ÁLTALÁNOS RELATIVITÁSELMÉLET
1943 2004
Perjés Zoltán ÁLTALÁNOS RELATIVITÁSELMÉLET I AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST
Megjelent a Magyar Tudományos Akadémia támogatásával ISBN 963 05 8423 9 Kiadja az Akadémiai Kiadó, az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók és Könyvterjesztôk Egyesülésének tagja 1117 Budapest, Prielle Kornélia u. 19. www.akkrt.hu Elsô magyar nyelvû kiadás: 2006 Perjés Zoltán jogutódja, 2006 Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a nyilvános elôadás, a rádió- és televízióadás, valamint a fordítás jogát, az egyes fejezeteket illetôen is. Printed in Hungary
ELŐSZÓ Einstein általános relativitáselmélete egyben a gravitáció elmélete is, amely geometriai jellegéből fakadóan a tér és idő ötvözetéből kialakult téridő szerkezetét is meghatározza. Napjainkra az általános relativitáselmélet a legszélesebb körben elterjedt, mérésekkel az öszszes többi fizikai elméletnél nagyobb pontossággal megerősített gravitációelmélet, mely alkalmas nemcsak a Földünkön, vagy a Naprendszerben tapasztalt gravitációs jelenségek pontos megmagyarázására, de az univerzumunk történetének leírására, vagy mind térben, mind pedig időben nagyon távoli extrémen relativisztikus jellemzőkkel bíró rendszerekhez kapcsolódó gravitációs effektusok magyarázatára is. Mára már tudománytörténeti tény, hogy az általános relativitáselméleti kutatásokban a 60-as évek közepén intenzív megújulás kezdődött. Ennek előkészítésében fontos szerepe volt annak, hogy az ötvenes évek végén fedezték fel az első kvazárokat és pulzárokat, valamint annak, hogy 1965-ben találták meg a mikrohullámúháttérsugárzást. Mindezeknek köszönhetően egy minden korábbinál intenzívebb kutatási korszak vette kezdetét a 60-as évek közepétől, amely nagyon sok fontos fizikai kérdés megválaszolását tette lehetővé, illetve új, még érdekesebb problémák felvetéséhez vezetett el az azt követő évtizedek során. Perjés Zoltán ennek a felívelő korszaknak aktív résztvevőjeként nemzetközileg is nagyon jelentős kutatási eredményekkel járult hozzá az általános relativitáselmélet eme impresszív fejlődéséhez. Kutatói teljesítménye kiegészítéseként nagy gondot fordított oktatói feladatok ellátására is. Számos egyetemi kurzusa mellett sok diák diplomamunkájának, illetve doktori ösztöndíjas tevékenységének volt témavezetője. Kimagasló oktatói és kutatói utánpótlást nevelő tevékenysége elismeréseként az OTKA támogatásával gravitációelméleti tudományos iskolát is beindíthatott. Jelen kötet Perjés Zoltánnak a több évtizedre visszatekintő kutatói és oktatói tevékenysége során összegyűjtött tapasztalatokra épülő, az általános relativitáselmélet alapjainak megismerését biztosító munka. v
Bármely bevezető jellegűkönyv megírásakor a sikeresség fokmérője lehet az, hogy az ismeretek puszta átadásán kívül sikerül-e olyan egységes új rendezőelvet, szemléletmódot is átadni, amely iránytűként szolgálhat az ismeretek elsajátítására törekvő olvasó számára. Minden könyv írójának természetes törekvése az kell legyen, hogy a munkája által kínált egyedi megvilágítás a leírni kívánt tudományterületet teljességében, egyfajta egységben jelenítse meg az olvasó számára. Perjés Zoltánnak ez a kimondatlan célkitűzés az Általános relativitáselmélet című könyv megírásakor maradéktalanul sikerült. Ez egyrészt a kiváló oktatói képességének, másrészt nem elhanyagolható mértékben az általános relativitáselméletben évtizedekig végzett nemzetközi mércével is meghatározó kutatói tevékenységének köszönhető. A szakmai jártasság, valamint az ismertetett matematikai és fizikai módszerek napi használata érződik a könyv minden fejezetéből, biztosítva ezáltal akönyv szakmai hitelességét is. Perjés Zoltán 2004-ben váratlan gyorsasággal bekövetkezett korai halála törte ketté azt a folytonosan felfeléívelő szakmai pályát, amelynek egyfajta összegzését is nyújtja ez a munka. A könyv kiadásra történő előkészítése volt tanítványaira és Perjés Zoltán családjára maradt. Ezúton szeretnék külön köszönetet mondani Vasúth Mátyásnak akézirat nyomtatásra történő előkészítésében végzett odaadó munkájáért, valamint Perjés Ildikónak az ábrák gondos előkészítéséért. Budapest, 2006. február Rácz István vi
Tartalomjegyzék BEVEZETÉS 1 FIZIKAI MÉRÉSEK 3 1 A GRAVITÁCIÓ, A TÉRIDŐ GEOMETRIÁJA ÉS A SZABADESÉS 6 1.1 Kis topológia... 7 1.2 Arisztotelészi téridő... 10 1.3 Galilei-féle téridő... 11 1.4 Newtoni téridő... 12 1.5 Minkowski-téridő... 12 1.6 Einsteini téridő... 13 1.7 Távolságok mérése... 14 1.8 Görbültség... 15 1.9 A gravitáció... 17 2 DIFFERENCIÁLGEOMETRIAI ALAPISMERETEK 22 2.1 Tenzorok... 28 2.2 Kilépünk a sokaság p pontjából... 34 2.3 Sokaságok leképezései... 35 2.4 Kovariáns deriválás... 38 2.5 A görbületi tenzor... 40 2.6 Metrikus geometriák... 42 2.7 A téridő modellje... 44 3 A GRAVITÁCIÓS EGYENLETEK 47 3.1 Az energiaimpulzus-tenzor... 47 3.2 Energiafeltételek... 49 3.3 Az Einstein-egyenletek... 50 3.4 A geodetikus mozgástörvény... 52 3.5 Gyenge tér-közelítés... 55 vii
4 LIE-CSOPORTOK 59 4.1 Egyparaméteres diffeomorfizmus-csoport... 59 4.2 n-dimenziós Lie-csoportok... 61 4.2.1 Transzformáció-csoportok... 64 4.3 Killing-vektor... 64 5 SZIMMETRIÁK AZ ÁLTALÁNOS RELATIVITÁSELMÉLETBEN 66 5.1 Killing-mozgások...... 67 5.2 Mozgásállandók... 68 5.3 Gömbszimmetrikus terek... 69 6 STACIONÁRIUS TÉRIDŐK 73 6.1 Sztatikus tér... 75 6.2 Stacionárius, tengelyszimmetrikus tér... 77 6.3 A Weyl-téridők... 81 6.4 A Geroch-csoport... 84 6.5 Triádok... 85 6.6 Sajátsugár... 87 6.7 Elektrovákuum... 89 7 RELATIVISZTIKUS OKSÁG 94 7.1 Lokális okság... 94 7.2 Okság és időrend... 97 7.3 A múlt ésajövő tulajdonságai... 104 7.4 Globális oksági feltételek... 108 7.5 A konformis végtelen... 111 7.6 Horizontok.... 119 7.7 A függőség tartományai... 124 8 A SCHWARZSCHILD-TÉRIDŐ ÉS NEWTONI HATÁRESETE 128 8.1 A Schwarzschild-téridő végtelenhelyei... 131 8.2 Geodetikus mozgás... 132 8.2.1 Időszerű mozgás, ε = 1... 134 8.2.2 A fényelhajlás... 136 8.2.3 Vöröseltolódás... 139 viii
8.3 A belső Schwarzschild-megoldás... 140 9 A KERR-TÉRIDŐ. FEKETE LYUKAK 144 9.1 Geodetikus mozgás a Kerr-téridőben... 147 9.2 A fekete lyukak fizikája... 150 10 A TOMIMATSU-SATO-TÉRIDŐK 155 11 SPINOROK 158 11.1 Spinor képe a téridőben... 165 11.2 Szimmetrikus spinor kanonikus felbontása... 168 11.3 A Petrov-osztályozás... 169 11.4 Spinormezők... 172 11.5 Spinegyütthatók... 174 11.6 SU(2) spinorok... 180 12 A TÉRIDŐ SZINGULARITÁSAI 190 12.1 Miképpen értelmezhető atéridő szingularitása?... 190 12.2 Geodetikus teljesség... 194 12.3 Hawking és Penrose szingularitástételei... 198 13 RELATIVISZTIKUS KOZMOLÓGIA 203 13.1 Az izotrópia bizonyítékai... 203 13.2 A térbeli homogenitás bizonyítékai... 204 13.3 A Robertson Walker-modell... 204 13.4 Levezethető-e a kozmológiai elv?... 205 13.5 Homogén terek... 207 13.6 A Kasner-univerzum... 211 13.7 A Mixmaster-univerzum... 215 13.8 Kasner-korok az egységintervallumon... 219 14 GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK 225 14.1 Gravitációs hullámok a relativitáselméletben... 226 14.2 Téridők perturbációi... 229 14.2.1 Egzakt perturbációk és síkfrontú hullámok... 231 14.3 A gravitációs sugárzás perturbatív elmélete... 232 14.4 A kvadrupól-formula... 235 ix
14.5 Megmaradási törvények... 240 14.6 Az energiaveszteség... 242 14.7 Az impulzusmomentum-veszteség... 245 14.8 A kétpont-rendszerek... 246 15AMÁSODIK POST-NEWTONI KÖZELÍTÉS 249 15.1 a) A belsőzóna... 252 15.2 b) A külsőzóna... 253 15.3 A távoli hullámzóna... 261 16 SUGÁRZÓ KETTŐS RENDSZEREK 267 16.1 A Hulse Taylor pulzár... 271 1. Függelék: Geodetikus elhajlás 273 2. Függelék: Kozmológiai perturbációk 275 2.1 A kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás... 279 3. Függelék: Gravitációs kezdőértékprobléma 280 IRODALOM 285 TÁRGYMUTATÓ 299 x
BEVEZETÉS A könyv az általános relativitáselmélet iránt mélyebben érdeklődő olvasók számára íródott, így az olvasók köre egyetemi hallgatók és természettudományokkal aktívan foglalkozó személyek közül kerülhet ki. Az első rész bevezetést nyújt az elmélet alapjaiba. A második részben a relativisztikus okságot és az Einstein-féle gravitációs egyenletek analitikus módszerekkel kezelhető megoldásait ismerjük meg. A harmadik rész a relativisztikus folyamatokban keletkező gravitációs sugárzás elméletét tekinti át. E folyamatok asztrofizikai jellegűek, és a klasszikus fizika és nem a kvantumelmélet kereteiben érthetők meg. A szükséges elméleti anyag is a klasszikus fizika része, és ezen belül az általános relativitáselméletbe tartozik. Az általános relativitáselméletet Einstein 1915-ben alkotta meg. Átvette a speciális elméletből, hogy a fénysebesség a fizikai folyamatok felső határsebessége. Bevezette az inerciarendszerek (szabadon eső vonatkoztatási rendszerek) fogalmát. A szabadesés kitüntetett jelentőségű, mert a gravitációs kölcsönhatás az anyagi minőségtől független. (Ezt Eötvös, és később Dicke nagy pontosságú mérésekkel igazolták). Ebből Einstein felismerte, hogy a gravitációs jelenségeket a tér és az idő görbült geometriája hozza létre. A jelen kötetben megtalálható a relativitáselmélet néhány olyan, késői fejleménye, amelyet így együtt egyetlen más monográfia sem tárgyal. E fejlemények között említést érdemel a relativisztikus okság rendszeres elmélete és a gravitációs sugárzási folyamatok tárgyalása a második post-newtoni közelítésben. Előbbi a fekete lyukak elméletében, utóbbi pedig az immár méréseket végzőóriási gravitációs obszervatóriumok eredményeinek feldolgozásához szükséges. Ez a kötet az Eötvös kiadó gondozásában 1999-ben megjelent egyetemi jegyzet anyagának kibővített és tovább fejlesztett anyagát tartalmazza, és az ELTE Elméleti Fizikai Tanszékén 1971-1998 között tartott speciális előadásaimra, a mátrafüredi relativitáselméleti iskolán, a Káosz című iskolán és az aberdeeni NATO iskolán tartott előadásaim anyagára épül. Hálásan köszönöm hallgatóim figyelmét, megjegyzéseit. 1
Néhány gyakorlat megoldásával ellenőrizheti az Olvasó azanyag megértését. Gondot fordítottam arra, hogy ezek a gyakorlatok nagyon könnyűek legyenek. Budapest, 2003. március 8. Perjés Zoltán 2