Síkba rajzolható gráfok

Hasonló dokumentumok
Síkbarajzolható gráfok Április 26.

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Síkbarajzolható gráfok, duális gráf

Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei

Síkbarajzolható gráfok. Ismétlés

Euler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. estis képzés

SzA II. gyakorlat, szeptember 18.

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 1. estis képzés

EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma

Gráfelméleti alapfogalmak

Gráfelméleti feladatok programozóknak

Alapfogalmak II. Def.: Egy gráf összefüggő, ha bármely pontjából bármely pontjába eljuthatunk egy úton.

SzA X/XI. gyakorlat, november 14/19.

11. előadás. Konvex poliéderek

Euler-formula, síkbarajzolható gráfok, szabályos testek

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Síkgráfok (négyszín-tétel, Kuratowski-tétel, Euler-formula)

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS)

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

III. Gráfok. 1. Irányítatlan gráfok:

Szög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából:

ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom

Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK

Bonyolultságelmélet gyakorlat 06 Gráfos visszavezetések II.

HAMILTON ÚT: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó út

24. tétel. Kombinatorika. A grá fok.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Síkgráfok. 1. Részgráfok, topológikus részgráfok, minorok

1. zárthelyi,

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Síkgráfok Előadó: Hajnal Péter

5. feladatsor megoldása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Diszkrét matematika II. feladatok

Diszkrét matematika 2.C szakirány

pont százalék % érdemjegy (jeles) (jó) (közepes) (elégséges) alatt 1 (elégtelen

Hogyan óvjuk meg értékes festményeinket?

Alapszerkesztések 2. (Merőlegesek szerkesztése, nevezetes szögek, háromszög három oldalból) Merőleges szerkesztése egyeneshez külső pontból

Gráf csúcsainak színezése. The Four-Color Theorem 4 szín tétel Appel és Haken bebizonyították, hogy minden térkép legfeljebb 4 színnel kiszínezhető.

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása

Lineáris egyenletrendszerek

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

17. előadás: Vektorok a térben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

1. Gráfelmélet alapfogalmai

Gráfelmélet Megoldások

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Gráfelméleti alapfogalmak-1

Feladatok Házi feladat. Keszeg Attila

Ramsey-féle problémák

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet

Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

HAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör. Forrás: (

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

A zsebrádiótól Turán tételéig

Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.

Alapfogalmak. Ha a gráf valamely két csúcsát egynél több él köti össze, akkor azt többszörös élnek nevezzük.

Gráfelméleti feladatok. c f

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

(Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja.

1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok. HálózatokII, 2007

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

Diszkrét matematika II. gyakorlat

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Programozási nyelvek 4. előadás

1. Szerencsére elmúlt a veszély, pánikra semmi ok. Luke Skywalker ugyan kivont lézerkarddal ment órára a jediképzőben, de a birodalmi gárda

Szabályos gráfok paraméterei

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Átírás:

Síkba rajzolható gráfok Elmélet Definíció: egy G gráfot síkba rajzolható gráfnak nevezünk, ha az felrajzolható a síkra anélkül, hogy az élei metsszék egymást. Egy ilyen felrajzolását a G gráf síkbeli reprezentációjának is nevezzük. (Ahhoz, hogy belássuk, egy G gráf síkba rajzolható, elegendő síkba rajzolni az élek keresztezése nélkül. Persze nem minden gráf síkba rajzolható, Kuratowski tétele mondja ki, hogy melyek ezek a gráfok) Euler sík gráfokra vonatkozó tétele: Legyen G = G(V,E) egyszerű, összefüggő síkba rajzolható gráf, amelynek e db éle, v db szöge van és a síkbeli reprezentációja a gráfnak a síkot r db tartományra osztja (beleértve a végtelen nagyságú területet is). Ekkor r = e - v + 2 A tétel következményei: 1. Ha az összefüggő, egyszerű síkba rajzolható gráf csúcsainak száma legalább 3, akkor e 3 v - 6 (Ebből következik az, hogy K 5 nem síkba rajzolható gráf.) 2. Ha az összefüggő egyszerű síkba rajzolható gráf csúcsainak a száma legalább 3 és nincs 3 hosszú köre, akkor e 2 v - 4 (Ebből következik az, hogy K 3,3 nem síkba rajzolható gráf.) Tétel: Ha G egyszerű síkba rajzolható gráf, akkor a minimális fokszáma legfeljebb 5 lehet. Kuratowski tétel: Egy G gráf akkor és csak akkor nem síkba rajzolható. ha tartalmaz K 5 -tel vagy K 3,3 -mal homeomorf részgráfot. Homeomorf: - az élekre beilleszthetünk új pontot - ha a G gráfnak van olyan részgráfja, amelyben minden csúcspont fokszáma kettő, de nem alkotnak kört, akkor ezeket a pontokat törölhetjük

Fáry-Wagner tétel: Ha G egyszerű, síkba rajzolható gráf, akkor van olyan rajza, ahol az élek egyenes szakaszok.

Feladatok: 1. Mutassuk meg, hogy az alábbi gráfok síkba rajzolhatók: a) b) a) b)

2. Síkba rajzolható-e az alábbi gráf? A gráf átrajzolható a következő módon: Ez pedig K 3,3, azaz az eredeti gráfunk izomorf K 3,3 -mal, azaz nem síkba rajzolható. 3. Síkba rajzolható-e az alábbi gráf? Igen:

4. Legyen G egy egyszerű, összefüggő gráf, amelynek 6 csúcsa van és mindegyik csúcs fokszáma 4. Tudjuk továbbá azt is, hogy G síkba rajzolható. Hány területre osztja a síkot a gráf síkbeli reprezentációja? Minden gráfban a fokszámok összege az élek számának kétszeresével egyenlő: 6 4 = 24 = 2 12. Azaz a gráfnak 12 éle van. Alkalmazzuk az Euler poliéder tételt a tartományok számának meghatározásához: r = e - v + 2 = 12-6 + 2 = 8 tartomány jön létre. 5. Tegyük fel, hogy egy G egyszerű, összefüggő síkba rajzolható gráfnak 30 éle van. Tudjuk továbbá, hogy a gráf síkbeli reprezentációja a síkot 20 tartományra osztja. Hány csúcsa van ennek a gráfnak? Behelyettesítve az Euler-féle poliéder tételbe: 20 = 30 - v + 2 v = 12 6. Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi gráf homeomorf-e K 3,3 -mal. Nem homeomorf K 3,3 -mal. A G és H csúcspontok fokszáma 4, ezek nem hagyhatók el a gráfból. 7. Síkba rajzolható-e az alábbi gráf? Az Euler tétel következményeit próbáljuk meg felhasználni. v = 8 e = 12

e 3 v - 6 12 24-6 = 18 teljesül Látható, hogy a gráfunknak nincs 3 hosszú köre, tehát alkalmazható az Euler tétel második következménye: e 2 v - 4 12 16-4 = 12 teljesül Ahhoz viszont, hogy belássuk, hogy a gráfunk síkba rajzolható, nem elégséges a fenti két feltétel teljesülése. Ezek szükséges, de nem elégséges feltételek. Ehhez meg kell adnunk a gráf síkbeli reprezentációját: 8. Síkba rajzolható-e az alábbi gráf? v = 7 e = 18 e 3 v - 6 18 3 7-6 = 15 ellentmondásra jutottunk, nem teljesül egy szükséges feltétel, tehát a gráf nem síkba rajzolható 9. Alább az ún. Petersen gráf látható. A Kuratowski tétel segítségével igazoljuk, hogy ez a gráf nem síkba rajzolható.

Keresnünk kell egy olyan részgráfot, amely K 5 -tel vagy K 3,3 -mal homeomorf. Képezzünk úgy egy részgráfot, hogy elhagyjuk a B csúcsot a rá illeszkedő élekkel együtt: A G csúcsot elhagyva a fentivel homeomorf gráfot kapunk. Hagyjuk el a D csúcsot:

Hagyjuk el az A csúcsot: Ez pedig izomorf K 3,3 -mal: Tehát az eredeti gráfunkból egy él és a rá illeszkedő csúcsok elhagyásával kapott gráf homeomorf K 3,3 -mal, azaz a Petersen gráf nem síkba rajzolható. 10. A Kuratowski tétel segítségével igazoljuk, hogy az alábbi gráf nem síkba rajzolható.

Hagyjuk el a {C,G} élt: A keletkezett részgráffal homeomorf gráfot kaphatunk, ha elhagyjuk a C és a G csúcsokat: Ez pedig izomorf K 3,3 -mal: Azaz az eredeti gráfunk nem síkba rajzolható.

Források: Rosen Discrete Mathematics and Its Application