Oktatási Hivatal A 010/011. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulányi Verseny első fordulójának feladatai és egoldásai fizikából II. kategória A dolgozatok elkészítéséhez inden segédeszköz használható. Megoldandó az első háro feladat és a 4/A és 4/B sorszáú feladatok közül egy szabadon választott. Mindkettő egoldása esetén a 4/A és 4/B feladat közül a több pontot elérő egoldást vesszük figyelebe. Minden feladat teljes egoldása 0 pontot ér. 1. feladat Két egyfora, függőleges hengert az ábra szerint vízszintes cső köt össze. A hengerek felső részében L=50c agas, p=10 5 Pa nyoású, 5 o C hőérsékletű levegő van. A hengerek aljában azonos agasságú víz van. A hengerek vízszintes felületen vannak. Mekkora hőérsékletre elegedett a bal oldali hengerben a levegő, ha benne a vízszint h=c-rel csökkent? (A ásik hengerben a levegő hőérséklete ne változott, a víz párolgásától eltekinthetünk.) Megoldás: Jelölje a hengerek keresztetszetét A, a bennük lévő levegő (azonos) ennyiségét n, közös hőérsékletét T o. Ekkor pla=nrt o (1) Melegítés után a bal oldali hengerben L+h agas, T hőérsékletű, p 1 nyoású, a ásikban L-h agas, T o hőérsékletű, p nyoású a levegő, vagyis illetve p 1(L+h)A=nRT () p(l-h)a=nrt o (3) 010/011 1 OKTV 1. forduló
A sötéttel jelzett folyadékrész csak akkor lehet egyensúlyban, ha a felső felületükre ható erők egyenlők. Bal oldalára F 1 =p 1 A erő hat, a jobb oldalát p A és a h agas víz súlyának összege terheli. A víz súlya a sűrűségének és térfogatának szorzata, ely utóbbi az alapterület és a agasság szorzata, vagyis F = p A+ G = p A+ρ Ahg A kettőt egyenlővé téve és A-val egyszerűsítve, Az (1) és () egyenletekből p = p + ρ gh (4) 1 p=p 1 L T L + ht o (5) íg a (1) és (3) egyenletekből p = L p L h (6). Az (5) és (6) egyenletekből a nyoásokat (4) egyenletbe behelyettesítve egyszerűsítés után adódik, hogy 1 T 1 ρ gh = + L + ht L h pl 0 (7). Az adatokat behelyettesítve (értékegységek SI-ben) T 1 = + 0,008 98 0,5 0, 48 (8). Ebből T=34K, vagyis a levegő hőérséklete 51 o C-os lett.. feladat Egy α = 0 0 hajlásszögű érdes lejtőn nyugszik egy M töegű korong, aelynek egy alulról felfelé haladó = 1 kg töegű ásik korong centrális, rugalas, egyenes ütközéssel nekicsúszik. A ásodik korong sebessége az ütközés előtti pillanatban v = 5 /s. A csúszási súrlódás együtthatója indkét korongra nézve 0,6. a) Mekkora a kezdetben nyugvó korong töege, ha az ütközéstől száítva a két korong azonos idő úlva áll eg? b) Milyen távol lesznek ekkor egyástól a korongok? c) Mekkora a egállásig eltelt idő? 010/011 OKTV 1. forduló
Megoldás a) Az első lépés az ütközés utáni kezdősebességek eghatározása. Mivel az ütközés pillanatszerű a korongok közti kölcsönhatás ideje alatt a rendszer zártnak tekinthető, így a lendület, valaint a ozgási energia egarad: v = u+ MU v = u + MU ahol u a íg U a M töegű test sebessége az ütközés után. A fenti egyenleteket átrendezve: v u = MU Osztás után: ( ) ( v u) Ezt beírva az első egyenletbe: ( ) ( v ) u = MU ( )( ) ( v u) v u v u v+ u = U = U u = U. ( ) ( ) ( ) ( v+ ) ( M) ( + M) v= u+ M v+ u M v= + M u u = v, és ( M) + M + M U = v+ u = v+ v = U = ( + M) + M + M A egállásig eltelt időt t-vel jelölve, a testek gyorsulásából u = g( sinα µ cosα) t U = g( sinα + µ cos α) t. A fenti négy egyenletből egyszerű átalakítás után a keresett töegre 3µ tg α M =. µ + tgα adódik, aelynek szászerű értéke: 3 tg 3 0, 6 tg0 M µ α = = 1 kg = 1,4897 kg 1,5 kg. µ + tgα 0, 6 + tg0 b) A korongok sebességeinek száértékei: ( M) 1 kg 1, 4897 kg u = v = 5 = 0,98345 0,98, ( + M),4897 kg s s s kg U = v = 5 = 4, 0165 4, 0. + M, 4897 kg s s s ( ) A korongok által (ellentétes irányban) egtett utak: ( ) v ( ) v v ( ) ( ). 010/011 3 OKTV 1. forduló
u s = = = g ( µ cosα sinα) 10 ( 0,6cos0 sin0 ) s 4,0165 U s S = = = 0,89 0,9. g ( µ cosα + sinα) 10 ( 0,6cos0 + sin0 ) s A két korong egállás után d = s + S = 0,180 + 0,89046 = 1,10846 1,11 távolságra került. c) A csúszás alatt eltelt idő (ellenőrzésképpen indkettőre kiszáítva): 3. feladat t t M 0,98345 s 0,180 0,, U 4,0165 = = s = 0,4434 s 0,44 s g ( sinα + µ cosα) 10 ( sin 0 + 0,6 cos 0 ) s 0,98345 u = = s = 0,4434 s 0,44 s. g ( µ cosα sinα) 10 ( 0,6 cos 0 sin 0 ) s A gyakorlatban széles körben elterjedtek a iniatűr gyorsulásérzékelők, például ilyenek segítségével nyílnak ütközéskor a gépkocsik légzsákjai. A bal oldali ábra egy ilyen gyorsulásérzékelőnek az egyszerűsített vázlatát utatja. A szerkezet háro párhuzaos féleezből áll (P 1, M és P ), elyek egyással szebe néző felülete azonos nagyságú. Az M jelű leez töege = 0,5 g, vastagsága b = 1,5, és egyensúlyi állapotban az egyástól 3b távolságra lévő P 1 és P leez közötti tér közepén helyezkedik el. Az M leez rugalas felfüggesztésű, a teljes rendszer rugóállandója 010/011 4 OKTV 1. forduló
D = 5 N/. A P 1 és P leezek közötti feszültség U 0 = 6 V, az M leez töltetlen. A jobb oldali ábrán az érzékelő külső elektroos kapcsolását láthatjuk, ahol indkét R ohos ellenállás azonos nagyságú. Az 1-es és a -es pontok között ideálisnak tekinthető űszerrel érjük az U D feszültséget. a) Hogyan függ az U D feszültség az M leez x elozdulásától? (A választ U 0, b és x felhasználásával adjuk eg.) b) Mekkora U D feszültséget utat a űszer, ha az érzékelőt úgy fordítjuk el, hogy a leezei vízszintes helyzetűek legyenek? c) Az érzékelőt vízszintes leezekkel egy rakétában helyezzük el. Kilövéskor U D = V értéket utat a feszültségérő űszer. Mekkora a rakéta függőleges gyorsulása? Megoldás: U b + x a) A -es pont potenciálja indig U 0 /, az 1-es pont potenciálja pedig 0 b, ait úgy láthatunk be, ha feliserjük, hogy a P 1 és P leezek közötti hoogén elektroos ezőben a térerősség az M leez helyzetétől függetlenül indvégig U 0 /b. Tehát a űszer által utatott feszültség (potenciál különbség): U0 x U D =. b b) Az M leezre ható nehézségi erővel a rugóerők tartanak egyensúlyt: g = Dx 1, aiből a g leez elozdulását eghatározhatjuk: x 1 = (= 0, ). Tehát a űszer által utatott D feszültség: U 0 g U D = = 0,4 V. b D c) A űszeren érhető V-ból 0,4 V a földi gravitáció hatása, a aradék 1,6 V pedig a rakéta gyorsulásának a következénye, tehát a rakéta gyorsulása a = 4g 40 /s. 4/A feladat Az ábrán látható kapcsolásban az U=1V feszültségű áraforrás belső ellenállása elhanyagolható. Az azonos belső ellenállású egyfora feszültségérők és a szintén azonos ellenállású egyfora áraérők pedig az árakör szepontjából ideálisnak tekinthetők. Az ellenállások R=100Ω-osak. (A vezetékek ellenállása az áraérők ellenállásához képest elhanyagolhatóak.) a.) Mennyit utatnak a űszerek? 010/011 5 OKTV 1. forduló
b.) A űszereket egcseréljük (áraérők helyére feszültségérők, feszültségérők helyére pedig áraérők kerülnek). Mennyit utatnak ekkor a űszerek? Megoldás: Az áraérők ellenállása gyakorlatilag nulla, a feszültségérők ellenállásához képest inden ás ellenállás elhanyagolható. a.) Az ára az ábra szerint folyhat. Mindkét ellenálláson U/R=0,06A ára folyik, ennyit is utat az 1. űszer. Az elágazás iatt a két egyfora űszer ennek a felét U/4R=0,03A-t. Az A, a B és a C pontok ekvipotenciálisak. Ekvipotenciálisak a D, az E, az F, a G és a H pontok is. Így az I. jelű űszer a b. ellenállásra jutó feszültséget, U/=6V-ot jelez. A ásik két egyfora űszerre ugyanekkora feszültség jut, így azok ezek felét, U/4=3V-ot utatnak. b.) Az ára irányokat az ábra jelzi. Csak az a. jelű ellenálláson folyik ára, elynek nagysága U/R=0,1A. Az elágazásnál ez az ára az ellenállásokkal fordított arányban oszlik eg, így az 1. jelű U/3R=0,08A-t, a ásik kettő U/3R=0,04A-t jelez. Az A és a B pontok potenciálja azonos, ivel a b. jelű ellenálláson át ne folyik ára. Mivel a C, a D és az E pontok is ekvipotenciálisak, így a űszerek elhelyezkedése a ellékelt ábrának felel eg, vagyis valaennyien nullát jeleznek. 010/011 6 OKTV 1. forduló
4/B feladat Nagyéretű, függőleges helyzetű sík féleezen lévő két párhuzaos, vízszintes résre,6 c-es hulláhosszúságú ikrohullá esik a leezre erőlegesen. A rések távolsága 6 c. A legnagyobb intenzitást a beeső ikrohullá eredeti irányában haladva észlelhetjük, ait nulladrendű axiunak nevezünk. a) A nulladrendű axiutól pozitív, illetve negatív forgásirányban (vagyis felfelé, illetve lefelé) hány intenzitás axiuot észlelhetünk? b) Ha az egyik rés elé x = 3 c vastag üveglapot helyezünk, akkor a nulladrendű axiu α = 35 -kal elfordul az eredeti iránytól, aint ezt az ábrán láthatjuk. Mekkora a ikrohullá terjedési sebessége üvegben? c) Az α = 35 -nál lévő nulladrendű axiutól pozitív, illetve negatív forgásirányban hány intenzitás axiuot észlelhetünk ilyenkor? Megoldás: a) Az intenzitás axiuok helye: d sin αk = k λ, ahol k = 0, ±1, ±, Az elhajlási k λ 6 axiuok száát így kaphatjuk eg: sinαk = 1, aiből k d =, 3. d λ,6 Megállapíthatjuk tehát, hogy a nulladrendű axiuon kívül ég - axiu észlelhető szietrikusan. b) Az üveglap és a kettős rés közötti távolság legyen s. Az azonos fázisban lévő pontok között kell összefüggést felírnunk. A valódi utak: x + s, illetve x + s + d sinα. Ne ezek, hane az optikai úthosszak, vagyis az idők egyeznek eg: x s x + s + d sin α + =, c' c c aiből a ikrohullá terjedési sebessége üvegben: = x 3 c' c = = x + d sin α 3 + 6sin 35 c 0,47 c = 1,4 10 8 /s. c) Pozitív irányban (vagyis az ábrán felfelé ) az intenzitás axiu feltétele: x + d sin αk x λ = kt = k, ahol k = 1,, c c' c Átrendezés után k λ c c' x sin αk = + 1, d c' d aiből 010/011 7 OKTV 1. forduló
d c c' x k 1. λ c' λ (Ha folyaatosan kerekítünk, akkor 1-nél kicsit nagyobb száot kapunk, ha ne kerekítünk, akkor 1-nél valaivel kevesebbet.) Arra következtethetünk, hogy pozitív irányban ne kapunk intenzitás axiuot, azonban α = 90 -nál közel járunk az elsőrendű axiuhoz. Negatív irányban (vagyis az ábrán lefelé ) a axiu feltétele: x d x + sin α kt k λ k = =, ahol k = 1,, c' c c c Átrendezés után k λ c c' x sin αk = 1, d c' d aiből d c c' x k + 3,6. λ c' λ Tehát negatív forgásirányban a nulladrendű axiuot ég 3 axiu követi. Pontozási útutató a 010/011. évi fizika OKTV első fordulójának feladategoldásaihoz Részletes, egységes pontozás ne adható eg a feladatok terészetéből következően, ugyanis egyegy helyes egoldáshoz több különböző, egyenértékű helyes út vezethet. A feladat nuerikus végeredényével egközelítően azonos eredényt kihozó egoldó erre a részfeladatra 0 pontot kap, aennyiben elvileg helytelen úton jut el. Fizikailag érteles gondolatenet estén a kis nuerikus hiba elkövetése ellenére (a részfeladat terjedelétől függően) 5 pont vonható le. 1.feladat Az állapotegyenletek az egyes esetekre A nyoások közti összefüggést agadó (4) egyenlet A (4) egyenlet hőérséklettel kifejezett (7) alakja A hőérsékletre vonatkozó (8) egyenlet A egoldás 1+1+1 pont 5 pont 5 pont 4 pont 3 pont 010/011 8 OKTV 1. forduló
.feladat Az ütközés utáni kezdősebességek eghatározása a töegekkel kifejezve: A sebességek kifejezése a lejtő és eltelt idő adataival: 4 pont. 3 pont. A egállásig eltelt t idő azonosságának felhasználásával a sebességek közti kapcsolat felírása: Az iseretlen M töeg kifejezése a lendülettételből: A keresett töeg érőszáának eghatározása: A korongok kérdezett távolságának eghatározása: A egállásig eltelt idő eghatározása: 3 pont. 5 pont. 1 pont. 3 pont. 1 pont. 3.feladat a) Bárilyen elvileg helyes gondolatenettel jut el a versenyző a korrekt válaszig, egadható a axiális 10 pont 10pont. Részben helyes válaszok esetén az általános tanári gyakorlatnak egfelelően részpontszá adható. b) Az erők egyensúlyának helyes felírása pont Az elozdulás eghatározása A feszültség kiszáítása 1 pont 1 pont. c) A földi gravitáció figyelebe vétele 1 pont A gyorsulás helyes értelezése A gyorsulás korrekt kiszáítása 3 pont pont. 010/011 9 OKTV 1. forduló
4/A feladat Az űszerek ellenállása vonatkozó jó észrevételek a.)az 1. űszer jó értéke (0,06A) A. és 3. űszer helyes értéke (0,03A-0,03A) A I. űszer jó értéke (6V) A II. és III. űszerek helyes értékei b.)az áraérők helyes értékei A feszültségérők jó értékei 1-1 pont pont pont pont pont 5 pont 5 pont 4/B feladat a) Az intenzitás axiu helyes felírása: 1 pont. A axiuok száának helyes felírása képlettel: A axiuok száának nuerikus kifejezése: pont. 1 pont. b) Az azonos fázisban lévő pontok keresése (elvi egállapítás): pont. A valódi távolságok felírása: Az azonos idők felírása A terjedési sebesség kiszáítása üvegben: pont. pont. pont. c) A helyes összefüggések felírása: 3-3 pont A axiuok száának szászerű eghatározása: 1-1 pont. (Pozitív körüljárás esetén a 0 és az 1 is helyes válaszként fogadható el.) 010/011 10 OKTV 1. forduló