Polimer anyagtudomány

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Polimertechnika Tanszék Polimer anyagtudomány BMEGEPT5071, 3+0+1v, 5 krp V. POLIMEREK MECHANIKAI VISELKEDÉSÉNEK MODELLEZÉSE 1. Vas László Mihály 1 Felhasznált források Irodalom 1. Bodor G.-Vas L.M.: Polimerek szerkezettana. Műegyetemi Kiadó, Bp. 2000. 2. Halász L.-Zrínyi M.: Bevezetés a polimerfizikába. Műszaki K., Bp. 1989. 3. Bodor G.: A polimerek szerkezete. Műszaki K. Bp. 1982. 4. Bodor G.-Vas L.M.: Polimer anyagtudomány. Kézirat. BME, Bp. 2000. 5. Ehrenstein G.W.: Polymerwerkstoffe. Struktur und mechanische Verhalten. C.Hanser Verlag, München, 1978. 6. Pukánszky B.: Műanyagok. Műegyetemi Kiadó, Bp. 1995. Ajánlott irodalom 7. Oswald T.A.-Menges G.: Materials Science of Polymers for Engineers. Hanser Pub., New York, 1996. 8. Ward I.M.-Hadley D.W.: An Introduction to the Properties of Solid Polymers. J.Wiley&Sons, Chichester, 1993. 9. Strobl G.: The Physics of Polymers. Concepts of Understanding their Structures and Behaviour. Springer Verlag, Berlin. 1996. 10. Menges G.: Werkstoffkunde der Kunststoffe. C.Hanser Verlag, München, 1985. 11. Eisele U.: Introduction to Polymer Physics. Springer-Verlag, Berlin 1990. 2 1

Mechanikai viselkedés modellezése 1. Mechanikai viselkedés mérési és modellezési sémája Mért Modellezett A anyagminta, anyagoperátor M modell, modelloperátor X gerjesztés, Y - válasz Modellezés célja: olyan M modell kialakítása, hogy adott [0,t] időintervallumban és ε>0-ra 3 Mechanikai viselkedés modellezése 2. Fenomenológiai (jelenségleíró) modellezés Lineárisan rugalmas (LE, lineárisan elasztikus) anyagmodellek (fémek, illetve polimerek igen kis deformációja esetén); Lineárisan viszkoelasztikus (LVE) anyagmodellek (polimerek viszonylag kis deformációja esetében); Nemlineárisan rugalmas (NLE, nemlineárisan elasztikus) anyagmodellek (fémek és polimerek nagy deformációja és monoton növekvő vagy csökkenő terhelése esetében); Nemlineárisan viszkoelasztikus (NLVE) anyagmodellek (polimerek nagy deformációja és tetszőleges terhelésmódja mellett). Szerkezeti-mechanikai modellezés Elasztomerek statisztikus polimerháló modellje; Erősen orientált lineáris polimerek statisztikus szálkötegcella modellje; Egyéb modellek. 4 2

Fenomenológiai modellezés 1. A LINEÁRISAN VISZKOELASZTIKUS ELMÉLET MÓDSZEREI Minőségi modellezés az anyagválasz alaki leírása Mechanikai modellelemek és alapmodellek Analóg mechanikai modellelemek Deformáció-komponensek modelljei Kúszás minőségi modellje Feszültségrelaxáció minőségi modellje Mennyiségi modellezés leírás adott hibával Feszültségrelaxáció mennyiségi modellje, relaxációs spektrum Kúszás mennyiségi modellje, retardációs spektrum Boltzmann-féle szuperpozíciós elv LVE alapegyenletei Modellezés frekvenciatartományban Az LVE anyagjellemzők kapcsolatgráfja 5 Fenomenológiai modellezés 2. Minőségi modellezés Modellelemek 1. Rugó Viszkózus elem Igénybevétel: Egytengelyű húzás Műszaki feszültség: Tehetetlenségi elem St.Venant elem Relatív nyúlás: 6 3

Fenomenológiai modellezés 3. Minőségi modellezés Modellelemek 2. Feltevés: A tehetetlenségi erők elhanyagolhatók Rugó Hooke törvény: E rugalmassági modulus Viszkózus elem σ=f/a o - feszültség, ε= l/l o - relatív nyúlás Newton törvény: η dinamikus viszkozitási tényező 7 Fenomenológiai modellezés 4. Deformáció-komponensek modelljei Def. komponens Modell Mozgástörvény Pillanatnyi rugalmas Rugó Hooke: Maradó Viszkózus elem Newton: Kelvin-Voigt elem Késleltetett rugalmas 8 4

Fenomenológiai modellezés 5. Deformáció komponensek késleltetett rugalmas deformáció Kelvin-Voigt elem 9 Fenomenológiai modellezés 6. Minőségi modellezés Kúszás (ATP és GTE) ATP GTE Kúszási engedékenység, érzékenység: Burgers modell Stuart modell Kúszásgerjesztésre adott válasz: LDPE ATP GTE 10 5

Fenomenológiai modellezés 7. Minőségi modellezés ATP kúszása ATP A modellválasz szerkesztése pontonkénti összeadással 11 Fenomenológiai modellezés 8. Minőségi modellezés Feszültségrelaxáció (ATP) ε r εm Maxwell modell: Csak a terhelési szakaszhoz Relaxációs modulus: Burgers modell: Az ATP teljes relaxációs folyamatát alakilag helyesen írja le ATP ATP 12 6

Fenomenológiai modellezés 9. Minőségi modellezés GTE feszültségrelaxációja Standard-Solid modell GTE 13 Fenomenológiai modellezés 10. Minőségi modellezés ötparaméteres modell Burgers modell: E =0 Standard-Solid modell: E 2 = és/vagy η 2 = 14 7

Fenomenológiai modellezés 11. Mennyiségi modellezés - Feszültségrelaxáció Megoldás: Többféle τ relaxációs időállandó modellezése összetett Maxwell modellel Összetett Maxwell modell (ÖM) Általánosított Standard-Solid modell Standard-Solid modell válasza: Egyféle τ relaxációs időállandó Polimer anyagminta válasza: Többféle τ relaxációs időállandó τ i =η i /E i ; i=1,,n 15 Fenomenológiai modellezés 12. Mennyiségi modellezés Feszültségrelaxáció Összetett Maxwell modell (a) feszültségrelaxációja (b) és a diszkrét relaxációs spektrum (c) (E i,τ i ) n diszkrét, H(lnτ) folytonos relaxációs spektrum E(t) relaxációs modulus 16 8

Fenomenológiai modellezés 13. Mennyiségi modellezés Feszültségrelaxáció Folytonos relaxációs spektrum, H(lnτ) A hőmérséklet hatása (1: 25 o C, 2: 40 o C, 3: 50 o C, 4: 60 o C) LDPE esetében Töltött, térhálós polimerek szerkezeti elemeivel való kapcsolata Urzsumcev-Makszimov: MK, Bp. 1982 A spektrumtartomány a polimer molekulatömegének növekedésével egyre szélesebbé válik. (Javorszkij B.M.-Detlaf A.A.: Fizikai zsebkönyv. Műszaki K. Bp. 1974.) 17 Fenomenológiai modellezés 14. Mennyiségi modellezés Kúszás (ATP és GTE) Összetett Kelvin-Voigt modell (ÖKV) (a) kúszása (b) és a diszkrét retardációs spektrum (c) Általánosított Stuart (a) és Burgers (b) modellek GTE ATP J(t) Kúszási érzékenység L(lnτ) folytonos retardációs spektrum 18 9

Fenomenológiai modellezés 15. Boltzmann-féle szuperpozició (BS) LVE alapegyenletek időtartományban Tetszőleges gerjesztésre a válasz: (L-transzformációval) 19 Fenomenológiai modellezés 16. Dinamikus minőségi modellezés Kelvin-Voigt modell Komplex gerjesztés Komplex Hooke törvény Komplex érzékenység Veszteségi tényező 20 10

Fenomenológiai modellezés 17. Dinamikus minőségi modellezés Maxwell modell Komplex modulus Veszteségi tényező 21 Fenomenológiai modellezés 18. Dinamikus mennyiségi modellezés az LVE komplex rugalmassági modulus és komplex érzékenység Összetett Maxwell modellből a komplex modulus (X=ε): LVE alapegyenletek frekvenciatartományban: E* és E(t), illetve J* és J(t) kapcsolata (BS) Összetett Kelvin-Voigt modellből a komplex érzékenység (X=σ): 22 11

Fenomenológiai modellezés 19.a LVE anyagjellemző függvények összefoglalása Retting, W.: Hanser-Verlag, 1992. 23 Fenomenológiai modellezés 20. LVE anyagjellemző függvények Kapcsolatgráf Közelítő, numerikus összefüggések (DMA szoftver): Schwarzl, Ninomiya-Ferry: E(t) E*(ω), J(t) J*(ω) Hopkins-Hamming: E(t) J(t) 24 12

Fenomenológiai modellezés 21. A relaxációs modulus és a kúszási érzékenység kapcsolata A relaxációs és retardációs spektrumok kapcsolata Kiinduló egyenletek: (relaxáció és kúszás) Állandósult folyási viszkozitás Lineáris polimer: E e =E =0, η>0 Térhálós polimer: E e =E >0, η= Ferry J.D.: Viscoelastic properties of polymers. J.Wiley, New York, 1961. 25 Fenomenológiai modellezés 22. A relaxációs modulus és a molekulatömeg eloszlás A lineáris polimerek esetében a karakterisztikus relaxációs idő (τ) és a molekulatömeg közötti kapcsolat (k, b állandók): A relaxációs modulus és a ϕ(m) móltömeg sűrűségfüggvény kapcsolata: Urzsumcev-Makszimov: MK 1982 26 13

Fenomenológiai modellezés 23. Az LVE összefüggések általánosítása többtengelyű igénybevételre és anizotróp anyagra Lineárisan elasztikus (LE) anyagviselkedés (Hooke törvény) Egytengelyű húzás és tiszta nyírás Lineárisan viszkoelasztikus (LVE) anyagviselkedés Egytengelyű húzás és tiszta nyírás Többtengelyű igénybevétel Többtengelyű igénybevétel C ijkl negyedrendű tenzor E rugalmassági mátrix (6x6) E(t) relaxációs modulus mátrix (6x6) 27 Fenomenológiai modellezés 24. Az LE összefüggések anizotróp anyagra Ortotróp (9 fgtl. áll.) 2D-s ortotróp anyag α-irányú húzómodulusa Monotróp (transzverzálisan izotróp) (5 fgtl. áll.) 28 14

Fenomenológiai modellezés 25. Mennyiségi modellezés Hő hatása 1. A viszkozitási tényező, illetve a relaxációs idő(állandó) az ún. Arrhenius típusú összefüggés szerint függ a hőmérséklettől: Az Arrhenius típusú összefüggések felhasználásával például a H(lnτ)-relaxációs spektrum változását az 1/T reciprok hőmérséklet (Arrhenius-változó) függvényében ábrázolva az ún. Arrhenius-típusú diagramokhoz jutunk, melyek alkalmasak arra, hogy egyszerűen szemléltessék a polimer anyag hőfokfüggő szerkezet-mechanikai viselkedését. A hőfok-mechanikai viselkedés összefüggés szemléltetése a WLF egyenlet felhasználásával is előállítható. A hasonlósági elv és a WLF egyenlet más környezeti (nedvességtartalom, nyomás), illetve terhelési paraméterekre való kiterjesztésével a fentiekhez hasonló összefüggés, sőt a vonatkozó paraméterek hatásösszegződésének ábrázolására és vizsgálatára is mód nyílik (ld. a tartós viselkedések leírásánál). 29 Fenomenológiai modellezés 26. Mennyiségi modellezés Hő hatása 2. Arrhenius-típusú diagramok Szobahőmérsékleten mért relaxációs spektrum csúcsértékeinek hőmérséklet-függése PVC és PP esetén Retting, W.: Hanser-Verlag, 1992. 30 15

Fenomenológiai modellezés 26.a. Mennyiségi modellezés Hő hatása 3. A hőmérséklet-idő ekvivalencia és az a T eltolási tényező felhasználásával az LVE egyenletekben a hő hatása is figyelembe vehető. A T növekedésével a t és τ értékek csökkennek, de a spektrumterület állandó marad: Urzsumcev-Makszimov: MK 1982 31 Fenomenológiai modellezés 27. LVE viselkedés határai A LVE viselkedés jellemzői: A relaxációs modulus és a kúszási érzékenység nem függ az ε o, illetve σ o gerjesztési (terhelési) szintektől; A kúszás-, ill. relaxációs görbék fel- és leterhelési szakaszainak időállandói megegyeznek; Tiszta szinuszos gerjesztésre tiszta szinuszos választ kapunk, azaz nincsenek felharmonikusok; A komplex rugalmassági modulus és a komplex érzékenység nem függ az ε o, illetve σ o gerjesztésamplitúdóktól; Az izokrónák (ld.3. fejezet) lineárisak; A különböző típusú gerjesztések mellett kapott válaszok egymásba átszámíthatók (pl. a szakítógörbe és a relaxációs görbe, illetve a kúszásgörbe menete egymásból meghatározhatók) 32 16

Fenomenológiai modellezés 28. LVE anyag relaxációs-(a) és szakítógörbéinek (b) kapcsolata Relaxációs görbe szig. mon. csökkenő és alulról konvex (X=ε) LVE szakítógörbe szig. mon. növekvő és alulról konkáv 33 Fenomenológiai modellezés 29. LE, LVE és NLVE tartományok a polimer szakítógörbéjén LVE tartomány: Ahol nem észlelhetők irreverzibilis szerkezeti- és alakváltozások (itt a modellparaméterek állandók). Pl. PVC: <0,5% PE: <0,1% PC: <1% (Ehrenstein könyve: 104. old.) LE = lineárisan rugalmas (elasztikus) LVE = lineárisan viszkoelasztikus NLVE = nemlineárisan viszkoelasztikus 34 17

Fenomenológiai modellezés 30. NLVE viselkedés jellemzői nagyobb terheléseknél fellépő irreverzibilis szerkezeti változások miatt változnak az anyagok kisebb terheléseknél (LVE viselkedés) állandónak tekinthető paraméterei Az NLVE viselkedés jellemzői: A relaxációs modulus és a kúszási érzékenység függ az ε o, illetve σ o gerjesztési (terhelési) szintektől; A kúszás-, ill. relaxációs görbék fel- és leterhelési szakaszainak időállandói nem egyeznek meg; Tiszta szinuszos gerjesztésre a válasz periodikus, de nem tiszta szinuszos, azaz vannak felharmonikusok; A komplex rugalmassági modulus és a komplex érzékenység függ az ε o, illetve σ o gerjesztés-amplitúdóktól; Az izokrónák nemlineárisak; A különböző típusú gerjesztések mellett kapott válaszok eddigi módszerekkel nem számíthatók át egymásba. 35 Fenomenológiai modellezés 31. Az NLVE viselkedés egyes leírási módszerei Félempirikus, heurisztikus megoldások Nemlineáris modellelemek alkalmazása Boltzmann egyenletek módosítása 36 18

Fenomenológiai modellezés 32. NLVE modellezés Félempirikus megoldások Kúszásleírás a Nutting-féle hatványegyenlettel: K, α, n>0 Kúszásleírás a Kauzmann, Eyring, Nielsen-féle egyenlettel: K(t) időfüggő kúszási érzékenység σ c egyfajta kritikus feszültség 37 Fenomenológiai modellezés 33. Félempirikus megoldások POM tartós kúszásának nemlineáris leírása (a paraméterek függnek az időtől és/vagy a terheléstől) η o (σ), E K (σ), τ(t) 38 19

Fenomenológiai modellezés 34. NLVE modellezés Félempirikus megoldások Feszültségrelaxáció leírása hiperbolikus hatványfüggvénnyel: Feszültségrelaxáció leírása a Kohlrausch-féle (ált. exp.) függvénnyel: 39 Fenomenológiai modellezés 35. NLVE modellezés Nemlineáris modellelemek St. Venant elem (ideálisan képlékeny test modellje) Coulomb súrlódás modellje (irányfüggő, de állandó ellenállás) Nemlineáris rugó alkalmazása: Nemlineáris viszkózus elem alkalmazása: A viszkozitási tényező deformáció sebesség függő (Oswald - de Waele, Bingham, Carreau-féle folyadékok) A viszkozitási tényező deformáció függő: Kovács-féle irányfüggő viszkózus elem az η viszkozitás nő a dugattyú felfelé, és csökken a lefelé való elmozdításával Pfefferle-féle nemlineáris viszkózus elem a kúszás leírásához Pl. a Kelvin-Voigt modellben a Newton-féle elem helyébe a Pfefferle elemet téve, a kúszásgerjesztésre kapott megoldás alakja: 40 20

Fenomenológiai modellezés 37. NLVE modellezés a Boltzmann, illetve a kezdeti ugrást is tartalmazó gerjesztés esetén az alábbi, ún. Boltzmann-Volterra egyenlet módosításai (K(t) a normált relaxációs modulus deriváltja, mint magfüggvény): Boltzmann-Persoz elv: Boltzmann-Frese elv (feltéve: húzás-nyomásra azonos anyagtulajdonságok, ezért csak a páratlan kitevőjű deformációk maradnak meg az integrál sorban): 41 21