Wssily Leontieff Az meriki gzdság szerkezete 99-99 c. úttörő munkájár támszkodó modellek több száz egyenletet és ismeretlent trtlmztk. Szovjetunióbn Leonyid Kntorovics modelljeivel célj z volt, hogy második világháború idején segítse ktoni és egyéb eszközök termelésének megszervezését.
Péld lineáris egyenletrendszerekkel megoldhtó feldtokr Egy gzdságbn három ágzt vn: hlászt, erdőgzdálkodás és csónképítés. Egy tonn hl előállításához hlászhjór vn szükség; Egy tonn f előállításár tonn hlr vn szükség z erdészek élelmezésére; Egy hlászhjó előállításár tonn fár vn szükség. Mindegyik ágztnk csk ezekre z inputokr vn szüksége. Tegyük fel, hogy nincs küldő kereslet hlászhjókr. Adjuk meg, hogy mekkor bruttó kibocsátást kell előállítni z egyes ágztoknk hhoz, hogy d tonn hl és d tonn f végső keresletet kielégítsenek.
Dr. Vincze Szilvi
Trtlomjegyzék.) Lineáris egyenletrendszer foglm.) Lineáris egyenletrendszerek megoldás.) Egyenletrendszerek megoldás Guss-eliminációvl.) Crmer-szbály 5.) A homogén egyenletrendszer megoldásáról
Lineáris egyenletrendszer foglm Az egyenletek hlmzát, hol j szimbólumok (j =,,, n) z ismeretleneket z ij dott vlós számok (i =,,, k; j =,,, n) z ismeretlenek együtthtóit jelentik és b i -k dott vlós számok, lineáris egyenletrendszernek nevezzük. k n kn k k k n n n n b b b...........
Lineáris egyenletrendszer foglm Amennyiben b = b = = b n = 0, z egyenletrendszert homogénnk, ellenkező esetben inhomogénnk nevezzük. 0 0 0 0 0
Lineáris egyenletrendszer megoldás A megoldhtóság vizsgált zt jelenti, hogy el tudjuk dönteni, hogy vn-e megoldás, vgy nincs, és h vn kkor hogyn oldhtó meg. H ez egyenletrendszernek nincs megoldás kkor ellentmondásosnk nevezzük, ellenkező esetben megoldhtónk. H csk egyetlen megoldás létezik, kkor z egyenletrendszert htározottnk vgy regulárisnk, h több megoldás is vn htároztlnnk, vgy irregulárisnk mondjuk.
Lineáris egyenletrendszer megoldás Két egyenletrendszert ekvivlensnek nevezünk, h megoldásik zonosk. Egyenletrendszereknél következő átlkítások ekvivlens egyenletrendszerhez vezetnek:. Az egyenletrendszer vlmelyik egyenletét 0 (R) sklárrl megszorozzuk.. Vlmelyik egyenlethez z egyenletrendszer másik egyenletét hozzádjuk.. Két egyenletet felcserélünk.. Az egyenleten belül felcseréljük tgok sorrendjét.
Egyenletrendszerek megoldás Guss-eliminációvl Guss-féle kiküszöbölési eljárás (Guss elimináció) A Guss eliminációs módszer tetszőleges lineáris egyenletrendszer megoldásár lklms,menete z lábbi két fázisr bonthtó:. fázis (elimináció= kiküszöbölés): Az egyenletrendszer átlkítás ún. lépcsős (vgy trpéz) lkr.. fázis: Az egyenletrendszer megoldáshlmzánk felírás. Ehhez z ismeretlenek értékét, vgy kötött és szbd ismeretlenek közti összefüggéséket htározzuk meg fokoztos visszhelyettesítéssel.
Egyenletrendszerek megoldás Guss-eliminációvl Oldjuk meg z lábbi lineáris egyenletrendszert! 9 0
Egyenletrendszerek megoldás Guss-eliminációvl Az egyenletrendszer bővített mátri z együtthtókt és konstnsokt trtlmzz. Az "üres" helyekről ne hgyjuk le 0-t!
Egyenletrendszerek megoldás Guss-eliminációvl Oldjuk meg z lábbi lineáris egyenletrendszert! 5
Egyenletrendszerek megoldás Guss-eliminációvl Oldjuk meg z lábbi lineáris egyenletrendszert! 5 0
Egyenletrendszerek megoldás Guss-eliminációvl Oldjuk meg z lábbi lineáris egyenletrendszert! 0 8 8
Egyenletrendszerek megoldás Crmer-szbállyl Tekintsünk egy n egyenletből álló n drb ismeretlen trtlmzó egyenletrendszert, hol z ik (i, k =,,, n) konstnsok és,,, n ismeretlenek. Legyen z A z egyenletrendszer együtthtómátri, és tegyük fel, hogy det A 0. Ekkor d i i, i,,..., n det A hol d i nnk z nn-es mátrink determináns, mit úgy kpunk, hogy z A mátri i-edik oszlopát kicseréljük b = (b,b,, b n ) T -re.
Egyenletrendszerek megoldás Crmer-szbállyl Oldjuk meg z lábbi lineáris egyenletrendszert Crmer-szbály segítségével! 5 5