11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket alkalmazva: a 3 = 15 és a 8 = 30. ELTE 013. szeptember (matematika tanárszak) Használjuk fel a számtani sorozat tagjai közötti összefüggést: a n = a 1 + (n 1) d és az első n tag összegére vonatkozó összefüggést: A második egyenletből vonjuk ki az elsőt: a 3 = a 1 + d = 15 a 8 = a 1 + 7d = 30 5d = 15 d = 3 S n = a 1+a n Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a 1 -t. a 1 + 3 = 15 a 1 = 9. Az összegképletbe behelyettesítünk: 9 + 9 + (n 1) 3 S n = n 3n + 15 6 = n 58 = 3n + 15n 0 = 3n + 15n 58 0 = n + 5n 176 A másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével megkapjuk az n lehetséges értékeit: n 1, = 5 ± 5 + 70 = 5 ± 7 n 1 = 11 és n = 16. Ez nem lehet megoldás, mert n N +. n. Tehát a sorozat első 11 tagjának összege 6. Ellenőrzés: S 11 = 9 + 9 + (11 1) 3 11 = 11 = 6. 1

. Mennyi az alábbi összeg értéke? ( 1 11 3 ) + ( 1 1 3 ) + ( 1 13 3 ) +.. + ( 1 0 3 ) (A)3 1 3 0 1 (B) 310 1 3 0 (C) 3 ( 1 3 0 1) (D) 3 ( 1 3 10 1 3 0) (E) 319 3 BME 015. december 1. (1A) Vegyük észre, hogy ez egy mértani sorozat egymást követő 10 tagjának összege, ahol a 1 = ( 1 3 ) 11 q = 1 3 és n = 10. Mértani sorozat első n tagjának összege: S n = a 1 q n 1 q 1. Behelyettesítve: Tehát a jó válasz a (B). 10 S 10 = ( 1 11 3 ) (1 3 ) 1 ( 1 1 = 3 ) ( 1 11 3 ) 1 1 3 1 = 3 1 1 3 11 3 = 3 1 3 10 = 3 1 = 3 310 (1 3 1 ) = 3(1 310 ) 3 1 = 310 1 3 0 3 3. Három pozitív egész szám csökkenő számtani sorozatot alkot. Ha a középső számot 3-mal csökkentjük, akkor 0,5 hányadosú csökkenő mértani sorozatot kapunk. Mennyi az eredeti három szám közül a középső? (A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 0 (E) Első megoldás: Érdemes a számtani sorozat három egymást követő tagját felírni úgy, hogy: BME 013. május 10. (16B) a 1 = a d a = a a 3 = a + d, ahol d < 0 Ekkor b 1 = a d b = a 3 b 3 = a + d, mértani sorozat, ahol q=0,5. A mértani sorozat definíciója alapján: Rendezzük át az egyenleteket: I. a 3 a d = 0,5; II. a+d a 3 = 0,5.

I. a 3 a d = 0,5 II. a 6 = d d = 6 a a + d = 0,5 a + d = 3 a 3 d = 6 a-t behelyettesítjük a II. egyenletbe: a + (6 a) = 3 Tehát a = 15 és d = 9. A számtani sorozat tagjai: ; 15; 6. a + 1 a = 3 a = 15 a = 15 A mértani sorozat tagjai: ; 1; 6; ahol q=0,5. Második megoldás: A mértani sorozat tagjait írjuk fel: b 1 = a b = 0,5a b 3 = 0,5a. Ekkor a számtani sorozat tagjai: a 1 = a a = 0,5a + 3 a 3 = 0,5a. A számtani sorozat tulajdonságát alkalmazzuk: a n 1+a n+1 = a n. a + 0,5a 0,5a + 3 = a + 6 = a + 0,5a 6 = 0,5a a = Tehát a számtani sorozat második tagja: a = 0,5a + 3 = 15 Tehát a jó válasz a (C).. Kovács úr a fia 6. születésnapján 00 000 Ft-ot helyezett el a bankba évi 5,5%-os kamatra. Ezt követően a fiú minden születésnapján újabb 30 000 Ft-ot tett az összeghez. Mennyi pénz lesz a számlájukon a fiú 18. születésnapján? (A számlavezetési költségektől eltekintünk.) 3 ELTE 015.szeptember, (matematika BSc) Jelölje a 00 000 Ft induló összeget A, a 30 000 Ft-ot évenkénti befizetett összeget pedig B. A fiú 1 év múlva lesz 18 éves. Felírjuk évenként a bankban lévő pénzösszeget: 1 év után: A 1,055 + B év után: (A 1,055 + B) 1,055 + B = A 1,055 + B 1,055 + B 3 év után: (A 1,055 + B 1,055 + B) 1,055 + B = A 1,055 3 + B 1,055 + B 1,055 + B év után:a 1,055 + B 1,055 3 + B 1,055 + B 1,055 + B. Ezek alapján 1 év után a felvehető pénz a bankban: A 1,055 1 + B 1,055 11 + B 1,055 10 + B 1,055 9 + + B 1,055 + B 1,055 + B

Ez egy 13 tagú összeg, ahol a B-t tartalmazó tagok egy mértani sorozat összegét alkotják, a 1 = B q = 1,055 és n = 1. Tehát az összeg: A 1,055 1 + B(1,055 11 + 1,055 10 + + 1,055 + 1) = A 1,055 1 + B 1,0551 1 1,055 1 Visszahelyettesítve a konkrét értékeket a következő összeget kapjuk: 00 000 1,055 1 + 30 000 1,0551 1 1,055 1 871809, Tehát Kovács úr fia a 18. születésnapján 871810 Ft-ot vehet fel.

II. Ismételjünk! 1. Sorozat fogalma https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/16.pdf 1.oldal. Nevezetes sorozatok (számtani, mértani) https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/16.pdf 1-.oldal 3. Kamatszámítás, törlesztőrészletek kiszámítása https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/16.pdf 6.oldal III. Gyakorló feladatok 1. Számítsuk ki a következő sorozatok hatodik és huszonegyedik tagját! a) a n = n 3 15n + 3 b) b n = 3n +. Hányadik tagja a sorozatnak a 30? a) a n = n 11n + 18 b) b n = 10n+0 3n 6 3. Ha a n = n n!, akkor a n+1 a n =? (A) 1 (B) (C) n + 1 (D) n n + 1 (E) ezek egyike sem BME 011. május 6. (16A). Egy sorozatot a következő képlettel adunk meg: a n = log ( ) n, ahol n tetszőleges pozitív egész szám. a) Előfordul-e a sorozat tagjai között az 1, a 16 és a 100? Ha igen, a sorozat hányadik tagja? b) Határozza meg a sorozat első n tagjának összegét! 5. Egy számtani sorozat első tagja 10, a differenciája 5. Mennyi a sorozat 33. tagja, és mennyi az első 11 tag összege? 6. Egy egész számokból álló számtani sorozat első öt tagjának összege 65, szorzata 19168. Melyik ez a sorozat? 7. Mekkora a 016-nál kisebb, hárommal osztva kettő maradékot adó pozitív egész számok összege? 8. Egy útépítő vállalkozás egy munka elkezdésekor az első napon 0 méternyi utat aszfaltoz le. A rákövetkező napon 30 métert, az azutánin 0 métert és így tovább: a munkások létszámát naponta növelve minden következő munkanapon 10 méterrel többet, mint az azt megelőző napon. 5

c) Hány méter utat aszfaltoznak le a 11-edik munkanapon? d) Az összes aszfaltozandó út hossza ebben a munkában 7,1 km. Hányadik munkanapon készülnek el vele? e) Hány méter utat aszfaltoznak le az utolsó munkanapon? f) A 1-edik napon kétszer annyian dolgoztak, mint az első napon. Igaz-e az a feltételezés, hogy a naponta elkészült út hossza egyenesen arányos a munkások létszámával? Középszintű érettségi vizsga 006. október 5. 9. Egy számtani sorozat első húsz tagjának az összege 5, az első negyven tag összege pedig 90. Határozza meg a sorozat első tagját és differenciáját! Hány 100-nál kisebb tagja van a sorozatnak? ELTE 007. szeptember (földtudományi szak BSc) 10. Egy mértani sorozat első tagja 3, a hányadosa. Mennyi a sorozat ötödik és tizedik tagja? Határozza meg az első tizenhárom tag összegét! 11. Melyik az a szám, amelyet 30-hoz, 50-hez és a 80-hoz hozzáadva három olyan számot kapunk, amelyek mértani sorozatot alkotnak? ELTE 010. szeptember (földtudományi szak BSc) 1. Egy mértani sorozat tagjaira teljesülnek a következő összefüggések. Számítsuk ki a sorozat első tagját és a hányadosát! a 1 + a + a 3 = 57 és a 1 a 3 = 15 13. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 91. A hatodik, hetedik és a nyolcadik tag összege 91. Hány tizenhárom-jegyű tagja van a sorozatnak? Emelt szintű érettségi vizsga 010. május. 1. Egy mértani sorozat első eleme 3, n -edik eleme 13. Az első n elem reciprok értékeinek összege 8. Számítsa ki a mértani sorozat első n tagjának összegét! ELTE 007. Matematika szintfelmérő 15. Egy számtani sorozat első három tagjának összege 6. Ha az első taghoz 5-öt, a másodikhoz -t, a harmadikhoz 1-et adunk, akkor egy mértani sorozat három szomszédos tagját kapjuk. Melyik ez a mértani sorozat? 16. Egy populációban a baktériumok száma mértani sorozat szerint növekszik. 1 órakor 1000, 3 órakor 000 baktérium van a populációban. Mennyi lesz a baktériumok száma 7 órakor? 7 (A) 1000 10 (B) 1000 7 (C) 6000 (D) 1000 k 6 1 (E) 1000 k 1 1 1 k=1 k=1 BME 011. december. (16A) 17. Egy új autó ára 500 000 Ft. Az elhasználódás miatt évenként 15% os értékcsökkenést figyelembe véve, mennyit ér az autó 5 év múlva? Hány év múlva csökken az autó értéke a negyedére? 6

18. Kiss Béla örökölt 100 000 000 Ft-ot, amit január elején helyez el a bankban, ahol évi 5% os kamatot fizetnek. Úgy tervezi, hogy 0 év alatt fogja felhasználni az örökségét, mégpedig úgy, hogy minden év végén azonos összeget fog kivenni a bankból. Mekkora összeget vehet fel évente, ha 0 év múlva nem marad pénze a bankban? 7

IV. Megoldások A megoldások során alkalmazzuk a sorozatokra vonatkozó összefüggéseket: a sorozat tagjai közötti kapcsolat az első n tag összege számtani sorozat a n = a 1 + (n 1) d a n = a n 1 + a n+1 S n = a 1 + a n n = = a 1 + (n 1) d n mértani sorozat a n = a 1 q n 1 (a n ) = a n 1 a n+1 n a 1, ha q = 1 S n = { a 1 qn 1, q 1 ha q 1 1. Számítsuk ki a következő sorozatok hatodik és huszonegyedik tagját! a) a n = n 3 15n + 3 b) b n = 3n + c) a 6 = 6 3 15 6 + 3 = 19; a 1 = 1 3 15 1 + 3 = 899 d) b 6 = 3 6 + = ; b 1 = 3 1 + = 67. Hányadik tagja a sorozatnak a 30? a) a n = n 11n + 18 b) b n = 10n+0 3n 6 a) a n = n 11n + 18 = 30 n 11n 1 = 0 n 1, = 11 ± 11 + 8 n 1 = 1 = 11 ± 13 ; Tehát az a n sorozat 1. tagja a 30. Ellenőrzés: a 1 = 1 11 1 + 18 = 30 b) b n = 10n+0 3n 6 = 30 10n + 0 = 30 (3n 6) 10n + 0 = 90n 780 800 = 80n n = 10 n = 1, ez nem megoldás, mert n csak pozitív természetes szám lehet. 8

Tehát az b n sorozat 10. tagja a 30. Ellenőrzés: b 10 = 100+0 = 10 = 30. 30 6 3. Ha a n = n n!, akkor a n+1 a n =? (A) 1 (B) (C) n + 1 (D) n n + 1 (E) ezek egyike sem BME 011. május 6. (16A) a n = n n! n+1 a n+1 = (n + 1)! a n+1 a n = n+1 (n + 1)! n n! Egyszerűsítsünk n és n!-al: Tehát a jó válasz a (C). n+1 (n + 1)! n = n+1 (n + 1)! n! n = n (n + 1) n! n! n n! n (n + 1) n! n! n = (n + 1). Egy sorozatot a következő képlettel adunk meg: a n = log ( ) n, ahol n tetszőleges pozitív egész szám. a) Előfordul-e a sorozat tagjai között az 1, a 16 és a 100? Ha igen, a sorozat hányadik tagja? b) Határozza meg a sorozat első n tagjának az összegét! a) Alakítsuk át az a n sorozatot: a n = log ( ) n = log () n = n a logaritmus definíciója miatt. a n = n a n = n = 1 n = a n = n = 16 n = 6 a n = n = 100 n = 00 Tehát a sorozat. tagja 1, a 6. tagja 16 és a 00. tagja a 100. b) Írjuk fel az a n = n sorozat első pár tagját: ; ; 3 ; sorozat, melynek az első tagja és a differenciája is 1. 1 látszik, hogy ez egy számtani 9

a n = n a 1 = 1 d = 1 Az első n tag összegét a számtani sorozat összegképletébe behelyettesítve kapjuk: S n = 1 + n n = n + 1 n (n + 1) n = 8 8 5. Egy számtani sorozat első tagja 10, a differenciája 5. Mennyi a sorozat 33. tagja, és mennyi az első 11 tag összege? a 33 = a 1 + 3 d = 10 + 3 ( 5 ) = 10 0 = 30 S 11 = a 1 + a 11 11 = 10 + 10 + 10 ( 5 ) 11 = 0 150 11 = 7865 6. Egy egész számokból álló számtani sorozat első öt tagjának összege 65, szorzata 19168. Melyik ez a sorozat? Ha egy számtani sorozat páratlan számú szomszédos (vagy a középsőre szimmetrikus sorszámú) tagjainak összege adott, akkor érdemes a középső tagot egy betűvel jelölni: a 3 = a. A feladat feltétele szerint a egész szám, ezért d is egész szám. a 1 = a d; a = a d; a 3 = a; a = a + d; a 5 = a + d Írjuk fel az első 5 tag összegét és szorzatát: I. (a d) + (a d) + a + (a + d) + (a + d) = 65 II. (a d) (a d) a (a + d) (a + d) = 19168 Az I.-ből: a = 13. Ezt helyettesítsük be a másodikba: (13 d) (13 d) 13 (13 + d) (13 + d) = 19168 Vegyük észre a nevezetes azonosságokat: (13 d) (13 + d) 13 (13 d) (13 + d) = 19168 (169 d ) 13 (169 d ) = 19168 169 169d 676d + d = 9936 d 85d + 1865 = 0 Egy másodfokúra visszavezethető, negyedfokú egyenletet kaptunk. Vezessünk be egy új ismeretlent: x d. Ekkor az egyenletünk: x 85x + 1865 = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével kapjuk, hogy x 1 = 5; x = 186,5. Ez utóbbi nem megoldás, mivel nem egész szám négyzete. x 1 = 5 d = 5, ahonnan d 1 = 5; d = 5 10

Tehát a keresett sorozatok: ha d 1 = 5, akkor a 1 = 3, ekkor a sorozat: 3; 8; 13; 18; 3; ha d = 5, akkor a 1 = 3, ekkor a sorozat: 3; 18; 13; 8; 3. Mindkét sorozat eleget tesz a feltételeknek. 7. Mekkora a 016-nál kisebb, hárommal osztva kettő maradékot adó pozitív egész számok összege? A legkisebb, a feltételeknek megfelelő szám a, a legnagyobb a 015. Ez egy olyan számtani sorozat (; 5; 8; ), melynek az első tagja a, a differenciája 3 és az n. tagja 015. Tehát: a 1 = d = 3 a n = 015 Az első n tag összege: S n = a 1+a n n. Az n értékét kiszámíthatjuk az n. tagból: Tehát: S n = +015 67 = 67771. a n = a 1 + (n 1)d = 015 = + 3(n 1) n = 67 A 016-nál kisebb, hárommal osztva kettő maradékot adó pozitív egész számok összege: 67771. 8. Egy útépítő vállalkozás egy munka elkezdésekor az első napon 0 méternyi utat aszfaltoz le. A rákövetkező napon 30 métert, az azutánin 0 métert és így tovább: a munkások létszámát naponta növelve minden következő munkanapon 10 méterrel többet, mint az azt megelőző napon. a) Hány méter utat aszfaltoznak le a 11-edik munkanapon? b) Az összes aszfaltozandó út hossza ebben a munkában 7,1 km. Hányadik munkanapon készülnek el vele? c) Hány méter utat aszfaltoznak le az utolsó munkanapon? d) A 1-edik napon kétszer annyian dolgoztak, mint az első napon. Igaz-e az a feltételezés, hogy a naponta elkészült út hossza egyenesen arányos a munkások létszámával? a) Egy számtani sorozatról van szó, ahol a 1 = 0; d = 10 a 11 = a 1 + 10d = 0 + 100 = 30 30 méter utat aszfaltoznak le a 11-edik munkanapon. b) Keressük azt az n értéket, ahol S n 7100; (7,1 km = 7100 m) Középszintű érettségi vizsga 006. október 5. Ez egy szigorúan monoton növekvő sorozat, ezért elég megvizsgálni, hogy hol éri el a sorozat összege a 7100-et. S n = a 1 + (n 1)d n = 7100; n N + 11

0 + 10(n 1) n = 7100 ( + n 1) n = 10 n + 3n 10 = 0 A másodfokú kifejezésnek két zérushelye van, amik közül csak az egyik pozitív n 1,88. Tehát a. napon fejezik be a munkát. c) Az első 1 nap alatt 670 métert aszfaltoznak le, mert S 1 = a 1+0d 1 = 0+00 1 = 670; 7100 670 = 380, tehát az utolsó napra 380 méter maradt. d) Egyenes arányosság esetén 0 métert kellene aszfaltozni a 1. napon, de a 1 = 0 + 00 = 0 Tehát nem teljesül az egyenes arányosság feltétele. 9. Egy számtani sorozat első húsz tagjának az összege 5, az első negyven tag összege pedig 90. Határozza meg a sorozat első tagját és differenciáját! Hány 100-nál kisebb tagja van a sorozatnak? ELTE 007.szeptember, (földtudományi szak BSc) S 0 = a 1 + 19d 0 = 5 a 1 + 19d =,5 S 0 = a 1 + 39d 0 = 90 a 1 + 39d = 1,5 Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt: innen a sorozat differenciája: d = 0,5. 0d = 10, A differencia értéket visszahelyettesítve megkapjuk az első tagot: a 1 =,5. Vizsgáljuk meg hány tag kisebb 100-nál. a n < 100 a 1 + (n 1)d =,5 + 0,5(n 1) < 100 0,5n 3 < 100 n < 06, a 06. tag lenne pontosan 100, tehát 05 tagja van a sorozatnak, amely kisebb mint 100. 10. Egy mértani sorozat első tagja 3, a hányadosa. Mennyi a sorozat ötödik és tizedik tagja? Határozza meg az első tizenhárom tag összegét! a 1 = 3 q = a n = a 1 q n 1 S n = a 1 q n 1 q 1 a 5 = a 1 q = 3 ( ) = 8 a 10 = a 1 q 9 = 3 ( ) 9 = 1536 (q 1) 1

Tehát az első tizenhárom tag összege: 8193. q 13 1 S 13 = a 1 q 1 = 3 ( )13 1 = 8193 1 11. Melyik az a szám, amelyet 30-hoz, 50-hez és a 80-hoz hozzáadva három olyan számot kapunk, amelyek mértani sorozatot alkotnak? Legyen: a 1 = 30 + x; a = 50 + x; a 3 = 80 + x A mértani sorozat tulajdonságát alkalmazzuk: Tehát a mértani sorozat: 0; 60; 90. Ellenőrzés: 60 0 = 3 ; (50 + x) = (30 + x)(80 + x) 500 + 100x + x = 00 + 110x + x 100 = 10x x = 10. 90 60 = 3 ; q = 3. ELTE 010.szeptember, (földtudományi szak BSc) 1. Egy mértani sorozat tagjaira teljesülnek a következő összefüggések. Számítsuk ki a sorozat első tagját és a hányadosát! a 1 + a + a 3 = 57 és a 1 a 3 = 15 I. a 1 + a 1 q + a 1 q = 57 II. a 1 a 1 q = 15 a 1 (1 + q + q ) = 57 a 1 (1 q ) = 15 Fejezzük ki az elsőből az a 1 -t és helyettesítsük be a másodikba: a 1 = 57 1 + q + q 1 + q + q 0 57 1 + q + q (1 q ) = 15 57 (1 q ) = 15 (1 + q + q ) 57 57q = 15 + 15q + 15q 0 = 7q + 15q 0 = q + 5q 1 A másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével határozzuk meg a gyököket: q 1, = 5 ± 5 + 13 8 = 5 ± 37 8 = q 1 = 3 ; q = 7 8 Ha q 1 = ; akkor a 3 1 = 57 = 57 1+ 19 = 7. 3 +( 3 ) 9 13

Ha q 1 = 7 8 ; akkor a 1 = 57 = 57 1 7 57 = 6. 8 +( 7 8 ) 6 13. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 91. A hatodik, hetedik és a nyolcadik tag összege 91. Hány tizenhárom-jegyű tagja van a sorozatnak? Emelt szintű érettségi vizsga 010. május. I. a 1 + a + a 3 = 91 II. a 6 + a 7 + a 8 = 91 a 1 + a 1 q + a 1 q = 91 a 1 q 5 + a 1 q 6 + a 1 q 7 = 91 a 1 (1 + q + q ) = 91 a 1 q 5 (1 + q + q ) = 91 Látszik, hogy a második egyenlet bal oldala az első egyenlet bal oldalának a q 5 szerese. Tehát: q 5 = 3 q = Az első egyenletbe behelyettesítve: a 1 (1 + + ) = 7a 1 = 91 a 1 = 13. A mértani sorozat első tagja és hányadosa: a 1 = 13 és q =. Ellenőrzés: a sorozat tagjai: 13; 6; 5; 10; 08; 16; 83; 166 13 + 6 + 5 = 91; 16 + 83 + 166 = 91. Hány tizenhárom-jegyű tagja van a sorozatnak? Osszuk el az egyenlőtlenséget 13-mal: a n = 13 n 1 10 1 13 n 1 < 10 13 10 1 13 n 1 < 1013 13. 10-es alapú logaritmust véve: ( A tízes alapú logaritmus függvény szigorúan monoton nő) Alkalmazzuk a logaritmus azonosságait: lg 101 13 lg n 1 < lg 1013 13. lg10 1 lg13 (n 1)lg < lg10 13 lg13 1 lg13 (n 1) lg < 13 lg13 1 lg13 13 lg13 n 1 < lg lg 1 lg13 13 lg13 + 1 n < + 1 lg lg 37,16 n < 0,8 Tehát a sorozat 37. tagja még 1-jegyű, a 1. tagja meg már 1-jegyű. Ezek szerint 3db 13-jegyű tagja van a sorozatnak:a 38. 39. és 0. tag. 1

a 38 1,79 10 1 ; a 39 3,57 10 1 ; a 0 7,15 10 1 ; Ellenőrzés: a 37 8,93 10 11 ; a 1 1,3 10 13 1. Egy mértani sorozat első tagja 3, n -edik tagja 13. Az első n tag reciprok értékeinek összege 8. Számítsa ki a mértani sorozat első n tagjának összegét! A feltételek szerint: ELTE 007. Matematika szintfelmérő a 1 = 3; a n = 3q n 1 = 13 és 1 a 1 + 1 a + 1 a 3 + + 1 a n = 8 Hozzunk közös nevezőre és szorozzunk be 3-mal: 1 3 + 1 3q + 1 3q + + 1 3q n 1 = 8 q n 1 + q n + + q + 1 q n 1 =. A számláló háromszorosa pontosan az első n tag összege: (S n = 3 + 3q + + 3q n 1 ) S n = 3(q n 1 + q n + q + 1) = 3 q n 1, mivel q n 1 = 13 3 Tehát az első n tag összege 31. S n = 3 13 3 = 31. 15. Egy számtani sorozat első három tagjának összege 6. Ha az első taghoz 5-öt, a másodikhoz -t, a harmadikhoz 1-et adunk, akkor egy mértani sorozat három szomszédos tagját kapjuk. Melyik ez a mértani sorozat? A számtani sorozat feltételéből : a =, így a tagok: d; ; + d A mértani sorozat: 7 d; ; 3 + d A mértani sorozat tulajdonságát felhasználva: = (7 d)(3 + d) 16 = d + d + 1 d d 5 = 0. Az egyenlet megoldásai: d 1 = 5 d = 1 Ha d 1 = 5 ; akkor a számtani sorozat: 3; ; 7; a mértani sorozat tagjai: ; ; 8 q 1 =. Ha d = 1; akkor a számtani sorozat: 3; ; 1; 15

a mértani sorozat tagjai: 8; ; q = 1. Mindkét sorozat kielégíti a feltételeket. 16. Egy populációban a baktériumok száma mértani sorozat szerint növekszik. 1 órakor 1000, 3 órakor 000 baktérium van a populációban. Mennyi lesz a baktériumok száma 7 órakor? 7 (A) 1000 10 (B) 1000 7 (C) 6000 (D) 1000 k 6 1 1 (E) 1000 k 1 k=1 1 k=1 BME 011. december. (16A) A mértani sorozat tagjai legyenek az óránkénti baktériumok száma: a 1 = 1000; a 3 = 000 a 7 =? a 3 = a 1 q ; 000 = 1000q q =, amiből: q 1 = ; (q = ) ( q = -nek nincs értelme ebben a feladatban) Ha q 1 =, akkor a 7 = 1000 6 = 6000. Tehát a jó válasz a (C). 17. Egy új autó ára 500000 Ft. Az elhasználódás miatt évenként 15% os értékcsökkenést figyelembe véve, mennyit ér az autó 5 év múlva? Hány év múlva csökken az autó értéke a negyedére? 1 év után az autó értéke: 500000 (1 15 ) = 500000 0,85 (Ft) 100 év után: 500000 0,85 5 év után: 500000 0,85 5 = 1 996673,9. Az autó értéke öt év múlva: 1 996 67 Ft. Hány év múlva csökken az autó értéke a negyedére? Legyen n az évek száma. Az n év múlva az autó értéke: 500000 0,85 n Ekkor: 500000 0,85 n = 500000 500000-rel lehet egyszerűsíteni. (Az évek száma nem függ az autó értékétől) Vegyük mindkét oldal logaritmusát: 0,85 n = 1 16

lg0,85 n = lg 1 nlg0,85 = lg 1 n = lg 1 lg0,85 8,53 Tehát 9 év múlva lesz az autó értéke a negyede az eredeti árnak. 18. Kiss Béla örökölt 100 000 000 Ft-ot, amit január elején helyez el a bankban, ahol évi 5% os kamatot fizetnek. Úgy tervezi, hogy 0 év alatt fogja felhasználni az örökségét, mégpedig úgy, hogy minden év végén azonos összeget fog kivenni a bankból. Mekkora összeget vehet fel évente, ha 0 év múlva nem marad pénze a bankban? Jelölje A az örökölt összeget, és B az évenkénti kivett összeget. Felírjuk évenként a bankban lévő pénzösszeget: 1 év után: A 1,05 B év után: (A 1,05 B) 1,05 B = A 1,05 B 1,05 B 3 év után: (A 1,05 B 1,05 B) 1,05 B = A 1,05 3 B 1,05 B 1,05 B év után: A 1,05 B 1,05 3 B 1,05 B 1,05 B 0 év után: A 1,05 0 B 1,05 19 B 1,05 18 B 1,05 B Ekkor a pénze elfogy: A 1,05 0 B 1,05 19 B 1,05 18 B 1,05 B = 0 Átrendezve az egyenletet: A 1,05 0 = B(1,05 19 + 1,05 18 + + 1,05 + 1) A zárójelen belül egy 0 tagú mértani sorozat összege van, ahol a 1 = 1 q = 1,05. A mértani sorozat összegképletét alkalmazva kapjuk: A 1,05 0 = B 1,050 1 1,05 1 B = A 1,05 0 1,05 1 1,05 0 1 = 100 000000 1,05 1 1,050 1,05 0 1 = 8058,7. Tehát évente 8 059 Ft-ot vehet fel a bankból. 17