SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETE ALKALAZOTT ECHANIKA TANSZÉK ECHANIKA-REZGÉSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Fehér Lajos tsz mérnök; Tarnai Gábor mérnök tanár; olnár Zoltán egy adj r Nagy Zoltán egy adj) Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása Példa: Két szabadságfokú szabad csillapítatlan rezgőrendszer l R J R J R l J Adott: a merev fogaskerékből álló szabad rezgést végző rezgőrendszer Adott továbbá J J J 0 kgm R R R 0 m 0 Nm/rad Feladat: a) Határozza meg az ábrán látható rezgőrendszer mozgásegyenlet rendszerét kis szögelfordulások esetén mátrios formában számszerű adatokkal Kidolgozás: A () és () fogaskerekek közötti teljesen merevnek tekintett- kapcsolat miatt írható: R R R a két szögelfordulás nem független egymástól R R R rad R rad rad és R R s R s A rendszerben az l és l hosszúságú tengelyek mint torziós rugók szerepelnek melyek toriós rugóállandóit a és paraméterek fejezik ki A szabadságfokok száma i Az általános koordináták: rad rad s 0-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása /9
A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: A teljes rendszer kinetikai energiája: E d de de Q dt d d i i i R E J J J J J J J J J R R E J J J R A rugókban felhalmozódott deformációs energia ( a tengelyek mint torziós rugók): U R 0 R U UU i esetén R R J J J J de de d de d d R dt d R de de 0 d d Az általános visszatérítő erő (csavaró nyomaték): Q c Q R du du R R c d d R i esetén de de d de J J d d dt d de de 0 d d Az általános visszatérítő erő (csavaró nyomaték): Q c Q du du c d d Az egyes tömegek mozgásegyenletei: R R J J 0 R R J 0 átrios alakban felírva: R R J J 0 R R 0 C0 0 J C ci 0-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása /9
R J 0 0 J 0 kgm A tömegmátri: R 0 0 rad 0 J R 000 00 Nm R a rugómátri: C 00 00 rad A rezgőrendszer mozgásegyenletének végső alakja: 0 0 000 00 0 0 0 00 00 0-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása /9
Példa: Két szabadságfokú szabad csillapítatlan rezgőrendszer m y A A c y c Adott: a kettő tömegből álló szabad rezgést végző rezgőrendszer Az általános koordináta: A és c c 0 m N l m c 00 m N m m 8kg l Feladat: Határozza meg az ábrán látható rendszer mozgásegyenletét kis szögelfordulások esetén mátrios formában számszerű adatokkal m l C c C Kidolgozás: C A és a C pontok közötti karos áttétel alapján írható: tg C l l A szabadságfokok száma i Az általános koordináták: A A A m A m s A A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: A teljes rendszer kinetikai energiája: E d de de Q dt d d i i i A C A C A A E m v m v m v m v m m m m 8 A rugókban felhalmozódott deformációs energia: U A C A ( / ) U U U U c c c c c c A U c c 9c Az első mozgásegyenlet felírása (i=) Az egyenletek bal oldalán álló mennyiségek: de de d de de de m A m A 0 d da dt da d da ci Az általános visszatérítő erő: Q c du du A Qc ( ) A d da c c c 0-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása /9
Az első mozgásegyenlet felírása (i=) Az egyenletek bal oldalán álló mennyiségek: de de d de de m m d d 9 dt d 9 d de d 0 Az általános visszatérítő erő: Q c du du A Qc A d d c c 9c c c c 9c Az egyes tömegek mozgásegyenletei: m A A 0 c c m A 0 9 c c c 9c átrios alakban felírva: m 0 c c A A 0 0 m 9 c c c 9c C 0 C m 0 8 0 A tömegmátri: kg 0 m 0 9 c c 00 00 N a rugómátri: C 00 000 m c c c 9c A rezgőrendszer mozgásegyenletének végső alakja: 8 0 A 00 00 A 0 0 00 000 0-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása /9
Példa: Hajtómű torziós rezgéseinek mozgásegyenlet rendszere Adott: az ábrán látható hajtómű továbbá J J J J J J l l l d d d továbbá és nyomatékok nem függenek az időtől Feladat: a) ozgásegyenlet rendszer felírása a fogaskerekek szögelfordulását választva általános koordinátáknak! b) Olyan általános koordináta választása amellyel a modell láncszerűvé válik és a láncszerű modell meghatározása Kidolgozás: A kinetikai energia: E J i i i A és áttétel figyelembevételével és általános koordináták választásával: E J J J J J J dii A másodrendű nyomatékok Ip i ii li i li i A torziós rugóállandók: ii i I G d G Pi i i i A tengelyekben felhalmozódott rugalmas energia: U A külső ER teljesítménye P mivel a és jelű fogaskerekeknél a pozitív szöglefordulás iránya az áttétel miatt fordított addig az jelű és az jelű fogaskerekeknek egymással azonos a forgásiránya Így a mozgásegyenlet-rendszer: 0-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása /9
J d E dt du Qc d J J 0 d E du Qc dt d J J 0 d E dt du Qc d J d E dt du Qc d A szerkezet rezgéstani modellje áttételes rezgőrendszer b) Olyan általános koordináta választása amellyel a modell láncszerűvé válik és a láncszerű modell maghatározása: Általános koordináták: ahol: Ezzel a kinetikus energia J J J J J J E A rugókban felhalmozott rugóenergia U a teljesítmény P 0-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása 7/9
A mozgásegyenlet-rendszer J J J 0 J J J A rendszer tömegmátria: J 0 0 0 J J 0 0 0 J J 0 0 0 J 0 0 0 a rugómátri: C 0 0 0 0 0 0 0 0-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása 8/9
A láncszerű modell elágazásmentes amely nem kötött rendszer: Q Q m m m m c c c A modellben az egyes mennyiségek az alábbi összefüggésekkel származtathatók: J J J J J J m m m m c c c Q Q 0-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása 9/9