A modern fizika elemei

. A modern fizika elemei Szilágyi András Budapest, 2002-2010

2

Tartalomjegyzék Előszó.................................................. 5 1. A speciális relativitáselmélet elemei 7 1.1. Az inerciarendszer fogalma és a Galilei-féle relativitás elve.................. 7 1.1.1. A tér és az idő klasszikus megközelítése........................ 7 1.1.2. Az inerciarendszer.................................... 8 1.1.3. A Galilei-féle relativitási elv............................... 9 1.2. A speciális relativitáselmélet axiómái és néhány következményei............... 11 1.2.1. A speciális relativitáselmélet két axiómája....................... 11 1.2.2. A négydimenziós téridő................................. 12 1.2.3. A Lorentz transzformáció................................ 15 1.2.4. Hosszkontrakció, idődilatáció.............................. 16 1.2.5. Ikerparadoxon, sebességösszeadás, tömegnövekedés.................. 18 1.2.6. A tömeg-energia ekvivalencia.............................. 19 1.3. Tompkins úr kalandjai a fizikával................................ 19 A városi sebességkorlátozás................................... 19 2. A magfizika elemei 23 2.1. Magmodellek........................................... 23 2.1.1. Korai felfogások, az atomisták és a mazsolás kalács elmélet............. 23 2.1.2. A Rutherford-féle modell................................ 24 2.1.3. A Bohr-modell és a kvantummechanikai kép...................... 25 2.2. A magok stabilitása....................................... 25 2.2.1. Az atomot alkotó részek, izotópok........................... 25 2.2.2. A magerők........................................ 26 2.2.3. A magok stabilitása, a kötési energia.......................... 27 2.2.4. A fissziós és a fúziós energia............................... 28 2.3. A radioaktív bomlás....................................... 29 2.3.1. Az α-, β- és γ-bomlás.................................. 29 2.3.2. Az aktivitás és a felezési idő............................... 31 2.3.3. A radioaktív sugárzás veszélye és haszna........................ 32 2.3.4. Dozimetriai alapfogalmak................................ 34 2.3.5. Hétköznapi nukleáris dózisaink és ezek kockázata................... 35 2.4. A hasadási és a fúziós energia gyakorlati felhasználása.................... 37 2.4.1. A hasadási energia és a láncreakció elve........................ 37 2.4.2. Az atomreaktorok működésének elve.......................... 38 2.4.3. A fúziós energia: hidrogénbomba, fúziós reaktor................... 40 2.4.4. Nukleáris biztonság................................... 41 2.5. Tompkins úr kalandjai a fizikával................................ 44 A fafaragó............................................. 44 3

4 TARTALOMJEGYZÉK 3. A kvantummechanika elemei 49 3.1. Klasszikus módon nem magyarázható jelenségek....................... 49 3.1.1. A fény hullámtermészete, a klasszikus kép....................... 49 3.1.2. A fényelektromos jelenség és a fotonhipotézis..................... 49 3.1.3. A Compton effektus................................... 51 3.1.4. A fény kettős természete................................. 51 3.1.5. Az elektron interferencia, Jönsson kísérlet....................... 51 3.1.6. A vonalas színkép.................................... 52 3.1.7. Részecske vagy hullám?................................. 52 3.2. A kvantummechanika előzményei................................ 53 3.2.1. A fotonhipotézis..................................... 53 3.2.2. A de-broglie-féle hipotézis................................ 53 3.2.3. A Bohr-féle atommodell................................. 54 3.3. A kvantummechanika elemei................................... 56 3.3.1. A hullámfüggvény.................................... 56 3.3.2. A hullámfüggvény és az impulzus............................ 58 3.3.3. A Heisenberg-féle határozatlansági reláció....................... 59 3.3.4. A mérés és a határozatlanság.............................. 59 3.3.5. Milyen a Hold amikor nem nézem?........................... 60 3.3.6. A részecske hullám kettősség, sajátállapotok..................... 61 3.3.7. A kvantummechanikai szétfolyás............................ 62 3.3.8. A kétréses kísérlet magyarázata............................. 62 3.3.9. Becsapható-e egy elektron?............................... 64 3.3.10. Alagúteffektus...................................... 65 3.3.11. Schrödinger macskája, a tudat és a hullámfüggvény.................. 66 3.4. Tompkins úr kalandjai a fizikával................................ 67 Kvantumbiliárd.......................................... 67 Kvantumőserdő.......................................... 69 A. A fontosabb fizikai állandók 75 A.1. Az SI alapértékei és alapegységei................................ 75 A.2. Az SI prefixumai......................................... 75 A.3. A fontosabb fizikai állandók................................... 76 B. Ajánlott irodalom 77

Előszó E kis jegyzet nem akar többet nyújtani, mint amit címében ígér. Elemeket mutat be a modern fizikából alapfokon. Károlyházy Frigyes szavaival élve: modern fizikáról száz oldalon szólni olyan feladat, mint egy induló vonat ablakából szerelmet vallani. Azért megpróbáljuk... Modernnek tekintjük a fizikának a századforduló után megszületett új ágait, a relativitáselméletet és a kvantummechanikát. A fizika ugyan folyamatosan fejlődik, és a modern elméleteket már újabbak váltják fel, de ezek megértéséhez nagyon komoly matematikai eszközkészletre van szükség, amely hiányzó matematikai tudás a jegyzet témaválasztását és terjedelmét leginkább befolyásoló tényező. Gondosan ügyeltünk arra, hogy a gimnáziumi matematika anyagánál mélyebb ismeretek ne kelljenek a megértéséhez, ez természetesen erősen behatárolta az érinthető területeket, valamint sok eredményt kénytelenek vagyunk bizonyítás nélkül közölni. Azonban fair play -t ígérünk. Sehol nem fogjuk azt mondani: Nyilvánvaló, hogy..., ahol a szóban forgó dolog bonyolult. Viszont nem ígérhetjük, hogy minden már az első olvasásra világos lesz. Célunk a matematikai problémákban való elmélyülés helyett a szemléletformálás, egy modern fizikai gondolkodásmód kialakítása. Ezt szolgálják a fejezetek végén megjelenő George Gamowtól származó rövid történetek (Tompkins úr kalandjai a fizikával, Gondolat, 1976), mely bemutatja, hogyan nézne ki világunk ha a modern fizika által megjósolt hatások hétköznapjainkban megjelennének. Reményeink szerint a jegyzet tanulmányozása át fogja formálni a figyelmes Olvasó fizikai világképét, és újabb kérdések, problémák felvetésére inspirál, hiszen ahogyan Eden Phillpotts írta: A világmindenség csodás dolgokkal van tele, amelyek türelmesen várják, hogy elménk hozzájuk élesedjék. 5

6 1. FEJEZET. A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET ELEMEI

1. fejezet A speciális relativitáselmélet elemei 1.1. Az inerciarendszer fogalma és a Galilei-féle relativitás elve 1.1.1. A tér és az idő klasszikus megközelítése A klasszikus mechanikában a tér és az idő naiv fogalmait használjuk. Próbáljuk meg ezeket még nem relativisztikus keretek között némileg pontosítani. A tér A tér felépítéséhez először definiálunk egy hosszegységet, legyen ez a mérőrúd hossza. Ezek alapján két test (pont) távolságának meghatározásához pusztán le kell számlálni, hogy hányszor tudom a mérőrudat lefektetni a két test közötti távolságon. 1 A hosszegység meghatározásával lehetőség nyílik koordinátarendszer bevezetésére. A koordinátarendszer matematikai konstrukció, mellyel a tér minden egyes pontjához egyértelműen három számot (koordinátát) rendelünk. A figyelmes Olvasó rögtön két kérdést vethet fel. Mi az a tér, aminek a pontjaihoz számokat rendelünk, valamint miért három számmal határozzuk meg egy pont térbeli helyzetét. Az első kérdésre meg sem kíséreljük a válaszadást, a jegyzet megértéséhez elég az az intuitív kép, mely hétköznapi életünk során kialakult bennünk a minket körülvevő világról, azon belül a tárgyak viszonylagos helyzetéről, és így magáról a térről. 1 Természetesen ez nem kell, hogy egész szám legyen, amikor már nem fér el a rúd, akkor annak törtrészeit (fele, negyede,... ) kell használnunk, egészen a kívánt mérési pontosság eléréséig. Azonban a tárgyalásunkban feltehetjük, hogy teljesen pontosan tudunk mérni. A második kérdésre miért három számmal jellemezhető egy térbeli pont helyzete a válasz már egyértelmű. A minket körülvevő világ klasszikusan három dimenziós. Ez azt jelenti, hogy maximálisan ennyi független (tér)irányt tudok meghatározni. Általánosan a tér annyi dimenziós, ahány független irány meghatározható benne. Kitüntetett koordinátarendszer a jól ismert Descartes-féle (vagy derékszögű) koordinátarendszer, melynek tengelyei páronként merőlegesek egymásra (de a rendszer térbeli orientációja, azaz a tengelyek iránya tetszőleges). A tengelyeken a hosszegységet a már bevezetett mérőrúddal vesszük fel. Megjegyezzük, hogy végtelen sokféle módon definiálhatunk koordinátarendszert. Egy speciális példa a Föld pontjainak koordinátákkal való megadása, melyre a hosszúsági és szélességi köröket használjuk. Ez azonban nem a legjobb választás, mert a sarkoknál nem egyértelmű a megfeleltetés! (Mivel a földfelület az egyenetlenségektől eltekintve két dimenziós, így két koordináta elegendő.) Míg a koordinátarendszer matematikai konstrukció, addig a most bevezetendő vonatkoztatási rendszer már fizikai. Vonatkoztatási rendszernek tekinthetünk bármely olyan objektumot melyhez a lejátszódó jelenségeket viszonyítjuk. Így vonatkoztatási rendszer lehet a Föld, egy állócsillag, a híres einsteini vonat, az állomás, vagy egy űrrakéta. A későbbiekben mindig koordináta rendszerhez kötött vonatkoztatási rendszereket fogunk használni. Ez azt jelenti, hogy kiválasztunk egy vonatkoztatási rendszert (például a Földet), majd pedig egy hozzá rögzített koordináta rendszert (például a hosszúsági és szélességi köröket) definiálunk. A hozzá rögzített kitétel természetesen lényeges, hiszen furcsa lenne, ha az előző példánál maradva 7

8 1. FEJEZET. A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET ELEMEI a Föld keringése során elhagyná koordinátahálózatát. Ha a térben tetszőlegesen felveszünk egy vonatkoztatási rendszerhez kötött koordinátarendszert, akkor a tér bármely pontjához egyértelműen hozzá lehet rendelni egy számhármast, így ezentúl a tér egy adott pontjára annak koordinátáival tudunk hivatkozni. Már nincs akadálya két pont távolsága bevezetésének sem, pusztán meg kell nézni, hogy a mérőrudunkat hányszor tudjuk lerakni közöttük, vagy pedig a koordinátákból matematikai módszerekkel számolhatunk. A későbbiekben a vontakoztatási rendszerhez kötött koordinátarendszer kifejezés helyett csak vonatkoztatási rendszert fogunk használni amelybe beleértjük a hozzá rögzített (tetszőleges) koordinátarendszert is. Az idő Vizsgálódásunk további részében a klasszikus idő fogalmát tekintjük át. Az időre ahogy a térrel is tettük nem adunk definíciót, megelégszünk a mindannyiunkban kialakult (viszonylag homogén) tapasztalati képpel. Ebben az esetben is először az egységet definiáljuk. Legyen ez egy tetszőleges, de teljesen egyenletesen járó, ideális órán a tik-tak, azaz a két ütés közötti időtartam. Így a tér bármelyik pontjában az időmérés egy oda helyezett órával lehetséges. (Ha szükséges, a tér minden egyes pontjába tehető egy-egy ugyanolyan óra.) A térbeli távolsághoz hasonlóan bevezethetjük az időkülönbséget, mely egy adott pontban lejátszódó események közötti tik-tak -ok számát jelenti. Most már rendelkezésünkre áll a koordinátarendszer, a vonatkoztatási rendszer, két pont távolsága, az idő és egy adott pontban lejátszódó események időkülönbsége, azonban figyeljük meg, hogy a klasszikus tárgyalásmódban a tér és az idő egymástól teljesen független! A nagy Isaac Newton a Principiában a térről és az időről az alábbiakat írta: Az abszolút tér saját természetétől eredően, minden külső vonatkozás nélkül mindenkor hasonló és mozdíthatatlan marad. Az abszolút valóságos matematikai idő önmagától, saját természetéből eredően, minden külső vonatkozás nélkül egyenletesen folyik. A további fejezetekben azonban belátjuk, hogy a tér és az idő nem különül el, valamint, hogy a newtoni tér és idő felfogás a modern fizika szempontjából nem lesz megfelelő. 1.1.2. Az inerciarendszer Idézzük emlékezetünkbe Newton I. törvényét: Minden test megőrzi egyenes vonalú egyenletes mozgását, vagy nyugalmi állapotát, amíg valamely külső hatás ennek megváltoztatására nem kényszeríti. Az olyan vonatkoztatási rendszereket, melyekben Newton I. törvénye teljesül, inerciarendszereknek nevezzük. Természetes módon adódik a kérdés, hogy létez(nek)-e a valóságban inerciarendszer(ek), és ha igen, melyek azok? A válasz kiábrándító, inerciarendszerek nincsenek! Vannak azonban olyan vonatkoztatási rendszerek, amelyek jó közelítéssel inerciarendszernek tekinthetők. Vegyük példaként a Föld felszínét, mint vonatkoztatási rendszert, és egy elgurított labdát. A labda a súrlódás és a közegellenállás miatt nem végezhet egyenletes mozgást, mozgása folyamatosan lassuló. Ezeken az erőkön kívül hat még rá a gravitáció, amely a gömbölyű Föld felszínén tartja, így mozgása nem lehet egyenes vonalú. Ha a közegellenállást és az egyéb disszipatív erőket amennyire csak lehet lecsökkentjük, a test kezd egyre inkább az I. törvény kívánalmainak megfelelően viselkedni. Egyre kisebb lassulássa lesz, valamint kis utakon a Föld görbületéből adódó hiba is kicsi lesz. Megérzésünk szerint ideális határesetként minden disszipatív hatást kikapcsolva a test meg fogja őrízni egyenes vonalú egyenletes mozgását, azaz inerciarendszerhez jutunk. A leírtak szerint úgy tűnik, hogy a Föld felszíne, ha kikapcsoljuk a disszipatív hatásokat, nem túl nagy utak mellett jó közelítéssel inerciarendszernek tekinthető. Azonban nem tökéletes inerciarendszer. Ennek több oka van. Először is, a Föld nem sík, így a felületén végbemenő mozgás nem lehet egyenes vonalú. A további okok megértéséhez gondoljunk egy kanyarodó busz esetére. Benne az utasok a kanyar külső íve felé irányuló tehetetlenségi erőt érzékelnek. A Nap körül keringő Föld egy folyamatosan kanyarodó busz, amely még naponta meg is fordul tengelye körül, így a rajta lévő tárgyakra természetesen folyamatosan tehetetlenségi erők hatnak. Emiatt ha az összes súrlódó (disszipatív) hatást kikapcsolnánk, akkor sem lenne a magára hagyott test mozgása egyenes vonalú és egyenletes, a tehetetlenségi erők eltérítenék. Az Olvasó javasolhatná, hogy hagyjuk el a Földet és távolabb keressünk valódi inerciarendszert. A Naprendszer forgó Galaxisunk egyik karjának végén fekszik, így tehetetlenségi erők ugyanígy fellépnek ha nem is olyan nagyok, mint a Föld forgása következtében. Ezeken kívül természetesen mindenhol fellép a tömegvonzás is. Általánosságban csak olyan térrész lehet inerciarendszer, ami teljesen erőmentes, azaz az ott lévő testekre erő nem hat. Mivel az erők jó részének hatótávolsága végtelen (gravitációs, elektromágneses,... ), így a Világegyetemben nincs erőmentes terület, azaz nincsen inerciarendszer. A legtöbb esetben a Föld felszínének egy pontjához rögzített vonatkoztatási rendszert tekinthetjük inerciarendszernek. Ha pontosabbak szeretnénk lenni, koordinátarendszerünk tengelyeit állócsillagok irányához rögzíthetjük ezt használják a

1.1. AZ INERCIARENDSZER FOGALMA ÉS A GALILEI-FÉLE RELATIVITÁS ELVE 9 csillagászok, ami már sokkal jobb választás, azonban az állócsillagok sincsenek teljes nyugalomban, így bár a kísérletekhez kitűnően alkalmasak, elvileg ezek sem inerciarendszerek. Inerciarendszer tehát nem létezik hiszen egy testet nem lehet úgy izolálni, hogy ne érje semmi külső hatás. A külső hatások egyre gondosabb kikapcsolásával az inerciális állapot azonban tetszőlegesen megközelíthető. A következőkben azonban, inerciarendszernek fogjuk nevezni azokat a vonatkoztatási rendszereket is, amelyek kellően pontosan megközelítik az inerciarendszert. Kitekintésként a klasszikus mechanikára vizsgáljuk meg néhány egyszerű példa kapcsán a tehetetlenségi erők megjelenését, amely egyben az inerciarendszertől való eltérés mértéke. Első hétköznapi példánk legyen az autóbusz. Ha az autóbusz megközelítőleg egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, majd pedig hirtelen fékez, akkor felsőtestünk a menetirány szerint előrelendül, lábunkat a súrlódás egy helyben tartja. Próbáljuk ezt megmagyarázni Newton első törvényével! Amikor a busz fékez, az utas továbbra is a korábbi sebességgel szeretne továbbhaladni, meg akarja őrizni mozgásállapotát. Lábát azonban a súrlódás a busz padlójához rögzíti, így kettős helyzet alakul ki: felsőteste továbbra is a kezdeti sebességét őrzi, lába azonban együtt lassul a busszal. Ezt az utasra ható erőt nevezzük tehetetlenségi erőnek. Még érdekesebb a helyzet, ha a lassuló buszban görkorcsolyát viselünk. Amikor a busz lassul a korcsolya miatt nem lévén számottevő súrlódás őrizni akarjuk eredeti sebességünket, így előre haladunk a buszban. 2 Az egyenes vonalú egyenletes (e.v.e.) mozgás követelményét nem csak gyorsítással-lassítással, hanem kanyarodással is meg lehet sérteni. Továbbra is a busz példájánál maradva, a kanyarodó de állandó sebességű buszban is fellép tehetetlenségi erő. Ennek oka szintén nyilvánvaló! Miközben meg akarom őrizni e.v.e. mozgásomat, a kanyarodó busz kifordul alólam, de lábam a helyén marad, ez a fellépő erő is tehetetlenségi erő. 2 A fizikai lényeget jobban megragadná az a megfogalmazás, miszerint mi folyamatosan a kezdeti sebességgel haladunk, azonban a busz lassulása miatt a szélvédő jön belénk, nem mi abba. Az e.v.e. mozgást végző rendszerben tehetetlenségi erők fellépése nem érzékelhető, azaz a benne magára hagyott test megőrzi e.v.e. mozgását illetve nyugalmi állapotát. Tehét egy e.v.e. mozgást végző rendszer inerciarendszernek tűnik. 1.1.3. A Galilei-féle relativitási elv Az előző fejezetben két inerciarendszert is találtunk (persze mindkettő csak majdneminerciarendszer ). A Galilei-féle relativitási elv amit a közhiedelemmel ellentétben nem Galileo Galilei fedezett fel az inarciarendszerek között teremt kapcsolatot. Az elv megértéséhez vegyük azt az esetet, melyben az állomáson áll két vonat, és az egyik (lassan, minimális gyorsítással) elindul. 3 Ekkor a vonatban ülő megfigyelő nem tudja eldönteni, hogy az ő vonata megy hátra, vagy a másik előre. Viszont ha a másik ablakon néz ki, ahol az állomás épületét látja, már tud dönteni. Ennek az az oka, hogy az állomás épületét kitüntetettként nyugvónak fogadjuk el, ami ahhoz képest mozog, azt tekintjük mozgásban lévőnek. Próbáljunk valamilyen módon különbséget tenni az állomás és az e.v.e. mozgást végző vonat között! Ha elkezdünk mechanikai kísérleteket végezni az állomásépületben, valamint a vonaton, az eredmények azonosak lesznek, ilyen módon nem lehet a két rendszer között különbséget tenni. Nézzük erre Galiei eredeti példáját: Zárkózzál be egy barátod társaságában egy hajó fedélzete alatt egy meglehetősen nagy terembe. Vigyél oda szúnyogokat, lepkéket és egyéb röpködő állatokat, gondoskodjál egy apró halakkal telt vizesedényről is, azonkívül akassz fel egy kis vödröt, melyből a víz egy alá helyezett szűknyakú edénybe csöpög. Most figyeld meg gondosan, hogy a repülő állatok ugyanolyan sebességgel röpködnek a szobádban, míg a hajó áll. Meglátod azt is, hogy a halak egyformán úszkálnak minden irányba, a lehulló vízcseppek mind a vödör alatt álló edénybe esnek. Ha barátod felé hajítasz egy tárgyat, mind az egyik, mind a másik irányba egyforma erővel kell hajítanod, feltéve, hogy azonos távolságokról van szó. (... ) Jól vigyázz, hogy mindezt gondosan megfigyeld. (... ) Most mozogjon a hajó tetszés szerinti sebességgel: azt fogod tapasztalni, hogy ha a mozgás egyenletes 3 Vegyük észre, ahogy az e.v.e. mozgás bármelyik kritériuma megszűnik, azonnal el lehet dönteni, hogy a mozgó vagy álló rendszerben vagyok-e.

10 1. FEJEZET. A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET ELEMEI 1.1. ábra. Standard elrendezés és nem ide-oda ingadozó az említett jelenségekben semmiféle változás nem következik be. Azoknak egyikéből sem tudsz arra következtetni, hogy mozoge a hajó, vagy sem. Galilei: Mozog-e a Föld, Budapest, Új Könyvtár, 1947 Ezek alapján a Galilei-féle relativitási elv az alábbiak szerint mondható ki: Egymáshoz képest e.v.e. mozgásokat végző inerciarendszerek között mechanikai 4 kísérletekkel nem lehet különbséget tenni. Ha tehát egy rendszer inerciarendszer, akkor minden hozzá képest e.v.e. mozgást végző rendszer is az. A Galilei-transzformáció képletei Az egyszerű tárgyalásmód kedvéért tegyük fel, hogy a két vontakoztatási rendszerünk az ábrázolt módon mozog, egymáshoz képest V sebességgel a közös x illetve x -tengelyük mentén. Ez az úgynevezett standard elrendezés. Az előbbi rendszert jelöljük K-val, míg az utóbbit K -vel. 5 4 Az Olvasó észreveheti, hogy a Galilei-féle relativitási elv csak a fizika egy ágával, a mechanikával foglalkozik, erre mond ki relativitást az inerciarendszrek között. A későbbiekben tárgyalandó Einstein-féle relativitási elv (a speciális relativitás elméletének egyik posztulátuma) már azt állítja, hogy az inerciarendszerek minden fizikai folyamat tehát nem csak a mechnaika szempontjából egyenértékűek. 5 Természetesen nem mondhatjuk, hogy az egyik rendszer nyugszik, hiszen nincs kitüntetett vonatkoztatási rendszer, azt azonban használhatjuk, hogy a K nyugszik K -höz képest! A klasszikus elképzelés szerint az áttérést a K és K rendszer között az alábbi nyilvánvaló képletek szolgáltatják: x = x Vt y = y z = z t = t (1.1) ahol a t = t azt a természetesnek vélt feltételezést jelenti, hogy az idő mindkét rendszerben azonosan telik. Példaként tekintsük azt az elrendezést, melyben van egy állomás (K renszer origója) és onnan egy vonat (a vele mozgó K rendszer origója) t = t = 0 sec időpillanatban v = 3 m s -mal elindul. Megfigyelőnk utazzon a vonaton. A 0 időpillanatra a transzformáció képletei szerint x = x = 0, ahogyan várjuk, hiszen ekkor a vonat az állomáson van, így a két rendszer origója egybeesik. Valamennyi idő elteltével, például t = t = 5 secban a x = 0 továbbra is, hiszen a megfigyelő a vonaton van, mely K origója. Viszont a vonat a K rendszerben elmozdult vt-t, így koordinátája a Galilei-transzformáció alapján: x = x + vt = 0 + vt = vt = 15 m, amint szemléletünkből is adódik. Tekintve, hogy a vonat az x-tengelyen halad y = y = 0, z = z = 0. A Galilei transzformáció alapján a sebességösszeadás is a józan észnek megfelelően történik. Ha egy nyugvónak tekintett rendszerhez képest egy v 1 sebességgel mozgó rendszerből kilövünk egy hozzá képest v 2 sebességgel mozgó testet (a mozgás irányával párhuzamosan), annak a sebessége (v e ) a nyugvó rendszerhez képest, lásd az 1.2. ábra a. és b. része! v e = v 1 ± v 2, (1.2) ahol a + előjel az egyirányú, míg a az ellenkező irányú kilövéshez tartozik. A fent megfogalmazott elvek Galilei korától egészen az 1900-as évek legelejéig örök érvényűnek tűntek, csak néhány apró jel mutatott arra, hogy a newtoni mechanika nem konzisztens. Ezek megmagyarázására megkezdődött a klasszikus elmélet toldása-foldása sikertelenül. Kellett valaki, aki hajlandó volt leszámolni a klasszikus elvek mindenhatóságával és új alapokra merte helyezni a mechanikát. Ez Albert Einstein volt, aki el merte vetni az évszázadok alatt megszokottá vált elveket, és helyettük a felmerülő problémákra jó választ adó forradalmian újakat és kézenfekvőket vezetett be. Az új elmélet előnyei azonban nem látszanak azonnal, és sok helyen paradoxonokat vetve föl, ellentmondani látszottak a hétköznapi gondolkodásnak. A belőlük származó jóslásokat azonban a kísérletek messzemenően igazolták, így napjainkban a speciális és általános relativitáselmélet a modern fizika egyik alappillére lett.

1.2. A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET AXIÓMÁI ÉS NÉHÁNY KÖVETKEZMÉNYEI 11 a Lorentz-transzformáció létesít kapcsolatot. (Einstein-féle relativitási elv.) 1.2. ábra. Klasszikus sebességösszeadás. Vajon mikor igaz? 1.2. A speciális relativitáselmélet axiómái és néhány következményei 1.2.1. A speciális relativitáselmélet két axiómája Az Albert Einstein nevéhez fűződő speciális relativitáselmélet két axiómán nyugszik. Először bemutatjuk ezeket 6, majd röviden vázoljuk, miért éppen ezek váltak az elmélet kiindulópontjává. A fény vákuumbeli sebessége a természetben előforduló maximális sebesség. A fénysebesség független a fényforrás illetve a megfigyelő sebességétől. Az inerciarendszerek minden fizikai folyamat szempontjából egyenértékűek, és közöttük 6 Az axiómák ilyen megfogalmazása didaktikai szempontból nagyon jó, ám némileg redundáns. Ennek okára nem térünk ki. Einsteint már egészen fiatal kora óta foglalkoztatta a fény fizkai leírásában fellelhető ellentmondásosság. A fény terjedését (is) leíró Maxwellegyenletek megoldása ugyanis egy fénysebességgel haladó hullámot ad eredményül. Felvetődhet a kérdés, hogy mit fog látni egy olyan megfigyelő, aki fénysebességgel haladó vonatkoztatási rendszerben ül, és így vizsgálja a fényhullámot, ugyanis a Maxwell-egyenleteknek nincs megfagyott hullám megoldása. Ezért tűnik célszerűnek a fénysebesség maximálisságának és függetlenségének posztulálása. A második axióma figyelembe veszi A. A. Michelson és E. W. Morley híres, az abszolút nyugvó vonatkoztatási rendszer (éter) létezését megcáfoló kísérletét. Einstein korában ugyanis azt feltételezték, hogy a fény (elektromágneses sugárzás) az egész világot betöltő, nyugvó, észlelhetetlen anyag az éter rezgése. Amennyiben ez igaz lenne, úgy az éterben haladó Földön a fénysebesség értéke más lenne, ha a Föld haladásának irányában, illetve arra merőlegesen mérnénk. A fenti kísérlet eredménye szerint a fény sebessége azonban mindkét irányban ugyanakkorának adódott, így az éterhipotézis megdőlt. Ekkor azonban nincs jogunk feltételezni, hogy létezik abszolút nyugvó vonatkoztatási rendszer, tehát célszerű az inerciarendszereket bármely tehát akár optikai folyamat szempontjából is ekvivalensnek tekinteni. Így az Einsteinféle relativitási elv a Galilei-féle általánosítása. Ha alaposabban belegondolunk a fény sebességének túlléphetetlenségét kimondó második axiómába, akkor azt a józan észnek ellentmondónak fogjuk találni. Ha ugyanis egy ember ül egy autón és menetirányban lő, akkor a tapasztalatok szerint a puskagolyó és az autó sebessége összeadódik, ha hátrafelé lő, akkor pedig kivonódik, lásd (1.2)-t és az 1.2. ábra a. és b. részét! Hétköznapjaink tapasztalata alapján ezt tartjuk természetesnek. Einstein forradalmi gondolata szerint azonban ez nem lehet igaz. Ha a puska elsütése helyett zseblámpáját gyújtja meg, annak fénye függetlenül az autó sebességétől és a világítás irányától, az első axióma szerint mindig pontosan fénysebességgel kell, hogy terjedjen. Hogy ez miért van így, valamint hogy a fény valóban kitüntetett helyzetben van-e a puskagolyóhoz képest (1.2. ábra c. része), arra a következő fejezetek adnak választ.

12 1. FEJEZET. A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET ELEMEI 1.2.2. A négydimenziós téridő Mivel a fénysebesség mindentől független állandó, így a hely és az idő között kapcsolatot létesíthetünk vele. 7 Ezek alapján minden időtartam (t) egyértelműen definiál egy távolságot (s), azt a távot, amelyet a fény az adott idő alatt vákuumban befut: s = c t. A gondolatmenet fordítva is alkalmazható, minden távolság definiál egy időtartamot, azt, amennyi a fénynek a távolság megtételéhez szükséges: t = s c. A klasszikus, newtoni felfogás szerint a tér és az idő elkülönül, egyiket mérőrúddal, a másikat órával mérhetjük. Ha azonban az első axióma szerint feltesszük a fénysebesség állandóságát, akkor eltűnik a tér és az idő ilyen különbsége, hiszen a távolságot is mérhetjük órával, illetve az időtartamot mérőrúddal. Ezek alapján bevezethetjük a négydimenziós téridőt, amelyben a három térdimenzióhoz negyediknek hozzávesszük (mindhárom térdimenzióra merőlegesen) a ct egységekben mért távolság mértékegységű időt. 8 Az einsteini axiómák következményeként a tér és idő hagyományos elkülönülése eltűnik, a világ eseményei a négydimenziós téridőben játszódnak le. Egy adott helyen, egy adott pillanatban megtörténő cselekménynek a téridő egy pontja feleltethető meg. 1.3. ábra. A Holdra küldött radarjel világvonala A négydimenziós téridő egyetlen komoly baja az, hogy nem tudjuk elképzelni. Három dimenzión edződött szemléletünknek a négy dimenziót lehetetlen megjeleníteni. 9 Így csak a matematikai eszközökre hagyatkozhatunk. Egy testnek a téridőben vett útvonalát világvonalnak nevezzük. Az 1.3. ábrán egy, a Holdra küldött radarjel, az 1.4. ábrán a keringő Föld világvonala látható. A radarjel egy dimenzióban terjed, hozzávéve az időt másodikként kétdimenziós ábrát kapunk. A Föld már két dimenzióban (ellipszispályán) kering, így az idő a harmadik dimenzió, tehát még ábrázolható. Egy három dimenzióban mozgó 7 A négydimenziós téridő-kontinuum elméletének pontos tárgyalása a gimnáziumi anyagot meghaladó matematikai eszközkészletet igényel (haladó analízis, differenciálgeometria), így csak néhány alapvető, a továbbiakban szükséges vonatkozását mutatjuk be. 8 A pontosabb tárgyalásban az időt 1ct egységekben mérik. Számunkra azonban a fenti, szemléletes módszer elegendő. 9 Próbáljon meg az Olvasó a három dimenziós Descarteskoordinátarendszerhez még egy tengelyt hozzávenni, úgy, hogy az merőleges legyen az összes többire! 1.4. ábra. A Föld világvonala

1.2. A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET AXIÓMÁI ÉS NÉHÁNY KÖVETKEZMÉNYEI 13 test világvonala már nem jeleníthető meg, csak matematikai módszerekkel írható le. Megemlítjük még, hogy a három dimenzióban definiált távolsághoz pontosabban annak négyzetéhez: d 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 hasonlóan a négydimenziós téridőn is értelmezhető két téridő-pont (x 1, y 2, z 1, t 1 ; x 2, y 2, z 2, t 2 ) távolsága, az úgynevezett négyestávolság (D): D 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 c 2 (t 2 t 1 ) 2. (1.3) Kiemelve a háromdimenzió távolságot, valamint az időkülönbséget, az alábbi kifejezéshez jutunk: 1.5. ábra. Vízhullám terjedése a téridőben D 2 = d 2 c 2 t 2. (1.4) A négyestávolság tehát nem csak a koordináták távolságát, hanem az idő különbségét is magában foglalja, tehát keveri a teret és az időt, megerősítve minket abban, hogy a valóságban a tér és az idő nem különül el, a világ eseményei a négydimenziós téridőben zajlanak. A kauzalitás A fény maximális sebessége, valamint a tér minden irányában, a kibocsátótól és a megfigyelőtől független sebességgel való terjedése, következménynyel van az ok-okozati összefüggésekre, valamint a múlt és a jövő definiálására is. Lássuk ennek néhény vonatkozását. Ha a koordinátarendszer origójában fényjelet bocsátok ki, az az egymást követő időpillanatokban egyre nagyobb sugarú köröket fog elérni, mivel sebessége a tér minden irányban állandó. Ehhez hasonlók, a vízbe dobott kő által keltett egyre növekvő átmérőjű hullámgyűrűk, lásd az 1.5. ábrán ábrázolt idősort! Ha ezeket a tér-idő diagrammon ábrázoljuk azaz az eddigi diszkrét időkülönbségek helyett folytonosan ábrázoljuk egy kúpot kapunk, melynek csúcsa a jel kibocsátásának helye és időpontja. Ezt nevezik fénykúpnak 10, lásd az 1.6. ábrát! A fény (vákuumban) fénysebességgel halad, azonban bármely tömeggel bíró test csak ennél lassabban közlekedhet. Így hétköznapi tárgyaink világvonala csak a fénykúp belsejében helyezkedhet 10 Természetesen az ábrázolhatóság kedvéért csak két térdimenzióval dolgozunk 1.6. ábra. A téridő három tartománya el. A fénykúpon kívüli terület a fizika ma elfogadott képe szerint univerzálisan tiltott, azaz nem létezik olyan test, jel, hatás, információ mely kiléphetne a fénykúpon kívülre, azaz túlléphetné a fény sebességét. 11 11 Ha a jel nem hordoz információt, túllépheti a fény sebességét. Példaként tekintsük a csukódó olló két szárának találkozási pontját. Minél csukottabb az olló, annál inkább párhuzamos a két szár, így az érintkezési pont annál sebesebben halad. Semmi akadálya nincs, hogy a teljes záródás előtt mikor a pofák egyre közelítenek a párhuzamoshoz a pont bármilyen nagy sebességet felvegyen. Azonban ez a relativitáselméletnek nem mond ellent, mert két egyenes metszéspontjának mozgása nem hordoz információt, hatást. Hasonló példa a világítótorony forgó fénypászmájának sebessége, mely távolodva a toronytól lineárisan nő, és így elvileg tetszőlegesen nagy értéket felvehet.

14 1. FEJEZET. A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET ELEMEI 1.8. ábra. A belátható távolság (kauzális horizont) 1.7. ábra. A múlt és a jövő A fénysebesség véges voltának van egy érdekes csillagászati következménye is, az elmélet alkalmazásaként ezt is vizsgáljuk meg. Ha felnézünk az éjszakai égboltra sok-sok csillag fényét látjuk. Ezek a csillagok olyan távol vannak, hogy fényük akár évmilliókat utazik, mire eljut a Földre. A Világegyetem kora azonban véges, így vannak olyan tartományai, melyekből a fény még nem érhetett el hozzánk. Hogyan alakul időben az a tartomány, amelyből már fény (hatás, információ) elérhet hozzánk? Nyilvánvalóan ez egy fénysebességgel növekvő sugarú gömbhéj, azaz a térben a számunkra belátható tartomány sugara másodpercenként 300.000 kilométerrel nő. Csillagászati számítások arra vezetnek, hogy napjainkban a látóhatár 3 10 27 cm, ez az úgynevezett kauzális horizont, lásd 1.8. ábra. Azonban természetes, hogy a Világegyetem 12 fogalmába beletartozik az ugyan folyamatosan táguló kauzális horizonton kívüli tartomány is, melyről azonban a fenti okok miatt semmit nem állíthatunk ha csak azt nem, hogy létezik. Mivel a fénynél nagyobb sebességet elérni nem lehet, így információ, hatás sem terjedhet a fény sebességénél gyorsabban. 12 A Világegyetem fogalmában a klasszikus definíció szerint minden létező beletartozik, ám ez a definíció filozófiailag, fizikailag és logikailag is problematikus. Ezek szerint a téridőnek az a tartománya, amelybe egyáltalán információt küldhetünk, a jövőbeli fénykúp belseje. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a téridő csak azon részére lehetünk befolyással, amely a jövőbeli fénykúpunk belsejében és elvileg a felületén helyezkedik el, ez az abszolút jövő. Hasonlóan az a téridő tartomány, amelyből információ juthat el hozzánk, azaz amely múltbéli eseményeknek befolyása lehet jelenünkre, a múltbeli fénykúp belsejében helyezkedhet csak el (abszolút múlt). A fentiek nem jelentik azt, hogy a múltbeli és jövőbeli fénykúpokon kívül nincs semmi, az a térrész is Világegyetemünk része, ott is a megszokott fizikai törvények uralkodnak, csak olyan távolságra vannak, amelyből nem érhet el hozzánk jel, illetve nem tudunk jelet küldeni. Az olyan távol megfogalmazás azonban félrevezető lehet, ugyanis ennek nagysága attól függ, hogy mennyi időt áldozunk a jel terjedésére. A jelenség értelmezéséhez ismét tekintsünk egy példát. Tegyük fel, hogy két ember (A, B) egymástól 3 nap vonatút távolságban lakik. Kapcsolattartásuk leggyorsabb módja a levelezés (postavonattal). Semmilyen gyorsabb kommunikációs mód (sürgöny, telefon) nem eléhető számukra. Ha A-val vasárnap valami történik és megtudja, hogy barátjával B-vel ugyanez fog történni, nincs lehetősége értesíteni szerda előtt. Hasonlóan, ha B tudja, hogy A-val vasárnap az adott dolog megtörténik, már csütörtökön kell, hogy értesítést küldjön. Így hat napra, csütörtöktől szerdáig, B nem tudja befolyásolni A sorsát, sem értesülni nem tud arról. Így a kauzalitás szempontjából 6 napra el vannak vágva egymástól. Másik példaként képzelje el az Olvasó, hogy egy bolygószondát irányít. A rádiójel oda-vissza útja a bolygó és a Föld között 100 perc. Ha a földi irányító kiad egy utasítást, azt a szonda 50 perc múlva kapja meg, majd válaszát azonnal elküldve, az újabb 50 perc múlva érkezik a Földre. Ha a Föld csak az alapján ad további utasításokat, hogy mi volt az előzőre a válasz, akkor 100 percre kauzálisan el vannak vágva egymástól, azaz az irányító ennyi időre nem befolyásolhatja a szonda sorsát, sem a szonda az övét.

1.2. A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET AXIÓMÁI ÉS NÉHÁNY KÖVETKEZMÉNYEI 15 1.9. ábra. A Nap halála és a kauzalitás A fénysebesség azonban a hétköznapi nagyságrendekhez képest óriási, valamint a földi távolságokat nagyon kis idő alatt futja be, ezért ezekben az esetekben a jelenség nem érzékelhető, csillagászati léptékekben viszont már igen. Ehhez vegyünk ismét egy csillagászati példát. Tegyük fel, hogy a Nap ebben a pillanatban kialudt. Megtudhatjuk ezt azonnal? Természetesen nem, mert a fénynél gyorsabban információ nem terjedhet, így a jelenségről csak akkor lesz tudomásunk ha az utolsó sugár utáni sötétség beáll. Tehát a Naptól 8 percre kauzálisan el vagyunk szigetelve, így minden ott történt eseményről csak ekkora késéssel szerezhetünk tudomást. Így a fenti kijelentésnek, miszerint a Nap ebben a pillanatban kialudt nincs értelme, mert nem igazolható és nem cáfolható. 1.2.3. A Lorentz transzformáció Ismerkedjünk meg azokkal a formulákkal, mellyel át lehet térni egyik mozgó vonatkoztatási rendszerről egy másikra. A fejezetben rámutatunk a Lorentzés a Galilei-transzformáció hasonlóságára valamint különbségére is. A speciális relativitáselmélet szempontjából a Galilei-transzformáció nem lehet helyes. Ennek oka az (1.2) képletekben keresendő. Tegyük fel ugyanis, hogy egy, a földhöz képest 3 4c-vel mozgó rendszerben a mozgás irányába kilövünk egy szintén 3 4 c- vel mozgó tárgyat. A Galilei-transzformáció szerint ekkor a kilőtt test sebessége 1, 5c. Az első axióma szerint viszont a fény sebességét nem lehet túllépni. A speciális relativitáselmélet kívánalmainak megfelelő transzformációt Lorentz-transzformációnak nevezzük és az alábbiakban megadjuk a standard elrendedzésre vonatkozó képleteit: 13 x = y = y z = z t = x Vt 1 V2 c 2 t V c 2 x 1 V2 c 2 (1.5) valamint az inverz transzformációk, amellyekkel végrehajtható a K K áttérés: x = y = y z = z x + Vt 1 V2 c 2 t = t + V c x 2 1 V2 c 2 (1.6) Vizsgáljuk meg és hasonlítsuk össze a Galilei-féle (1.1) és a Lorentz-féle (1.5-6) transzformáció képleteit. Ha a sebességek a klasszikus fizikában megszokott értékek nagyságrendjébe esnek, akkor: V < 10 3 10 4 m s. A fénysebesség c = 3 108 m s, így V c 0 és a V c 0, míg 1 V2 2 c 1, az- 2 az a Lorentz-transzformáció képletei eredményüket tekintve szinte nem különböznek a Galilei-félétől, ez volt az oka annak, hogy a nem célirányos fizikai kísérletek során folyamatosan igaznak találták a Galilei-transzformációt, ugyanis ilyen kis különbségek szinte kimérhetetlenek. Figyeljük meg, hogy a Lorentz-transzformációk összekeverik a helykoordinátát és az időt, ellentétben a Galilei-félével, melynél a időtranszformációban nem szerepel a koordináta! Matematikai segítség a nevező kiszámításához: 1 ha x 1, akkor 1 x 1+ 1 2 x, és 1 x 1 1 2 x. A közelítés annál pontosabb, minél kisebb x egynél. Ha v a hétköznapi tartományokba esik, akkor de csak akkor az 1 v2 c kifejezés helyett teljesen 2 nyugodtan használjuk a fenti, egyszerűen számolható, ún. sorfejtéses alakot. 13 A transzformációs képletek bizonyítása nem nehéz, de terjedelme meghaladná e jegyzet kereteit. A transzformációt H. Lorentz holland fizikus vezette le még Einstein elmélete előtt, ám a fizika történetében nem egyedülálló módon téves megfontolásokból kapta a helyes eredményt.

16 1. FEJEZET. A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET ELEMEI 1/sqrt(1 v^2/c^2) 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 v [fénysebesség egységben] l -nek fog adódni. Mi lesz a helyzet akkor, ha a vonaton lévő rúd hosszát a pálya mellől (tehát egy másik, az előzőhöz képest mozgó rendszerből) mérem meg? A józan ész szerint nem volna szabad más értéket kapnunk, azonban ez a relativitáselmélet tanítása szerint nem így van. A rúd vonaton mért hossza két koordinátájának (kezdete(k) vége(v)) különbsége, l = x v x k. Az (1.6) transzformációt alkalmazva a kezdő és a végpont koordinátáira áttérhetünk a vonatról a pálya mellé rögzített rendszerbe: 1 1.10. ábra. Az 1 v2 c 2 függvény viselkedése x k = x k + Vt k 1 v2 c 2 Vegyük észre azt is ami a későbbiek értelme- zésekor nagyon hasznos lesz, hogy a 1 v2 c 2 kifejezés csak akkor ad egytől számottevően különböző értéket, ha v a c nagyságrendjébe esik. Ha v a hétköznapi értékek nagyságrendéjeben van, 1 v2 c 1. Még ha v = 10 7 m 2 s, a fenti kifejezés akkor is csak 0, 9994 értékű. Tehát hétköznapi sebességtartományokban a 1 v2 c 2 egynek tekinthető, így a vele való szorzás illetve osztás helyett egyszerűen elhagyható! 1.2.4. Hosszkontrakció, idődilatáció A Lorentz-transzformációnak további, a klasszikus mechanikában elképzelhetetlen következményei is vannak. Hosszkontrakció A klasszikus mechanika tanítása szerint egy fizikai objektum mérete a mozgásától független, azaz egy mozgó autó hossza bármekkora sebességgel is mozog 14 megegyezik az álló helyzetben mért hosszal. Vizsgáljuk meg, hogy a Lorentz-transzformáció milyen eredményre vezet ebben az esetben! Tegyük fel, hogy a relativitás-expresszre 15 felteszünk egy l hosszúságú rudat. Ennek hosszát az állomáson szabványos mérőrúddal állapítottuk meg. Ezután a vonatot felgyorsítjuk. A száguldó vonaton bármikor megmérve a rúd hosszát, az 14 A légellenállás és egyéb alakot befolyásoló erőktől eltekintve! 15 Ez egy fénysebesség-közeli sebességgel haladó, gondolatbeli vonat. x v = x v + Vt v. 1 v2 c 2 Mivel a vonaton való hosszméréskor a kezdő- és végpont koordinátáját egyszerre kell mérni, így: t k = t v. A pálya mellől mért hossz természetesen l = x v x k, azaz: l = l 1 v2 c 2. (1.7) A négyzetgyökös szorzótényező értéke egynél kisebb, így a mozgó tárgyak a mozgás irányában megrövidülnek, azaz mért hosszuk a vele együttmozgó rendszerben mért értékhez képest kisebbnek adódik. Ez a hosszkontrakció jelensége. Az effektus a hétköznapi sebességtartományokban gyakorlatiag nem észlelhető, ez az oka annak, hogy olyan sokáig rejtve maradt. Ebben az esetben az elmélet előbb született meg, és csak az ennek hatására meginduló célirányos vizsgálatoknak sikerült a hosszkontrakciót igazolni. A nagyságrendek érzékeltetése céljából tekintsünk egy 50 m hosszú szuperszonikus repülőgépet. 1 Machos sebességgel való haladása közben hossza a földön álló megfigyelőnek 12 pm-nyit látszik csökkenni. Ez természetesen detektálhatatlan. Ha azonban háromnegyed fénysebességgel haladna (ez 225.000 km s ) akkor hossza nyugalmi hosszához képest már 66%-kal csökkenne! Gyakran felmerülő téves értelmezés szerint a kontrahálódó tárgyak valóban, azaz a vele együtt-

1.2. A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET AXIÓMÁI ÉS NÉHÁNY KÖVETKEZMÉNYEI 17 mozgók számára is megrövidülnek. 16 A hosszcsökkenés azonban relatív, csak a nem vele mozgó megfigyelő számára jelentkezik. A fenti repülőgép természetesen változatlan méretű marad a vele utazóknak (ezt a repülőn ülő megfigyelő mérőrúdjával bármikor igazolja). 17 Ha azonban a repülőgépről határozzák meg földi pontok távolságát, azokat ugyanolyan mértékben megrövidültnek fogják találni, hiszen a repülőgépen utazók számára saját gépük van nyugalomban és a föld rohan alattuk visszafelé, tehát erre az esetre a hosszkontrakciót leíró képlet ugyanúgy vonatkozik. A fentiek alapján furcsa helyzet alakul ki a földi és a repülőgépen utazó megfigyelők között. Az egyik véleménye szerint a repülőgép hosszával semmi gond nincs, viszont megrövidült a leszállópálya. A földi személyzet mérése ennek teljesen ellentmond, a kifutópálya hosszát annyinak mérik, amennyinek megszokták, a repülőgépet azonban rövidebbnek. Kinek van igaza? Mindkettőnek. Emlékezetbe idézve ugyanis az Einstein-féle relativitási elvet, amely kimondja az inerciarendszerek egyenrangúságát, nincs jogunk egyet kiválasztani és csak annak az eredményeit fogadni el igaznak. Persze földhözragadt szemléletünk hajlamos a földhöz viszonyítani, és ezzel azért nincs problémánk, mert a hétköznapokban elérhető sebességek mellett a jelentkező hatások elenyészők. Azonban a következő fejezetben mutatunk olyan jelenséget, amellyel a relativisztikus hatások egyszerűen igazolhatóak. 18 Idődilatáció A jelenség az előbb bemutatott hosszkontrakció párja, de itt nem távolságot, hanem időtartamot vizsgálunk egymáshoz képest mozgó rendszerekben. Ismét utazzon a megfigyelő a nagy sebességű relativitás-expresszen, és vigyen magával egy órát, pontosan olyat amilyet a pálya mellett álló megfigyelők is használnak. A vonaton játszódjék le egy folyamat, amelyet a vonat mellől is lehessen 16 A valódi megrövidülés azért sem képzelhető el, mert két, a tárgyhoz képest különböző sebességgel mozgó rendszerből vizsgálva a tárgynak egyszerre kellene, hogy legyen két valódi hossza, ami lehetetlen. 17 Ha valódi hosszkontrakció következne be, az a kontrahálódó test szerkezetében komoly feszültségeket, torzulásokat okozna. 18 Végezetül megemlítjük, hogy ha láthatnánk ilyen sebességgel mozgó tárgyakat, azok nem megrövidülni, hanem elfordulni tűnnének. (lásd V. L. Weisskopf Physics Today, 13, (1960), 24 ) Ennek ellenére a Tompkins úr... fejezetben és a közgondolkozásban is a megrövidülés jelenik meg. legalábbis elvileg detektálni. Legyen ez például egy inga lengése. A vonaton utazók egy lengést t v t k = t idejűnek fognak mérni. Ugyanez az időtartam a vonat mellett t = t v t k, valamint a pálya mellől történő mérésre természetesen x k = x v. Az (1.5) Lorentz-transzformációt alkalmazva: E szerint t v = t v V c x 2 v 1 v2 c 2 t k = t k V c x 2 k 1 v2 c 2 t t =. (1.8) 1 v2 c 2 mozgó rendszerben az időtartamok meghosszabbodnak, az órák lelassulnak a nyugvó rendszerben mért értékekhez képest. Ez az idődilatáció jelensége. A hosszkontrakció és az idődilatáció egymás párja. Egy ötletes megfigyelés bizonyítékot szolgáltat mindkettő igazságára. Ez a µ-mezon jelenség. A µ-mezon egy közepes tömegű elemi részecske, élettartama τ = 2, 2 10 6 s, egy keletkező mezon ennyi idő múlva elbomlik. Ez a részecske a légkör legfelső rétegeiben (a föld felszínétől mintegy H = 20 km-re) keletkezik az oda becsapódó kozmikus gyors protonok hatására. A keletkező µ-mezonok sebessége körülbelül fénysebesség, így az élettartama során megtett út hossza: s µ ct 3 10 8 m s 2, 2 10 6 s 600 m. A µ-mezonokat azonban a föld felszínén is ki lehet mutatni, holott ehhez mintegy 20 km-nyi utat kell megtenniük. A magyarázat természetesen a relativitáselméletben keresendő! A mezon a felszíni megfigyelőhöz képest nagyon gyorsan mozog, így az időtartamok és a távolságok a két (mezon és a földi megfigyelő) rendszerében már számottevően különböznek. Innen két irányba mehetünk tovább: A mezon szemszögéből vizsgálva a jelenséget: a gyorsan haladó mezon számára a távolságok megrövidülnek. Így számára a felszínig tartó út nem H, hanem csak H = H 1 v2 c. Minél közelebb esik v a c-hez, annál rövidebbnek 2 tűnik az út a mezonnak, így elbomlása előtt

18 1. FEJEZET. A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET ELEMEI be tudja futni a föld feszínéig tartó nagy sebessége miatt számára nagyon megrövidült utat. A felszín elérésének feltétele tehát: vτ = H H 1 v2 c 2. (1.9) A földi megfigyelő szemszögéből vizsgálódva: a gyorsan haladó mezon órája lassabban jár, azaz a földi megfigyelő számára lassabban bomlik, tehát (1.5) szerint: τ = τ 1 v2 c 2. Mivel bomlásának ideje (a földhöz képest) megnő, így elbomlása előtt még lesz ideje elérni a földfelszínt, amely természetesen ebben az esetben pontosan H távolságra van a mezon keletkezési pontjától. Azaz: τ v H. (1.10) 1 v2 c 2 Látható, hogy mindkét gondolatmenettel ugyanahhoz az eredményhez jutottunk az (1.9) és (1.10) egyenletek azonosak, ahogyan azt el is várjuk az inreciarendszerek egyenértékűségét megkövetelő relativitáselmélettől. 1.2.5. Ikerparadoxon, sebességösszeadás, tömegnövekedés Ikerparadoxon Az idődilatáció talán egyik legismertebb következménye az ikerparadoxon. A gondolatkísérlet a távoli jövőben játszódik, amikor már talán lesznek közel fénysebességel haladó rakéták (bár erre a technika nem sok esélyt lát). Ha egy ikerpár egyik tagját nagy sebességgel hosszú útra indítjuk míg társa a földön éli mindennapjait az utazó visszatérésekor komoly meglepetésben lesz részünk. A földön maradt iker szerint ugyanis a mozgó rendszerben amelyben testvére utazik az időtartamok meghosszabbodnak, azaz minden fizikai folyamat lassabban játszódik le, mint a Földön. Így az utazó testvér lassabban öregszik, ezért visszatértekor sokkal fiatalabb lesz, mint ikertestvére. Természetesen nem arról van szó, hogy az ikerpár utazó tagja tovább élne, hiszen ha a maximális emberi életkor mindenkettőjükre nézve 60 év, akkor a földi ikerpár addig él, amíg saját óráján a 60 év le nem telik. Az utazó is 60 évet fog élni, saját órája szerint, amely az ő karján a Földön megszokott ütemben ketyeg, azonban a földi órákhoz képest lassabban. Tehát a gyorsan utazó sem fogja a saját életét hosszabbnak érzeni és rendszerében nem is telik el több, mint 60 év. A figyelmes Olvasó ismét élhet egy észrevétellel. Ha kihasználva a helyzet szimmetriáját a rakéta szemszögéből vizsgáljuk az eseményeket és úgy tűnik a relativitáselmélet ezt megengedi, akkor a kísérletet magyarázhatnánk úgy is, hogy a Föld távolodik, majd közeledik nagy sebességgel, így a Föld a mozgó rendszer, rajta kellene, hogy lassabban teljen az idő. Az azonban nem lehet, hogy attól függően, hogy melyik rendszert tekintem nyugvónak, egyszer az ikerpár egyik, majd másik tagja legyen öregebb. A probléma megoldása abban rejlik, hogy a két rendszer (Föld, rakéta) nem ekvivalens, míg a Föld inerciarendszer, a rakéta egy gyorsuló majd lassuló vonatkoztatási rendszer, a relativitás elve a nézőpontok felcseréhetősége pedig csak inerciarendszerek között alakalmazható. Így tehát a földi megfigyelőnek van csak igaza, a mozgó ember marad fiatalabb a földihez képest. Sebességösszeadás Még nem adtunk választ arra a kérdésre, hogy valójában hogyan kell sebességeket összeadni. Emlékeztetünk az 1.2.1. fejezetre, ahol bemutattuk, hogy a fény sebessége független a kibocsátó (és a megfigyelő) sebességétől. Emiatt, és a fénysebesség túlléphetetlensége folytán, azonban a Galilei transzformációban megismert sebességösszeadási képletek biztosan nem alkalmazhatóak. Ekkor ugyanis a fényforrás sebessége hozzáadódna a fénysebességhez, így túllépné azt; illetve két nagy sebesség összeadáskor is a fénysebességnél nagyobb értéket kaphatnánk. Ha a relativitáselmélettel konzisztens eredményekre szeretnénk jutni, a sebességek összegét a Lorentz-transzformáció segítségével kell meghatározni. 19 Ez az Einstein-féle sebességösszeadási képlet: v e = v 1 + v 2 1 + v1v2 c 2. (1.11) Ismét megfigyelhető, hogy a hétköznapok tapasztalatai alapján miért tűnt helyesnek a Galilei-féle v e = v 1 + v 2 összeadási mód. A klasszikusan elérhető sebességtartományokban v c, így v1v2 c 0, 2 tehát a nevező értéke közel egy, azaz a Galilei-féle képletet kapjuk viszsza. A hétköznapi életben tehát az egyszerű sebességösszeadás továbbra is használható. Vizsgáljuk meg, kielégíti-e ez a kifejezés a fénysebesség elérhetetlenségét kimondó axiómát! Legyen v 1 = v 2 = 0, 75c. A klasszikus (Galilei-féle) módszerrel számolva v e = 1, 5c (rossz!) eredmény adódik. Az einsteini képlet alkalmazásával azonban: v e = 1,5c 1+0,5625 = 0, 96c, ami várakozásainknak megfelelően kisebb c-nél. Határesetben, ha v 1 = v 2 = c, akkor v e = c. 19 Ennek módját terjedelmi okoból nem ismertetjük, de az érdeklődő Olvasó könnyen igazolhatja az eredményt.