I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük de egyidőbe em ülhetek midkette a bicikli Gyalogosa a sebességük =5km/hés biciklivel =20 km/h Egyszerre idulak ugyaarról a településről Legalább meyi időre va szükségük ahhoz hogy midkette a másik településre érkezzeek? Elképzelhetük egy valósághűbb kotextust is Két biciklis egy túrá vesz rész amely abből áll hogy az A helységig voattal utazak oa a B helységig biciklizek majd B-ből voattal térek haza Az A és B közti szakaszo egy C potba az egyikük biciklije haszálhatatlaá (és javíthatatlaá) válik pl becsúszik egy szakadékba A C és B távolsága 40 km az A és C távolsága 60 km és B-ből 5 és fél óra múlva lee voatjuk hazafele Elérhetik-e midkette ezt a voatot ha a megmaradt bicikli egyszerre kette em ülhetek? A továbbiakba ezt a kotextust haszáljuk Világos hogya távolságot gyalogosa8 óra alatt lehete megtei tehát ha az egyik gyalogosa megy akkor em éri el a voatot Ahhoz hogy midkette 8 óráál kevesebb idő alattmegtegyék az adott távolságot aak egy részét midkettő biciklivel kellee megtegye Tehát azt érdemes csiáli hogy midkette elidulak az egyik gyalogosa a másik bicikli és aki a bicikli idult az valahol útközbe otthagyja a biciklit a társáak Esetleg megtehetik hogy több kisebb szakaszra osztják az utat és többször cserélek Így azt érdemes figyeli hogy meyi utat teszek meg bicikli és meyit gyalog Ha 25

26 AZ ALAPFELADAT valamelyikük olyakor hagyá el a biciklit amikor a társa mögött va akkor a célbajutás idejét csökketheték ha még egy kicsit megy a biciklivel (és em hagyja ott) Emiatt világos hogy ha a bicikli em jut el B-be akkor a meetidő em lehet miimális Így ha x-szel jelöljük az egyik biciklis által gyalogosa megtett út hosszát akkor ő 40 x távolságot tesz meg biciklivel és a társa x távolságot tesz meg biciklivel és 40 x távolságot gyalog Emiatt a teljes távolságot t 1 = x 5 + 40 x illetve t 2 = x 20 20 + 40 x 5 idő alatt teszik meg Például ha x =10 akkor t 1 =3 5és t 2 =6 5 tehát 6 5óra alatt midkette beérek Ezzel persze em érik el a voatot Ha x = 15 akkor t 1 = 4 1 és t 4 2 = 5 3 tehát így sem 4 érik el a voatot Ha viszot x = 20 akkor t 1 = t 2 = 5 és így elérhetik a voatot További kísérletezéssel belátható hogy x>20 eseté az átjutáshoz szité több mit 5 óra szükséges sőt az is észrevehető hogy x-re ugyaazt a teljes időt kapjuk mit 40 x- re (x =25eseté t 2 =4 1 és t 4 1 =5 3 míg x =30eseté t 4 2 =3 5és t 1 =6 5) Ezzel a gyakorlati feladatot meg is oldottuk de a matematikai probléma megoldása em teljes Igazoluk kell hogy valóba legalább 5 órára szükség va (eél kevesebb idő alatt em juthatak el B-be) Jó volaáltaláosa is megoldai a feladatot vagyis a távolság és a kétfajta sebesség függvéyébe megtaláli a szükséges idő miimumát Ha x<20 akkor x 40 x < 1és > 4 20 5 tehát az összegről így em tudjuk eldötei hogy 5-él kisebb vagy agyobb Másrészt t 2 = x 20 + 40 x 5 ha x<20 és t 1 = x 5 + 40 x 20 ( 1 =8 x 5 1 ) =8 3x 20 20 > 5 ( 1 =2+x 5 1 ) =2+ 3x 20 20 > 5 ha x>20 Ez mutatja hogy ha valaki a távolság feléél többet tesz meg gyalog akkor több mit 5 óra alatt ér B-be tehát legalább

BICIKLIHIÁNYBAN 27 5óra szükséges ahhoz hogy az adott feltételek mellett midkette megtegyék a 40 km hosszú útszakaszt Látható hogy egy lehetséges megoldás az hogy az egyik gyerek megy 20 km-t biciklivel majd lerakja a biciklit és gyalog megy tovább A társa elidul gyalog és 20 km utá felül a biciklire majd azzal megy tovább Ez csak egy lehetséges megoldás mert több váltással is kivitelezhető ugyaez Ha az egyik gyerek csak 10 km-t megy biciklivel otthagyja és 10 km-t megy gyalog akkor 2 5óra utá ér az út feléhez Ez alatt a társa előbb megtesz 10 km-t gyalog majd 10 km-t biciklivel tehát őis2 5óra alatt éri el az út felét Ha midezt megismétlik az út másik felé akkor is 5 óra alatt érek célba Látható hogy végtele sok módo lehetséges kivitelezi a cseréket úgy hogy összese 5 óra alatt jussaak B-be A fogalmak tisztázása érdekébe írjuk le matematikai szimbólumokkal is hogy mit jelet a szükséges idő miimuma Ha t 1 és t 2 akét gyerek átjutási ideje akkor ahhoz hogy midkette B-be érjeek t =max{t 1 t 2 } idő szükséges Tehát midkette { x t =max{t 1 t 2 } =max idő alatt érek B-be meghatározásához a mi max 0 x 40 5 + 40 x x 20 20 + 40 x 5 Így az átjutáshoz szükséges idő miimumáak { x 5 + 40 x x 20 20 + 40 x } 5 kifejezést kell kiszámítai Az előbbi godolatmeet segítségével tehát azt igazoltuk hogy { x mi max 0 x 40 5 + 40 x x 20 20 + 40 x } =5 5 Ismételjük meg az előbbi godolatmeetet általáosabb esetbe amikor a sebességek és (em ismerjük a számértéküket de < ) illetve a távolság d Ha x-szel jelöljükazegyikgyerekáltal gyalogosa megtett távolságot akkor ő d x távolságot tesz meg biciklivel és a társa x távolságot biciklivel és d x-et gyalog Így az }

28 AZ ALAPFELADAT átjutási idejük redre t 1 = x + d x és t 2 = x + d x Tehát midkettőjük átjutásához szükséges idő { x t =max{t 1 t 2 } =max + d x x + d x } és ki kell számoli a mi max 0 x d { x + d x x + d x } kifejezés értékét Ha x d akkor 2 t 2 = d ( 1 x 1 ) d d 2 és ha x d akkor 2 t 1 = d ( 1 + x 1 ) d + d 2 = d + 2 = d + 2 Ez alapjá a t 1 és t 2 maximumáak a legkisebb értéke potosa x = d 2 eseté érhető elés ebbe az esetbe t = d + 2 tehát a két gyerek átlagos sebessége a d távolságra számolva éppe vátlag = 2 + vagyis a és harmoikus középaráyosa Megjegyzés Az előbbi feladat megoldása mutatja hogy a harmoikus középaráyos valóba kifejezhet valamilye átlagértéket Érdemes megemlítei más kotextust is amelybe az átlagértéket a harmoikus középaráyossal számítjuk ki Például ha egy buszjárat egy ap kétszer teszi meg ugyaazt a d hosszúságú útvoalat és a két alkalommal kapott átlagsebessége illetve akkor összese 2d távolságot tesz meg d + d idő alatt tehát az átlagsebessége 2d 2 = d + d 1 + 1 = 2 +

BICIKLIHIÁNYBAN 29 Fotos kihagsúlyozi hogy mikor jeleik meg a harmoikus középaráyos mit átlagérték Esetleg olya példákat is érdemes mutati ahol valamilye meyiség átlagát más középaráyossal (számtai mértai égyzetes) kell kiszámítai 2 Egy lehetéges általáosítás és megoldása Az alapfeladat megoldása utá érdemes a diákokak a következő problémát megfogalmazi: 2 Feladat Általáosítsuk az 1 feladatot! Fogalmazzuk meg miél több hasoló jellegű problémát próbáljuk ragsoroli őket a ehézségük szerit! Gyártsuk valamilye stratégiát a boyolultabb esetek vizsgálatára! A diákok általába gyorsa megfogalmazak valamilye általáosításokat és gyakra meg is sejtik a megoldásaikat esetleg valamilye hibás elméletet is gyorsa felvázolak A jeleségek alapos megértése és a hibák kiküszöbölése érdekébe ajálott a megfogalmazott feladatok elemzése A továbbiakba felsoroluk éháy lehetséges általáosítást és aak megoldását A legegyszerűbbek tűőáltaláosítás amikor több gyerek va és több bicikli Általába ember k biciklivel egy adott d távolságot legkevesebb meyi idő alatt tud megtei ha a feltételek maradak (vagyis egy bicikli egyszerre legfeljebb egy ember ülhet) Aak érdekébe hogy az általáos eset megoldását megsejthessük érdemes előbb sajátos eseteket vizsgáli (már csak azért is hogy e egy sajátos esetből fogalmazzuk meg az általáos esetet) Előbb vizsgáljuk meg a következő eseteket: 3 Feladat Egy d távolságot = 3 gyerekek a lehető legkevesebb idő alatt kell megteie Gyalog és bicikli sebességgel haladhatak de csak egy biciklijük va és azo egyszerre legfeljebb egy gyerek ülhet Legkevesebb meyi idő alatt tehetik meg a d távolságot mid a hárma? Mekkora az átlagsebességük ha a legkevesebb idő alatt teszik meg a távolságot?

30 AZ ÁLTALÁNOS ESET 4 Feladat Egy d távolságot = 4 gyerekek a lehető legkevesebb idő alatt kell megteie Gyalog és bicikli sebességgel haladhatak de csak egy biciklijük va és azo egyszerre legfeljebb egy gyerek ülhet Legkevesebb meyi idő alatt tehetik meg a d távolságot mid aégye? Mekkora az átlagsebességük ha a legkevesebb idő alatt teszik meg a távolságot? 5 Feladat Egy d távolságot gyerekek ( N 2) a lehető legkevesebb idő alatt kell megteie Gyalog és bicikli sebességgel haladhatak de csak egy biciklijük va és azo egyszerre legfeljebb egy gyerek ülhet Legkevesebb meyi idő alatt teheti meg a d távolságot mid az gyerek? Mekkora az átlagsebességük ha a legkevesebb idő alatt teszik meg a távolságot? 6 Feladat Egy d távolságot = 3 gyerekek a lehető legkevesebb idő alatt kell megteie Gyalog és bicikli sebességgel haladhatak de csak két biciklijük va és egy bicikli egyszerre legfeljebb egy gyerek ülhet Legkevesebb meyi idő alatt tehetik meg a d távolságot mid a hárma? Mekkora az átlagsebességük ha a legkevesebb idő alatt teszik meg a távolságot? 7 Feladat Egy d távolságot = 4 gyerekek a lehető legkevesebb idő alatt kell megteie Gyalog és bicikli sebességgel haladhatak de csak két biciklijük va és egy bicikli egyszerre legfeljebb egy gyerek ülhet Legkevesebb meyi idő alatt tehetik meg a d távolságot mid a égye? Mekkora az átlagsebességük ha a legkevesebb idő alattteszik meg a távolságot? Vizsgáljuk meg azt az esetet amikor 2 bicikli és gyerek va ahol N 3 8 Feladat Oldjuk meg az előbbi feladatot = 5 gyerek és k =3 bicikli eseté! 9 Feladat Oldjuk meg az előbbi feladatot tetszőleges N és k N eseté ahol a gyerekek száma és k a biciklik száma valamit >k Megjegyzés Természetese elégséges lee megoldai az utolsó feladatot A többit gyakorlatilag csak azért fogalmaztuk meg külö

BICIKLIHIÁNYBAN 31 hogy a sajátos esetekből való építkezést az elméletalkotást aktiválhassuk a megoldásuk segítségével A cél az utolsó feladat megoldása de ha egyből csak azt ézzük akkor agy valószíűséggel a diákok em jöek rá a megoldás kulcslépéseire Ezért fotos tudatosítai beük hogy Kevés megfigyelés és sok okoskodás tévedésekhez vezet sok megfigyelés és kevés okoskodás azigazsághoz (Alexis Carrel) Mielőtt a boyolultabb eseteket megvizsgáljuk érdemes a már megoldott feladat megoldását úgy átíri hogy a jelölésredszer meg a godolatmeet alkalmas legye az általáosításra Eek érdekébe vezessük be szimmetrikus jelöléseket Jelölje x 1 és x 2 akét gyerek által gyalogosa megtett út hosszát és y 1 y 2 a bicikli megtett út hosszát Ezekkel a jelölésekkel x 1 +y 1 = d és x 2 +y 2 = d mivel midkét gyerek megteszi a teljes távot Ugyaakkor a bicikli is megteszi a teljes távot (beláttuk hogy em érdemes otthagyi meetközbe) és em érdemes a biciklivel visszafele sem mei (mert ez biztosa időveszteséget hoz létre) tehát y 1 + y 2 = d így x 1 + x 2 = d Ha t 1 és t 2 akét gyerek meetideje akkor t 1 = x 1 + y 1 és t 2 = x 2 + y 2 tehát ha t =max{t 1 t 2 } akkor írhatjuk hogy Az előbbiek alapjá t x 1 + y 1 és t x 2 + y 2 2t x 1 + x 2 + y 1 + y 2 vagyis t d ( 1 + 1 ) 2 Egyelőség potosa akkor teljesülhet ha x 1 = x 2 = y 1 = y 2 = d Ez 2 elérhető úgy hogy a távolság feléig az egyik gyerek megy a bicikli leteszi majd gyalogosa megy tovább Eközbe a másik gyerek az út első felét megteszi gyalog az út feléél elveszi a biciklit majd azo megy tovább Így a d távolság megtételéhez szükséges miimális idő

32 AZ ÁLTALÁNOS ESET ( d 1 + 1 ) 2 A megoldásak ez a leírása azért előyösebb mert az optimális megoldás feltételeit és a végeredméyt megkapjuk a számolásokból A3feladatmegoldása Jelölje x 1 x 2 és x 3 ahárom gyerek által gyalogosa megtett út hosszát és y 1 y 2 valamit y 3 a bicikli megtett út hosszát Ezekkel a jelölésekkel x i = d ha 1 i 3 Mivel a biciklit em érdemes meetközbe elhagyi és em érdemes a biciklivel visszafele mei írhatjuk hogy y 1 + y 2 + y 3 = d tehát x 1 + x 2 + x 3 =2d Ha t 1 t 2 és t 3 a gyerekek meetideje akkor t i = x i 1 i 3 tehát ha t =max{t 1 t 2 t 3 } akkor írhatjuk hogy Az előbbiek alapjá t x 1 + y 1 t x 2 + y 2 t x 3 + y 3 3t x 1 + x 2 + x 3 + y 1 + y 2 + y 3 vagyis t d ( 2 + 1 ) 3 Egyelőség potosa akkor teljesülhet ha x 1 = x 2 = x 3 = 2d és 3 y 1 = y 2 = y 3 = d Ez elérhető úgy hogy a távolság első egyharmadát 3 az egyik gyerek teszi meg biciklivel a második egyharmadát egy másik gyerek és az utolsó egyharmadát a harmadik gyerek Az út többi részé midhárma gyalogolak Ebbe az esetbe az átlagsebesség 3 vátlag = 2 + 1 vagyis egy súlyozott harmoikus középaráyos

BICIKLIHIÁNYBAN 33 A4feladatmegoldása Jelölje x 1 x 2 x 3 és x 4 aégy gyerek által gyalogosa megtett út hosszát és y 1 y 2 y 3 valamit y 4 a bicikli megtett út hosszát Ezekkel a jelölésekkel x i = d ha 1 i 4 Mivel a biciklit em érdemes meetközbe elhagyi és em érdemes a biciklivel visszafele mei írhatjuk hogy y 1 + y 2 + y 3 + y 4 = d tehát x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =3d Ha t 1 t 2 t 3 és t 4 a gyerekek meetideje akkor t i = x i ha 1 i 4 tehát ha t =max{t 1 t 2 t 3 t 4 } akkor írhatjuk hogy Az előbbiek alapjá t x 1 + y 1 t x 2 + y 2 t x 3 + y 3 t x 4 + y 4 4t x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + y 1 + y 2 + y 3 + y 4 vagyis t d ( 3 + 1 ) 4 Egyelőség potosa akkor teljesülhet ha x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 3d és 4 y 1 = y 2 = y 3 = y 4 = d Látható hogy azt is meg kell vizsgáli hogy 4 ezek a távolságok a gyakorlatba lehetségesek-e vagy sem Jelöljük a gyerekeket b 1 b 2 b 3 és b 4 -gyel A bicikli átadását potosa meg kell szervezi Az előbbi két feladathoz hasolóa kivitelezhető az hogy mide 1 i 4eseté b i az út i-edik egyedét tegye meg biciklivel és a többit gyalogosa Ebbe az esetbe az átlagsebesség 4 vátlag = 3 + 1 vagyis egy súlyozott harmoikus középaráyos

34 AZ ÁLTALÁNOS ESET Az 5 feladat megoldása Jelölje x 1 x 2 x az gyerek által gyalogosa megtett út hosszát és y 1 y 2 y a bicikli megtett út hosszát Világos hogy x i +y i = d ha 1 i és y 1 +y 2 ++y = d tehát x 1 + x 2 + + x = ( 1)d Ha a gyerekeket jelöljük b 1 b 2 b -el és mide 1 i eseté b i meetideje t i akkor t i = x i tehát a t =max{t 1 t 2 t } számra Az előbbiek alapjá vagyis t x i 1 i t x 1 + x 2 + + x t d ( 1 + y 1 + y 2 + + y + 1 Egyelőség potosa akkor teljesülhet ha x 1 = x 2 = = x = ( 1)d és y 1 = y 2 = = y = d Az előbbi két feladathoz hasolóa kivitelezhető az hogy mide 1 i eseté b i az út i-edik d hosszúságú darabkáját tegye meg biciklivel és a többit gyalogosa Ebbe az esetbe az átlagsebesség vátlag = 1 + 1 amely egy súlyozott harmoikus középaráyos a két súlypedigabi- cikli élküli gyerekek száma ( 1) és a biciklik száma (1) ) A6feladatmegoldása Jelölje x 1 x 2 x 3 a gyerekek által gyalogosa megtett út hosszát és y 1 y 2 y 3 a bicikli megtett út hosszát Világos hogy x i = d ha 1 i 3és y 1 + y 2 + y 3 =2d tehát x 1 + x 2 + x 3 = d Ha a gyerekeket jelöljük b 1 b 2 és b 3 -mal és mide 1 i 3eseté b i meetideje t i akkor t i = x i

BICIKLIHIÁNYBAN 35 tehát a t =max{t 1 t 2 t 3 } számra t x i 1 i 3 Összeadva az előbbi egyelőtleségek megfelelő oldalait 3t x 1 + x 2 + x 3 + y 1 + y 2 + y 3 vagyis t d ( 1 + 2 ) 3 Egyelőség potosa akkor teljesülhet ha x 1 = x 2 = x 3 = d és 3 y 1 = y 2 = y 3 = 2d A biciklik cseréje ebbe az esetbe egy kicsit több odafigyelést igéyel A jobb követhetőség érdekébe az 3 utat felosztjuk harmadokra és egy táblázatba ábrázoljuk hogy kiél melyik útszakaszo va bicikli Elleőrizhető hogy a táblázatba 0 d d 2d 3 3 3 3 b 1 B B Gy b 2 B Gy B b 3 Gy B B 1 Táblázat Három ember két biciklivel látható terv kivitelezhető tehát a t-re adott alsó becslés valóba az átjutási idő miimuma Az átlagsebesség ebbe az esetbe 3 vátlag = 1 + 2 amely egy súlyozott harmoikus középaráyos a két súlypedigabi- cikli élküli gyerekek száma (1) és a biciklik száma (2) A7feladatmegoldása = 4 eseté az előbbihez hasoló godolatmeet alapjá a t d ( 2 + 2 ) 4 becslést kapjuk tehát ha sikerül megszervezi a biciklik cseréjét úgy hogy az előbbi egyelőtleségbe egyelőség teljesüljö akkor kész

36 AZ A LTALA NOS ESET va a megolda s Egy ilye lehetse ges cseresorredet mutat a 2 ta bla zat La thato hogy az a ltala os eset megolda sa hoz a biciklik 0 d 4 d 4 b1 B B b2 b3 Gy b4 Gy 2 Ta bla zat 2d 4 2d 4 3d 4 3d 4 d B Gy Gy Gy B Gy B Gy B Gy B B Ne gy ember ke t biciklivel 11 Abra Saja tos esetek vizsga lata

BICIKLIHIÁNYBAN 37 cseréjéek a leírása szükséges Eek érdekébe talá érdemes a 2 táblázat helyett a 3 vagy a 4 táblázatot elkészítei 0 d d 2d 3d 4 4 4 4 4 4 b 1 B B Gy Gy b 2 B Gy Gy B b 3 Gy Gy B B b 4 Gy B B Gy 3 Táblázat Négy ember két biciklivel - II Az utóbbi két táblázat sorai a másodiktól kezdve az előtte levő sor alapjá egyszerűe megszerkeszthetők (vagy az első elem kerül a végére és az egész előrecsúszik vagy az utolsó elem kerül az elejére és mide hátracsúszik) Ezek a mitázatok az általáos esetbe is kivitelezhető cseréket jeleteek tehát tetszőleges 3eseté gyerek két biciklivel legkevesebb t = d ( 2 + 2 ) idő alatt teheti meg a d távolságot Ez elérhető egy olya biciklicsere sorozattal amelyet a 5 táblázat ír le és ebbe az esetbe az átlagsebesség vátlag = 2 + 2 Ebbe a táblázatba a főátló és a közvetleül fölötte levő átló valamit a bal alsó sarokba va B atöbbi elem Gy tehát úgy is felfogható hogy a főátló levő B-k az egyik bicikli kihaszálását jeletik a többi B pedig a másik biciklihez tartozik d 4 2d 4 2d 4 3d 4 3d 4 d 0 d 4 b 1 B B Gy Gy b 2 Gy B B Gy b 3 Gy Gy B B b 4 B Gy Gy B 4 Táblázat Négy ember két biciklivel - III

38 AZ ÁLTALÁNOS ESET ( 1)d 0 d d 2d b 1 B B Gy Gy b 2 Gy B B Gy b 3 Gy Gy B Gy b B Gy Gy B 5 Táblázat ember két biciklivel d A8feladatmegoldása = 5 gyerek és k =3biciklieseté jelölje x 1 x 2 x 3 x 4 és x 5 a gyerekek által gyalogosa megtett út hosszát és y 1 y 2 y 3 y 4 illetve y 5 a bicikli megtett út hosszát Világos hogy x i = d ha 1 i 5 Belátható hogy ha valamelyik bicikli visszafele is megyük vagy valamelyik biciklit em juttatjuk el a végpotba akkor csökkethető azátjutáshoz szükséges idő Emiatt y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 =3d tehát x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 =2d Ha a gyerekeket b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 -tel jelöljük és mide 1 i 5eseté b i meetideje t i akkor t i = x i tehát a t =max{t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 } számra Az előbbiek alapjá t x i 1 i 5 5t x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 vagyis t d ( 2 + 3 ) 5 Egyelőség potosa akkor teljesülhet ha x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = 2d és y 5 1 = y 2 = y 3 = y 4 = y 5 = 3d Ebbe az esetbe az átlagsebesség 5 5 vátlag = 2 + 3 Ez egy súlyozott harmoikus középaráyos a két súly pedig a bicikli élküli gyerekek száma (2) és a biciklik száma (3) Azt még be kell

BICIKLIHIÁNYBAN 39 láti hogy ez lehetséges is tehát a biciklik megfelelő cserélgetésével elérhető azelőbb számolt miimum Egy lehetséges cseresorredet d 5 2d 5 2d 5 3d 5 3d 5 4d 5 4d 5 d 0 d 5 b 1 B B B Gy Gy b 2 Gy B B B Gy b 3 Gy Gy B B B b 4 B Gy Gy B B b 5 B B Gy Gy B 6 Táblázat Öt ember három biciklivel mutat a 6 táblázat Ez a táblázat értelmezhető úgy is hogy mide 1 s 3eseté ha j i + s 1 mod 5 akkor az s-edik bicikli a b i gyerek ül a teljes táv j-edik d hosszúságú 5 szakaszá A9feladatmegoldása Jelölje x 1 x 2 x az gyerek által gyalogosa megtett út hosszát és y 1 y 2 y a bicikli megtett út hosszát Világos hogy x i = d ha 1 i Belátható azis hogy egyik bicikli sem érdemes visszafele mei és midegyik biciklit érdemes a végpotig eljuttati tehát y 1 + y 2 + + y = kd és így x 1 + x 2 + + x =( k)d Ha b 1 b 2 b -el jelöljük a gyerekeket és mide 1 i eseté b i meetideje t i akkor t i = x i tehát a t =max{t 1 t 2 t } számra Az előbbiek alapjá vagyis t x i 1 i t x 1 + x 2 + + x t d ( k + y 1 + y 2 + + y + k )

40 TOVÁBBI PROBLÉMÁK Egyelőség potosa akkor teljesülhet ha x 1 = x 2 = = x = ( k)d és y 1 = y 2 = = y = kd Ebbe az esetbe az átlagsebesség vátlag = k + k vagyis a sebességekek a biciklik és gyalogosok számával súlyozott harmoikus középaráyosa A teljességhez hozzátartozik aak az igazolása is hogy az előbbi értékek elérhetők tehát a biciklik cserélgetése megszervezhető úgy teljesüljeek az x 1 = x 2 = = x = ( k)d és y 1 = y 2 = = y = kd egyelőségek Ezt a 7 táblázat alapjá láthatjuk be Ebbe a táblázatba a főátló és a közvetleül fölötte I 1 I 2 I k 1 I k I k+1 I 2 I 1 I b 1 B B B B Gy Gy Gy Gy b 2 Gy B B B B Gy Gy Gy b k 1 Gy Gy B B B Gy Gy Gy b k Gy Gy Gy B B Gy Gy Gy b k+1 Gy Gy Gy Gy B Gy Gy Gy b 1 B B Gy Gy Gy Gy B B b B B B Gy Gy Gy Gy B 7 Táblázat ember k biciklivel levő (k 1) átló csupa B áll és a bal alsó sarokba további (k 1) átló szité B-k állak a többi elem pedig mid Gy Ez a táblázat értelmezhető úgy is hogy mide 1 s k eseté ha j i + s 1 mod akkor az s-edik bicikli a b i gyerek ül a teljes táv j-edik d hosszúságú szakaszá 3 További problémák A következő természetes probléma lee aak vizsgálata hogy több típusú egyszemélyes jármű haszálata eseté legkevesebb meyyi idő alatt lehet megtei egy d távolságot Például mi törtéik ha

BICIKLIHIÁNYBAN 41 3gyerekvaés redelkezésükre áll egy bicikli meg egy robogó amelyre egyszerre csak egy ember ülhet Az előbbiek alapjá általába az asejtés fogalmazódik meg hogy ebbe az esetbe midhárom módo (gyalog biciklivel és robogóval) egyarát d távot érdemes megtei 3 és így az átlagsebesség a három sebesség harmoikus közepe lesz Ez viszot már em ugyaolya egyszerű mit az eddig vizsgált esetekbe mert a bicikli és a robogóátadása em szervezhető meg Haa harmadokál maraduk akkor a 8 táblázat első oszlopába egy R- ek egy B-ek és egy Gy-ek kell kerülie Az R utá em jöhet B (hisz amikor a robogóról leszáll akkor még em lesz ott a bicikli) tehát az elsősorkötelező módo R-Gy-B A második és harmadik sort egyértelműe kitölthetjük hisz a bicikliek is és a robogóak is meg kell teie a második harmadot Ez a kitöltés látható a8 táblázatba Így b 1 hamarabb teszi meg az út első 2-át mit b 3 3 (mert d 3 2d 3 2d 3 d 0 d 3 b 1 R Gy B b 2 B R Gy b 3 Gy B R 8 Táblázat Három ember biciklivel és robogóval robogó és gyalog megy míg b 3 bicikli és gyalog) tehát vária kell a biciklire Ez mutatja hogy ugyaaz az elképzelés em vitelezhető ki ebbe az esetbe mit amikor csak gyalogszerrel vagy biciklivel volt megegedett közlekedi Ugyaakkor a godolatmeet másik rész hasolóa működe ha x i y i és z i a gyalog biciklivel illetve robogóval b i által megtett út hossza és a sebességek < <v 3 akkor az idők t i = x i + z i Ha a bicikli is és a robogó is megteszi a teljes távolságot akkor y 1 + y 2 + y 3 = d és z 1 + z 2 + z 3 = d tehát x 1 + x 2 + x 3 = d és így az átjutási idő teljesíti a ( ) 1 t d 3 + 1 + 1 v 3

42 MEGJEGYZÉSEK egyelőtleséget Ez viszot még em elégséges mert ics kivitelezhető tervük tehát a probléma megoldása további elemzést kívá Ezzel a továbbiakba em foglalkozuk Hasoló módo általáosíthatjuk a feladatot ha em egy potból idulak és esetleg em ugyaoda kell beériük Szité általáosabb probléma ha több külöbözőtípusú járműáll redelkezésükre és a járművek em egyszemélyesek (pl va autó is amelybe 5 személy is elfér) Ez természetese agyo elboyolítja a helyzetet (előfordulhat hogy az autóval érdemes többször megtei az utat stb) de éháy sajátos eset taulmáyozható Haaprobléma teljese általáosa jeleik meg (több jármű midegyikek valamilye kapacitása em azoos kiiduló potok em azoos beérkezési potok esetleg szigorítások arra voatkozóa hogy ki kivel em lehet együtt bizoyos körülméyek közt feltételek a járművek sebességére voatkozóa stb) akkor a problémára még egy megközelítőe jóeredméyt adó reális időbe futó algoritmus is ige jó eredméyt jelet Midez azt mutatja hogy az általáosítások sorozatával gyorsa eljutuk olya problémákig amelyeket em tuduk megoldai Ez a kívácsiságvezérelt matematika taítás egyik alapvető jellegzetessége Ha valóba kívácsiak vagyuk a problémahelyzetre akkor hamar eljuthatuk meg em oldható feladatokig is Előre viszot em tudhatjuk hogy melyik általáosítás kezelhető és melyik em Tehát a problémák megfogalmazásába támogati kell diákjaikat és segíteük kell őket a saját korlátaik felismerésébe Tuduk kell és diákjaikba is tudatosítauk kell hogy az a természetes alaphelyzet amikor sok megoldatla problémával szembesülük Legtalálóbba talá Earl C Kelley fogalmazta meg: Nem sikerült megválaszoluk az összes kérdésüket Valójába éha úgy érezzük hogy teljese egyet sem válaszoltuk meg A megtalált válaszok csak arra jók hogy egy egész sorozat újabb kérdés felmerüljö Talá taácstalaabbak vagyuk mit valaha de úgy godoljuk hogy magasabb szite vagyuk taácstalaabbak és fotosabb problémákba

BICIKLIHIÁNYBAN 43 4 Megjegyzések 1 Ezt a foglalkozást kipróbáltuk általáos iskolai diákokkal középiskolás diákokkal és egyetemi hallgatókkal egyarát Az alapfeladat megoldására (esetleg egy kis próbálkozás utá) majdem mide esetbe rájöttek a diákok (a legtöbb esetbe kiscsoportokba dolgoztak) és agyo sok boyolultabb esetbe is megsejtették a megoldásokat A megoldások bizoyítások egzakt leírása általába igéyelt egy kis iráyítást éhol segítséget 2 A kiscsoportos foglalkozások agy előyt jeletettek a próbálkozások és a cserék megtervezése sorá Ezekél a lépésekél már a csoporto belül sikerült kiküszöböli az esetleg elkövetett hibákat A csoportos muka biztosította hogy a diákok majdem kivétel élkül megértsék a cserék kivitelezéséek módját és gyakra több külöböző tervisszületett az általáos eset cseréiek tervezésére Ugyaakkor időt is spórolhatuk ha a csoportok külöböző sajátos eseteket vizsgálak majd az iformációmegosztásra valamilye kooperatív megoldást haszáluk (így azt is biztosíthajuk hogy a kooperatív muka alapelvei érvéyesüljeek) 3 A foglalkozásokat általába 2 3 óra alatt viteleztük ki Érdemes az alapfeladat megoldását egy külö tevékeység alatt tárgyali majd az általáosításokat egy másik tevékeysége 4 Fotos kihagsúlyozi a gyakorlati feladat (a voat elérése) és a matematikai probléma megoldása közti külöbséget a bizoyítás mide lépéséek például a cserék megszervezéséek a fotosságát Ez éha csak akkor válik érthetővé ha eek segítségével valamilye félreértést ki lehet küszöböli A foglalkozások sorá a diákok majdem mide esetbe megfogalmazták a hibás sejtést a kétfajta jármű esetére és csak a cserék alaposabb elemzése sorá vették észre hogy az hibás

44 MEGJEGYZE SEK 12 Abra Csapatmuka 13 Abra Az alapfeladat megolda sa e s az a ltala os esetbe a biciklicsere k terve ek elke szı te se