Az egyszeresen aláeszített gerendáról Több előző dolgozatban ld: ~ Az egyszeresen aluleszített gerendatartóról: ( ED - 1) ~ A szimmetrikus, külpontosan aláeszített gerendatartóról: ( ED - ) is oglalkoztunk az aláeszített / aluleszített gerendatartóval, melyről úgy tűnik, nem tudtunk még mindent elmondani Most olytatjuk a téma eledezését Annál is inkább, mert úgy látjuk, mintha reneszánszát élné Egy eléggé érdekes olvasmány lehet az alábbi is: http://elibuni-stuttgartde/opus/volltexte/1999/40/pd/40pd Innen vettük az 1 ábrát, ahol egy atartó és az aluleszítő acélrúd nem is annyira egyszerű kapcsolódását mutatják be 1 ábra Ez is szemlélteti, hogy a téma ma is időszerű, hiszen segítségével viszonylag kis anyag - elhasználással viszonylag nagy esztávok hidalhatók át úgy, hogy nincsenek útban lévő közbenső támasztószerkezetek Érdemes megemlíteni, hogy az újabb időkben még kar - csúbb szerkezetek építése vált lehetővé a stabilitásvesztéssel oglalkozó szakirodalom nagy választéka, azaz a tervezéshez szükséges tudnivalók könnyebb ellelhetősége, to - vábbá a nehezebb számítások számítógépes támogatása miatt Ez azt jelenti, hogy a szerkezet elméletileg és kísérletileg is megalapozottabban kihasználható, a tönkremenetel veszélyének korlátozása mellett Az alábbiakban megkíséreljük bemutatni e szerkezet - ajta azon érdekes sajátosságát, hogy rendes működése mennyire ügg a szerkezet gyári geometriai adataitól Ez azért is lényeges, mert egyszerűbb esetekben a szóban orgó ( ács - )szerkezet akár helyszíni készítésű is lehet
Számítás az elsőrendű elmélet szerint [ 1 ] szerint az elsőrendű elmélet alapján járunk el akkor, ha az alakváltozásoknak az erőjátékra történő visszahatásától eltekintünk, annak igen kicsiny volta miatt Ekkor az igénybevételeket a tartó eredeti helyzetének és alakjának igyelembe vételével állapítjuk meg Úgy is mondhatjuk, hogy az erőjáték meghatározása közben a szilárd testet merev - nek tekintjük Most tekintsük az ábrát! ábra Itt a szimmetrikus tartókialakítás és a eszítőrudak bekötése a lényeges inormáció Először gondoljuk meg, hogyan működik e szerkezet, ha rá nem hat külső terhelés Ekkor az előeszítés képezheti a vizsgálat tárgyát: az igénybevételek és eszültségek alakulása a tartó hossza mentén és valamely keresztmetszet bármely pontjában Ehhez az elemi Szilárdságtan eszközeit használjuk el [ ] Az előeszítés rendszerint csavaros megoldású A eszítőcsavar kerülhet az AC, ill BC rudak végére vagy közébe, de kerülhet a CD oszlopra is A csavar(- ok ) megeszítésével azt érjük el, hogy az AC és BC rudakban S 1 és S húzóerő ébred, melyek egyenlő nagy - ságúak: S 1 = S = S Most tekintsük a 3 ábrát! 3 ábra Az S eszítőerőt elbontjuk egy X és egy Y összetevőre, melyek nagysága: X Scos, X Y Ssin sin Xtg cos ( 1 )
3 Az egyelőre súlytalannak gondolt tartó támaszain az előeszítésből nem ébred reakció - erő, mert az előeszítő erők önmagukban kiegyensúlyozódnak A 3 ábrán egy ordított kéttámaszú tartót edezhetünk el, melynek közepén ható Y nagyságú koncentrált terhét az A és B pontokban támadó Y nagyságú reakcióerői egyensúlyozzák ki Ezzel már el is kezdhetjük az igénybevételi üggvények elírását, ill az igénybevételi ábrák vázolását 4 ábra 4 ábra Az ábra tetején az M h hajlítónyomaték, a V nyíróerő és az N normálerő pozitív értelmét megadó előjelszabályt tüntettük el, a gerenda egy kiválasztott keresztmetszetében Alatta a 3 ábra szerinti terhelésekre megrajzolt igénybevételi jelleg - ábrák láthatók
Az igénybevételi üggvények kiejezései a [ 0, l ] szakaszon az alábbiak M (x) X e Yx X e Xtg x X e tg x, h ahol e : a első bekötési pont excentricitásának nagysága tehát: M (x) X e tg x ; ( ) h V(x) Y X tg ; ( 3 ) N(x) X ( 4 ) Látjuk, hogy X ismeretében a gerenda igénybevételei is ismertek Ennek meghatáro - zásával előző dolgozatainkban is oglalkoztunk A él gerenda meggörbült tengelyvonalának erősen elnagyított jellegzetes képe az 5 ábrán szemlélhető 4 00 v(x) ( cm ) 0018 0016 0014 001 001 0008 0006 0004 000-10 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 x ( cm ) (x)=-(1157*10^(-7))*x*(18*(00-x)-01763*(30000-x*x)) 5 ábra Az erős nagyítás / torzítás oka: a görbületi viszonyok szemléltetése
5 Látható, hogy a hajlítónyomaték pozitív értékeinek megelelő, ( ) - ből számítható e x0 ( 5 ) tg hosszúságú szakaszon belül a görbület pozitív, a szakaszhatárokon zérus, beljebb pedig negatív A gerendaközépen az előeszítés okozta elhajlás az elsőrendű elmélettel adódó, szokásos járulék - képletekkel [ ] számítható; itt a normálerő hajlító hatását nem vesszük igyelembe Részletezve: X 0 M Y ; ( 6 ) M l M l X e l 0 0 M 0 ; 8EI EI EI 3 3 3 Y l Yl X tg l Y 48EI 3EI 3EI ( 7 ) ( 8 ) Most ( 6 ), ( 7 ), ( 8 ) - cal: 3 3 X e l Xtgl Xl e X tg 3 EI 3EI 6EI l ( 9 ) A ( 9 ) képlet szerint akkor lesz túlemelés, ha X > 0, azaz: e tg 3 l 0, tehát: 3 e tg l ( 10 ) Látjuk, hogy az itteni egyszerű számítással is egy szerkesztési eltétel ( 10 ) adódott A enti számítás nem vette igyelembe a rudak megnyúlását, ill összenyomódását sem Érdekessége miatt nézzük meg ( ED - 1 ) ábrájának az esetét 6 ábra! Itt: 6 ábra
6 e 3 e l l tg, vagyis ennél még megoldható a csavareszítéses túlemelés A szakirodalomból a túlemelés mértéke [ 3 ] : 1 X, l m m 15000 Most ( 9 ) - ből: 3 e X Xl tg ; l 6EI l majd ( 11 ) és ( 1 ) - vel: Xl 3 e 1 tg, 6EI l m innen: 6EI X e ; 3 e l m tg l ( 11 ) ( 1 ) ( 13 ) az ehhez tartozó húzóerő a eszítőrudakban, ( 1 ) és ( 13 )- ból: Xe 6EI S e cos 3 e l m cos tg ( 14 ) l A megelelő közbenső támaszerő ( 1 ) és ( 13 ) - mal ábra : 1 EItg R D,e Y e 3 e l m tg ( 15 ) l Végül a él igénybevételi üggvények az előeszítésre, ( ), ( 3 ), ( 4 ) és ( 13 ) - mal: 6EI e tg x M h,e(x) ; 3 e l m tg l ( 16 )
7 6EItg V e(x) ; 3 e l m tg l 6EI N e(x) 3 e l m tg l Ezzel az előeszítési igénybevételi üggvényeket közelítőleg meghatároztuk ( 17 ) ( 18 ) Most oglakozzunk a σ - eszültségek alakulásával! A 4 ábra szerinti koordináta - rend - szer és előjelszabályok alkalmazásával az előeszítési σ - eszültség kiejezése [ ] : M N, ( 19 ) e h,e e ahol: M (x) h,e e Mh y, ( 0 ) Iz N e(x) e N ( 1 ) A Most ( 19 ), ( 0 ), ( 1 ) - gyel: M h,e(x) N e(x) e y I A ( ) z Majd ( 16 ), ( 18 ), ( ) - vel, valamint I = I z - vel: 6E e tg x 6E Iz e y 3 e 3 e A l m tg l m tg l l 6E I 3 e A l m tg l tehát: z e tg x y, 6E I z e(x, y) e tg x y 3 e A l m tg l ( 3 )
8 Egy másik alakban: 6E e x y I z e(x, y) tg 3 e l l l Al m tg l ( 3 / 1 ) Téglalap keresztmetszet 6 ábra esetére alkalmazva, ha h e, h y, 3 bh I z, 1 A bh, ( 4 ) a ( 3 / 1 ) és ( 4 ) képletekkel: 6E h x h h e (x) tg 3h l l l 1l m tg 4l 6E h h x h tg 3h 4l 1l l l m tg 4l 6 E h x h tg 6E h xtg 3h 6l l l 13 m tg 3h 6l h 4l m tg 4l h E x tg 13, l 3h h m tg 4l tehát: h E x tg e (x) 3 1 l 3h h ( 5 ) m tg 4l
A 6 ábra külpontos bekötési esetére: h tg, ( 6 ) l így ( 5 ) és ( 6 ) szerint: h E x e (x) 4 3 1 l m l ( 7 ) 9 A legnagyobb nyomóeszültséget adó x 1 l ( 8 ) esetben ( 7 ) és ( 8 ) - cal: h h E e x l, y 8 l m ( 9 ) Becslésként az életszerű h 1, l 10 N 1000000 ( 30 ) E cm N 5000, m 00 cm értékekkel, ( 9 ) és ( 30 ) - cal: h N N e x l, y 80,15000 4000 cm cm, ( 31 ) ami aanyagra és csak az előeszítésre túl nagy nyomóeszültségnek tűnik Ezek alapján a 6 ábra szerinti megoldás általában nem ajánlható A szakirodalom szerint [ 4 ] : 1 tg ; 6 ( 3 ) ez azonban még túl tág ogalmazás Nézzük, mennyire érzékeny a nyomóeszültség maximumának nagysága a eszítőrudak meredekségére! ( 5 ) és ( 8 ) - cal: h h E ltg e x l, y 3 1 e l 3h h m tg 4l l tg h h 3 1 3 tg 3 tg h E h h E l l h E l ; l m 3h l m h 3h l m 1 h tg tg 4tg 3 4l 4l 4 l
10 innen: h 3 tg h E 4 l e l m h 4 tg 3 l ( 33 ) Most ábrázoljuk ezt az összeüggést, ha tgα a üggetlen változó 7 ábra! y 500 000 1500 1000 500 x -16-14 -1-1 -08-06 -04-0 0 04 06 08 1 1 14 16-500 -1000 7 ábra Majd ( 30 ) és ( 33 ) - mal, ügyelve a ( 10 ) - ből és ( 4 ) - ből adódó 3 h tg ( k ) 4 l korlátozásra is, a graikon a 8 ábrán szemlélhető
11 y 4000 3500 3000 (x)=000*(3*x-01)/(4*x-03) 500 000 1500 1000 500 x -0 0 04 06 08 1 1 14 16 18 4 6 8 3 3 34 36-500 8 ábra A 8 ábráról leolvasható, hogy a gyakorlatilag használható 3 h tg 0, 075 4,3 4 l értéktől kb a tg 1 45 hajlásszög - értékig a hiperbola - üggvény értékei viszonylag gyorsan csökkennek, majd lassan aszimptotikusan tartanak az 1500 N / cm értékhez Ha a túlemeléshez m = 300 - zal dolgozunk, akkor az új graikon a 9 ábra szerinti Ez esetben az aszimptota az 1000 N / cm érték Faanyagra ez talán megelelőbb lehet A 9 ábráról leolvasható a graikon használata is A graikonok a Graph programmal készültek Látjuk, hogy a szerkezetre kiszámított, az előeszítési terheléssel meghatározott nyomó - eszültség nagyságának maximuma egy tartományban drasztikusan változik a eszítő - rudak hajlásszögét változtatva Emiatt is mondható, hogy a szerkezet alakját és az ezzel összeüggő működését / használatát előzetesen jól át kell gondolni, a kellemetlen megle - petések elkerülése érdekében Egyszerűen ogalmazva: ezt ne a helyszínen abrikáljuk!
1 y ( N / cm ) 4000 3500 3000 500 (x)=/3*000*(3*x-01)/(4*x-03) (x)=1080 r(t)=06/cos(t) 000 1500 1000 500 y1 = 1080 ( N / cm ) x1 = 0,6 α = arctg 0,6 = 31 x -04-0 0 04 06 08 1 1 14 16 18 4 6 8 3 3 9 ábra Megjegyzések: M1 A 7 ábráról leolvasható, hogy példánkban a 0 < tgα < 0, intervallumon a hiperbola üggvényértékeiben ugrás áll be Ez zavart okozhat a számításos megoldásnál, ezért javasolható az áttekinthetőbb graikus megoldás M Bár távol állunk a pontos számítástól, látható, hogy eléggé kellemetlen a szerkezet egyszerűsített számítása is Talán ez is az oka, hogy a szakirodalomban ezzel alig lehet találkozni d v(x) M h (x) M3 Az 5 ábra görbéjét a Szilárdságtanból ismert képlet [ ] és dx EI ( 16 ) alapján állítottuk elő, ahol v : az y tengely irányú elmozdulás M4 A [ 4 ] irodalmi orrás szerint aluleszített tartókra m = 00 ~ 300 ; ez némiképpen eltér a [ 3 ] munkában találhatótól ld a ( 11 ) képletnél!
13 Irodalom: [ 1 ] Korányi Imre: Stabilitási kérdések a mérnöki gyakorlatban Kihajlás a síkban Akadémiai Kiadó, Budapest, 1965 [ ] Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981 [ 3 ] Hilvert Elek: Faszerkezetek Tankönyvkiadó, Budapest, 1956 [ 4 ] Rónai Ferenc ~ Somalvi György: Fa tartószerkezetek Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 198 Sződliget, 011 május 9 Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár