5. TÖBBTÁMASZÚ ÖSZVÉRGERENDÁK RUGALMAS ANALÍZISE 5.1. BEVEZETÉS Öszvérgerendák rugalmas analízise általánosabban alkalmazható, mint a képlékeny analízis. Nyomaték átrendeződés bekövetkezhet, a közbenső támaszoknál a beton megrepedhet, az acél megfolyhat. A nyomaték átrendeződés a közbenső támaszoknál a keresztmetszet osztályától függ. A 3. vagy 4. keresztmetszeti osztályok esetében a rugalmas analízis használható, a betonlemezt az effektív szélesség alkalmazásával vizsgálható. A beton kúszása a rugalmassági modulus módosításával vehető figyelembe. A közbenső támasznál a nyomott acélszelvényt a vasbeton lemez megtámasztja, így a kifordulás a keresztmetszet alaki változásával következik be. Többtámaszú öszvérgerenda hajlító nyomatékait a teherbírási határállapotnál (ULS) meghatározhatjuk a rugalmas analízis segítségével, vagy bizonyos feltételek teljesülése esetén a merev-képlékeny analízis is használható. Rugalmas analízis használható a használhatósági határállapot (SLS) vizsgálatánál. Öszvér épületszerkezetek vizsgálatánál a hőmérséklethatásokat a teherbírási határállapot esetében nem szükséges figyelembe venni. Hasonlóan a zsugorodási hatás is elhanyagolható, kivéve a 4. keresztmetszeti osztályhoz tartozó keresztmetszetek esetében. Az Eurocode 4 nem tartalmazza a fél-merev kapcsolatok elvét, ezért az acélszelvény vagy egyszerű megtámasztású, vagy folytonos kialakítású, merev kapcsolattal. Általában a rugalmas analízis megkívánja, hogy ismerjük a szomszédos támaszközök relatív merevségét. Mivel a merevség a keresztmetszet inercianyomatékától függ, szükséges ismerni a betonlemez effektív szélességét, és a beton rugalmassági modulusát viszonyítva az acéléhoz (modulus arány). 5.2. ÁLTALÁNOS ALAPELVEK 5.2.1 Betonöv effektív szélessége Az effektív szélességet használjuk a hajlítás nyírás hatására kialakuló állapotának vizsgálatára (shear lag). Az effektív szélesség függ a zérus hajlító nyomaték pontok közötti távolságtól. Különböző értékeket kapunk a pozitív és a negatív nyomatékok tartományaiban (4.10 ábra). Globális analízis esetén azonban a shear lag nem befolyásolja jelentősen az eredményeket, ezért állandó effektív szélességet tételezhetünk fel. Mivel a pozitív nyomatéki tartomány jelentősen hosszabb, ezért a közbenső támaszköz figyelembe vételével határozzuk meg az effektív szélességet. Konzolok esetében a negatív nyomatékból származó értéket használjuk.
A rugalmas keresztmetszeti jellemzők meghatározásánál a beton feltételezhetően repedésmentes a pozitív nyomatéki tartományban. Ha profil-acéllemezt alkalmazunk, nem vesszük figyelembe a profilba jutó beton felületet. 5.2.2 Modulus arány Öszvérgerenda rugalmas keresztmetszeti jellemzőit meghatározhatjuk az acélszelvény jellemzői, és a betonlemez jellemzőinek a modulus aránnyal osztott adataival számolva. A kuszás számításba vétele módosított modulus aránnyal végezhető el. 5.2.3 Teher elrendezések, terhelési esetek Épületek konzol nélküli többtámaszú gerendáit egyenletesen megoszló teherrel terhelve, csak a következő esetekben kell vizsgálni: 1. Váltakozó támaszközök leterhelése. 2. Két váltakozó támaszközök leterhelése. Mindkét esetben az állandó teherre, minden támaszközre a γ G, parciális biztonsági tényező számításba vétele szükséges. 5.3. HAJLÍTÓ NYOMATÉK ELOSZLÁSA Többtámaszú öszvérgerendák negatív nyomatéki tartományában bekövetkező beton berepedések hatására kialakuló merevség csökkenés erőteljesebb hatású, mint ahogy az a többtámaszú betongerendáknál bekövetkezik. Ez azért következhet be, mivel a betongerendákban a támaszközben is bereped a beton. Ennek az a következménye, hogy a többtámaszú öszvérgerendák esetében használhatósági határállapotban (SLS) a rugalmas analízis szerint a közbenső támaszoknál a betonberepedése 15-30%-val alacsonyabb hajlító nyomatékot eredményez, mint a repedésmentes beton figyelembevételével. A teherbírási határállapotnál (ULS) a nyomatéki eloszlást az acél folyása is befolyásolja. A nyomatéki átrendeződést nem lehet pontosan meghatározni, mivel a negatív nyomatékok tartományában a betonlemez hosszirányú húzófeszültségeit jelentősen befolyásolják a betonozási hézagok, a hőmérséklet és zsugorodás hatásai, valamint az öszvér elemek jellemzői, az önsúly és a hasznos teher. A ténylegesen állandó keresztmetszetű öszvérgerenda hajlítási merevségében jelentős különbségek alakulnak ki a beton berepedések következtében. Az Eurocode 4 a teherbírási határállapot esetére a rugalmas globális analízis használata esetén két módszert engedélyez: 1. Berepedt keresztmetszet módszer. 2. Repedésmentes keresztmetszet módszer. Mindkettő használható a megtámasztási nyomatékok átrendezésénél, az átrendeződés mértéke függ az acélszelvény horpadási érzékenységétől.
5.3.1 Berepedt keresztmetszet módszer Feltételezzük, hogy a negatív nyomatékok tartományában a közbenső támaszoktól berepeda keresztmetszet, ez a tartomány a támaszköz 15%. Egy ilyen fix hosszúságú berepedt hossz lehetővé teszi az egyszerű számítást, nincs szükség iterációra. A berepedt keresztmetszet inerciája meghatározható az acélszelvény, valamint az effektív szélességre jutó betonlemez vasalásának számításba vételével. (5.1a ábra) A "15%-on túli hossz"-ra repedés mentes keresztmetszet számítandó. Ez a számítás a támaszközben levő keresztmetszetet veszi alapul, a vasalást viszont nem vesszük számításba. (5.1b ábra) 5.1 ábra Effektív keresztmetszetek Az 5.1 ábrában: At internal support - Közbenső megtámasztásnál; At midspan - Támaszközben. 5.2 ábra Berepedés miatt kialakuló nyomaték átrendeződés Az 5.2 ábrában: Cracked length adjacent to support - Közbenső megtámasztásnál a berepedt hossz ( a támaszköz %-ban); Redistribution - Átrendeződés.
15%-nál hosszabb berepedt betonlemez szakasz hatását az 5.2 ábra alapján tanulmányozták. Azt találták, hogy a 15%-os feltételezett berepedt hossz esetén a hajlító nyomatékok 5%-ra közelítik meg a megfelelő értékeket, ha a támaszköz megrepedt része 8%-tól 25%-ig változik, akkor az egyszerűsített feltételek érvényesek. 5.3.2 Repedésmentes keresztmetszet módszer Repedésmentes keresztmetszeti adatokat használunk, ezért az analízis nem függ a közbenső keresztmetszet vasalásától. Valójában állandó keresztmetszetű többtámaszú gerenda esetében az analízishez előzetesen nem szükséges a keresztmetszet számításba vétele. 5.3.3 A közbenső támasznyomatékok átrendeződése rugalmas analízis esetén Méretezési szabályzatok általában megengedik a támaszoknál levő negatív nyomatékok redukálását a támaszköz nyomatékok átrendeződését, a konzolok kivételével. Az átrendeződés mértéke függ az analízis módszerétől. (5.1 táblázat) 5.1 táblázat: Nyomaték átrendeződés határai, a kezdeti hajlító nyomatékhoz viszonyítva (%) Keresztm. osztályok (negatív nyomaték) 1 2 3 4 "Repedésmentes" rugalmas analízis 40 30 20 10 "Berepedt" rugalmas analízis 25 15 10 0 Az 5.1 táblázat azt is mutatja, hogy az átrendeződés függ a támasznál levő keresztmetszet osztályától. Vizsgáljuk először a 4 osztályú keresztmetszetet, amelynél a lemezhorpadás megakadályozhatja az ellenállás kialakulását. Ha az átrendeződés kisebb, mint amit tervező feltételez, az acélszelvény gerince, vagy nyomott öve a támaszoknál idő előtt horpadhat. Biztonság érdekében a támaszközben az átrendeződés maximális értéke nem lehet nagyobb, mint a minimum átrendeződés a gyakorlatban. Átrendeződés nem megengedett, ha "berepedt" analízist használunk. 3 vagy 4 keresztmetszet osztály esetén az öszvérgerenda támaszközének 10%-a berepedt, a közbenső támasznál a berepedés következtében a nyomaték redukciója meghaladja a 8%-ot. (5.2 ábra) Megfelelő feltételezés, hogy a berepedt és a repedésmentes analízis eredményeit összehasonlítva, a 3 és 4 osztályú szelvényeknél 10% nyomaték átrendeződés jön létre a repedésmentes támasznyomatékhoz viszonyítva. (5.1 táblázat) 2 keresztmetszeti osztály esetén a teljes képlékeny nyomatéki ellenállás kialakulhat, 30% nyomaték átrendeződés lehetséges. Az 1 és 2 osztályok között 15% különbség adódik.
Az 1 osztály esetén a képlékeny nyomatéki ellenállás mellett a keresztmetszet megfelelő elfordulás képességgel rendelkezik. Az acélszerkezetek esetében alkalmazott lemezarányok az öszvérszerkezeteknél módosítva alkalmazható, mivel a nyomaték átrendeződés nagyobb. 5.4. GERENDA KERESZTMETSZETEK OSZTÁLYOZÁSA Az 1 és 2 keresztmetszeti osztályok esetén a nyomatéki ellenállást négyszög feszültség testek feltételezésével határozzuk meg. A 3 osztály esetén a keresztmetszet egyik része megfolyik a lemezhorpadás előtt, a 4 osztály esetén előbb horpad a lemez. A negatív nyomaték helyén levő 3 osztályhoz tartozó keresztmetszetnél használható a képlékeny feszültség eloszlás, úgy, hogy a gerinc egy részét nem vesszük figyelembe. (5.3 ábra) A számított nyomatéki ellenállás túlságosan érzékeny a betonlemez vasalása vonatkozásában. 5.3 ábra Effektív gerinc használata 3 osztály esetén negatív nyomatéki tartományban Az 5.3 ábrában: P.N.A. Plastic neutral axis - Képlékeny semleges tengely; Provided that the P.N.A. is in the web - Feltéve, hogy a képlékeny semleges tengely a gerincben van; Neglected - Elhanyagolva; Stress blocks - Feszültség testek; Tension - Húzás; Compression - Nyomás.
5.5. RUGALMAS NYOMATÉKI ELLENÁLLÁS A teherbírási határállapotban (ULS) a globális analízishez biztosítani kell a keresztmetszet megfelelő ellenállását. A 3 és 4 osztályoknál a feszültségeket a rugalmas analízis segítségével határozzuk meg. A keresztmetszeti jellemzők meghatározásánál a nyírási vetemedés (shear lag) hatását az effektív keresztmetszet módszerével vesszük figyelembe. A vizsgálatok során feltételezzük, hogy a keresztmetszetben az alakváltozások eloszlása lineáris, így elhanyagoljuk a betonlemez felületének megcsúszását. A beton és acél anyagok - feltételezhetően - rugalmas, lineáris viselkedésűek. Ez a feltételezés lehetővé teszi, hogy a pozitív nyomatékok tartományában a vizsgálatokat helyettesítő, ekvivalens acél keresztmetszet segítségével végezzük el. Az ekvivalens acél lemez szélessége az α e, modulus aránytól függ: α e = E a /E 1 c ahol E a az acél rugalmassági modulusa. E 1 c a beton rugalmassági modulusa. Az 5.4a ábra a transzformálást mutatja acél profil-lemez esetén. A profil-lemez magassága D p, a betonlemez nyomott, a profil-lemezbe jutó beton területek hatását elhanyagoljuk. 5.4 ábra 3 osztályú keresztmetszet rugalmas ellenállása a pozitív nyomatéknál Az 5.4 ábrában: Equivalent steel area - Ekvivalens acél terület; Transformed section - Átalakított keresztmetszet; Elastic stress distribution - Rugalmas feszültség eloszlás;
A rugalmas analízis végrehajtása minden keresztmetszeti osztály használhatósági határállapotának elemzésével egyezik. A kúszás figyelembevétele a modulus arány módosításával hajtható végre. Negatív nyomatékoknál feltételezhető, hogy a betonlemez megreped. Az effektív keresztmetszet ezért a negatív nyomatéknál az acélszelvény és az effektív szélességre jutó betonlemez vasalás. (5.5a ábra) 5.5 ábra 3 osztályú keresztmetszet rugalmas ellenállása a negatív nyomatéknál Az 5.5 ábrában: Effective section - Effektív keresztmetszet; Elastic neutral axis - Rugalmas semleges tengely; A keresztmetszet végső nyomatéki ellenállása elérhető, ha a keresztmetszeti komponensek egyikében kialakul a szilárdsági korlát. Az Eurocode 4 szerint a teherbírási határállapot kialakul: 1. A szerkezeti acél húzott, vagy nyomott f y /γ a 2. Betonlemez vasalása húzott f sk /γ s 3. Beton nyomott 0,85f ck /γ c Ezeket a határokat pozitív nyomatékra az 5.4b negatív nyomatékra az 5.5b ábra mutatja, feltételezve,hogy a semleges tengely az acélszelvénybe kerül. A 4 osztályú keresztmetszeteknél a horpadás hatását a hatékony keresztmetszet elve szerint az Eurocode 3 szerint hajtjuk végre. Amennyiben alátámasztás nélküli szerkezeti kialakítást választunk, a teher hatására az acélszelvényben kialakuló feszültségeket hozzáadjuk az öszvérszerkezetben kialakuló feszültségekhez. Nagy függőleges nyíróerő és nagy hajlító nyomaték esetén az interakciójukat számításba kall venni.
5.6. KIFORDULÁS Öszvérgerendáknál az acélszelvény felső övét kifordulás ellen a betonlemez megtámasztja, azonban többtámaszú gerendáknál a közbenső megtámasztásoknál az alsó öv nyomott. (5.6a ábra) Az 5.6b ábra a nyomott öv hosszát mutatja különböző terhelési esetekre. 5.6 ábra Hajlító nyomatéki ábrák Az 5.6 ábrában: Both spans loaded - Mindkét támaszköz leterhelve; Dead load only on one span - Egyik támaszköz csak önsúllyal terhelve. Oldalirányú megtámasztás nélkül kifordulás nem következik be, mivel feltételezzük, hogy a keresztmetszetben kialakulhat megfelelő elfordulás a keresztmetszet torzulása nélkül (5.7a ábra). A negatív nyomatékok tartományában a felső öv megtámasztott, az alsó övben pedig torzulási instabilitás alakul ki. (5.7b ábra). Ilyen hatás vizsgálatát U keret feltételezésével hajtjuk végre. (5.8 ábra) A megtámasztás hatékonysága függ a nyíró kapcsolat merevségétől is.
5.7 ábra Kifordulás Az 5.7 ábrában: Unrestrained lateral-torsional buckling - Oldalirányú megtámasztás nélküli kifordulás; Distortional buckling - Torzítási instabilitás; 5.8 ábra Fordított U keret Hengerelt acélszelvények esetében a fordított U keret hatás elegendő lehet az alsó nyomott öv megtámasztására. A feltételeket az Eurocode 4 tartalmazza, melyek korlátozásokat tartalmaznak az acélszelvény magasságára, a korlátozás szigorú az acélszelvény tervezési feszültségének a növekedésével. A nyomott öv megtámasztásának hatása a keresztmetszet torzítási merevségétől, az U keret más alkotó részeitől függhet. A helyi képlékenyedés ellenére a gerenda végeken a képlékenyedést nem vesszük figyelembe a gerenda rugalmas stabilitásának vizsgálatánál, mivel a negatív nyomaték csökkenti a kihajlási hosszt. (5.9 ábra)
5.9 ábra Öszvérgerenda torzulása a negatív nyomatékoknál Az 5.9 ábrában: Point of contaflexure - Inflexiós pont; Bending moment diagram - Hajlító nyomatéki ábra; Support column - Megtámasztó oszlop; Side view - Oldalnézet; Displacement v along beam - A gerenda v eltolódása; Plan view of bottom flange - Az alsó öv eltolódása. 5.6.1 Oldalirányú megtámasztás Az előző módszer megtámasztások közötti kifordulást vizsgál. Az 5.10 ábra két megoldást mutat az alsó nyomott öv megtámasztására. Szükséges meggyőződni, hogy a merevítés megfelelően merev, valamint, a kihúzó feszültség elegendő a nyíró kapcsolatokban. Általában a megtámasztások elemeiben a nyomott övben ébredő erő kis százalékát szokás számításba venni.
5.10 ábra Helyi oldalirányú megtámasztások Az 5.10 ábrában: Strut tied to slab - Rúd kapcsolódik a lemezhez;stiff plates - Merev lemezek. 5.7. ÖSSZEFOGLALÁS Ha rugalmas globális analízist alkalmazunk, a közbenső támaszoknál a nyomatékok átrendeződhetnek megengedve a beton repedését, az acél folyását. A közbenső támaszok nyomatékai átrendeződése függ az acélszelvény osztályától, és a negatív nyomaték hajlítási merevségétől. A repedés mentes keresztmetszet jellemzői használhatók a hajlítási merevség meghatározásához. Alternatívaként használható egy meghatározott hosszúság a közbenső támasznál a berepedt keresztmetszet vizsgálatához. A 3 és 4 osztályú keresztmetszet végső nyomatéki ellenállása meghatározható az effektív keresztmetszet rugalmas analízissel, feltételezve, hogy a feszültség elérte a szilárdsági korlátot.
Az effektív keresztmetszet meghatározásánál a nyírási vetemedést (shear lag), a beton berepedését a negatív nyomatéknál figyelembe vettük, a 4 osztályú keresztmetszetekben az acélszelvény horpadását is. A kuszás hatásának figyelembe vétele megfelelő modulus arány segítségével történhet. A betonlemez oldalirányban megtámasztja az acélszelvény felső övét. Csavarási megtámasztást fordított U keret-hatás adhat. A negatív nyomatéknál az acélszelvény horpadása okozhat merevség csökkenést. Helyi oldalirányú megtámasztást biztosíthatunk ferde kitámasztó rúd, gerinc merevítő segítségével. 5.8. IRODALOM 1. Johnson R.P., "Composite Structures of Steel and Concrete: Volume 1: Beams, Columns, Frames and Applications in Building", Granada 1975. 2. Johnson R.P. and Buckby R.J., "Composite Structures of Steel and Concrete: Volume 2: Bridges", Second edition, Collins, 1986. 3. Brett P.R., Nethercot D.A. and Owens G.W., "Continuous Construction in Steel for Roofs and Composite Floors", Structural Engineer, Volume 65A, October 1987, pp. 355-368. 4. Lawson R.M. and Rackham J.W., "Design of Haunched Composite Beams in Buildings", Steel Construction Institute, Ascot, England 1989.