A MATEMATIKAI LOGIKA TÖRTÉNETE A logika eredetileg a filozófia részeként jelent meg a tudományok sorában. Az i. e. 5. századtól kezdtek terjedni a tisztán emberi gondolkodáson alapuló logikai bizonyítások. Nem matematikai jellegűek voltak, hanem a retorika (szónoklattan) és a dialektika (vitatkozástan) gyakorlatából fejlődött ki. Ezt hívták tradicionális logikának. Elsősorban a beszélt nyelv elemeire, formáira épülő következtetési sémákkal és kategorikus ítéletekkel foglalkozott. Nem sokkal később megjelent a gondolkodás természetének feltérképezése: Platón a bizonyítás alapelveit, szabályait, logikai törvényszerűségeket keresett. A logikát mintegy kétezer éven keresztül az Arisztotelész (i.e. 384 322, Platón tanítványa ) Organon című munkájában kifejtett munkával és törvényszerűségeivel azonosították. A logika fejlődésének négy nagyobb szakasza volt: 1. Antik kor - Arisztotelész és a sztoikusok, a tradicionális logika megalkotása; 2. Középkor - a skolasztikus logika, az arisztotelészi hagyomány folytatása; Ezután hanyatlás következett, a korábbi elméleteket elfelejtették, és arisztotelészi logikának valami olyan, végletekig egyszerűsített és átértelmezett kisiskolás tant neveztek, aminek Arisztotelészhez nem sok köze volt; 3. Újkor - a modern szimbolikus logika vagy formális logika létrejötte (Bacon, Leibniz, Boole: logikai algebra; Frege, Peano, Russell), 4. Huszadik század - a posztmodern, a tradicionális logika törvényeit megtagadó vagy mármár a tagadásig általánosító elméletek (modális logika, intuicionizmus, fuzzy logikák, kvantumlogika, bizonyításelmélet) születése (Tarski, Gödel). A logika története ott kezdődik, ahol elkezdenek gondolkodni a helyes következtetési formákról. Zénónhoz (i.e. 5. század) köthetjük az apóriákat, vagyis az olyan érveket amelyekből nincs kiút. Ezek az érvek többségében a mozgáshoz kapcsolódnak: - Akhilleusz és a teknős : Akhilleusz és a teknős versenyeznek, a teknős kap egy méter előnyt. Ekkor Akhilleusz sosem éri utól a teknőst, hiszen először megtesz egy métert, 1
de addigra a teknős odébbmegy, ledolgozza ismét a hátrányát, de addigra a teknős ismét odébbmegy, és így tovább a végtelenségig. - Nyíl : egy nyílvessző nem juthat el sehova, hiszen ha egy adott pillanatban vagy ott van ahol van, vagy nincs. Ha nincs az baj, ha pedig ott van, akkor áll, vagyis a nyílvessző minden pillanatban egyhelyben áll. - Stadion érv : A futó sosem tudja körbefutni a stadiont, mert először el kell jutni a feléig, ahhoz a negyedéig, és így tovább a végtelenségig. I.e. 5. században megjelentek a szofisták, akik pénzért tanítanak. Érvekkel foglalkoznak, és az a jó szofista, aki a vitában felül marad. Szabályokat alkotnak, és szabályos vitákat tartanak. Szókratész (480-399) fellépett ellenük, mert úgy gondolta, hogy a beszélgetés célja az igazság, nem pedig a haszonszerzés. Az igazsághoz nem fűződhet érdek. Arisztotelész (384-322) műveinek csak a 60%-a maradt ránk, mert gondolati egy időben nem voltak népszerűek, így műveinek egy része elveszett. ő hozta létre a logika tudományát, logikai tárgyú művei: 1.) Kategóriák, 2.) Hermeneutika, 3.) I. analitika, 4.) II. analitika, 5.) Topika, 6.) Szofisztikai cáfolások. Arisztotelész I. analitika című műve a következtetéselmélettel (szillogizmus) foglalkozik. A szillogizmus szó a szil = összetétel és a logosz = mondat szavakból származtatható. A következtetést úgy írták körül akkoriban, hogy csak azért, mert elfogadunk egy mondatot igaznak, vannak olyan mondatok, amelyeket szintén szükségszer en el kell fogadnunk. Felmerül a kérdés, hogy hány mondatot kell elfogadnunk igaznak ahhoz, hogy valamilyen következtetést levonhassunk. Az Arisztotelészi logika szabályai szerint legalább két kijelentésnek kell igaznak lennie ahhoz, hogy bármiféle következtetést is le tudjunk vonni. A modern logika szerint azonban helyes következtetés levonásához már egy, illetve nulla állítás is elegendő. Erre a két esetre példa az, hogy abból a mondatból, hogy Ma szerda van következik, hogy Ma kedd, vagy szerda van. És vannak olyan alapállítások, amelyeknek a teljesüléséhez egyetlen kijelentést sem kell plusszban elfogadnunk, ilyen például az, hogy Süt a nap. 2
A kijelentések igazságértékének vizsgálatánál különböző paradoxonokban is ütközhetünk. Közismert paradoxon például az a mondat, hogy Ez a mondat hamis, vagy az hogy Van olyan, hogy hazudok. Az első mondatnál akkor is ellentmondásba ütközünk, ha hamis, és akkor is, ha igaz. A második mondat pedig arra példa, hogy ez a mondat csak igaz lehet. A modern logika, más néven a matematikai logika nagy eredményei az I. világháború után születtek, és manapság fontos szerepet játszanak a természettudományok felépítésében. A legtöbb tudományos elmélet igaznak tekintett, nem bizonyítandó alapfeltevéseken, ún. axiómákon alapul (például az egyenes szakasz végtelenül meghosszabbítható ). Ehhez párosulnak az alapfogalmak (pont, egyenes) és a definíciók (például háromszög), amelyek a tárgyterülettel kapcsolatos fogalmakat írják le. A definiált fogalmak tulajdonságait tételek írják le, amelyekhez tisztán logikai úton végigvitt, axiómákra, definíciókra és korábban bebizonyított tételekre támaszkodó bizonyítás társul (például a háromszög belső szögeinek összege 180 ). A tétel bizonyítás nélkül még csak sejtés (akkor is, ha ellenpéldát nem találtak rá). A logika újkori fejlődése a humán tudományokban is felkeltette a rendszerezés, rendszeralkotás iránti igényeket. Az is előfordult (például a nyelvészetben), hogy a tudósok egymásnak homlokegyenest ellentmondó elméleteket, rendszerezéseket készítenek, és ezek mindegyike helyesen írja le a tudományterület egy-egy részét. A logika tárgya a helyes emberi gondolkodás fogalmainak, törvényszerűségeinek vizsgálata. Kijelentéseket vizsgál, következtetési sémákat határoz meg, de az emberi megismerés folyamatáról és a problémamegoldó gondolkodásról nem mond semmit. Ellenőrizni tudja, hogy egy megoldás vagy következtetés helyes-e, vagy eszközöket kínálva segíthet a problémák megoldásában A logika tudományának eredményeit viszont mindennapi életünkben sokat használjuk. Nemcsak a helyes emberi gondolkodás területén, hanem a technikai eszközök működésében is fontos szerepe van. A számítógép például a kettes számrendszert használja, ami megfeleltethető a kétértékű logika rendszerének, és a számolási műveletek is visszavezethetők logikai műveletekre (ÉS, VAGY, tagadás). A mesterséges intelligencia célja az emberi tudatos viselkedést utánzó gépek kifejlesztése, az emberi gondolkodás számítógép segítségével történő reprodukálása, de pontos definíciója az intelligenciához hasonlóan nincs. Az emberhez hasonlóan kreatív, magától és racionálisan 3
gondolkodó gép még nincsen, de a mesterséges intelligenciát használják a robotika (összeszerelő gépek), a szakértői rendszerek (egy résztudomány tudásanyaga, pl. orvosi diagnosztika), az ügyviteli szoftverek (karakter felismerők, általában nem tekintik igazi "intelligenciának") és a pszichológia (kutatás, vajon hogyan működik az emberi értelem) területén. 3. A kijelentés A logika elsődleges tárgyai azok a mondatok, amelyekről egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy igazak vagy sem. Kijelentés: olyan mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Egy kijelentésnek kétféle logikai értéke lehet: igaz vagy hamis. A kijelentést és az állítást szinonimaként (ugyanolyan értelemben) használjuk. A formát és a tartalmat különválasztva a kijelentéseket nagybetűkkel jelöljük: A, B, C, Nem kijelentés például az, hogy A földön kívül is van élet, mert nem tudjuk egyértelműen eldönteni az igazságértékét. Általában a félig ismert dolgok, vagy a szubjektív megnyilvánulások nem kijelentések. Az egyszerű kijelentések többnyire egyszerű kijelentő mondatok, amelyekben nem szerepelnek logikai műveletek: Süt a nap. Kati Zalában született. Minden ember halandó. Van gyűrűs bolygó a Naprendszerben. Összetett kijelentések (ítéletek) összetett mondatokban jelennek meg: szerepelnek bennük logikai műveletek (és, vagy), amelyek maguk is kijelentéseket kapcsolnak össze: Esik az eső és fúj a szél. Kovács vagy Mészáros lőtt. 4
A paradoxonok feloldhatatlan ellentmondást tartalmazó mondatok vagy szövegek, az általunk tanult logika nem foglalkozik velük. Érdekességük miatt azonban érdemes megemlíteni őket. Például ilyen nyelvi paradoxon a következő: Ez a mondat nem igaz. Ha igaz a mondat, akkor hamis. Ha hamis, akkor igaz Paradoxonok a művészetben is megjelennek, például Escher munkáiban: Rajzoló kezek, Vízesés, vagy Penrose munkáiban (Penrose-háromszög). Feladatok 3.1 Döntsd el, hogy kijelentések-e az alábbi mondatok: a) És mégis mozog a Föld! b) A fehér zongora szebb, mint a fekete. c) De szépen havazik! d) A statisztikai évkönyv objektív tényeket közöl. Megoldás: a, d: igen; b, c: nem; 3.2 Írjanak olyan mondatokat, amelyek kijelentések és olyanokat, amelyek nem azok! 3.3 A róka hétfőn, szerdán és pénteken mindig hazudik, a hét többi napján mindig igazat mond. A szarka kedden, szerdán és csütörtökön mond igazat, míg a hét többi napján hazudik. Milyen napon mondta mindkettőjük: "Tegnap igazat mondtam!" Megoldás: vasárnap 4. A kijelentések tagadása (negáció) Az igaz ellentéte a hamis. Ha valamely igaz állítás elé tesszük a NEM IGAZ, HOGY szókapcsolatot, akkor igazságértéke ellentettjére változik. A tagadást általában ennél rövidebb nyelvi eszközökkel valósítjuk meg: 5
Kijelentés Süt a nap. Tagadása Nem süt a nap. Az autó fehér. Az autó nem fehér. Piroska sétál az erdőben. Piroska nem sétál az erdőben. Itt több minden is tagadható. Figyelni kell arra, hogy a kijelentést, vagyis az állítmányt tagadjuk. Gondolatban a Nem igaz az, hogy formulát illesszük a mondat elé, az segít. A gyerekek szeretik a csokit. A gyerekek nem szeretik a csokit. Tüzesen süt le a nyári nap sugára az ég tetejéről a juhászbojtárra. Nem süt le a nap. Tagadás: logikai művelet, amely egy kijelentés igazságértékét ellentettjére változtatja: az igazból hamisat, a hamisból igazat csinál. Megjegyzendő, hogy ha a tagadott kijelentést ismét tagadjuk, megkapjuk az eredeti kijelentés igazságértékét. Feladatok: 4.1 Döntsd el, hogy a párok egymás tagadásai-e, vagy sem. Ha nem, hogyan tagadnád helyesen a mondatokat? a.) Ez az autó fehér. Ez az autó fekete b.) Ma busszal megyek haza. Ma gyalog megyek haza c.) Ma kedd van. Ma szerda van. 6
Megoldás: egyik sem; Ez az autó nem fehér. Ma nem busszal megyek haza. Ma nem kedd van 4.2 Tagadja a következő kijelentéseket! a) A kalapban nincsen nyúl. b) A mamám lekváros fánkot szokott sütni. c) A fekete hajú lányok szeretik a csokoládét. d) A Trabant a világ legjobb gépkocsi márkája. e) A bűvészek mindig csalnak. f) A lónak négy lába van. Megoldás: A kalapban van nyúl. A mamám nem szokott lekváros fánkot sütni. Nem igaz az, hogy a fekete hajú lányok szeretik a csokoládét (= van olyan fekete hajú lány, aki nem szereti a csokoládét). A Trabant nem a világ legjobb gépkocsi márkája. A bűvészek nem mindig csalnak (= van úgy, hogy a bűvészek nem csalnak). A lónak nem négy lába van. 5. Konjunkció Ha ÉS-sel kötünk össze kijelentéseket, újabb kijelentéseket kapunk: Kint esik az eső és fúj a szél. Ez a kijelentés akkor igaz, ha kint esik az eső, ugyanakkor fúj is a szél. Ha az egyik nem teljesül, akkor az egész mondat hamis, mert az ÉS egyidejű bekövetkezést feltételez. Ha két kijelentést ÉS-sel összekapcsolunk, akkor az csak abban az esetben lesz igaz, ha mindkét kijelentés logikai értéke igaz. Ez a logikai művelet a konjunkció. A magyar nyelv ezt a kapcsolatot többféleképpen is kifejezheti: Esik is, és fúj is. Esik, de fúj is. Esik, ugyanakkor fúj is. 7
6. Diszjunkció Ha VAGY-gyal kapcsolunk össze két kijelentést, új kijelentést kapunk: A szemtanú mondja: az autó piros volt, vagy Suzuki. Ez a kijelentés akkor is igaz, ha piros volt az autó és akkor is, ha Suzuki. Akkor is igaz, ha piros Suzuki volt. Két kijelentés ilyen jellegű összekapcsolását diszjunkciónak, megengedő vagy-nak nevezzük. A logika és a halmazelmélet kapcsolatát mutatja a következő ábra: log_24.jpg Lexikon Kijelentés: olyan mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Egy kijelentésnek kétféle logikai értéke lehet: igaz vagy hamis. Tagadás: logikai művelet, amely egy kijelentés igazságértékét ellentettjére változtatja: az igazból hamisat, a hamisból igazat csinál. 8
Ha két kijelentést ÉS-sel összekapcsolunk, akkor az csak abban az esetben lesz igaz, ha mindkét kijelentés logikai értéke igaz. Ez a logikai művelet a konjunkció. A konjunkció halmazelméleti megfelelője a metszetképzés. Ha két kijelentést VAGY-gyal összekapcsolunk, akkor az abban az esetben lesz igaz, ha valamelyik, vagy mindkét kijelentés logikai értéke igaz. Ez a logikai művelet a diszjunkció. A diszjunkció halmazelméleti megfelelője az egyesítés (unió). 9