Méréselmélet és mérőrendszerek

Méréselmélet és mérőrendszerek 1. ELŐADÁS KÉSZÍTETTE: DR. FÜVESI VIKTOR 2016. 10. 1

Bemutatkozás Dr. Füvesi Viktor ME AFKI Alkalmazott Földtudományi Kutatóintézet Műszerfejlesztési és Informatikai Osztály Email: fuvesi@afki.hu, elkfv@uni-miskolc.hu Tel.: 565-255/25-12 Web: fuvesi.afki.hu 2

Tantárgyi követelmények Aláírás feltétele o Előadásokon és gyakorlaton való részvétel o 1 db Zh elégséges megírása (lehetséges kérdések listája elérhető a honlapomon) Pontozás 1: 0p 26p 2: 27p 32p 3: 33p 38p 4: 39p 44p 5: 45p 50p Időpontja: gyakorlaton, 3. alkalommal Gyakorlati jegy o Zh eredménye 3

Féléves tematika Előadás o Mérés és modellezés o Metrológia alapjai o Jelek o DAC és ADC típusai o Digitális jelfeldolgozás alapjai o Szűrés o Mintavételezés o PC o PLC o DCS o Buszrendszerek o Szenzorok és távadók felépítése, működési elveik Gyakorlat o Labview bemutató o Különféle mérőrendszerek felépítése, működése 4

Magyar irodalom (2016. 08. 29) o Dr. Huba Antal és dr. Lipovszki György: Méréselmélet, kézirat, 2014, ISBN 978-963-313-171-8 http://mogi.bme.hu/tamop/mereselmelet/ http://www.mogi.bme.hu/letoltes/mechatronikai%20&%20ir%c3%81ny%c3%8dt%c3%81stec HNIKAI%20T%C3%81RGYAK/JELFELDOLGOZAS/IRODALOM/_M%C3%A9r%C3%A9selm%C3%A9let.p df o Balog László, dr. Kollár István, dr. Németh József, dr Péceli Gábor és dr. Sujbert László: Digitális jelfeldolgozás, kézirat, 2008 https://www.mit.bme.hu/system/files/oktatas/targyak/8635/digit_jelfeldolg_jegyzet.pdf o Gerzson Miklós: Méréselmélet, Egyetemi tananyag, 2011, ISBN 978 963 279 502 7 http://www.tankonyvtar.hu/en/tartalom/tamop425/0008_gerzson/gerzson_mereselmelet.pdf o Gerzson Miklós: Méréselmélet példatár, Pécs, 2015 http://virt.uni-annon.hu/index.php/component/docman/doc_download/1779- mereselmpldt160214 5

Angol irodalom (2016. 08. 29) o Steven W. Smith: The Scientist and Engineer s Guide to Digital Signal Processing, 2nd Edition, San Diego, California, ISBN 0-9660176-6-8 http://ft-sipil.unila.ac.id/dbooks/the Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Process.pdf o Dimitris Manolakis and Vinay Ingle: Applied Digital Signal Processing, Cambridge, 2011, ISBN 978-0521-11002-0 http://itl7.elte.hu/~zsolt/oktatas/applied_digital_signal_processing.pdf o Measurement Computing: Data Acquisition Handbook, 3rd Edition http://www.mccdaq.com/pdfs/anpdf/data-acquisition-handbook.pdf o Sophocles J. Orfandis: Introduction to Signal Processing, Rutgers University, 2010 http://eceweb1.rutgers.edu/~orfanidi/intro2sp/orfanidis-i2sp.pdf 6

Mai témáink o Feladatok kiosztása o Mérés o Alapfogalmak o Modellezés o Modell típusok o Metrológiai alapjai o Mértékegység rendszerek o SI egységek o SI prefixumok 7

Mérés célja és fogalma o Mérés célja o Egy rendszer vagy folyamat valamely jellemzőjének meghatározása. o Mérnöki tevékenység alapeleme. o Mérés fogalma o A mérendő mennyiség (fizikai, kémiai, stb.) és az alapul választott mértékegység összehasonlítása. o Mérés közben azt állapítjuk meg, hogy a mért mennyiség hányszorosa az egységnek (etalonnak): Mennyiség = mérőszám mértékegység Például: l = 3 m 8

Mérés fogalmai o Mérés általános definíciója A mérés a mért jellemzők közötti viszony kifejezése szimbólumok közötti viszonnyal. o o o mért jellemzők viszonyának kifejezése a többi lehetséges kimenetelhez képest szimbólum készlet elemei tetszőlegesek nagyság kifejezése mellett az azonosítás is 9

Mérés fogalmai o Mérési eredmény: egy szimbólum és a skálainformáció együttese. o A skálainformáció: az adott méréshez kapcsolódó megállapodások (konvenciók) együttese. o Mérési hiba: a valóságos és az ideális mérési eredmények között az adott szimbólum halmazon értelmezett távolság: o A távolság két pont közé eső szakasz hossza. A fizikában, vagy a mindennapi életben a távolságot többnyire különböző hosszúságegységekben adják meg. A matematika ezt a fogalmat általánosítja, különböző mértékeket, metrikákat vezetve be. o A távolság egy nem negatív skalármennyiség, aminek nincs iránya (az elmozdulásra, mint vektormennyiségre jellemző annak iránya is). 10

Mérés fogalmai o Hasonlóság o annak a számszerű mértéke, hogy mennyire egyforma két adat objektum o értéke annál nagyobb, minél egyformább a két objektum o gyakran a [0,1] tartományba esik o Különbözőség o annak a számszerű mértéke, hogy mennyire különbözik két adat objektum o értéke annál kisebb, minél egyformább a két objektum o a különbözőség legkisebb értéke gyakran 0 o a felső korlát változó lehet o A távolság értéke a hasonlóság és a különbözőség mértékétől függ. 11

Távolságok o Koordinátageometria o az xy sík két pontja (x 1, y 1 ) és (x 2,y 2 ) akkor a d távolság d = x 2 x 1 2 + y 2 y 1 2 o a tér két pontja (x 1, y 1, z 1 ) és (x 2,y 2, z 2 ) akkor a d távolság d = x 2 x 1 2 + y 2 y 1 2 + z 2 z 1 2 (1) (2) o Euklideszi norma o Az euklideszi norma az adott p pont origótól mért távolság p = p 1 2 + p 2 2 + + p n 2 (3) 12

Távolságok o Euklideszi térben mért távolságok (x 1, y 1,,z n ) és (x 2,y 2,,z n ) n dimenziós pontok o 1 normán alapuló távolság (Manhattan-metrika) o 2-normán alapuló távolság (euklideszi metrika) o P-norma távolság o Végtelen normán alapuló távolság (Csebisev-metrika) p 1 = p 2 = p p = n i=1 n i=1 n i=1 p = lim p x i y i x i y i 2 x i y i p n i=1 1/2 1/p x i y i p 1/p (4) (5) (6) (7) 13

Mérés fajtái o Közvetlen mérés o A keresett mennyiséget mérjük meg és a mérés eredményét közvetlenül a mérőeszközről kapjuk. o pl.: kétkarú mérleg o Közvetett mérés o A keresett mennyiséggel egyértelműen összefüggő másik mennyiséget mérjük, és ebből számítással határozzuk meg a keresett mennyiséget. o pl.: hőellenállás, piezoelektromos gyorsulásmérő 14

Modellezés és modell fogalmai o Modellezés feladata: A jellemzők kiválasztása és valamilyen formalizmussal történő leírása. o A modellek segítségével lehetővé válik: o a valóság egy részének kiemelése, o jelenségek leegyszerűsítése, o az ismeretek rögzítése, átadása. o Egy jelenség több modell o Tudományos modellalkotás objektív, alapjai: o fizikai, kémiai, gazdasági törvények, o matematikai formalizmusok. 15

Modellezés és modell fogalmai o Modellek osztályozása: o funkcionális (térképek, tervrajzok, áramköri rajzok, blokkvázlat, folyamatábra) o fizikai (kicsinyített, áramköri, makettek, egyszerűsített prototípusok, számítógépes szimulációs modellek) o matematikai (egyenletek, egyenletrendszerek, függvények) o A modellezés alapfogalmai: o szeparáció (objektumok) körülhatárolás o szelekció (jelenségek) válogatás o gazdaságosság (egyszerűség) T 34/85 makett o A modellhez felhasznált információnak két forrása lehet: o a priori (a vizsgálat megkezdésekor rendelkezésre áll) o a posteriori (a megfigyelés során nyert új információk) 16

Modellek típusai o A modell típusának kiválasztása: o cél szempontjából lényeges vonások o alkalmazható modellezési eljárások o rendelkezésre álló ismeretanyag o o o o o o o o Törvények Egyenletek típusa Struktúra Egyenletek/tagok száma Paraméterek Együtthatók értéke Állapot Időbeni működés leírása Statikus ismeretek Dinamikus ismeretek 17

Modelltípusok és struktúra kapcsolata Ismert Ismeretlen Struktúra Paraméterek Identifikációs folyamat Struktúra identifikáció Modell típusa Fekete doboz modell Példa Átviteli függvények Struktúra Paraméterek Struktúra Paraméterek Szürke doboz modell Differenciál egyenletek heurisztikus nemlinearitással Paraméter identifikáció Struktúra Paraméterek Fehér doboz modell Differenciál egyenletek 18

Modellezés lépései 19

Metrológia - alapfogalmak o Mérhető mennyiség: Jelenség, tárgy vagy anyag minőségileg megkülönböztethető és mennyiségileg meghatározható tulajdonsága. o Mennyiségrendszer: Egymással összefüggésben lévő, általános értelemben vett mennyiségek összessége. o Alapmennyiség: Egy mennyiségrendszer olyan mennyiségeinek egyike, amelyeket megállapodásszerűen egymástól függetlennel tekintenek. o Származtatott mennyiség: Egy mennyiségrendszerben a rendszer alapmennyiségeinek függvényeként definiált mennyiség. 20

Metrológia - alapfogalmak o Mennyiség dimenziója: Kifejezés, amely egy mennyiségrendszer valamely mennyiségét a rendszer alapmennyiségeit reprezentáló tényezők hatványainak szorzataként adja meg. o Egység dimenziójú mennyiség, dimenziótlan mennyiség: Mennyiség, amelynek dimenzió-kifejezésében az alapmennyiségek dimenzióinak hatványkitevői mind zérusok. o Mértékegység: Megállapodás alapján elfogadott és definiált konkrét mennyiség, amellyel az ugyanolyan fajtájú más mennyiségek az e mennyiséghez viszonyított nagyságuk kifejezése céljából összehasonlíthatók. o Mértékegység-rendszer: Egy adott mennyiségrendszerhez tartozó alapegységek és adott szabályok szerint meghatározott származtatott egységek összessége. 21

Metrológia - alapfogalmak o Koherens mértékegység: Az alapegységek hatványainak szorzataként kifejezhető olyan származtatott egység, amelyben az arányossági tényező 1. o Koherens mértékegységrendszer: Olyan mértékegységrendszer, amelynek minden származtatott egysége koherens. 22

Mértékegységrendszer - Történelem o 1791 Párizsi akadémia 3 alapmennyiséget határoz meg o Hosszúság méter o Tömeg kilogramm o Idő másodperc o Karl Friedrich Gauss (1777-1855) o német matematikus o 1832-ban kidolgozza a cgs rendszert (centiméter gramm secundum) o 1881. évi párizsi konferencián véglegesítették 10 német márka 23

Mértékegységrendszer Történelem o MKSA nemzetközileg is elismert rendszer o Méter, kilogramm, másodperc, amper mennyiségekből kapat a nevét o 1948 - kiegészítették: erő (newton);energia (joule) teljesítmény (watt) o 1960 11. Általános Súly- és Mértékügyi Konferencia SI rendszer megszületése o Általános metrológia definíciója o Alap és kiegészítő egységek definiálása o Prefixumok meghatározása 24

SI előnyei o Összehangol (koherens) o Számítási egyenletek egyszerűek o Megkönnyíti a gazdasági és tudományos összehasonlítást o Egyetemes o Megtartotta a korábban alkalmazott egységeket o Tömeg és erő szétválasztása o Ellentmondás mentes 25

SI rendszer elemei o Mennyiség értéke: Valamely konkrét mennyiség nagyságának kifejezése egy szám és egy egység szorzataként. o Mérőszám számérték: Megadja, hogy egy mennyiség hányszorosa / hányadrésze a választott mértékegységnek. o Dimenzióegyenlet: Megadja egy származtatott mennyiségét visszavezethetőségét az alapmennyiségekre. o Prefixumok: Alkalmazásuk célja a nagy vagy kis mennyiségek kifejezésének egyszerűsítése, a decimális szorzó helyettesítése. 26

Kiegészítő egységek SI egységek SI egységek mértékegység neve jele mennyiség neve mennyiség jele méter m hossz l (kis L) kilogramm* kg tömeg m másodperc s idő t amper A elektromos áramerősség I (nagy i) kelvin K abszolút hőmérséklet T mól mol anyagmennyiség n kandela cd fényerősség I v radián rad síkszög α,β szteradián sr térszög Ω *A tömeg SI-alapegysége viszont a kilogramm, amely a nevének megfelelően pontosan 1000 grammot jelent. Az SI rendszer megalkotói nem egy természeti állandóra alapítva rögzítették a tömeg alapegységét, hanem azt a Sèvres-ben (sevr) gondosan őrzött etalon tömegeként definiálták, és magát a grammot is ebből kell visszaszármaztatni. A név eredetileg a grave volt, de ez a szó rosszul hangzott a forradalmárok számára, mert a német Graf (gróf) szóra emlékeztetett. 27

SI egységek 1 méter A fény által vákuumban 1/299 792 458 s idő alatt megtett út. 1 kilogramm 1 másodperc 1 amper 1889 óta Sèvres-ben őrzött platinum-iridium henger, mint a kilogramm nemzetközi ősetalonja, (az egyetlen prototípus alapú alapetalon!) Az alapállapotú cézium-133 atom két hiperfinom energiaszintje közötti átmenetnek megfelelő sugárzás 9 192 631 770 periódusának időtartama. 1 A konstans áram folyik két párhuzamos, végtelen hosszú, egymástól 1 m távolságban lévő, elhanyagolható keresztmetszetű vezetőben, ha közöttük vákuumban, méterenként 2x10-7 N erő mérhető. 1 Kelvin A víz hármaspontja termodinamikai hőmérsékletének 1/273.16-szorosa. 1 mól 1 kandela Egy rendszer anyagának azon mennyisége, amely ugyanannyi elemi egységet tartalmaz, ahány atom van a 12-es tömegszámú szén 0,012 kg-jában. Olyan fényforrás fényerőssége adott irányban, amely 540 10 12 Hz frekvenciájú monokromatikus sugárzást bocsát ki, és sugárerőssége ebben az irányban 1/683 W/steradian. 28

SI egységek jövője (jelene) o 2011 október 16 22.: XXIV általános Súly- és Mértékügyi Konferencia o Jelentős változások a mértékegység rendszerrel kapcsolatosan o mértékegységeket általános fizikai állandókkal definiálása o hét általános természeti állandó értékének használata o o o o o o o a cézium-133 által kibocsátott fény frekvenciája ν = 9 192 631 770 Hz a fény sebessége c = 299 792 458 m/s a Planck-állandó h = 6,62606 10 34 J s az elemi töltés nagysága e = 1,60217 10 19 C a Boltzman-állandó k = 1,3806 10 23 J/K az Avogadro állandó N A = 6,02214 10 23 mol 1 a fényhasznosítás értéke K cd = 683 lm/w 29

SI-prefixumok Előtag Jele Szorzó hatvánnyal számnévvel yotta- Y 10 24 kvadrillió zetta- Z 10 21 trilliárd exa- E 10 18 trillió peta- P 10 15 billiárd tera- T 10 12 billió giga- G 10 9 milliárd mega- M 10 6 millió kilo- k 10³ ezer hekto- h 10² száz deka- da (dk) 10 1 tíz 10 0 egy Szorzó Előtag Jele hatvánnyal számnévvel 10 0 egy deci- d 10 1 tized centi- c 10 2 század milli- m 10 3 ezred mikro- µ 10 6 milliomod nano- n 10 9 milliárdod piko- p 10 12 billiomod femto- f 10 15 billiárdod atto- a 10 18 trilliomod zepto- z 10 21 trilliárdod yokto- y 10 24 kvadrilliomod 30

Továbbikban o Mérési struktúrák o Mérési eljárások o Explicit o Implicit o Mérési módszerek csoportosítása o Jelek o Fogalmak o Felosztás o Jelátalakítók o Jelek feldolgozásának alapjai o Alapfogalmak o Kovariancia o Korreláció o Regresszió o Fourier sorok 31

Mérési struktúrák o Mérés művelete: o Jel- és rendszerelméleti aspektus: A mérendő jellemző és a szimbólum halmaz közötti leképezés megvalósítása o Metrólógiai aspektus: Skálainformáció konstruálása Mérés jel- és rendszerelméleti modellje 32

Mérés jel- és rendszerelméleti modellje o Mérendő objektum o a mérést magában foglaló modellezés tárgya o kimenő/bemenő jelei hordozzák az információt o Mérőeszköz o kimenetén a szükséges mérési eredményt kapjuk o bemenetén a zajjal terhelt információ van o kölcsönhatásba kerül a mérendő objektummal o szelektív módon gyűjti be az információt o elsődleges adatfeldolgozása 33

Mérés jel- és rendszerelméleti modellje o Jelátviteli csatorna o az objektum és a mérőeszköz közötti kölcsönhatás nem közvetlen o a megfigyelt jelekre zajok szuperponálódnak o ezek reprezentálására alkalmas a jelátviteli csatorna o ismerete a mérés tervezése szempontjából lényeges 34

Mérési eljárás o Jelölések és definíciók o α a mérendő jellemzők vektor o M(α) az előzetes modell o M α az α tartozó valamennyi lehetséges modell v. modell osztály o M(a) az optimális modell o Mérés célja: Annak a M(α*) ϵ M α modellnek a megtalálása, amelyik a leginkább hasonló M(a) optimális modellhez. o megtalálás : a mérési eljárásban fizikailag vagy koncepcionálisan meglévő modell változtatása o M(a) és M(α*) közti különbség: mérés során elvi és gyakorlati okok miatt nem érhetők el az ideális paraméterek o leginkább hasonló : hasonlósági kritérium C = [M(a), M(α)] 35

Mérési eljárás o Optimális mérési eljárás: Olyan mérési eljárást, amely a modellezési feladathoz hozzárendelt M a modellosztályból kiválasztja a C hasonlósági kritérium minimumát biztosító M(α*) modellt, a mérendő objektum megfigyelése útján. o Az α* paramétereket az a paraméterek optimális becslésének nevezzük. o mérési eljárások csoportosítása a mérőeszköz beépítése, az elsődleges adatfeldolgozás jellege alapján: o Explicit o implicit 36

Explicit mérési eljárás Zavarás Gerjesztés Zajmentes kimenet Zajjal terhelt megfigyelés Optimális megfigyelés Előzetes modell Explicit(közvetlen, egy lépéses, nemrekurzív) 37

Explicit mérési eljárás o Mérés menete: Elvégezzük a szükséges számú mérést, majd ezeket egy lépésben kiértékelve megkapjuk a mérési eredményt. o Információs szempont o Nagy mennyiségű adat o Nincs időkorlát o Példa: Az explicit mérési eljárásra a legegyszerűbb példa egy olyan mérés, ahol a mérés során fellépő hibák miatt több párhuzamos mérést kell elvégezni a mérőrendszer ugyanolyan beállításánál. Ekkor elvégezzük a párhuzamos méréseket, majd átlagolás segítségével meghatározzuk a keresett paraméter becsült értékét. 38

Implicit mérési eljárás Implicit (rekurzív, iteratív, modelljavító) Gerjesztés Zajmentes kimenet Zavarás Zajjal terhelt megfigyelés Előzetes modell Választás kritériuma Aktuális modell Modell kimenete Optimális megfigyelés (i) az i-dik lépésre/mérési ciklusra utal 39

Implicit mérési eljárás o Mérés menete: A hasonlósági kritérium lépésenkénti kiértékelése, és ennek alapján a modell paramétereinek változtatása a mérendő objektum és a beépített modell egyre nagyobb hasonlósága érdekében. o Információs szempont o Kevés adat o Szoros időkorlát o Példa: A kétkarú mérleggel történő tömegmérés. Az M(a) a mérendő tárgy, az a meghatározandó paraméter ennek az ismeretlen tömege. Az n mérési zaj származhat a mérleg mechanikájából, de érzékeny mérleg esetében lehet ez légáram vagy rezgés is. Az M(α) modell a méréshez használt súlyok. Az iterációt itt a súlyok felrakása vagy levétele jelenti. Amíg a két oldalt megfelelő mértékben egyensúlyba nem hoztuk, addig végezzük a súlyok felrakását/levételét. 40

Mérési módszerek csoportosítása o Etalon: Mérték, mérőeszköz, anyagminta vagy mérőrendszer, melynek az a rendeltetése, hogy egy mennyiség egységét, illetve egy vagy több ismert értékét definiálja, megvalósítsa, fenntartsa vagy reprodukálja és referenciaként szolgáljon. o Példák: o l kg-os tömegetalon; o 100 Ω-os normálellenállás; o etalon ampermérő; o cézium frekvencia etalon; o standard hidrogén elektród; o bizonylatolt koncentrációjú, emberi szérumban oldott kortizont 41

Mérési módszerek csoportosítása o Etalon jelenléte szerint o Közvetlen összehasonlítás o Közvetett összehasonlítás o Differencia módszer o A közvetett és a közvetlen módszerek előnyeinek egyesítése o pontosabb, mint a közvetett o gyorsabb, mint a közvetlen o pontosság feltétele: a segédskáláról leolvasott mennyiség jóval kisebb legyen, mint az etalon alapján meghatározott mennyiség o fizikailag azonos természetű etalon van jelen o előny: pontos mérés o hátrány: hosszadalmas eljárás, nem minden esetben megvalósítható o etalon nincs jelen, mérés átalakítás alapján o előny: gyors, széleskörű alkalmazhatóság o hátrány: kevésbé pontos o kalibráláskor az etalonra szükség van 42

Jelek a világban Jel: valamely fizikai mennyiség (jelhordozó) egy jellemző értékének alakulása (többnyire időbeli változása). A jelhordozó típusa lehet: o elektromos, o pneumatikus, o fény, o stb. A jelhordozó lehet a jel o nagysága, o frekvenciája, o fázisa, o stb. A jel által átvitt információ és a jellemző érték kapcsolatát a kódolás szabja meg. jel kódolás A jelek csoportosítása: o analóg o digitális kód dekódolás Jel (vagy információ) 43

Értékkészlet szerint Jelek felosztása Időbeni lefolyás szerint Példa AMPL. \ IDŐ FOLYAMATOS DISZKRÉT FOLYTONOS T0 Legtöbb fizikai v. kémiai állapothatározó (pl.: nyomás, hőmérésélet) DISZKRÉT A/D átalakító jele T0 BINÁRIS 1 0 1 0 kapcsoló T0 44

Jelek felosztása o Értékkészlet szerint: o Folytonos: értékkészletük összefüggő tartomány. o Diszkrét: csak kitüntetett értékeket vehetnek fel o Bináris: o diszkrét jelek speciális esete o csak két különböző értéket vehet fel o Időbeni lefolyás szerint: o Folyamatos: vizsgált időintervallumon belül bárholt meghatározható. (pl.: analóg műszerek) y=f(t), tϵr - < t < t: időváltozó (8) o Diszkrét vagy szaggatott: csak kitüntetett időpontokban (mintaételezéskor) ismert az értéke. (pl: digitális műszerek) y=f[k], kϵz kϵ [-,, -1, 0, 1, 2,, ] k: diszkrét idő (9) 45

Jelek osztályozása Villamos jelek Determinisztikus (meghatározott) Periodikus (ismétlődik) Nem periodikus (nem ismétlődik) Szinuszos Általános periodikus Kvázi periodikus Tranziens Sztochasztikus (nem meghatározott) 46

Jelek osztályozása o Meghatározottság szerint: o Determinisztikus: egyértelműen, meghatározott időfüggvénnyel megadhatók. Az y(t) (y[k]) jel determinisztikus, ha értékét minden t időpillanatra előre ismerjük. Pl.: y(t) = t vagy y[k] = sin[k] o Sztochasztikus: Idő függvénnyel nem megadható jel. Általában a rendszerben fellépő zajok, zavarások okozta véletlenszerű hatások miatt a jel ebben az esetben csak valószínűségszámítási módszerekkel írható le. Az y(t) (y[k]) jel sztochasztikus, ha időfüggését nem ismerjük előre, de meg tudjuk határozni bizonyos statisztikai jellemzőit. Pl.: Tipikus sztochasztikus jelek a különböző zajok. Melyek időfüggvény formájában nem adhatók meg, de statisztikai tulajdonságaik ismertek. 47

Jelek osztályozása o Szinuszos jel g t = A sin(2πf 1 t + φ) (10) Amplitudó (A) g(t) t Periódusidő (T) Frekvencia: f = 1 T [Hz] Körfrekvencia: ω = 2πf 1 48

Jelek feldolgozása o Alapfogalmak o Determinisztikus kapcsolat: függvénykapcsolatot jelent két adatsor között. Az egyik ismérv (változó) bármely értékéhez a másik változó egy adott értéke tartozik. o Sztochasztikus kapcsolat: nincs egyértelmű függvénykapcsolat a két ismérv értékei között, de fennáll egy tendenciajellegű kapcsolat, mint pl a testmagasság és a testsúly között. Két változó esetén ez jól szemléltethető pontdiagrammal. o Korrelálatlanság: már tendenciajellegű kapcsolat sem állapítható meg. 49

Jelek feldolgozása o Kovariancia (együttingadozás) o Képezzük az egyes összetartozó x és y értékek eltérését az x-átlagtól, ill. az y-átlagtól. A két eltérést szorozzuk össze. Minden egyes (x, y) értékpárra kiszámítható az eltérésszorzat, és a kovariancia nem más, mint ezen eltérésszorzatok átlaga. Cov( X, Y ) C XY 1 n n i 1 x x y y i i (11) C d x d y n x 1 n n j 1 x j d x d y y 1 n n j 1 y j o Kiszámítása: C XY 1 n n i 1 x i y i x y; (12) 50

Jelek feldolgozása o Kovariancia tulajdonságai o Az előjele mutatja a kapcsolat irányát. o Az ismérvek függetlensége esetén a C = 0. (Megfordítva nem áll: ha C=0, akkor a kapcsolat korrelálatlan, de nem feltétlenül független, a függetlenség szigorúbb feltételeket jelent, mint a korrelálatlanság) o C abszolút értéke akkor maximális, ha x és y között lineáris függvénykapcsolat áll fenn, ekkor: C max x y (13) 2 1 n n i 1 2 1 n n i 1 2 x xi x y yi y 2 51

Jelek feldolgozása o Kovariancia tulajdonságai o Mivel C mértékegység-függő, ezért célszerű elosztani a maximális értékkel, és akkor egy előjeles mutatót kapunk: a lineáris korrelációs együtthatót: r xy C x xy y r xy d d 2 x x d y d 2 y (14) o A kovariancia x és y szempontjából szimmetrikus: r xy =r yx o Egy változó esetén az önmagára vonatkozó kovariancia a variancia, azaz szórásnégyzet. A szórásnégyzet tehát a kovariancia speciális esete: Cxx 2 x 52

Jelek feldolgozása Ha x átlag feletti értékei társulnak y átlag feletti értékeivel, az átlag alattiak meg az átlag alattival, akkor pozitív különbséget szorzunk pozitívval, vagy negatívat különbséget negatívval, a szorzatok pozitívak lesznek, ezek átlaga is pozitív! Ha x átlag feletti értékei társulnak y átlag alatti értékeivel, akkor pozitív különbséget szorzunk negatívval, a szorzatok negatívak lesznek, ezek átlaga is negatív! Ha x, y rendszertelenül mozognak, a két fenti eset keveredik, a szorzatok hol pozitívak lesznek, hol negatívak, így az átlaguk 0 lesz! Megfigy. Cov(x,y) > 0 Cov(x,y) < 0 Megfigy. Cov(x,y) 0 Megfigy. 53

Jelek feldolgozása 54 o Korreláció (Pearson Correlation, Product Moment Correlation): Kovariancia osztása x és y változók szórásának szorzatával. y x m j m j j j m j m j j j y x Cov m m y y m m x x y x Cov y x Corr ), ( ), ( ), ( 1 2 1 1 2 1 o Értéke maximum +1, ha a két változó teljesen együtt mozog o Értéke maximum -1, ha a két változó teljesen ellentétesen mozog o Értéke 0, ha a két változó közt nincs kapcsolat (15)

Jelek feldolgozása BMI 30 20 10 0 25 50 75 100 kor (év) testmagasság 180 170 160 150 140 130 50 100 150 testsúly (kg) BMI L-koleszterin (mmol/l) 50 40 30 20 gyenge pozitív korreláció 10 0 25 50 75 100 kor (év) 3 2 1 Corr(x,y) > 0 nincs korreláció Korrelációs koefficiens testmagasság (cm) 210 200 190 180 170 160 150 140 130 erős pozitív korreláció 50 100 150 testsúly (kg) Corr(x,y) > 0 Corr(x,y) 0 Corr(x,y) < 0 erős negatív korreláció A kapcsolat erőssége L-koleszterin (mmol/l) 0-0,25 Nincs vagy igen gyenge 0,25-0,50 Gyenge 0,50-0,75 Mérsékelten erős vagy erős 0,75-1,00 Igen 1 erős 3 2 HDL-koleszterin (mmol/l) 3 2 1 nincs korreláció 0 140 165 190 testmagasság (cm) HDL-koleszterin (mmol/l) 3 2 1 erős negatív korreláció 0 35 50 65 80 95 110125140 testsúly (kg) 55

Jelek feldolgozása o Regresszió o a változók közötti kapcsolat elemzésének elterjedt eszköze. o Alapesetben azt vizsgálja, hogy egy kitüntetett, a vizsgálat tárgyát képező változó, amelyet eredményváltozónak (vagy függő változónak) nevezünk, hogyan függ egy vagy több ún. magyarázó (vagy független) változótól. o A regresszió számításkor: o keressük azt a függvényt, amelyik leírja a magyarázó változó(k) és az eredményváltozó kapcsolatát, o értelmezzük a függvény paramétereit és egyéb jellemzőit, o elemezzük az egyes befolyásoló tényezők hatását, o a kapcsolat szorosságát, o az előrejelzés lehetőségeit. 56

Jelek feldolgozása o Regressziós függvények o lineáris regresszió, o hatványkitevős regresszió, o exponenciális regresszió, o parabolikus regresszió, o hiperbolikus regresszió. 57

Jelek feldolgozása o Regresszió modellje Tételezzük fel, hogy X lineáris törvényszerűség szerint fejti ki hatását Y-ra, illetve közrejátszik egy véletlen mozzanat is. (16) 58

Jelek feldolgozása o Regressziós együtthatók becslése o A lineáris regresszió ismeretlen β 0 és β 1 paramétereinek becsléséhez kizárólag az (x i, y i ) adatpárokkal (megfigyelési eredményekkel) rendelkezünk. o Jelöljük a regressziós együtthatók becsléseit rendre b 0 és b 1 szimbólumokkal, a becsült regressziófüggvény pedig legyen: A becsült regressziós együtthatók kiszámításához a legkisebb négyzetek módszerét alkalmazzuk. (17) Keressük f(b 0, b 1 ) fgv-t. Minimum! 59

Jelek feldolgozása o Regressziós együtthatók becslése (18) b 0 és b 1 meghatározása (19) A b 0 regressziós együttható jelentőségét az adja meg, hogy az X = 0 helyen a függvény éppen ezt az értéket veszi fel. Értelmezése tehát attól függ, hogy a nulla beletartozik-e azon X értékek halmazába, amelyből a regressziót számítottuk, vagy legalábbis logikailag az értelmezési tartomány részének tekinthető-e? A b 1 regressziós együttható geometriai értelemben az egyenes meredekségét meghatározó iránytangens, azaz dy /dx. A korrelációs kapcsolat elemzésekor ebből azt olvashatjuk le, hogy a tényezőváltozó egységnyi változása mekkora hatással jár együtt az eredményváltozóban. 60

Fourier sorok o Történelem o Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) matematikus es fizikus o A hő terjedését tanulmányozta o 1807-ben írt dolgozatában a hő eloszlását szinuszokkal próbálta közelíteni o A dolgozat bírálói: J. L. Lagrange (1736-1813) és P. S. Laplace (1749-1827) o A dolgozatot Lagrange kérésére visszautasították o 15 évvel később, Lagrange halála után, megjelenik a dolgozat 61

Fourier sorok Az f(t) periodikus, állandó amplitúdójú jel harmonikus összetevőkre bontható, azaz elméletileg végtelen számú, különböző amplitúdójú és frekvenciájú szinusz és koszinusz jelek összegeként írható fel. Egy periodikus jel ugyanúgy, mint a fehér fény - összetevőkre bontható, amelyek összege szolgáltatja az eredeti jelet. Ha ezt a felbontást hagyományos módon az idő függvényében, az időtartományban végezzük, akkor az eredeti jel egymáshoz képest kötött fázisviszonyú (helyzetű) szinuszos (koszinuszos) jelekből állítható össze. A legkisebb összetevő frekvenciája megegyezik az eredeti jel ismétlődési frekvenciájával, és az egyes összetevők frekvenciája ennek az alapfrekvenciának egész számú többszöröse. 62

Négyszög közelítése 63

Fourier-sorfejtés (20) Periódusidő: Alapharmónikus: Körfrekvencia: 64

Komplex alak Felhasználva az Euler-formulát, az összefüggés átírható: (21) 65

Intenzitás [db] Intenzitás [db] Amplitúdó Amplitúdó Jelek közelítése Idő T 2 Idő f Frekvencia [Hz] (22) Frekvencia [Hz] (23) 4 1 1 1 1 ( t) sin t sin 3 t sin 5 t sin 7 t.... sin 5 sin 7.... 3 5 7 ( 8 1 1 f t) sin sin 3 2 t t t t 2 2 3 5 7 2 66

Következőkben o Jelfeldolgozás o Fourier transzformáció o Frekvencia analízis o Jelek mintavételezése o Shannon-törvény o Aliasaing o Szűrés o Ideális szűrők o Valós szűrők o FIR o IIR o Szűrők fizikai megvalósítása 67

Jelfeldolgozás o Időtartományban o Az időben zajló folyamatok elemzését idősoros analízisnek (time series analysis) is nevezik, mely során az idősor karakterisztikáját próbálják leírni matematikai modellekkel. Az idősor az időben zajló folyamatokról azonos időközökben gyűjtött adatokat jelenti (mintavételezett jel), mellyel az idő függvényében lehet vizsgálni különféle folyamatokat. Az idő alapú jelfeldolgozás elején a mért jelet rektifikálják (egyenirányítás) valamint normalizálják (standardizálás). o Frekvenciatartományban o A mért jelet időtartományból frekvenciatartományba transzformálják (DFT, FFT, stb.), a jel eltérő frekvenciájú és amplitudójú periodikus jelekből álló frekvencia spektrumát vizsgálják, szűrik. 68

Jelfeldolgozás időtartományban o Az idősor mutathat: o trendet (hosszú távú tendencia), o szezonális ingadozást (rövid távú ismert periódusú ismétlődés) o ciklust (szabálytalan, ismeretlen hosszúságú hullámzás) leírhatóak determinisztikus modellekkel o Leginkább két hasznosítása van az idősorok elemzésének: o előrejelzés (predikció, extrapoláció) o adatpótlás (interpoláció) 69

Jelfeldolgozás - Szűrés o Időtartományban: o Átlagolással o Minta csökkentéssel o Frekvenciatartományban: o Aluláteresztő szűrő o Felüláteresztő szűrő o Sávzárő szűrő o Sáváteresztő szűrő o Egyéb szűrő felhasználásával o Mintacsökkentés itt is lehetséges o Ablakozási módszerek 70

Középértékek alkalmazása Középértékek meghatározása Cél azonos fajta adatok helyettesítése egy jellemző számértékkel o Követelmények: o közepes helyet foglaljanak el o számszerű adatok halmazának legyenek tipikus értékei o könnyű matematikai meghatározhatóság o értelmezhetőség o robosztusság érzéketlenség kiugró adatokra o Középértékek: o Számított átlag: számtani, harmonikus, mértani, négyzetes o Helyzeti átlag: módusz, medián 71

Számított középérték Mozgó átlag az ideális és a rekurzív átlagban az egyes tagok egyforma súllyal szerepelnek a súlyozott átlagban a súlyok nem azonosak, de egy adott átlagolás során állandóak ha az adatok időben lassan változnak, akkor az átlagolásban nem célszerű minden tagot egy forma súllyal szerepeltetni; célszerű a régebbi tagokat egyre kevésbé figyelembe venni: Abalakos átlagolás: a régi értékek elhagyása, az átlagképzést csak az utolsó meghatározott számú mérésre hajtják végre Felejtő átlagolás: a régi értékek fokozatosan (exponenciálisan) csökkenő súllyal szerepelnek az átlagolásban 72

Számított középérték (24) (25) 73

Számított középérték (26) (27) (28) 74

Ismétlés 75

Ismétlés 76

Spektrum Alapfogalmak 77

Spektrum Alapfogalmak 78

Spektrum Alapfogalmak 79

U[V] Frekvencia analízis T valós_jel 1 T valós_jel = f valós_jel = f 1 T[ms] alapharmónikus 80

Frekvencia analízis T valós_jel Nem ismert pontosan! T[ms] Analízisre kijelölt regisztrátum a periódikus jel 1 periódusa! T valós_jel =T regisztrátum =T 1 81

Frekvencia analízis N darab mintát f mv mintavételezési frekvenciával megmérünk, akkor a regisztrátum időtartama: f reg = f mv n = f 1 T reg a jel periódusideje 82

Frekvencia analízis Adott egy ideális szinuszjel, aminek frekvenciája f 1. Amennyiben mintavételezéskor egy egész periódust, vagy annak egész számú többszörösét mérünk, a spektrum 1 komponensból áll 83

Frekvencia analízis Abban az esetben, ha nem egész periódust, vagy annak egész számú többszörösét mértük, a kivágott regisztrátumot egymás mögé illesztve nem az eredeti jelet kapjuk Ennek következtében az eredeti jel hiába ideális szinusz, a spektrum nem egy összetevőt ad, hanem egy sátor jellegű spektrumképet!! 84

Frekvencia analízis Következtetés: Ha a mért jel frekvenciájának és a spektrum alapharmónikusának hányadosa nem egész szám, akkor a frekvencia spektrum nem létező oldal-harmónikusok jelennek meg. f jel f 1 Z EGÉSZ!! f jel n f mv = egész szám 85

Frekvencia analízis Shannon-törvény Lehetőségek: T reg f reg f mv f 1 Spektrum frekvencia tengelyének felbontását Shannon-féle mintavételi törvény 86

Frekvencia analízis 87

Frekvencia analízis - Aliasing A mintavételi frekvencia csökkentésével növekszik az un. Aliasing jelenség kockázata, nélküle is lehet ilyen jelenség. Ha a mintavételezési törvényt nem tartjuk be, akkor a mintavételezett jelben nem létező összetevők jelenhetnek meg. Ezek az alias jelek. 88

Frekvencia analízis - Aliasing 89

Frekvencia analízis - Aliasing 90

Frekvencia analízis - Aliasing Védekezés: antialiasing szűrővel, ami egy aluláteresztő szűrő, nagy vágási meredekséggel, a mintavételi frekvencia felére beállított felső határ frekvenciával. 91

Frekvencia analízis - Aliasing Antialiasing szűrővel Antialiasing szűrő nélkül 92

Frekvencia analízis - Probléma A jel frekvenciája nem állandó, időben változó, és/vagy a jel kváziperiodikus. 1. Ablakozó függvény alkalmazása 2. Szinkronizálni kell a mért jel frekvenciájához a spektrum alapharmonikus frekvenciát az f 1 értékét. 93

Ablakozás Ablakozás során a regisztrátum szélet előtorzítjuk a minta szélein. Ekkor a jel spektruma elfogadhatóan közelít az ideálishoz. Logikusan a jelet úgy kell torzítani, hogy az időfüggvény szélei el legyenek nyomva. 94

Ablakozó függvények 95

Ablakozó függvények Exponenciális/Poisson ablak Mint sok ablakozó függvénynek, ennek is sok fajtája létezik w i = e i N 1 2 Ahol τ a függvény időállandója Az exponenciális függvény e 2.71828 szerint cseng le, megközelítőleg 8.69 db időkonstansonként. Azaz D db értékú lecsengéshez, hogy az ablak fele alatt csengjen le, τ = N 8.69 értékű kell, hogy legyen 2 D 1 τ 96

Ablakozó függvények Exponenciális ablak Egy másik megoldás exponenciális ablakozásra: i ln f w i = e N 1 = f i N 1 Az ablakfüggvény kezdő értéke 1 és fokozatosan 0-ra csökken. Az exponenciális ablak végső értéke 0 és 1 között beállítható tranziens válaszfüggvények elemzéséhez használhatók, melyek hossza nem nagyobb, mint az ablak hossza csillapítja a jel végét, ezáltal biztosítva, hogy a jel teljesen lecsengjen a minta-blokk végére olyan jeleknél is használható, melyek exponenciálisan csökkennek, mint például az alak válasz enyhe csillapítással, amit egy külső hatás, mint például egy kalapácsütés gerjeszt 97

Ablakozó függvények Blackman ablak w i = a 2πi 0 a 1 cos N 1 + a 4πi 2 cos 0 i N 1 N 1 0 egyébként Általános értelmezésben a Blackman ablak Blackman nem túl komoly javaslatára vonatkozik (a 0 = 0,42, a 1 = 0,5, a 2 = 0,08) Ez nagyban közelíti a pontos Blackman -t a 0 = 7938/18608 0.42659 a 1 = 9240/18608 0.49656 a 2 = 1430/18608 0.076849 Karakterisztikája hangtechnikában jó, habár nem optimális További hasznos információk a Blakman ablakról: http://www.ijcset.com/docs/ijcset13-04-08-030.pdf 98

Javasolt ablakok Ablakozó függvényekből számtalan létezik, ezért a teljesség igénye nélkül került megemlítésre néhány kiemelt típus. Az alábbi táblázatban jellemző jelekhez ajánlott ablakozó függvények láthatóak A jel típusa Olyan tranziensek, melyek időtartama rövidebb, mint az ablak hossza Olyan tranziensek, melyek időtartama hosszabb, mint az ablak hossza Általános célú alkalmazások Spektrális analízis (frekvenciaválasz mérések) Két nagyon közeli frekvenciájú, de nagyon különböző amplitúdójú jel szétválasztása Két nagyon közeli frekvenciájú, de majdnem azonos amplitúdójú jel szétválasztása Pontos egy frekvenciájú amplitúdó mérés Szinusz hullám vagy szinusz hullámok kombinációja Szinusz hullám, az amplitúdó pontosság fontos Keskenysávú zavarjel (rezgés adatok) Szélessávú zavarjel (fehérzaj) Közeli térközű szinusz hullámok Gerjesztő jelek (kalapács ütés) Válasz jelek Ismeretlen tartalom Javasolt ablak függvény Négyszögletes Exponenciális, Hanning Hanning Hanning (véletlenszerű gerjesztésre), Négyszögletes (pszeudorandom gerjesztésre) Kaiser-Bessel Négyszögletes Flat top Hanning Flat top Hanning Uniform Uniform, Hamming Exponenciális Exponenciális Hanning 99

Digitális szűrő gyakorlati alkalmazása Mi a szűrés? Jelet alkotó frekvencia komponensek amplitúdóinak megváltoztatása Például: mély hangszín szabályzó a sztereo rendszereken megváltoztatja a jel alacsony frekvenciáinak amplitúdóját, a magas hangszín szabályzó a magas frekvenciás komponensek amplitúdóit. A mély és magas szabályzók beállításával kiszűrhetjük vagy kiemelhetjük a különböző frekvenciájú hang jeleket A szűrési folyamat lehetővé teszi, hogy a jel számunkra lényeges részeit kiválasszuk a nyers (zajos) jelből. Egy klasszikus lineáris szűrő a frekvencia tartományban kiemeli a lényeges részeket az eredeti jelből. Két általános szűrő alkalmazás csökkenti a zajt és csonkítja a sávszélességet. A csonkítás egy aluláteresztő szűrőt tartalmaz, és csökkenti a mintavétel frekvenciáját. 100

Digitális szűrő gyakorlati alkalmazása Előnyei az analóg szűréssel szemben: analóg szűrők tervezéséhez komoly matematikai ismeretek szükségesek, és ismerni kell a szűrők rendszerekben kifejtett hatásának bonyolult folyamatát is nagyobb pontosság érhető el velük, mint R-L-C áramkörökkel, olyan szűrők is megvalósíthatók, amelyeknek nem létezik valós, R-L-C elemekből készíthető megfelelőjük, paraméterei programozhatók, így könnyen változtathatók és az eredmény gyorsan tesztelhető. egyszerű számtani műveletekkel dolgoznak, amelyek az összeadás, kivonás, szorzás, osztás. nem érzékenyek a környezeti hatásokra, ezért a rendszeres utánhangolásokra nincs szükség. 101

Digitális szűrő gyakorlati alkalmazása További előnyök: nem tartalmaznak különleges pontosságot igénylő alkatrészeket különlegesen jó a teljesítmény/költség arányuk. tulajdonságaik nem függnek a gyártási verzióktól és tulajdonságaik nem "öregszenek". készíthetők ún. adaptív, vagyis a feladathoz automatikusan alkalmazkodó szűrők is nagyon alacsony frekvencián is használhatóak az analóg szűrőkkel ellentétben, ugyanis azok használata a nagyon alacsony frekvenciákon az induktivitások miatt már problémás a hardver sokszorozása nélkül is szűrhetünk több bemenő jelet ugyanazzal a szűrővel egyaránt tárolhatjuk a szűrt és a szűretlen jeleket a további feldolgozásra 102

Digitális szűrő gyakorlati alkalmazása A digitális szűrők hátrányai: sebességhatár a véges szóhosszból adódó problémák tervezési idő Egyszerűsített blokkvázlatuk: 103

Ideális szűrő jellemzői Az ideális szűrőt nem lehet megvalósítani! Az ideális szűrők lehetővé teszik egy megadott frekvenciasáv teljes (veszteségmentes) áteresztését, míg a nem kívánt frekvenciatartomány jeleit teljes egészében (maximálisan) elnyomják. Következő csoportosításban aszerint osztályozzuk a szűrőket, hogy egy frekvenciatartomány jeleit átengedik vagy elnyomják. Aluláteresztő szűrők: átengedik az alacsony, és levágják a magas frekvenciájú jeleket Felüláteresztő szűrők: átengedik a magas, és levágják az alacsony frekvenciájú jeleket Sáváteresztő szűrők : egy bizonyos frekvenciatartomány jeleit átengedik Sávvágó szűrők: egy bizonyos frekvencia tartomány jeleit nem engedik át 104

Ideális szűrők frekvencia válaszai Az aluláteresztő szűrő f c alatt minden frekvenciát átenged. A felüláteresztő szűrő f c felett minden frekvenciát átenged. A sáváteresztő szűrő f c1 és f c2 között minden frekvenciát átenged. A sávvágó szűrő f c1 és f c2 között minden frekvenciát csillapít (levág). 105

Valóságos szűrők Ideális esetben egy szűrőnek egységnyi az erősítése az átviteli sávban, és nulla az erősítése a vágási sávban. A valóságos szűrők nem tudják teljesíteni egy ideális szűrővel szemben támasztott követelményeket. A gyakorlatban mindig van egy véges átmeneti sáv az átviteli és vágási sáv között. Az átmeneti sávban a szűrő erősítése fokozatosan változik egytől nulláig átviteli sávtól a vágási sávig. 106

Véges impulzus válasz (FIR) szűrők Véges impulzus válasz szűrők ( FIR szűrők ) olyan digitális szűrők, amelyeknek időben véges hosszúságú impulzusválaszuk van. A véges impulzus válasz szűrők működésükkor csak az aktuális és az előző bemeneti értéket veszik figyelembe a szűrő algoritmusában. Az ilyen típusú szűrőket a legegyszerűbb megtervezni. A véges impulzus válasz szűrők más néven is ismertek, mint nem visszatérő (nem rekurzív), konvolúciós, vagy mozgó átlag (MA) szűrők. A véges impulzus válasz szűrők a szűrő-együtthatók konvolúcióját végzik a bemenő értékek egy sorozatán, és létrehozzák a kimeneti értékek (azonosan sorszámozott) sorozatát. 107

Véges impulzus válasz (FIR) szűrők Az alábbi egyenlet a véges impulzus válasz szűrő véges konvolúcióját adja meg: Ahol: x[k-i] a szűrő bemeneti jelének értéke a [k-1]-ik időpillanatban y[k] a szűrt jel értéke a [k]-ik időpillanatban b i a szűrő (FIR szűrő) i-ik együtthatója N b N b a szűrő együtthatóinak száma (fokszáma) i i 0 y k b x k i 108

FIR szűrők tulajdonságai A FIR szűrők lineáris fázismenetet valósítanak meg, mert a szűrő együtthatói szimmetrikusak. A FIR szűrők mindig stabil működésűek. A FIR szűrők a jelek szűrését a konvolúció alkalmazásával teszik lehetővé. Ezért általában a kimenő sorozat mindig tartalmaz késleltetést, amelyet a következő egyenletben láthatunk A kimenő jel késleltetése mintavételi lépésben = N 1 b 2 109

Végtelen impulzus válasz (IIR) szűrők A végtelen impulzus válasz szűrők (IIR = Infinite Impulse Response), más néven rekurzív vagy autoregresszív mozgó átlag (ARMA) szűrők az aktuális és a korábbi bementi értékek, valamint a korábbi kimeneti értékek szerint működnek. Egy IIR szűrő impulzusválasza alatt értjük az általános IIR szűrőnek egy olyan impulzusra adott válaszfüggvényét, amelyet a következő dián lévő egyenlet definiál. Elméletileg egy IIR szűrő impulzusválasz függvénye soha nem éri el a nulla értéket, ez tehát egy végtelen válaszfüggvény. 110

Végtelen impulzus válasz (IIR) szűrők A következő általános differencia-egyenlet az IIR szűrő működését írja le: ahol: Nb Na 1 y k bj x k j ai y k i a0 j 0 i 1 b j az előreható szűrőegyütthatók halmaza N b az előreható szűrőegyütthatók száma a i a visszafelé ható szűrőegyütthatók halmaza N a a visszaható szűrőegyütthatók száma 111

Butterworth-szűrők Aluláteresztő Butterworth-szűrő amplitúdó-frekvencia függvénye A Butterworth-szűrők a következő jellemzőkkel rendelkeznek: Csillapított amplitúdó függvény minden frekvencián Az amplitúdó függvény monoton csökkenő egy adott határfrekvenciától Maximális laposság, az átviteli sávban a válaszfüggvény egységnyi értékű, a vágási sávban pedig nulla. Fél-teljesítmény frekvencia vagy 3 db-s csökkenési frekvencia összefüggés-ben van a vágási frekvenciával. A Butterworth-szűrők előnyei, a simaságuk és monoton csökkenő frekvencia függvényük. 112

Csebisev-szűrők Aluláteresztő Csebisev-szűrő amplitúdó-frekvencia függvénye A Csebisev szűrőknek a következő jellemzőik vannak: Minimális csúcshiba az átviteli sávban Egyenletes ingadozású amplitúdó függvény az átviteli sávban Monoton csökkenő amplitúdó függvény a vágási sávban Élesebb frekvencia levágású, mint a Butterworthszűrők A Butterworth-szűrőhöz hasonlítva egy Csebisev-szűrő élesebb frekvencia levágás valósít meg az átviteli és vágási sáv között, alacsonyabb fokú szűrővel. A Csebisev-szűrő éles átmenete kisebb abszolút hibát, gyorsabb végrehajtást eredményez, mint egy Butterworth-szűrőé. 113

Elliptikus szűrők Aluláteresztő Elliptikusszűrő amplitúdófrekvencia függvénye Az elliptikus szűrők jellemzői: Minimális csúcshiba a vágási és átviteli sávban Egyenletes ingadozású amplitúdó függvény a vágási és átviteli sávban Összehasonlítva a Butterworth vagy Csebisevszűrőkkel, az Elliptikus szűrők adják a legélesebb átmenetet az átviteli és vágási sáv között, amely megmagyarázza, hogy miért annyira elterjedtek. 114

Bessel szűrők Egy aluláteresztő Besselszűrő amplitúdó-frekvencia függvénye A Bessel-szűrők a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: Maximálisan lapos amplitúdó- és fázisfüggvény Közel lineáris fázisfüggvény az átviteli sávban A Bessel-szűrőket arra használhatjuk, hogy az összes IIR szűrőre jellemző nemlineáris fázistorzítást lecsökkentsük a segítségével. A nagy rendszámú IIR szűrőknek határozott, meredek lefutású nemlineáris fázistorzításuk van, különösen a szűrők átmeneti tartományában. Előállíthatjuk a lineáris fázisfüggvényt FIR szűrőkkel is. 115

Szűrők fizikai megvalósítása RLC szűrőáramkörök Aluláteresztő szűrők Felüláteresztő szűrők 116

Szűrők fizikai megvalósítása RLC szűrőáramkörök Sáváteresztő szűrők (Párhuzamos rezgőkör előtét ellenálással) Sávzáró szűrők (Soros rezgőkör előtétellenállással) 117

Köszönöm a figyelmet! TALÁLKOZUNK JÖVŐHÉTEN 118