Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM
Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe jelöli a hibákat, hiáyokat stb A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőbe a feladatra adható maximális potszám va, a javító által adott potszám a mellette levő téglalapba kerül ifogástala megoldás eseté elég a maximális potszám beírása a megfelelő téglalapokba 4 Hiáyos/hibás megoldás eseté kérjük, hogy az egyes részpotszámokat is írja rá a dolgozatra Tartalmi kérések: Egyes feladatokál több megoldás potozását is megadtuk Ameyibe azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg eze megoldásokak az útmutató egyes részleteivel egyeértékű részeit, és eek alapjá potozzo A potozási útmutató potjai tovább bothatók Az adható potszámok azoba csak egész potok lehetek Nyilvávalóa helyes godolatmeet és végeredméy eseté maximális potszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóba szereplőél kevésbé részletezett 4 Ha a megoldásba számolási hiba, potatlaság va, akkor csak arra a részre em jár pot, ahol a tauló a hibát elkövette Ha a hibás részeredméyel helyes godolatmeet alapjá tovább dolgozik, és a megoldadó probléma léyegébe em változik meg, akkor a következő részpotszámokat meg kell adi 5 Elvi hibát követőe egy godolati egysége belül (ezeket az útmutatóba kettős voal jelzi) a formálisa helyes matematikai lépésekre sem jár pot Ha azoba a tauló az elvi hibával kapott rossz eredméyel, mit kiiduló adattal helyese számol tovább a következő godolati egységbe vagy részkérdésbe, akkor erre a részre kapja meg a maximális potot, ha a megoldadó probléma léyegébe em változik meg 6 Ha a megoldási útmutatóba zárójelbe szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor eek hiáya eseté is teljes értékű a megoldás Egy feladatra adott többféle helyes megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető 8 A megoldásokért jutalompot (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális potszámot meghaladó pot) em adható 9 Az olya részszámításokért, részlépésekért em jár potlevoás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó téylegese em haszál fel 0 A vizsgafeladatsor II részébe kitűzött 5 feladat közül csak 4 feladat megoldása értékelhető A vizsgázó az erre a célra szolgáló égyzetbe feltehetőleg megjelölte aak a feladatak a sorszámát, amelyek értékelése em fog beszámítai az összpotszámába Eek megfelelőe a megjelölt feladatra esetlegese adott megoldást em is kell javítai Ha mégsem derül ki egyértelműe, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését em kéri, akkor automatikusa a kitűzött sorred szeriti legutolsó feladat lesz az, amelyet em kell értékeli írásbeli vizsga 09 / 0 május 8
I a) A második két egyelet által alkotott egyeletredszerből kiszámítható a és b értéke A két egyelet megfelelő oldalait összeadva kapjuk, pot Az a értékéért hogy a 6, azaz a (a > 0) b 4, azaz b A b értékéért c (A háromszög oldalai ; és egység hosszúságúak) A c értékéért Összese: 4 pot b) Mivel +, a itagorasz-tétel megfordítása alapjá a háromszög derékszögű, a leghosszabb oldallal, a c-vel szembe va a 90 -os szög o si β, tehát β 0, o így α 60 Összese: 5 pot Megjegyzés: Ha az oldalak alapjá felismeri, hogy 60º-os derékszögű háromszögről va szó, de em részletezi az idoklást,a teljes potszámot kapja c) A beírt kör sugara kiszámítható a terület és a kerület t feléek háyadosakét: r A háromszög területe a két befogó szorzatáak fele: k r + pot + + Összese: 4 pot Akkor is jár ez a pot, ha ez a godolat csak a megoldás sorá jeleik meg Ha a végeredméyt csak közelítő értékkel adja meg, akkor legfeljebb potot kap írásbeli vizsga 09 / 0 május 8
a) ockával kétszer dobva 6-féleképpe lehete (azoos valószíűséggel) a és b helyét kitöltei A dobás eredméyei között csak az, a, a és a 4 fordulhat elő (Az a-t ezekből 4, a b-t már csak -féleképpe kaphatjuk,) vagyis a kedvező kitöltések száma 4 A keresett valószíűség: 6 Összese: 4 pot b) Felsoroljuk a égy halmaz elemeit: A 4; ; 8; 5; 4; 49; 56; 6; 0; ; 84; 9; 98 { } ( A ) { 9; 58; 8 } { 4; 5; 8; 5; 0; 89 } { ; 4;; ; 9; 8; 49; 6; ; 94} B, C, D b) Az A C elemszáma (A 6 elemű C halmazak és a elemű A halmazak potosa két közös eleme va) b) A B D elemszáma (A B és a D halmazak csak a 9 a közös eleme) b) Felsoroljuk midazokat a pozitív kétjegyű egészeket, amelyek a égy vizsgált halmazból pot potosa kettőek az elemei: 9; 8; 49; 0; Összese: 8 pot Megjegyzések: Ha a b) és b) kérdésre azért rossz a válasz, mert az A, a B, a C és/vagy a D halmazok elemeit rosszul sorolta fel, de a hibása megadott halmazával a halmazműveletet helyese értelmezte, az - jár Ha a b) kérdésre adott válasz egy elembe tér el a helyestől, pot helyett adható Ha a b) kérdésre adott válasza azért rossz, mert rosszul adta meg az A, a B, a C és/vagy a D halmaz elemeit, újabb potot e veszítse 4 Ha a vizsgázó megoldásába em a feti utat választja (em sorolja fel az A-D halmazok elemeit), teljes potszámot kellőe idokolt megoldásra kapjo Idoklás élküli válaszok eseté megoldására 8 helyett legfeljebb potot kaphat írásbeli vizsga 09 4 / 0 május 8
Ha csak egyféle szíűt rakuk vissza: lehetőség Ha mid a két szí szerepel: piros és 5 kék visszarakásakor lehetőség va, pot (hisze az öt egyforma midig egymás mellett lesz) piros és 4 kék visszarakásakor lehetőség va, hisze a egyszíűt vagy egymás mellé rakjuk, vagy egy, illetve kettő másik választja el őket pot piros és kék visszarakásakor 4 lehetőség va, hisze a egyszíűt vagy egymás mellé rakjuk, vagy egy-egy, illetve kettő-egy másik választja el őket (ez utóbbi kétféleképpe lehetséges): pot Csak vagy jó lehetőség megadása (számbavétele) Hiáyos idoklás Csak a helyes válasz eseté jár az Csak jó lehetőség megadása (számbavétele) 0 pot, vagy jó lehetőség megadása (számbavétele) Hiáyos idoklás 4 piros és kék visszarakásakor lehetőség va Az idoklás megegyezik a + 4 esettel 5 piros és kék visszarakásakor lehetőség Az idoklás megegyezik az + 5 esettel Ezek a potok járak, ha azért hibás a válasza, mert a +4 és/vagy az +5 esetet rosszul számolta ki Összese 4-féle elhelyezkedés lehetséges Összese: pot Megjegyzések: Az eredméy jó rajzzal is idokolható Ha a vizsgázó kiszámolja, hogy háy lehetőség va a 6 piros, 5 piros kék, 4 piros kék, piros kék esetbe az elredezésekre (és ezt helyese is adja meg), majd az egészet megszorozza -vel, mert fordítva is lehet, akkor a piros kék eseteket kétszer számolja, és ezért potot elveszít írásbeli vizsga 09 5 / 0 május 8
4 a) a 5 5 ( ) + + + + A kitevője egy számtai sorozat első tagjáak összege, amelyek első tagja, a külöbsége a ( + ) a 50 Vizsgáladó az > 49 egyelőtleség Mivel 49, megoldadó az > 00 00 < x Az x a függvéy szigorú mooto övekedése miatt < 00 A 00-ál kisebb legagyobb égyzetszám a 8 A feltételekek megfelelő legagyobb természetes szám a 9 Összese: 0 pot 4 b) első megoldás Az b egy olya mértai sorozat első tagjáak az összege, amelyek az első tagja és a háyadosa A lim b aak a mértai sorak az összege (s), amelybe az első tag b és a q b Mivel q <, s q 48 A keresett határérték 48 Összese: 4 pot Akkor is jár ez a pot, ha ezek a godolatok csak a megoldás sorá jeleek meg írásbeli vizsga 09 6 / 0 május 8
4 b) második megoldás Az b egy olya mértai sorozat első tagjáak az összege, amelyek az első tagja és a háyadosa b 49 + + + + 5 49 b 48 49 lim b 48 Összese: 4 pot Akkor is jár ez a pot, ha ezek a godolatok csak a megoldás sorá jeleek meg írásbeli vizsga 09 / 0 május 8
II 5 a) y D C A B x Az y x + egyees az y tegelyt a 0;, az y egyeest a ; potba metszi A megfelelő potok a téglalapak az y x + egyees alatti részéből kerülhetek ki 9 Eek a részek a területe: T jó 4 8 (A geometriai valószíűség kiszámítása szerit) a 9 9 keresett valószíűség 8 ( 0,9065) 4 Összese: 5 pot 5 b) első megoldás Marci a 4 szelvéyét a 00 jegyből 00 -féleképpe vehette meg 4 A 00 tombolajegy között 0 yerő szelvéy va és 90 em yerő Marci akkor yer tárgyat, ha a égy szelvéye közül potosa egy va a 0 yerő között, a másik három pedig a 90 em yerő között va 0 90 Ez -féleképpe lehetséges pot 0 90 A keresett valószíűség: 0,9 00 4 Összese: 5 pot Akkor is jár ez a pot, ha ez a godolat csak a megoldás sorá jeleik meg írásbeli vizsga 09 8 / 0 május 8
5 b) második megoldás A 00 jegyből a 0 yerő szelvéyt 00 -féleképpe húzhatják ki 0 A 00 tombolajegyből 4 va Marciál, és 96 ics ála Marci akkor yer tárgyat, ha a 0 yerő szelvéy közül potosa egy va ála, a további 9 pedig a 96 többi szelvéy közül való 4 96 A kedvező esetek száma tehát: pot 9 4 96 9 A keresett valószíűség: 0,9 00 0 Összese: 5 pot Akkor is jár ez a pot, ha ez a godolat csak a megoldás sorá jeleik meg 5 b) első megoldás A keresett eseméy helyett az elletett (komplemeter) eseméy valószíűségét számítjuk ki A Marci yert a tombolá eseméy elletett eseméye az, hogy Marci em yert a tombolá Ez úgy volt lehetséges, hogy mid a 4 szelvéye a 90 em yerő szelvéy közül való volt Az összes egyelőe valószíű kimeetelek száma 00 4 90 Ezek közül a kedvezők száma 4 Aak valószíűsége, hogy Marci em yert a 90 4 tombolá ( 0,8) 00 4 Aak valószíűsége, hogy Marci yert a tombolá 90 4 0,868 00 4 Összese: 6 pot Akkor is jár ez a pot, ha ezek a godolatok csak a megoldás sorá jeleek meg írásbeli vizsga 09 9 / 0 május 8
5 b) második megoldás Marci a 0 yereméy közül,, vagy 4-et yerhetett Akkor is jár ez a pot, ha ez a godolat csak a megoldás sorá jeleik meg Aak valószíűsége, hogy egy szelvéye yert 0 90 0,9 00 4 Aak valószíűsége, hogy két szelvéye yert 0 90 0,05 00 4 Aak valószíűsége, hogy három szelvéye yert 0 90 0,0004 00 4 Aak valószíűsége, hogy égy szelvéye yert 0 90 4 0 0,0000 00 4 Aak valószíűsége, hogy Marci yert a tombolá, eze égy valószíűség összege 0,868 Összese: 6 pot Ha az b) második megoldásába leírt eseméytérrel dolgozik, vagyis azt vizsgálja, hogy a 0 yerő szelvéy közül,, vagy 4 darab lehetett Marcié, akkor a keresett valószíűséget az alábbi összeg adja meg: 4 96 4 96 + + 9 00 8 0 4 96 4 96 + 4 6 írásbeli vizsga 09 0 / 0 május 8
6 a) első megoldás A tegelypot koordiátái alapjá f grafikojáak egyelete: y a( x 4) + pot is illeszkedik a grafikora, ezért 4 a + 0, ahoa a Így ( ) f x ( x 4) + x + 4x 6, ahoa b 4, c 6 Összese: 6 pot 6 a) második megoldás Az f grafikoja parabola, keressük az egyeletét y ax + bx + c alakba A tegelypot T ( 4; ) koordiátái kielégítik ezt az egyeletet: () 6 a + 4b + c Az ismert parabolapot ( ;0) koordiátái kielégítik a parabola egyeletét: () 4 a + b + c 0 arabolák szimmetriategelye az x 4 egyees, ezért az adott parabolapot tükörképe, az R (6;0) pot is illeszkedik a grafikora Ezért: () 6 a + 6b + c 0 Megoldva az ()-()-() egyeletredszert: pot a ; b 4; c 6 Összese: 6 pot írásbeli vizsga 09 / 0 május 8
6 b) A megfelelő éritő iráytagese f deriváltjáak az x helye felvett értéke ( x) + 4 f x, így m f () Az y x + d egyeletű éritő illeszkedik f grafikojáak abszcisszájú potjára, amelyek második koordiátája f () Ezt felhaszálva d Az éritő egyelete: y x Összese: 5 pot Akkor is jár ez a pot, ha ez a godolat csak a megoldás sorá jeleik meg 6 c) f zérushelyei és 6, ezért a keresett terület: 6 6 T f x dx x 6 ( ) + 4x 6 dx 6 x + x 6x 4 ( 6 + 6) + 8 6 T Összese: 5 pot írásbeli vizsga 09 / 0 május 8
A logaritmus értelmezése miatt x > 0 log x log x log x ( ) x log x log ( ) ( ) x x x Legye y log x x (, ahol > 0 Ekkor az egyelet 6y y 605, vagyis y 6y 605 0 y ) A gyökök: y 5, amely em megoldása az eredeti egyeletek, és 8 log Az y lehetséges értékéből x x 8, log x és ie log( x ) log 8 4 pot (A hatváy logaritmusára voatkozó azoosság log x alapjá:) ( ) 4 Ha log x, akkor x 9 Ha log x, akkor x 9 Mid a két szám megoldása az eredeti egyeletek Összese: 6 pot Ezt a potot akkor is megkapja a vizsgázó, ha az eredeti egyeletbe behelyettesítve elleőrzi a gyököket írásbeli vizsga 09 / 0 május 8
8 Legye a kőszegi csoport taglétszáma: k; a tatai T csoporté: t; míg a füredi F csoporté: f Jelölje továbbá a csoport tagjai életkoráak összegét S k ; a T csoportét S t ; míg az F csoportét S f Ekkor a következő egyeleteket lehet felíri a megadott adatokkal: S k k ; pot S t t ; S f 4f ; Akkor is jár ez a pot, ha ezek a godolatok csak a megoldás sorá jeleek meg S k + St 9( k + t) ; A feladat megoldásához e S három összefüggésből k + S f 9,5( k + f ) ; kettő is elegedő, ezért S bármelyik kettő felírása is t + S f ( t + f ) potot ér Az első három összefüggést behelyettesítjük a következő három egyeletbe: 4 A feladat megoldásához e k + t 9( k + t), azaz t k három összefüggésből 5 kettő is elegedő, ezért k + 4f 9,5( k + f ), azaz f k bármelyik kettő felírása is potot ér 4 t + 4f ( t + f ), azaz t f 5 S k + St + S f Az összes dolgozó átlagéletkora: k + t + f Ha a háromismeretlees Ezekből t és f kifejezhető k segítségével, és akkor egyeletredszerbe egy a következőt kapjuk a keresett átlagra: kokrét számhármassal számolva helyes 4 5 9 05 k + k + 4 k + + pot eredméyt kap, de em bizoyítja, hogy 4 5 4 k + k + k ugyaerre az eredméyre juta mide gyök eseté, + 99 6 potot veszít 4 4 4 A cég összes dolgozójáak átlagéletkora 4 év Összese: 6 pot írásbeli vizsga 09 4 / 0 május 8
9 a) E A G M Az ábra jelöléseivel a GHIJE gúla hasoló az ABCDE gúlához D J x 0 F H B L I C V V ABCDE GHIJE, ezért a megfelelő szakaszok aráya AB FE (pl): GH E GH AB ( 9,54) 48 4 GH ( 8,0) A szíes voalak összhossza: 8,0 m itagorasz tétele alapjá az ABD derékszögű háromszögbe: BD FB 6 itagorasz tétele alapjá az FBE derékszögű háromszögbe: ( ) 0 ( 6 ) FE 8 ( 5, 9) FE pot 8 E 4, 8 F FE E 8 8, 09 A térfogatot felező sík,09 m távolságra va a terem padlójától Összese: 9 pot írásbeli vizsga 09 5 / 0 május 8
9 b) első megoldás N E 6 r O r 6 r M 6 F 6 A mikrofot a gúlába írt gömb O középpotjába kell elhelyezi Az ábrá az EL és az EM az oldallapok magassága itagorasz tétele alapjá az ELC derékszögű háromszögbe: ( EL ) 0 6, ahoa EL 8 Mivel külső potból a körhöz húzott éritőszakaszok hossza egyelő, így MF MN 6, és NE itagorasz-tétele alapjá az OEN derékszögű háromszögbe: ( OE ) ( ON ) + ( NE) ( 8 ) r + r r 6 (, ) A mikrofo távolsága az E pottól: EO EF OF 5,9,,0 méter Összese: pot L írásbeli vizsga 09 6 / 0 május 8
9 b) második megoldás A mikrofot az O potba kell elhelyezi Eek a potak a távolsága a gúla lapjaitól legye x (méter) Az ábrá az EL az EBC oldallap magassága Az O potot összekötve az ABCDE gúla csúcsaival, öt gúlára botjuk az ABCDE gúlát Írjuk fel az ABCDE gúla térfogatát az öt gúla térfogatáak összegekét Az ABEO, a BCEO, a DCEO és az ADEO gúlák egybevágóak Térfogatuk egyelő () VABCDE VABCDO + 4 VBCEO AB EF 44 8 V ABCDE 48 8 AB x 44 x V ABCDO 48x TBCE x VBCEO A BCE háromszög BC oldalához tartozó magasságát a BEL derékszögű háromszögből számolva: EL 0 6 8 BC EL 8 T BCE 48 TBCE x 48 x Ezért VBCEO 6x A térfogatokra kapott kifejezéseket az () egyelőségbe beírva: 48 8 48x + 4 6x x, 6 ahoa x, (m) A mikrofo távolsága az E pottól: EO EF OF 5,9,,0 méter Összese: pot írásbeli vizsga 09 / 0 május 8