Polárkoordinátás megadású görbék.1.1. Ha a Descartes-féle koordináta-rendszer x-tengelyének pozitív fele a polártengely és a pólus az origóban van, akkor ugyanannak a pontnak a Descartes-féle koordinátái és a polárkoordinátarendszerbeli koordinátái között, ha x, y és r mértékegységei megegyeznek, akkor az alábbi összefüggések állnak fenn: Tehát a feladat megoldása: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ és r = x + y. a) A P 1, ) pont a Descart-féle derékszögű koordinátarendszer II. síknegyedében van és r = ) + =, továbbá azaz cos ϕ = = és sin ϕ = = ϕ = π 4., Tehát a P 1 pont polárkoordináta-rendszerbeli megfelelője a P 1, π ) 4 pont. b) A P 5, 5 ) pont a Descart-féle derékszögű koordinátarendszer I. síknegyedében van és r = 5 + 5 ) = 5 + 75 = 100 = 10, továbbá azaz cos ϕ = 5 10 = 1 és sin ϕ = 5 10 = ϕ = π., Tehát a P pont polárkoordináta-rendszerbeli megfelelője a P 10, π ) pont. c) A P 0, 1) pont a Descart-féle derékszögű koordinátarendszer y-tengelyének pozitív felé van és r = 0 + 1 = 1, továbbá cos ϕ = 0 és sin ϕ = 1,
. Polárkoordinátás megadású görbék azaz ϕ = π. Tehát a P pont polárkoordináta-rendszerbeli megfelelője a P 1, π ) pont. d) A P 4 1, ) pont a Descart-féle derékszögű koordinátarendszer III. síknegyedében van és r = 1) + ) = 1 + = 4 =, továbbá azaz cos ϕ = 1 és ϕ = 4π. sin ϕ =, Tehát a P 4 pont polárkoordináta-rendszerbeli megfelelője a P 4, 4π ) pont..1.. Felhasználjuk az két koordináta-rendszer közötti x = r cos ϕ, y = r sin ϕ és r = x + y összefüggéseket. a) A Q 1, π ) pont esetén r = és ϕ = π 6 6, azaz x = cos π 6 = = és y = sin π 6 = 1 = 1. Tehát a Q 1, π ) pont megfelelője a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben a 6 ) Q 1, 1 pont. b) A Q, π 4 ) pont esetén r = és ϕ = π 4, azaz x = cos π ) 4 = = és y = sin π 4 = =.
. Polárkoordinátás megadású görbék 4 Tehát a Q 1, π 4 ) pont megfelelője a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben a Q, ) pont. c) A Q 4, 5π ) pont esetén r = 4 és ϕ = 5π, azaz x = 4 cos 5π = 4 1 = és y = 4 sin 5π ) = 4 =. Tehát a Q 4, 5π pont. ) pont megfelelője a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben a Q, ) d) Ha r értéke negatív, akkor megállapodás szerint az r, ϕ) pont helyét a síkon úgy állapítjuk meg, hogy r -et mérünk fel a ϕ+π hajlásszögű félegyenesre. A Q 4 4, π ) pont esetén tehát r = 4 = 4 és π + ϕ = π + π = 4π, azaz x = 4 cos 4π = 4 1 ) ) = és y = 4 sin 4π = 4 =. Tehát a Q 4 4, π ) pont megfelelője a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben a Q 4, ) pont. Megjegyezzük, hogy a 4, π ) és 4, 4π ) polárkoordinátás megadású pontokok egybeesnek..1.. A ϕ = π 4 görbe az x-tengely pozitív felével π szöget bezáró origón átmenő egyenes, vagyis az 4 y = x egyenes. Megjegyezzük, hogy az egyenes alsó fele is a grafikonhoz tartozik, mivel r negatív értéket is felvehet..1.4. A ϕ = π y-tengelye. polárkoordinátás megadású görbe a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer
. Polárkoordinátás megadású görbék 5.1.5. Felhasználjuk az két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket. x = r cos ϕ, y = r sin ϕ és r = x + y a) Az r = 4 polárkoordinátás egyenletű görbe az origó középpontú 4 egység sugarú kör, melyenek Descartes-koordinátás egyenlete: x + y = 16. A x + y = 16 egyenletű kör paraméteres egyenletrendszere: { xt) = 4 cos t, yt) = 4 sin t, t [0, π). b) Először adjuk meg a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! Az r = cos ϕ egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel! Ekkor r = r cos ϕ adódik. Alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket, így a fenti egyenlet alapján az x + y = x Descartes-koordinátás egyenlet adódik. Ez az egyenlet ekvivalens az x x + y = 0
. Polárkoordinátás megadású görbék 6 és az x 1) + y = 1 egyenletekkel. Tehát az r = cos ϕ polárkkordinátás egyenletű görbe az 1, 0) középpontú egység sugarú kör. Az x 1) + y = 1 egyenletű kör paraméteres egyenletrendszere: { xt) = 1 + cos t, t [0, π). yt) = sin t, c) Az r = 6 sin ϕ egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel! Ekkor r = 6r sin ϕ adódik. Alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket, így a fenti egyenlet alapján az x + y = 6y Descartes-koordinátás egyenlet adódik. Ez az egyenlet ekvivalens az és az x + y 6y = 0 x + y ) = 9 egyenletekkel. Tehát az r = 6 sin ϕ polárkkordinátás egyenletű görbe a 0, ) középpontú egység sugarú kör, melynek paraméteres egyenletrendszere:
. Polárkoordinátás megadású görbék 7 { xt) = cos t, yt) = + sin t, t [0, π). Grafikonja: d) Az r = 6sin ϕ + cos ϕ) egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel! Ekkor r = 6r sin ϕ + 6r cos ϕ adódik. Alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket, így a fenti egyenlet alapján az x + y = 6y + 6x Descartes-koordinátás egyenlet adódik. Ez az egyenlet ekvivalens az és az x 6x + y 6y = 0 x ) + y ) = 18 egyenletekkel. Tehát az r = 6sin ϕ + cos ϕ) polárkkordinátás egyenletű görbe a, ) középpontú sugarú kör, melynek paraméteres egyenletrendszere: { xt) = + cos t, yt) = + sin t, t [0, π).
. Polárkoordinátás megadású görbék 8 Az r = 6sin ϕ + cos ϕ) polárkkordinátás egyenletű görbe grafikonja:.1.6. Felhasználjuk az két koordináta-rendszer között fennálló x = r cos ϕ, y = r sin ϕ és r = x + y összefüggéseket. a) Az x + y = 100 körre r = 100 adódik, vagyis a polárkoordinátás egyenlet: r = 10. b) Az x + y 4) = 16 kör ekvivalens alakja: x + y = 8y. Felhasználva a két koordinátarendszer közötti összefüggéseket az r = 8r sin ϕ polárkoordinátás egyenlethez jutunk. Mindkét oldalt végigosztva r-rel az r = 8 sin ϕ összefüggést kapjuk.
. Polárkoordinátás megadású görbék 9 c) Az x 6) + y = 6 kör ekvivalens alakja: x + y = 1x. Alkalmazva a két koordinátarendszer közötti összefüggéseket az r = 1r cos ϕ polárkoordinátás egyenlethez jutunk. Mindkét oldalt végigosztva r-rel az r = 1 cos ϕ összefüggést kapjuk. d) Az x + y = 8x kör esetén felhasználva a két koordinátarendszer közötti összefüggéseket az r = 8r cos ϕ polárkoordinátás egyenlethez jutunk. Mindkét oldalt végigosztva r-rel az r = 8 cos ϕ polárkoordinátás összefüggés adódik. e) Az x + y = y kör esetén felhasználva a két koordinátarendszer közötti összefüggéseket az r = r sin ϕ polárkoordinátás egyenlethez jutunk. Mindkét oldalt végigosztva r-rel az r = sin ϕ polárkoordinátás összefüggést kapjuk. f) Az x 4) + y 4) = kör ekvivalens alakja: x + y = 8x + 8y. Felhasználva a két koordinátarendszer közötti összefüggéseket az r = 8rcos ϕ + sin ϕ) polárkoordinátás egyenlethez jutunk. Mindkét oldalt végigosztva r-rel az r = 8cos ϕ + sin ϕ) összefüggést kapjuk..1.7. Felhasználjuk az két koordináta-rendszer között fennálló x = r cos ϕ, y = r sin ϕ és r = x + y összefüggéseket.
. Polárkoordinátás megadású görbék 40 a) Először adjuk meg a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel! Ekkor Az r = 10 cos ϕ egyenlet r = 10r cos ϕ adódik. Alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket, így a fenti egyenlet alapján az x + y = 10x Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk. Ez az egyenlet ekvivalens az és az x + 10x + y = 0 x + 5) + y = 5 egyenletekkel. Tehát az r = 10 cos ϕ polárkkordinátás egyenletű görbe a 5, 0) középpontú 5 egység sugarú kör. Az r = 10 cos ϕ kör paraméteres egyenletrendszere: { xt) = 5 + 5 cos t, yt) = 5 sin t, t [0, π).
. Polárkoordinátás megadású görbék 41 b) Az r = cos ϕ, π < ϕ < π ) a polártengelyre merőleges egyenes egyenlete, melynek ekvivalens alakja: r cos ϕ =. Descartes-koordinátás egyenlete: x =. Az r = cos ϕ, π < ϕ < π ) egyenes paraméteres egyenletrendszere: { xt) =, t R. yt) = t, c) Az r = 4, 0 < ϕ < π) a polártengellyel párhuzamos egyenes egyenlete, melynek ekvivalens sin ϕ alakja: r sin ϕ = 4. Descartes-koordinátás egyenlete: y = 4. Az r = 4, 0 < ϕ < π) egyenes paraméteres egyenletrendszere: sin ϕ { xt) = t, t R. yt) = 4,
. Polárkoordinátás megadású görbék 4 Az r = 4, 0 < ϕ < π) egyenes grafikonja: sin ϕ ) a polártengelyre merőleges egyenes egyenlete, melynek ekvi- d) Az r = cos ϕ, valens alakja: π < ϕ < π Descartes-koordinátás egyenlete: x =. r cos ϕ =.
. Polárkoordinátás megadású görbék 4 Az r = π cos ϕ, < ϕ < π ) egyenes paraméteres egyenletrendszere: { xt) =, yt) = t, t R. e) Az r = 1, π < ϕ < π) a polártengellyel párhuzamos egyenes egyenlete, melynek ekvivalens alakja: sin ϕ r sin ϕ = 1. Descartes-koordinátás egyenlete: y = 1. Az r = 1, π < ϕ < π) egyenes paraméteres egyenletrendszere: sin ϕ { xt) = t, t R. yt) = 1, f) Először adjuk meg a görbe Descartes-koordinátás egyenletét! Az r = ekvivalens alakja: Az addíciós tételt alkalmazva: π ) π ) r cos + ϕ = 5, ha cos + ϕ 0. r cos ϕ cos π sin ϕ sin π ) = 5, 5 π ) egyenlet cos + ϕ
. Polárkoordinátás megadású görbék 44 azaz r ) 1 cos ϕ sin ϕ = 5. Alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket! Ekkor az 1 x y = 5, vagyis az x y = 10 egyenes Descartes-koordinátás egyenletét kapjuk. Az egyenes explicit alakja: y = 1 x 10. Az r = 5 π ) egyenes paraméteres egyenletrendszere: cos + ϕ xt) = t, yt) = 1 t 10, t R.
. Polárkoordinátás megadású görbék 45 g) Az r = cos ϕ π ) egyenlet ekvivalens alakja: 4 r cos ϕ π ) =, ha cos ϕ π ) 0. 4 4 Az addíciós tételt alkalmazva: azaz r r cos ϕ cos π 4 + sin ϕ sin π ) =, 4 ) cos ϕ + sin ϕ =. Alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket! Ekkor a x + y =, vagyis az x + y = egyenes Descartes-koordinátás egyenletét kapjuk. Az r = 5 π ) egyenes paraméteres egyenletrendszere: cos + ϕ { xt) = t, yt) = t, t R.
. Polárkoordinátás megadású görbék 46 h) Az r = 8 cos ϕ π ) egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel! Ekkor r = 8r cos ϕ π ) adódik. Az addíciós tételt alkalmazva: r = 8r cos ϕ cos π + sin ϕ sin π ), azaz r = 4r cos ϕ + 4 sin ϕ. Alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket, így a fenti egyenlet alapján az x + y = 4x + 4 y Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk. Ez az egyenlet ekvivalens az x 4x + y 4 y = 0 és az x ) + y ) = 16 egyenletekkel. Tehát az r = 8 cos ϕ π ) polárkoordinátás egyenletű görbe a, ) középpontú 4 egység sugarú kör. Az r = 8 cos ϕ π ) kör paraméteres egyenletrendszere: { xt) = + 4 cos t, yt) = t [0, π). + 4 sin t,
. Polárkoordinátás megadású görbék 47.1.8. A görbék vázlatának elkészítséhez célszerű értéktáblázatot készíteni. a) Az r = 8 sin ϕ görbe grafikonja az alábbi értéktáblázat alapján könnyen elkészíthető: ϕ sin ϕ sin ϕ r = 8 sin ϕ A görbe grafikonja: 0, π, π 0 0 0 π 6, 5π 6 π 4, π 4 π, π π π 1 1 4 1 4 4 6 1 1 8 1 1 8
. Polárkoordinátás megadású görbék 48 A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = 8 sin ϕ egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r -tel! Ekkor r = 8r sin ϕ adódik. Alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket a x + y ) = 8y Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk. b) Az r = sin ϕ görbe grafikonjának megrajzolásához az alábbi értéktáblázat szolgál alapul: ϕ sin ϕ r = sin ϕ 0, π, π, π, π 0 0 π 6, π, 7π 6, 4π π 4, 5π 1 4 π, 5π π 4, 7π 4 1 Az r = sin ϕ görbét négyes rozettának nevezik. Grafikonja:
. Polárkoordinátás megadású görbék 49 A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = sin ϕ egyenletet írjuk át az alábbi alakba: r = 6 sin ϕ cos ϕ. Az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r -tel! Ekkor r = 6 r sin ϕ r cos ϕ adódik. Alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket a x + y ) = 6xy Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk. c) Az r = cos ϕ görbe értéktáblázatának elkészítése előtt vegyük észre, hogy r értéke csak akkor számolható ki, ha cos ϕ 0, azaz π 4 ϕ π 4 vagy π 4 ϕ 5π 4. ϕ cos ϕ r = cos ϕ 0, π, π 1 1 π 6, 5π 6, 7π 6, 11π 1 1 6 π 4, π 4, 5π 4, 7π 0 0 4 Az r = cos ϕ görbét lemniszkátának nevezik. Grafikonja:
. Polárkoordinátás megadású görbék 50 A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = cos ϕ egyenlet mindkét oldalát emeljük négyzetre! Az r = cos ϕ egyenlet jobb oldalán alkalmazzuk a megfelelő trigonometrikus azonosságot, így az r = cos ϕ sin ϕ egyenletet írhatjuk fel. Az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r -tel! Ekkor r 4 = r cos ϕ r sin ϕ adódik. Alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y ) = x y Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk. d) Az r = sin ϕ görbét hármas rozettának vagy háromlevelű lóherének nevezzük. Grafikonja: A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához felhasználjuk az alábbi trigonometrikus azonosságot: sin ϕ = sinϕ + ϕ) = sin ϕ cos ϕ + cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ sin ϕ. Tehát az r = sin ϕ egyenlet felírható az alábbi alakban: r = 6 sin ϕ cos ϕ sin ϕ.
. Polárkoordinátás megadású görbék 51 A kapott egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r -nal! Ekkor r 4 = 6 r sin ϕ r cos ϕ r sin ϕ adódik. Alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y ) = 6yx y, vagyis az x + y ) = yx y ) Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk. e) Az r = cos ϕ görbét ugyancsak hármas rozettának vagy háromlevelű lóherének nevezzük. Grafikonja: A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához felhasználjuk az alábbi trigonometrikus azonosságot: cos ϕ = cosϕ + ϕ) = cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ = cos ϕ sin ϕ cos ϕ. Tehát az r = cos ϕ egyenlet felírható az alábbi alakban: r = cos ϕ 6 sin ϕ cos ϕ. A kapott egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r -nal! Ekkor r 4 = r cos ϕ 6 r sin ϕ r cos ϕ
. Polárkoordinátás megadású görbék 5 adódik. Alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y ) = x 6y x, vagyis az x + y ) = xx y ) implicit alakú Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk. f) Az r = 1 + cos ϕ görbét limakonnak nevezzük. Grafikonja: ϕ cos ϕ r = 1 + cos ϕ 0, π π, π π, 4π 0 1 1 0 π 1 A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához szorozzuk meg az r = 1+ cos ϕ egyenlet mindkét oldalát r-rel! A kapott r = r + r cos ϕ egyenletre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y = x + y + x implicit alakú Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk.
. Polárkoordinátás megadású görbék 5 g) Az r = 4 + cos ϕ görbét is limakonnak hívják, de a grafikonján nincs hurok. Mivel cos ϕ, így azonnal látszik, hogy 4 + cos ϕ 6, azaz r értéke mindig pozitív ezért nincs hurok), sőt r 6. Az r = 4 + cos ϕ görbéhez tartozó értéktáblázat: ϕ cos ϕ r = 4 + cos ϕ 0, π 6 π, π π, 4π 0 4 1 π A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához szorozzuk meg az r = 4+ cos ϕ egyenlet mindkét oldalát r-rel! A kapott r = 4r + r cos ϕ egyenletre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y = 4 x + y + x implicit alakú Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk.
. Polárkoordinátás megadású görbék 54 h) Az r = sin ϕ görbét lemniszkátának nevezzük. Grafikonja: Az r = sin ϕ egyenletből azonnal adódik, hogy r legnagyobb felvett értéke 1. Vegyük észre azt is, hogy r értéke csak akkor számolható ki, ha sin ϕ 0, azaz 0 ϕ π vagy π ϕ π. A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = sin ϕ egyenletet írjuk fel r = sin ϕ cos ϕ alakba, majd szorozzuk meg mindkét oldalt r -tel. Ekkor r 4 = r sin ϕ r cos ϕ adódik, amelyre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y ) = xy implicit alakú Descartes-koordinátás egyenlet adódik. Megjegyezzük, hogy a görbe grafikonja az r = cos ϕ lemniszkáta grafikonjából π radiánnal történő elforgatással származtatható, 4 mert: r = cos ϕ π )) = cos ϕ π ) = sin ϕ. 4
. Polárkoordinátás megadású görbék 55 i) Az r = sin 4ϕ görbét nyolcas rozettának nevezzük. A grafikon elkészítéséhez célszerű az alábbi értéktáblázatot elkészíteni: ϕ r = sin 4ϕ 0, π 4, π, π 4, π, 5π 4, π, 7π 4, π 0 π 8, 5π 8, 9π 8, 1π 8 π 8, 7π 8, 11π 8, 15π 8 1 1 A görbe grafikonja: A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához felhasználjuk az alábbi trigonometrikus azonosságot: sin 4ϕ = sin ϕ cos ϕ = 4 sin ϕ cos ϕcos ϕ sin ϕ) = 4 sin ϕ cos ϕ 4 sin ϕ cos ϕ. Tehát az r = sin 4ϕ egyenlet felírható az alábbi alakban: r = 4 sin ϕ cos ϕ 4 sin ϕ cos ϕ. A kapott egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg r 4 -nel! Ekkor r 5 = 4 r sin ϕ r cos ϕ 4 r sin ϕ r cos ϕ
. Polárkoordinátás megadású görbék 56 adódik. Alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket a x + y ) 5 = 4yx 4y x, vagyis a x + y ) 5 = 4xyx y ) implicit alakú Descartes-koordinátás egyenletet kapjuk. j) Az r = + cos ϕ görbe grafikonja szimmetrikus az origóra, mert cosϕ + π) = cos ϕ. Könnyen látható az is, hogy 1 cos ϕ 1, így 1 + cos ϕ, vagyis r nem vesz fel negatív értéket. A görbe grafikonja: A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = + cos ϕ egyenletet írjuk fel r = + cos ϕ sin ϕ alakba, majd szorozzuk meg mindkét oldalt r -tel. Ekkor r = r + r cos ϕ r sin ϕ adódik, amelyre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket a x + y ) = x + y ) + x y implicit alakú Descartes-koordinátás egyenlet írható fel.
. Polárkoordinátás megadású görbék 57.1.9. A kardioidok szívgörbék) vázlatának elkészítséhez célszerű értéktáblázatot készíteni. a) Ha r = 1 + cos ϕ, akkor 1 cos ϕ 1 miatt 0 r adódik, azaz r értéke sehol sem negatív. Az értéktáblázat: ϕ cos ϕ r = 1 + cos ϕ 0, π 1 π, π Az r = 1 + cos ϕ szívgörbe grafikonja: 0 1 π 1 0 A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = 1 + cos ϕ egyenletet mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel. Ekkor r = r + r cos ϕ adódik, amelyre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y = x + y + x implicit alakú Descartes-koordinátás egyenlet írható fel.
. Polárkoordinátás megadású görbék 58 b) Ha r = 1 cos ϕ, akkor 1 cos ϕ 1 miatt 0 r adódik, azaz r értéke sehol sem negatív. Az értéktáblázat: ϕ cos ϕ r = 1 cos ϕ 0, π 1 0 π, π Az r = 1 cos ϕ szívgörbe grafikonja: 0 1 π 1 Megjegyezzük, hogy az r = 1+cos ϕ grafikonjából π radiánnal történő, az óramutató járásával ellentétes irányú elforgatással is származtatható az r = 1 cos ϕ kardioid grafikonja, mert r = 1 + cosϕ π) = 1 cos ϕ. A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = 1 cos ϕ egyenletet mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel. Ekkor r = r r cos ϕ adódik, amelyre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y = x + y x implicit alakú Descartes-koordinátás egyenlet írható fel.
. Polárkoordinátás megadású görbék 59 c) Ha r = 1 + sin ϕ, akkor 1 sin ϕ 1 miatt 0 r adódik, azaz r értéke sehol sem negatív. Az értéktáblázat: ϕ sin ϕ r = 1 + sin ϕ 0, π, π 0 1 π π Az r = 1 + sin ϕ szívgörbe grafikonja: 1 1 0 Az r = 1 + cos ϕ grafikonjából π radiánnal történő, az óramutató járásával ellentétes irányú elforgatással is származtatható az r = 1 + sin ϕ kardioid grafikonja, mert r = 1 + cos ϕ π ) = 1 + sin ϕ. A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = 1 + sin ϕ egyenletet mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel. Ekkor r = r + r sin ϕ adódik, amelyre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y = x + y + y implicit alakú Descartes-koordinátás egyenlet írható fel.
. Polárkoordinátás megadású görbék 60 d) Ha r = 1 sin ϕ, akkor 1 sin ϕ 1 miatt 0 r adódik, azaz r értéke sehol sem negatív. Az értéktáblázat: ϕ sin ϕ r = 1 + sin ϕ 0, π, π 0 1 π π Az r = 1 sin ϕ szívgörbe grafikonja: 1 0 1 Az r = 1 + cos ϕ grafikonjából π radiánnal történő, az óramutató járásával ellentétes irányú elforgatással is származtatható az r = 1 sin ϕ kardioid grafikonja, mert r = 1 + cos ϕ π ) = 1 sin ϕ. A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = 1 sin ϕ egyenletet mindkét oldalát szorozzuk meg r-rel. Ekkor r = r r sin ϕ adódik, amelyre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az x + y = x + y y implicit alakú Descartes-koordinátás egyenlet írható fel.
. Polárkoordinátás megadású görbék 61.1.10. Könnyen észrevehető, hogy r = cos ϕ = 1 + cos ϕ, vagyis az r = cos ϕ kicsinyített képe. görbe grafikonja az r = 1 + cos ϕ kardioid grafikonjának az origóból felére.1.11. A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = sin ϕ négyzetre! egyenlet mindkét oldalát emeljük Ismert, hogy r = sin ϕ sin ϕ = 1 cos ϕ, azaz r = 1 cos ϕ. Szorozzuk meg a kapott egyenlet mindkét oldalát r-rel! Ekkor a r = r r cos ϕ
. Polárkoordinátás megadású görbék 6 egyenletet kapjuk, amelyre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket a x + y ) = x + y x implicit alakú Descartes-koordinátás egyenlet írható fel. Ha r = sin ϕ, akkor 1 sin ϕ 1 miatt 1 r 1 teljesül, vagyis r pozitív és nagatív értékeket is felvehet. Az y = sin x függvény periódusa 4π, így a görbe vázlatának elkészítéséhez ϕ értékeit a [0, 4π] intervallumból választjuk. Az értéktáblázat: ϕ r = sin ϕ 0, π, 4π 0 π, π π 1 5π, 7π π 1 Az r = sin ϕ görbe grafikonja: Látható, hogy ϕ [0, π] esetén egy kardioid görbét kapunk, majd ϕ [π, 4π] esetén egy másik kardioid adódik, ami éppen a ϕ [0, π] esetben kapott kardioid y-tengelyre való tükörképe.
. Polárkoordinátás megadású görbék 6.1.1. Könnyen észrevehető, hogy r = sin ϕ = 1 cos ϕ, vagyis az r = sin ϕ kicsinyített képe. görbe grafikonja az r = 1 cos ϕ kardioid grafikonjának az origóból felére.1.1. Az r = + cos ϕ limakon grafikonján sincs hurok, mert cos ϕ, így azonnal látszik, hogy 1 + cos ϕ 5, azaz r értéke mindig pozitív. Az r = + cos ϕ görbéhez tartozó értéktáblázat: ϕ cos ϕ r = + cos ϕ 0, π 5 π, π π, 4π 0 1 π 1
. Polárkoordinátás megadású görbék 64 Az r = sin ϕ limakon grafikonja megkapható az r = + cos ϕ limakon grafikonjának az óramutató járásával ellentétes irányú π radiánnal történő elforgatásával, mert: r = + cos ϕ π ) = sin ϕ..1.14. a) Az ellipszis polárkoordinátás egyenletének felírásához az x 4 +y = 1 egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg 4-gyel! Az x + 4y = 4 egyenletet zárójelezzük: x + y ) + y = 4, majd alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az r + r sin ϕ = 4 összefüggés adódik. A kapott egyenlet bal oldalán kiemeljük r -et: r 1 + sin ϕ) = 4,
. Polárkoordinátás megadású görbék 65 majd mindkét oldalt elosztjuk a zárójelben lévő összeggel, így r = 4 1 + sin ϕ írható fel, tehát az ellipszis egyenlete poláris koordinátákkal: r = 1 + sin ϕ. b) Az ellipszis polárkoordinátás egyenletének felírásához az x 5 + y 16 szorozzuk meg 400-zal! A 16x + 5y = 400 = 1 egyenlet mindkét oldalát egyenletet zárójelezzük: 5x + y ) 9x = 400, majd alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket a 5r 9r cos ϕ = 400 összefüggés adódik. A kapott egyenlet bal oldalán kiemeljük r -et: r 5 9 cos ϕ) = 400, majd mindkét oldalt elosztjuk a zárójelben lévő különbséggel, így r = 400 5 9 cos ϕ írható fel, tehát az ellipszis egyenlete poláris koordinátákkal: r = 0 5 9 cos ϕ. c) Az x = y parabola esetén, ha alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket, akkor az r cos ϕ = r sin ϕ egyenlet adódik. Mindkét oldalt osszuk el r-el és cos ϕ-vel, így megkapjuk a parabola egyenletét poláris korrdinátákkal: r = sin ϕ cos ϕ. Ennek egy ekvivalens alakja: r = tg ϕ cos ϕ.
. Polárkoordinátás megadású görbék 66 d) Ha alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az y = 16x parabolára, akkor az r sin ϕ = 16r cos ϕ egyenlet adódik. Mindkét oldalt osszuk el r-el és sin ϕ-vel, így megkapjuk a parabola egyenletét poláris korrdinátákkal: 16 cos ϕ r = sin ϕ. Ennek egy ekvivalens alakja: 16 ctg ϕ r = sin ϕ. e) A hiperbola polárkoordinátás egyenletének felírásához az x 5 y = 1 egyenlet mindkét oldalát 16 szorozzuk meg 400-zal! A 16x 5y = 400 egyenletetre alkalmazva a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket a 16r cos ϕ 5r sin ϕ = 400 összefüggés adódik. A kapott egyenlet bal oldalán alkalmazzuk a cos ϕ = cos ϕ sin ϕ azonosságot és emeljünk ki r -et! Az r 16 cos ϕ 9 sin ϕ) = 400 egyenlet mindkét oldalát osszuk el a zárójelben lévő különbséggel, így r = 400 16 cos ϕ 9 sin ϕ írható fel, tehát a hiperbola egyenlete poláris koordinátákkal: r = 0 16 cos ϕ 9 sin ϕ. f) Ha alkalmazzuk a két koordináta-rendszer közötti összefüggéseket az xy = 4 hiperbolára, akkor az r cos ϕ r sin ϕ = 4 egyenlet adódik, azaz r cos ϕ sin ϕ = 4. Mindkét oldalt szorozzuk meg -vel és alkalmazzuk a sin ϕ = sin ϕ cos ϕ azonosságot: azaz tehát r cos ϕ sin ϕ = 8, r sin ϕ = 8, r = 8 sin ϕ, r = 8 sin ϕ.
. Polárkoordinátás megadású görbék 67.1.15. A Descartes-koordinátás egyenlet felírásához az r = emeljük négyzetre! A kapott egyenlet ekvivalens a r = 6 9 5 sin ϕ. 9r 5r sin ϕ = 6 6 egyenlet mindkét oldalát 9 5 sin ϕ egyenlettel. Alkalmazzuk a két koordinátarendszer közötti összefüggéseket! Ekkor a vagyis összevonás után a egyenlet adódik. egyenletét: Grafikonja: 9x + y ) 5y = 6, 9x + 4y = 6 Mindkét oldalt elosztva 6-tal megkapjuk egy ellipszis Descartes-koordinátás x 4 + y 9 = 1.
. Polárkoordinátás megadású görbék 68.1.16. a) Az r = 4ϕ archimedesi spirális grafikonja, ha ϕ [0, 4π]: Jól látható, hogy minden görbepontnál a rádiuszvektor hossza r) arányos a polárszöggel ϕ). Ha ϕ < 0 esetében negatív rádiuszvektorokat is megengedünk, akkor a görbe két ága a ϕ = ± π egyenesre vonatkozólag egymásnak tükörképe. Az r = 4ϕ archimedesi spirális grafikonja, ha ϕ [ 4π, 4π]:
. Polárkoordinátás megadású görbék 69 b) Az r = ϕ spirális grafikonja, ha ϕ [0, π]: A ϕ < 0 esetekben r = ϕ miatt a rádiuszvektor értéke pozitív lesz, a görbe két ága a polártengely egyenesére vonatkozólag egymásnak tükörképe.az r = ϕ spirális grafikonja, ha ϕ [ π, π]:
. Polárkoordinátás megadású görbék 70 c) Az r = ϕ hiperbolikus spirális grafikonja, ha ϕ [0, 4π]: Az r = ϕ hiperbolikus spirális aszimptotája az y = egyenes. Ha ϕ < 0 esetében negatív rádiuszvektorokat is megengedünk, akkor a görbe két ága a ϕ = ± π egyenesre vonatkozólag egymásnak tükörképe. Ha ϕ értéke minden határon túl nő, akkor a két ág egyre többször csavarodik a pólus körül. Az hiperbolikus spirális grafikonja, ha ϕ [ 6π, 6π]: ϕ
. Polárkoordinátás megadású görbék 71 d) Az r = 6 + spirális grafikonja, ha ϕ [0, 4π]: ϕ e) Az r = ± ϕ parabolikus spirális Fermat-féle spirál) grafikonja, ha ϕ [0, 4π]:
. Polárkoordinátás megadású görbék 7 A parabolikus spirális két görbére bontható fel, az r = ϕ és az r = ϕ spirálisok egymásra középpontosan tükrösek az origóra nézve: f) Az r = ± ϕ spirális grafikonja, ha ϕ [0, π]:
. Polárkoordinátás megadású görbék 7 g) Az r = e ϕ logaritmikus spirális grafikonja, ha ϕ [0, π]: Az origó aszimptotikus pont. g) Az r = e ϕ és az r = 1 4 eϕ logaritmikus spirálisok grafikonja, ha ϕ [0, π]: Az origó aszimptotikus pont..1.17. Az x + y ) y = x + xy egyenlet ekvivalens az x + y ) = x + y ) + xy egyenlettel, amelyre alkalmazzuk a két koordinára-rendszer közötti összefüggéseket, így r = r + r cos ϕ sin ϕ
. Polárkoordinátás megadású görbék 74 adódik. A kapott egyenlet mindkét oldalát osszuk el r -tel és alkalmazzuk a megfelelő trigonometrikus azonosságot! Ekkor az r = 1 + sin ϕ poláregyenletet kapjuk. Mivel 1 sin ϕ 1, így 0 r. A görbe grafikonja:.1.18. Nyilvánvaló, hogy a ϕ = π egyenes és az r = 5ϕ archimedesi spirális metszéspontjai az 5π + 5kπ, π ) + kπ, k = 0, ±1, ±,... polárkoordinátás megadású pontok..1.19. Az r = 4 1 cos ϕ) kardioid és az r = 4 sin ϕ kör metszéspontjainak meghatározásához első lépésként szorozzuk meg mindkét egyenletet r-rel. Ekkor adódik. Vagyis a r = 4 r r cos ϕ) és r = 4r sin ϕ 4 r r cos ϕ) = 4r sin ϕ
. Polárkoordinátás megadású görbék 75 egyenletet kell megoldanunk. Osszuk el mindkét oldalt 4 -mal és térjünk át Descartes-féle derékszögű koordinátákra! Ekkor a x + y x = y egyenlet adódik, ami ekvivalens az x + y = y + x egyenlettel. Emeljük négyzetre a kapott egyenlet mindkét oldalát! Így x + y = y + x + xy, azaz yy + x) = 0 adódik. Vagyis y = 0 vagy y + x = 0. Ha y = 0, akkor azonnal adódik, hogy x = 0 is fennáll, tehát az egyik közös pont az origó P 1 ).
. Polárkoordinátás megadású görbék 76 A másik közös pontot az y + x = 0 összefüggésből kapjuk, ugyanis ekkor azaz, visszatérve poláris koordinátákra ahonnan ϕ = π. Ekkor y x =, tg ϕ =, r = 4 sin π =. A másik közös pont tehát a P, π ) polárkoordinátás megadású pont..1.0. Az r = 4 sin ϕ és az r = 4 cos ϕ görbék egymást metsző körök: Az egyik metszéspont az origó P 1 ). A másik metszéspontot akkor kapjuk, ha megoldjuk az
. Polárkoordinátás megadású görbék 77 { r = 4 sin ϕ, egyenletrendszert. Ekkor azaz r = 4 cos ϕ 4 sin ϕ = 4 cos ϕ, tg ϕ = 1. A keresett szög tehát ϕ = π. A másik metszéspont ennek megfelelően a 6 P, π ) 6 polárkoordinátás megadású pont..1.1. Az r = 4 cos ϕ és az r = 4 sin ϕ görbék egymást metsző lemniszkáták: A metszéspontok meghatározásához a 4 cos ϕ = 4 sin ϕ,
.4 Polárkoordinátás alakban adott függvény differenciálása 78 vagyis a egyenletet kell megoldani. Ekkor tg ϕ = 1 ϕ = π 4 vagy ϕ = 5π 4. Ez utóbbi nem lehetséges ebben az esetben, mert Vagyis ϕ = π 8 és azaz Eddig tehát két metszéspontunk van: P 1, π ) 8 4 cos 5π 4 < 0. r = 4 cos π ) =, 8 r 1, = ±. és P, π ). 8 Vegyük észre, hogy mindkét görbe áthalad az origón, ez a harmadik metszéspont: P 0, 0)..4 Polárkoordinátás alakban adott függvény differenciálása..1. Ha r = cos ϕ, akkor a) dr dϕ = 1 b) d r dϕ = 1 sin ϕ cos ϕ) sin ϕ) =. cos ϕ cos ϕ cos ϕ + sin ϕ cos ϕ c) d r dϕ = sin ϕ cos ϕ ). cos5 ϕ sin ϕ cos ϕ = cos ϕ + sin ϕ cos ϕ = 1 + cos ϕ cos ϕ. d) dr π ) = sin π dϕ 6 cos π = 6 =. e) Nincs értelmezve. ) f) d r 5π = 11 6. dϕ 6