V.B. Függvények Megoldások 1.1. Reggel 8 órakor. 1.2. 18 km-t. 1.3. A 12 órás kiránduláson összesen 36 km-t tettek meg. Az átlagsebességet így számoljuk ki: 36 km = 3. 12 h 1.4. Összesen 5 órát pihentek az útjuk során. 1.5. Láthatjuk, hogy induláskor 1 óra alatt 3 km-t tettek meg, az HOV SLKHQpV XWiQ SHGLJ 1 óra alatt 6 km-t. Tehát nem mindig egyforma sebességgel haladtak. )RJODOMXN WiEOi]DWED D] HJ\HV OHKHWVpJHNHW $] DOiEEL WiEOi]DWEDQ D] HOV pv D KDUPDGLN VRU VV]HJpQHN D]RQRV oszlopban mindig 10-nek kell lennie, hiszen összesen ennyi IHODGDWYROWDYHUVHQ\HQ$PiVRGLNVRUEDQD]HOVVRU WV] U VH található, a negyedik sorban a harmadik sor 3-szorosa. A legalsó sorban a második és a negyedik sor összege található. jó megoldások 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 pontszám 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 rossz megoldások 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 pontszám 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0 összesen pontszám 30 22 14 6 2 10 18 26 34 42 50 $] HOV NpUGpVUH D WiEOi]DWEyO OHROYDVKDWy D YiODV] 8 feladatot oldott meg, ha a versenyen nem lehetett kapni részpontszámokat. $PiVRGLNNpUGpVUHHJ\pUWHOP&HQQHPDYiODV]PLYHODWiEOi]DWból is látható, hogy a második sor inak (ezek éppen a hiba- SRQW QpON OL SRQWRN QDJ\ViJ V]HULQWL HOUHQGH]GpVH pss RO\DQ mint a legalsó soré. A grafikon többféleképpen is kinézhet. Az alábbi egy lehetséges változat. 91
hj\hom QN DUUD KRJ\ D] HJ\ HJ\HQHVUH HV KLV]HQ OLQHiULV I JJYpQ\UOYDQV]ySRQWRNDWQHN VV N VV]HPHUWDYHUVHQ\- feladatok mennyisége diszkrét mennyiség. )RJODOMXNWiEOi]DWEDDN O QE ]OHKHWVpJHNHW I 1 2 3 4 5 6 7 8 ár 400 400 400 400 400 400 400 400 I 9 10 11 12 13 14 15 ár 800 800 800 800 800 800 800 1600GLQiUWDNNRUIL]HWKHWHWWD]RV]WiO\IQ NKD25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 vagy 32 diák tekintette meg a kiállítást. Ez utóbbi megállapítás az alábbi grafikonon is remekül látszik. 92
7iEOi]DWVHJtWVpJpYHOKDVRQOtWVXN VV]HDIL]HWHQGN OFV Q]psi díjat! lemez 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 kölcsönzési díj 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320 336 352 (1. kt.) kölcsönzési díj 104 128 152 176 200 224 248 272 296 320 344 368 (2. kt.) 9OHPH]NLN OFV Q]pVpLJDPiVRGLNN Q\YWiUWNHGYH]EEYiODV]WDni, 10-QpO W EE N OFV Q]pV HVHWpQ SHGLJ D] HOVW (] D] DOiEEL grafikonról is jól leolvasható: a fekete körök egy darabon ( 1 x < 10 ) a szürke négyzetek fölött helyezkednek el, majd x = 10- nél éppen fedik egymást, ezután pedig már a szürke négyzet lesz fölül. +D FVDN HJpV] V]iPRNNDO SUyEiONR]XQN DNNRU D N YHWNH] területek adódnak: a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 terület 17 32 45 56 65 72 77 80 81 80 Az a sejtésünk támad, hogy a terület akkor lesz a legnagyobb, amikor a téglalap éppen négyzet alakot ölt. A grafikon csak tovább HUVtWL H]W D VHMWpVW hiszen egy parabolát vélünk fölismerni. 9DOyEDQDOJHEUDLODJLVOHYH]HWKHWDSDUDERODNpSOHWH 93
36 2x y = x, 2 azaz y = x 2 + 18x. Ez a parabola a maximumát valóban az x = 9 pontban veszi föl, tehát sejtésünk helyes. A fenti grafikon pontjait szabadkézzel összeköthetjük egy ívelt vonallal, hiszen a téglalap egyik oldalának hossza bármely valós számot fölveheti, így kirajzolódik a parabola folytonos görbéje. A feladatban a téglalap területéül megadott számtól elvonatkoztatva megállapíthatjuk, hoj\ D] DGRWW NHU OHW& WpJODODSRN N ] O D négyzet területe a legnagyobb. +D FVDN HJpV] V]iPRNNDO SUyEiONR]XQN DNNRU D N YHWNH] kerületek adódnak: a 1 2 3 4 6 9 12 18 36 b 36 18 12 9 6 4 3 2 1 kerület 74 40 30 26 24 26 30 40 74 A táblázat alapján az a sejtésünk támadhat, hogy itt hiperbola egyik ága rajzolódik ki, amelynek a minimuma x = 6 környékén van. Ha elszakadunk az egész számoktól, és például a = 5,9 vagy a = 6,1 pontokban is kiszámoljuk a kerületet, akkor pontosítani tudjuk sejtésünket: éppen x = 6 pontban veszi föl a görbe a minimumát. +D HJ\ NLFVLW PpO\HEEUH V]HUHWQpQN OiWQL DNNRU D] HO] IHODGDWhoz hasonlóan kiszámolhatjuk az alábbi ábrán látható görbe 36 2x 2 + 72 egyenletét: y = 2x + 2. Átalakítás után az y = racionális törtfüggvényt x x kapjuk. 94
Jól látható, hogy a kerület akkor lesz a legkisebb, amikor a téglalap éppen négyzet alakot ölt. $ I JJYpQ\J UEH D UDFLRQiOLV W UWI JJYpQ\HNUO N ]pslvnroiedq tanultak alapján folytonos vonallal megrajzolható. 7. nap 1. 2. 3. 4. napszak este reggel este reggel este reggel este szint (m) 5 2 7 4 9 6 11 A táblázatból leolvasható, hogy a 4. napon kiszabadul a csiga a J G UEO(]DJUDILNRQRQLVMyOOiWV]LN Azt hozzá keoo I&]Q QN D PHJROGiVKR] KRJ\ mint a szöveges föladatokhoz általában szükség van egy kis természetes matematikai naivitásra. Azaz tételezzük föl, hogy a csiga egyenletesen 95
I JJOHJHVHQ PiV]LN pv XJ\DQtJ\ FV~V]LN YLVV]D QHP SLKHQ nem áll meg enni Mindezeket a feltéteket megadhattuk volna a föladat szövegében is, de szándékosan nem tettük. A szöveges feladatoknál éppen az a cél, hogy a valóság bizonyos elemeit ILJ\HOHPEHYpYHPiVIRQWRVDEEQDNtWpOWN U OPpQ\HNHWV]HPHOWW tartva megalkossunk egy matematikai modellt. A feladat megoldásának értelmezésénél tisztában kell lennünk a megoldás és a matematikai modell, illetve a matematikai modell és a valóság kapcsolatával. 8. Készítsünk táblázatot! HOWHOWLGs) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ágak 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 magassága 50 100 A fenti táblázatban nem fért el, de jól látható a függvény növekedése a másodperc függvényében. A paszuly 200 m magas a 20. másodperc végén lesz. Addigra éppen 100 ága lesz. Mindezt az alábbi grafikon is jól szemlélteti. 9. Laci és Peti tömege állandó, így összegük is állandó: 80 kg. Nézzük meg, hogy a másik három gyerek tömege mikor lesz 186 kg 80 kg = 106 kg. Zoli 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 Tibi 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 Laci 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 összes 88 91 94 97 100 103 106 109 112 125 128 131 134 tömeg 96
A vastagon szedett sorban leolvasható, hogy Zoli, Tibi és Laci hány kg súlyúak. 10. mikrobuszok mikrobusszal utazók autóval utazók 1 2 3 4 5 9 18 27 36 45 78 69 60 51 42 autók 16 14 12 11 9 marad az marad az ez marad az autóban 2 autóban 1 jó autóban 4 üres ülés üres ülés üres ülés mikrobuszok 6 7 8 9 mikrobusszal 54 63 72 81 utazók autóval utazók 33 24 15 6 autók 7 5 3 2 marad az marad az ez autóban 2 autóban 1 jó üres ülés üres ülés marad az autóban 4 üres ülés marad az autóban 3 üres ülés $NpWOHKHWVpJHVHVHWEHQDMiUP&YHNV]iPD3 + 12 és 8 + 3. Az utóbbi megoldás a helyes, mivel a legkevesebb jiup&phjuhqghlését jelenti. 97