VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Szögfüggvények derékszögű háromszögben, szinusztétel, koszinusztétel, Pitagorasz-tétel. Előzmények Pitagorasz-tétel, derékszögű háromszög trigonometriája, számológép használata szögfüggvények kiszámítására (oda-vissza, szögből szögfüggvényt és viszont), szinusztétel ismerete. Koszinusztétel ismerete előny, de nem szükségszerű. Cél A matematikai szövegértés és modellalkotás fejlesztése derékszögű és általános háromszögekkel modellezhető valós életbeli problémákkal. A szinusztétel használata és alkalmazása gyakorlati feladatokban, a tétel alkalmazásának buktatói, ezek felismerésének fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés Motiváltság Gondolkodás + Önismeret, önértékelés Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei + Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató A feladatsort elsősorban tanórai feldolgozásra ajánljuk. Használjunk trigonometrikus függvények számítására alkalmas számológépet. Ragaszkodjunk hozzá, hogy a tanulók minden feladat megoldása előtt készítsenek ábrát, azon jelöljék be és nevezzék el a feladat megoldása szempontjából fontos pontokat! Keressenek olyan háromszögeket, melyekben elég adatot ismerünk ahhoz, hogy a többi szöget és oldalt meghatározzuk! A feladat megoldása során fokozottan ügyeljünk a diákok figyelmes, értelmező szövegolvasására, mert enélkül nehéz megfelelően elképzelni a szituációt, és megfelelő ábrát készíteni! Érdemes arra figyelni, hogy a feladatok valóságosnak tekinthető szituációkat modelleznek, olyan adatokból indulnak ki, melyek ténylegesen mérhetőek lennének. Így a megoldások végén is célszerű meggondolni, életszerű-e az a végeredmény, amit kaptunk. Figyeljünk arra is, hogy milyen pontossággal érdemes megadni a válaszokat. Erre vonatkozóan a megoldás részletes eligazítást ad, amelyet a csoport képességeitől függően beszéljünk meg a tanulókkal. VI. Síkgeometria VI.11. Torony-Ház-Tető 1.oldal/
Gyengébb képességű csoport esetén mindenképpen a tanár segítsen megtalálni a feladatok megoldásához szükséges ötletet, aztán a tanulók dolgozzák ki a számításokat. Jobb képességű csoportok esetén az első feladat közös megoldása után a tanulók önállóan (egyedül vagy csoportosan) is megpróbálkozhatnak a további feladatokkal, a megoldás során tapasztaltakat azonban minden esetben beszéljék meg közösen is! Mindenképpen ki kell térni a szinusztétel legnagyobb buktatójára, hogy ugyanis (a koszinusztétellel ellentétben) a 0 és a 180 között két olyan szög is van, melyeknek szinusza azonos, ezért a szinusztételt ismeretlen szögek keresésére csak kellő körültekintéssel szabad használni. Hangsúlyozandó továbbá, hogy ismeretlen oldalak esetén ez a probléma nem merül fel, ilyen esetekben a szinusztétel biztonságosan és rendszerint a koszinusztételnél egyszerűbben alkalmazható. Arra is fel kell hívni a tanulók figyelmét, hogy bizonyos esetekben viszont éppen a koszinusztételt lehet egyszerűbben alkalmazni. Érdemes többféle megoldási lehetőséget is bemutatni. A feladatsor megoldása során érdemes megfigyelni a térbeli helyzet szöveg alapján való helyes elképzelésének készségét, vagyis azt, hogy tudnak-e a tanulók a feladatnak megfelelő ábrát készíteni. Fontos továbbá ellenőrizni a térbeli helyzet látványszerű ábrázolásának készségét, valamint a szögfüggvények, szinusz- és koszinusztétel használatában való jártasságát. Ez a feladatsor lehetőséget ad arra is, hogy ellenőrizzük a tanulók realitásérzékét az eredmények megadásánál. VI. Síkgeometria VI.11. Torony-Ház-Tető 2.oldal/
TORONY-HÁZ-TETŐ Feladat sor 1. Megmérjük egy torony árnyékának hosszát, ez 10,5 méternek adódik. Tudjuk továbbá, hogy a napsugarak ekkor kb. 75 o -os szögben érik a talajt. Milyen magas a torony? 2. Egy tízemeletes ház legfelső emeletének ablakából kilógatunk egy 30 méter hosszúságú kötelet. Ha a kötelet megfeszítve a végét a talajhoz rögzítjük, akkor a kötél 8 o -os szögben hajlik a talajhoz. Milyen magasan van az ablak? 3. Egy ház háromszög alakú tetőszerkezete kissé aszimmetrikus, az északi oldalon a tető dőlésszöge (α) nagyobb, mint a délin (β). Lásd az ábrát! C A α γ β B Tudjuk, hogy az északi oldalon AC = 4,0 m, α = 55,0, a déli oldalon pedig β = 32,0. a) Mekkora a tetőszerkezet magassága, azaz a C pont távolsága az AB alaptól? b) Mekkora a déli oldalon mért BC hossz? c) Mekkora a tető teljes AB szélessége? 4. Cseréljünk most meg egy ismert és egy ismeretlen adatot: legyen az AC oldal 4,0 m, a BC oldal,0 m és az AC oldal dőlésszöge α = 55,0. Keressük a BC oldal β dőlésszögét! 5. Legyenek most adva a következő adatok: AC = 4 m, BC = m, γ = 140. Keressük a tető AB szélességét! VI. Síkgeometria VI.11. Torony-Ház-Tető 3.oldal/
MEGOLDÁSOK t 1. Legyen a torony magassága t. tg75, ebből t 10,5 tg75 39, 2 (m). 10,5 Tehát 39,2 méter magas a torony. [a) ábra.] Természetesen a kapott eredmény pontossága kérdéses. A fenti számolás során az adatokat pontos értékeknek feltételezve számoltunk, s a végeredményt egy tizedesjegyre kerekítettük. Ha a 10,5 tized méter és a mért szög fok pontosságú adat, akkor az árnyék l hosszúsága 10,45 l 10, 55 és az α szögre 74,5 75, 5. A két szélső értékkel számolva 10,45 tg74,5 h 10,55 tg75, 5, azaz egy tizedesjegy pontossággal 37, h 40, 8. Vagyis dm és fok pontosságú mérés esetén körülbelül 1, méteres pontossággal mondható, hogy a torony 39,2 m magas. A végeredményt helyesen így érdemes megadni: a torony 39,2 1, m magas. Ha a kiindulási adatok l = 10,50 m és α = 75,0, akkor a végeredményben h = 39,2 0,1 m, tehát sokkal pontosabb! a) b) t 2. Jelöljük az ablak földtől számított távolságát t-vel. Erre teljesül, hogysin 8. 30 Ebből t 30 sin 8 27, 8 (m). Tehát 27,8 m magasan van az ablak. [b) ábra.] Az előző példához hasonlóan, ha a kötél k hosszát méterben mérve 29,5 k 30, 5 és a mért α szögre 7,5 α 8, 5, akkor az ablak t magasságára 29,5 sin 7,5 t 30,5 sin 8, 5, azaz 27,3 t 28, 4. (Mivel a szinuszfüggvény ezen az intervallumon monoton nő, ezért a szorzat minimális, ha a szög és a hossz is minimális, és maximális, ha mindkettő maximális.) Az ablak magassága tehát körülbelül 27,8 0,5 méter. Ha a mért adatok ennél pontosabbak, azaz k = 30,0 m és α = 8,0, akkor 27,8 t 27, 9. VI. Síkgeometria VI.11. Torony-Ház-Tető 4.oldal/
3. a) Először oldjuk meg a feladatot derékszögű háromszögekkel. Bontsuk a tető háromszögét két derékszögű háromszögre az AB alaphoz tartozó h magassággal! C A 4 m x h 55 32 s 1 T s 2 B Az ATC háromszögben a szinuszfüggvény segítségével meghatározható: h 4 sin 55 3,28. Tehát a keresett magasság 3,28 m. Ennyi lenne a végeredmény, ha feltételezzük, hogy az adatok pontosak voltak, s a végeredményt két tizedesre kerekítjük. A bemenő adatok pontosságát figyelembe véve 3,95 sin 54,95 h 4,05 sin 55, 05, vagyis 3,23 h 3, 32, vagyis a magasság tényleg körülbelül 3,28 m, de helyesebb, ha jelezzük, hogy ±0,05 m pontossággal. b) Hasonlóan a BTC háromszögben: h x sin 32, ebből x-et kifejezve: h 3,28 x,19 (m), tehát BC =,19 m. sin 32 sin 32 A bemenő adatok pontosságát figyelembe véve azaz,1 x, 3. Ezek szerint BC,2 m. 3,95 sin 54,95 4,05 sin 55,05 x, sin 32,05 sin 31,95 c) Az ATC háromszögben szinuszfüggvény segítségével meghatározható: s 4 cos55 2,29 (m), továbbá 1 h 3,28 s 2 5,25 (m). tg 32 tg 32 A teljes AB szélesség tehát s 1 + s 2 7,54 m. Hibahatárokat figyelembe véve: 3,95 sin 54,95 3,95 cos55,05 s 1 s2 tg32,05 7 1 2 4,05 sin 55,05 4,05 cos54,95, azaz tg31,95,4 s s 7,7. A teljes AB szélesség tehát körülbelül 7,55 m. 4. Az ATC háromszögben a szinuszfüggvény segítségével meghatározható: h 4 sin 55 h ( 3,28). Hasonlóan a BTC háromszögben: h sin, ebből sin. Az előző 4sin 55 egyenlőségből ide h értékét behelyettesítve: sin 0,541, amiből 33. VI. Síkgeometria VI.11. Torony-Ház-Tető 5.oldal/
5. A kézenfekvő megoldás a koszinusztétel: 2 2 2 c 4 2 4cos140 c 9,42 m. 4 m m 140 α c β A feladat azonban megoldható kizárólag szinusztétellel is, igaz, ehhez ismernünk kell a trigonometrikus addíciós tételeket: β = 180 140 α = 40 α sin 40 4 sin sin 40 cos cos 40 sin 4 sin cos sin 4 sin 40 cos 40 sin sin sin 40 ctg cos 40 2 3 2 cos40 ctg 3 2,2289, ebből pedig 24,1. sin 40 Innen egy újabb szinusztétellel: sin140 c, s ebből c 9,42 m. sin 24,1 Tekintve, hogy a trigonometrikus addíciós képletek levezetéséhez nincs szükség a koszinusztételre, kimondhatjuk, hogy az általános háromszögre vonatkozó feladatokat a koszinusztétel teljes hiányában is meg lehetne oldani, legfeljebb kicsit bonyolultabban. Hasonlóképpen azonban azt is be lehet bizonyítani, hogy a szinusztétel is körbekerülhető, azaz helyettesíthető több koszinusztétellel. Így az általános háromszögek trigonometriájának e két fő tétele egymással párhuzamosan létezik, egyik sem előfeltétele a másiknak, mindig az adott feladatra kényelmesebben alkalmazhatót kell elővenni, amint azt egyes korábbi feladatok megoldása közben már tapasztaltuk. VI. Síkgeometria VI.11. Torony-Ház-Tető.oldal/