Elektrotechnika- Villamosságtan 1.Előadás Egyenáramú hálózatok 1 Magyar Attila Tömördi Katalin
Villamos hálózat: villamos áramköri elemek tetszőleges kapcsolása. Reguláris hálózat: ha helyesen felírt hálózati egyenletekkel minden feszültség és áram meghatározható Egyenáramú hálózat: ha időben állandóak a feszültségek és az áramok 1. 2
Hálózatok osztályozása Pólusszám (2-, 3-, 4-,.. ellenállás, tranzisztor, csatolt tekercsek) Energiatermelés (aktív/passzív) Linearitás (lineáris/nem lineáris) Időbeli változás (variáns/invariáns) Áram szerint (állandó, váltakozó, szinuszos) Térbeli változás (koncentrált/elosztott paraméterű) 1. 3
Alaptörvények-áttekintés Alaptörvények Áramerősség Feszültség Potenciál A feszültség és az áram kapcsolata Ellenállás Források és generátorok Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1. 4
Elektromos áram - Elektromos áram: töltött részecskék mozgása. Áramirány: pozitív töltéshordozók iránya. Jele I. Ampermérő bekötése: [I]= amper = A 1. 5
Kirchoff I. csomóponti törvénye Bármely csomópontra az I áramerősségek előjeles összege nulla. k = 1 Általában a csomópontba befolyó a negatív, a kifolyó a pozitív áramirány. Ha nem ismerjük az áram irányát, akkor önkényes referencia irányokat veszünk fel, és ezekre írjuk fel a törvényeket Csomóponti törvény : Töltésmegmaradás elve: a csomópontot körülvevő zárt felület belsejében levő töltések száma állandó. n I k = 0 1. 6
Kirchoff csomóponti törvénye Ismeretlen áramirányoknál referencia áramiránnyal dolgozunk: 1. 7
Feszültség Töltésáramlás energiaviszonyait fejezi ki, jele U. Iránya a pozitív pólusból a negatív felé mutat. Mérése voltmérővel történik. 1. 8
Kirchoff II. huroktörvénye Bármely hurok (irányított zárt görbe) mentén az U k feszültségek előjeles összege nulla. Az ellenkező irányúakat negatív előjellel kell figyelembe venni. n k = 1 U k = 0 1. 9
Teljesítmény Teljesítmény jele P, [P]=watt =W, P =UI Mérése wattmérővel történik 1. 10
Potenciál 4 csomópont, köztük 6 feszültség mérhető. Helyette megadható 3 csomópont feszültsége (potenciálja) egy alapponthoz viszonyítva: 1. 11
Huroktörvény a kijelölt hurokra: U A0 U B0 U AB = 0 Φ A Φ B =U AB Két pont potenciáljának különbsége a két pont közt eső feszültség. 1. 12
A feszültség és az áram kapcsolata A kétpólusra szabályozható feszültségforrást kapcsolva, és mérve a feszültséget, megkaphatjuk a kétpólus feszültség-áram U=f(I), illetve áram feszültség I=g(U) karakterisztikáját. 1. 13
Kétpólus karakterisztikák 1. 14
Teljesítmény A P = UI teljesítmény lehet pozitív, vagy negatív. Ennek alapján a kétpólus lehet passzív, vagy aktív. passzív: csak (villamos) teljesítmény felvételére képes aktív: csak teljesítmény leadására képes Fogyasztó: teljesítményt vesz fel Termelő: teljesítményt ad le Passzív kétpólus csak fogyasztó lehet, aktív kétpólus fogyasztó és termelő is lehet. 1. 15
Ellenállás Az ellenállás passzív kétpólus. Az ellenállás, mint fizikiai mennyiség: rezisztencia Ha a karakterisztikája lineáris, akkor lineáris az ellenállás. 1. 16
Ellenállás Ha a karakterisztikája nem lineáris, akkor nemlineáris az ellenállás. 1. 17
Ohm törvény Lineáris ellenálláson eső feszültség egyenesen arányos a rajta átfolyó áram erősségével: U=RI, I=GU G=1/R vezetés, vagy konduktancia. Mértékegységeik: [R]= V/A =ohm =Ω [G]= A/V =siemens =S =1/Ω 1. 18
Lineáris ellenállás teljesítménye: Az ellenállás teljesítménye mindig pozitív, azaz mindig fogyasztó. 1. 19
Források és generátorok A források és generátorok aktív kétpólusok. A feszültségforrás U V forrásfeszültsége állandó, azaz U U V. 1. 20
Források és generátorok Az áramforrás I A forrásárama állandó, azaz I I A. A teljesítmény pozitív is lehet, ha a terhelő kétpólus aktív. 1. 21
Generátorok A valódi aktív kétpólust generátornak hívjuk: A karakterisztika helyettesíthető feszültség- és áramgenerátorral is. 1. 22
Generátoros helyettesítések A feszültséggenerátor üresjárási feszültsége az U V forrásfeszültség, az áramgenerátor rövidzárási árama az I A forrásáram. A kettő hányadosa a generátor R b belső ellenállása: 1. 23
Feszültséggenerátor hatásfoka Az R ellenállással lezárt feszültséggenerátor kapocsteljesítménye az R b -n hővé alakuló teljesítménnyel kisebb a forrás teljesítményénél: P = U I = ( U I R ) I = U I I R 2 v b v b P= R I b b 2 P = R I η 2 P P P P+ P hasznos = = teljes b 1. 24
Az R terhelő ellenállás által felvett teljesítmény: R ( ) P 2 2 = R I = U v R + R b 2 1. 25
Teljesítmény illesztés Keressük meg azt az R terhelést, amely mellett a terhelés által kivett teljesítmény maximális! P = R I 2 = = R ( ) 2 Uv R + R b 2 1. 26
Teljesítmény illesztés Keressünk szélsőértéket: dp dr = U = 0 = 2 v 2 ( b) 2 ( b) 4 ( R+ Rb ) R+ R = 2 R esetén lesz 0, vagyis R=R b, f ( x) f '( x) g( x) f( x) g'( x) = 2 gx ( ) g( x) R+ R R R+ R Így a maximális teljesítmény: R ( ) P 2 = U v R + R b b 2 P R I U R U R R R 2 2 2 b v max = b = v = 2 ( b + b) 4 b 1. 27
1. 28
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása-áttekintés Alaptörvények Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása Lineáris hálózat Szuperpozíció elve Ellenállások soros és párhuzamos kapcsolása Ellenállások csillagháromszög átalakítása Wheatstonehíd A helyettesítő generátorok tétele Millmann tétele 1. 29
Lineáris hálózat - kétpólus Egy hálózat lineáris, ha felépíthető lineáris kétpólusokból. Kevés elem esetén elemi módszerekkel számítható. Lineáris kétpólus matematikai alakja: U = RI + U 0 lineáris feszültséggenerátor I = GU + I 0 lineáris áramgenerátor Lineáris inhomogén karakterisztika Ha U 0 =0 illetve I 0 =0, akkor homogén lineáris ellenállás karakterisztika Ha R=0, feszültség, ill. áram forrás karakterisztika Egyenáramú időtől független (U V, I A, R) 1. 30
Feladat Lineáris egyenáramú hálózatok számításának alapfeladata: Adott a hálózat struktúrája, az ellenállások rezisztenciája, a források forrásfeszültsége, és forrásárama; határozzuk meg a hálózatot alkotó elemek ismeretlen feszültségeit és áramait. 1. 31
Szuperpozíció elve Lineáris hálózat esetén az x bemenet és az y kimenet között lineáris kapcsolat áll fenn: y = L{x}, ahol L{c 1 x 1 + c 2 x 2 } = c 1 L{x 1 } + c 2 L{x 2 }, c 1,2 : R Összegtartás: szuperpozíció elve Aránytartás: a kimenet a bemenet változásával arányosan változik Lineáris hálózat esetén a különböző források egymástól függetlenül hozzák létre feszültségeiket és áramaikat, ezek a hálózati elemeken összegződnek, szuperponálódnak. Az egyes források hatása úgy is vizsgálható, hogy a többi forrást dezaktivizáljuk, azaz a feszültségforrásokat rövidzárral (U V = 0), az áramforrásokat pedig szakadással (I A =0) helyettesítjük 1. 32
A szuperpozíció elve csak lineáris hálózatokra érvényes! 1. 33
Ellenállások soros kapcsolása Sorba kapcsolt ellenállások árama közös, feszültségeik összegződnek Az eredő kétpólus is ellenállás: 1. 34
Ellenállások soros kapcsolása Az ellenállásokon eső feszültségek arányosak az ellenállások rezisztenciájával: 1. 35
Rezisztív feszültségosztó Két sorba kapcsolt ellenállás rezisztív feszültségosztót alkot: 1. 36
Ellenállások párhuzamos kapcsolása Párhuzamosan kapcsolt ellenállások feszültsége közös, áramaik összegződnek 1. 37
Ellenállások párhuzamos kapcsolása Az ellenállásokon átfolyó áramok fordítottan arányosak az ellenállások rezisztenciájával: 1. 38
Rezisztív áramosztó Két párhuzamosan kapcsolt ellenállás rezisztív áramosztót alkot. A leosztott áramok: Szimmetria: A sorba kapcsolt konduktanciákra vonatkozó összefüggések ugyanolyan alakúak, mint a párhuzamosan kapcsolt rezisztanciákra vonatkozók, és fordítva 1. 39
R1 és R2 párhuzamos eredője R1 R2 (replusz) 1. 40
Ellenállások csillag-háromszög átalakítása A csillagkapcsolás és a háromszögkapcsolás rezisztenciái mindig megválaszthatók úgy, hogy a hálózat többi részében a feszültségek és áramok nem változnak meg: a két kapcsolás ekvivalens 1. 41
Háromszög csillag Az ekvivalencia feltétele, hogy bármely két kapocsra nézve az eredő rezisztencia a két kapcsolásnál megegyezzen, ha a harmadik kapocs árammentes. 1. 42
Csillag háromszög Ötlet: páronként zárjuk rövidre a kapcsokat, és határozzuk meg az így kapott kétpólus konduktanciáját. Például 2 és 3 rövidre zárva, és határozzuk meg 1 és 2 közötti konduktanciát! 1. 43
Csillag háromszög 1. 44
Csillag háromszög Áttérve rezisztenciákra: 1. 45
Wheatstone híd Feladat: határozzuk meg az I áramot! Ötlet: alakítsuk át az ABC háromszöget csillaggá! 1. 46
Wheatstone híd 1. 47
Wheatstone híd 1. 48
A helyettesítő generátorok tétele Tétel: Bármely lineáris kétpólus helyettesíthető egy feszültséggenerátorral (Thévenin ekvivalens), vagy egy áramgenerátorral (Norton ekvivalens). 1. 49
A helyettesítő generátorok tétele A tétel a kétpólus linearitásának következménye. U és I kapcsolata: A helyettesítő generátor forrásfeszültsége a kétpólus üresjárási feszültsége (I = 0), forrásárama pedig a kétpólus rövidzárási árama (U = 0). Az üresjárási feszültség és a rövidzárási áram hányadosa az R b belső ellenállás, amely úgy is meghatározható, hogy dezaktivizáljuk a forrásokat, és meghatározzuk a kétpólus bemeneti ellenállását. 1. 50
Sorba kapcsolt feszültséggenerátorok A forrásfeszültségek összeadódnak, az eredő belső ellenállás pedig a belső ellenállások soros eredője: Általánosítva: 1. 51
Párhuzamosan kapcsolt áramgenerátorok A forrásáramok összeadódnak, az eredő belső konduktancia pedig a belső konduktanciák párhuzamos eredője. 1. 52
Párhuzamosan kapcsolt feszültséggenerátorok Párhuzamosan kapcsolt feszültséggenerátorokat helyettesíthetjük Norton ekvivalensükkel. 1. 53
Sorba kapcsolt áramgenerátorok A sorba kapcsolt áramgenerátorokat helyettesíthetjük Thévenin ekvivalensükkel. 1. 54
Millmann tétele, vagy csillagpont eltolódás tétele Határozzuk meg az alábbi kapcsolásban az R1, R2, R3, és R0 ellenállások feszültségeit és áramait! 1. 55