Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai Elemző szakiáy Számításmatematikai Taszék Budapest 04
Aki matematikát taul, az a tűzzel játszik A matematika köye leyűgözi, elsábítja, abul ejti az embet Csodálatos titkokat ejt, melyek egyike-másika kis szeesével és keméy mukával megfejthető A megvilágosodás pillaatáak katazisa semmivel sem összehasolítható, felemelő ézés (Pak Jáos)
Tatalomjegyzék Bevezetés Első fejezet 3 Visszatekités a múltba Második fejezet 4 Göbevoalú idomok teületéek kiszámítása Hamadik fejezet 9 A függvéy alkalmazása éháy evezetes hatáétéke Negyedik fejezet 50 A logaitmus alkalmazása az élet külöböző teületei Köszöetyilváítás 5 Iodalomjegyzék 53 Nyilatkozat 54
Bevezetés A szakdolgozati téma választásom legfőbb oka az volt, hogy a logaitmus függvéyt em az általáos, jól megszokott módszeel szeettem vola defiiáli, bevezeti, haem elemi módo felépítei azt Mid a középiskolák, mid a felsőoktatási itézméyekbe a függvéyt az expoeiális függvéy bevezetését követőe, majd abból kiidulva végzik Célom az volt, hogy más utat mutassak ee Dolgozatomat egy övid matematika tötéeti ismetetővel kezdem, mivel fotosak tatom felidézi, hogy ez a függvéy milye múlta tekithet vissza i e -től apjaikig Ezt követőe külöböző poblémák megoldása soá eljutuk magához a logaitmus függvéyhez, majd evezetes hatáétékek kiszámításával egy, a Stilig fomuláál eősebb beslést adok az! -a, és ezt továbbfejtve belátom a Wallis fomulát Záásképpe éháy olya példát, és alkalmazási teületet mutatok be, melyek áttekitése utá egyételmű lesz, hogy meyie szélesköű a felhaszálási módja az ige haszos logaitmus függvéyek
Első fejezet Visszatekités a múltba Az alapgodolat, miszeit egy adott alap eseté a hatváykitevők számtai soozatához edeljük hozzá a hatváyétékek métai soozatát, má az ókoba (i e -be) Akhimédészél is felmeült Megalkotta azt az azoosságot, amivel a számok szozását el lehet végezi a kitevőik összeadásával Azoba az ötlet fotosságáa supá a XVI századtól eszméltek fel A koabeli matematikusok élja az volt, hogy találjaak egy módszet a agy számok szozásáa és osztásáa, helyettük ikább az összeadást és kivoást észesítették vola előybe Ezt táblázat fomájába lehetett a legjobba haszáli, és az első ilyet a gazdasági fejlődés következtébe a kamatos kamat számítás éljáa Simo Stevi készítette el Hasoló táblázatot készített Jost Bügi óásmeste és matematikus 6-be Bá Bügi táblázata má késze volt, Joh Napie mégis koábba közzétette saját tábláztát 64-be, melyet Bügitől függetleül ít Azoba a Csodálatos logaitmustáblázat leíása sak 5 évvel később lett kiadva, amely a számításait észletezte A logaitmus szót is Napie képezte a göög aithmosz (jeletése: szám), illetve a logosz (jeletése: aáy) szavakból 64-be Edmud Güte feltalálta a logaléet, mely főkét a műszaki szakembeek számolási mukálatait köyítette meg Máa a szeepét teljese átvették a számoló-, illetve számítógépek Napjaikba a tudomáy több teületé is alkalmazzuk a logaitmust, és azoosságait, ezt az utolsó fejezetbe bővebbe kifejtem 3
Második fejezet Göbevoalú idomok teületéek kiszámítása Pobléma Vegyük egy olya ABCD göbevoalú tapézt, melyet az y f ( x) függvéyel meghatáozott BC göbe, az abszissza tegely AD szakasza, valamit az odiáta tegellyel páhuzamos xa és xb étékekek megfelelő, AB és CD szakasz hatáol ába A továbbiakba e göbevoalú tapéz teületével foguk foglalkozi Bizoyos esetekbe az AB oldal pottá fog összezsugoodi, ilyeko ACD göbevoalú háomszögől beszélük ( ába) 4
ába Az (ábá) szemléltetett tapéz teületéek kiszámításához szükségük va a hatáéték fogalmáa Defiíió Legye f ételmezve egy a -t tatalmazó yílt itevallumba, kivéve esetleg a -t magát Az f függvéy hatáétéke az a helye létezik és étéke b, ha az f ( x) { f ( x), ha x a b, ha x a } függvéy folytoos az a helye Azt, hogy f hatáétéke az a helye b, a következőképpe jelöljük: lim f ( x)b, illetve f ( x) b, ha x a x a Tapézuk AD alapját osszuk fel észe úgy, hogy az osztópotokat jelöljük P, P,, P -gyel, valamit az AP, P P,, P D szakaszok hosszát pedig ede h, h, h -el 5
Fektessük a P, P,, P egyeeseket, melyek az potoko az odiáta tegellyel páhuzamos y f ( x) göbét a Q,Q,,Q potokba metszik (3ába) 3 ába Ez alapjá vegyük azt az téglalapot, melyekek alapjai AP, P P,, P D szakaszok, magasságuk pedig az ABP Q, P Q,, P Q DC szakaszok Jelölje a P, P,, P, D potok abszisszáit az x, x,, x, x, mivel az A abszisszája a, a D abszisszája b, eszeit x a+h ; x a+h+h ; ; x a+h+h + +h b h ; x b A ABP Q, P Q,, P Q DC f (x ), f ( x ),, f ( x ) szakaszok hossza ételemszeűe az lesz, tehát az daab téglalapból álló idom teülete S f ( x ) h, f ( x ) h,, f ( x ) h () A következőkbe étékét öveljük úgy, hogy az közelítse a végtelebe 6
Ha ekko az AP, P P,, P D szakaszok hossza külö-külö tat 0 -hoz, valamit az általuk képzett daab téglalap teületösszege egy bizoyos hatáétékhez tat, akko ez az éték lesz az ABCD göbevoalú tapéz teülete Tehát a P, P,, P potokat úgy kell elhelyezi az AD szakaszo, hogy az () összeget ki tudjuk számoli Majd a kapott fomulába elvégezve az hatáátmeetet, az ABCD tapéz teületét kapjuk, feltéve, hogy eseté a szomszédos potok távolsága 0 -hoz tat A má említett speiális esetet, mely szeit az ABCD göbevoalú tapéz AB oldala pottá zsugoodik össze, az alábbi példa megoldása szemlélteti (ába) Pobléma Hatáozzuk meg aak a göbevoalú háomszögek a teületét, melyet az abszissza tegely, az xa egyees, valamit az yx paabola hatáolak 4 ába 7
Megoldás: Az OD szakaszt osszuk fel egyelő észe, majd mide P k P k szakasz fölé képezzük egy téglalapot az alábbiak alapjá 5 ába [ ] A kapott téglalapok alapjáak hossza ede a, a k téglalap magassága k a Eze idomok teületösszege S a a + a + + a 3 a 3 ( + + + ), 3 és mivel ( ++ + ) ( +) (+), ezét S a3 (+) (+) 6 6 Az yx függvéy által hatáolt S teület a kis téglalapok teületéek hatáétéke, ha számuk tat a -hez 3 ( ) 3 a 3 +3 +4 3 lim a + + Azaz Slim S lim a 3 3 6 3 x x x 6 8
3 Pobléma Hatáozzuk meg aak a göbevoalú háomszögek a teületét, amelyet az ysi x göbe, az abszissza tegely és az x egyees hatáol, feltéve, hogy π Megoldás: A P, P,, P potokat az Poblémába meghatáozott módo választhatjuk, azaz az abszissza tegely OD szakaszát egyelő észe osztjuk 6 ába Ekko a kapott téglalapok összege S h ( si (h)+si (h ) +si ( h) ) lesz, ahol () h () h Vegyük a következő fomulát: ( si (h)+si (h ) +si ( h)) si Az alábbi addíiós szabályból köyű levezeti a megoldást: si (α) si(β) [ os(α β) os(α+β) ] α 9
Tehát ( h ) ( ) h (+) h h 3h 3h 5h os os + os os + + os ( os ( ) ))} ( ) ( ) ( {( ) ( ) ( si(h)+si( h) +si ( h) ) si Ebből következik, hogy ( si( h)+si( h) +si( h)) [ ( )] ( ) h os os + h si () h si h + si h () h si Eek segítségével: si ( h) S h ( ( + + si si h a h h si si si () () )) si si + -et ( ) [ ( )] kapjuk Mivel lim si α, ezét lim α α 0 si lim si A keesett teület: { [ ]} S lim S lim si si + si 4 Pobléma Hatáozzuk meg az m-edfogú y x m paabola (m ), az abszissza tegely, valamit az x, x d egyeesek által közezát göbevoalú tapéz teületét 0
Megoldás: Eél a feladatál em élszeű egyelő észeke felosztauk az abszissza tegely AD szakaszát Jelölje az OA szakaszt, d az OD szakaszt 7 ába A felosztásuk teljesítse az alábbi feltételt: OP OP OP 3 b : a OP OP OP Eze aáyok étékét evezzük -ek, tehát amiből OP OP OP 3 b d, a OP OP OP d egyelőséget kapom d Ebből következik, hogy ha, akko Mivel log log, ie log ( log d log ) 0, ha OP, OP OP,, d OP, ami a feltételükből adódik
h OP OA ( ) h ( ) 3 Ie h3 ( ) h ( ) A fejezet bevezetésébe kiótt feltételt itt kihaszáltuk, met d, ha Ezét mide P k P k hk hosszú szakasz 0 -hoz tat övelésével Ie a k m m k k téglalap teülete h k (OP k ) ( ) ( ) Az téglalap összteülete pedig: m S ( ) ( ) + ( ) ( m ) + + ( ) ( m ) m + m ( ) [ + m + + ( m +) + + ( ) (m + )] m+ m mivel (m+) ( m+ ) m m+ () d ( m +) (m + ) m ( ) d [ d m + m+ ] ;, Ha, akko miatt lim m feltéve hogy m tetszőleges, valamit az ABCD göbevoalú tapéz teületéek kiszámításához sak a kifejezés hatáétékét kell meghatáozuk, ha A továbbiakba külö-külö vizsgáljuk meg az eseteket m+ (3)
( eset) Ha m pozitív egész szám lim m+ m m lim ( + + ++ ) ++ + m+ ; mivel a (3) egy métai so összegképlete, ahol a kvóies, és m a tagok száma ( eset) Ha m>, aioális szám Ekko felíható, hogy m+ p, ahol p és s pozitív egészek s Ebbe az esetbe: lim p s p s m+ lim lim lim s s [ p s ( ) s s s : ( ) s ] Tudjuk, hogy eseté : s Folytatva az előbbi összefüggés levezetését, felhaszáljuk az újoa bevezetett jelölést, illetve az első eset megoldását a következőket kapjuk A feti háyadost két észe botva: p s lim ( ) lim s következik, hogy lim s s p p lim valamit ( ) s s Ezekből m+ p m+ s (3 eset) m+ p, egy ( ) -él kisebb aioális szám, ahol s p és s paaméteek pozitív egészek A második eset megoldásáak levezetését felhaszálva az alábbi összefüggést m+ p s ( kapjuk: lim lim lim 3 p s p s p ) m+ s
(4 eset) Legye m ebbe az esetbe iaioális szám, ekko a kifejezés hatáétéke m+, p aioális szám, és m+ -hez tat s Defiíió (Hatváy fogalma): Pozitív egész kitevőke: Ha a tetszőleges valós szám, és b > egész szám, akko a b hatváy azt a b téyezős szozatot jeleti, amelyek mide b a a a téyezője a Azaz a b db Nulla kitevőe: Ha a emulla valós szám, akko a 0 Negatív egész kitevőke: Ha b emegatív egész, akko a a tetszőleges emulla valós szám, b b a Raioális tötkitevőke: Ha a emegatív valós, b pedig aioális tötszám Ekko b felíható m alakba, ahol m m egész, em egyelő -gyel, pozitív egész Ekko a a a m b Mivel lim mide aioális száma, kivéve a ( ) -et igaz, hogy m+ m+ (3), ezt az első esetél beláttuk Ebből következik, hogy iaioális m eseté is igaz a összefüggés Összegezve az esetek eedméyeit mide lim m+ m+ teljesül 4 ( ) -től külöböző m eseté
Ebből az következik, hogy az ABCD göbevoalú tapéz teülete amelyet az yx m göbe, az x, xd egyeesek, valamit az abszissza tegely hatáol mide ( ) -től külöböző m paaméte eseté: [ ] d m + m+ m+ d m+ m+ m+ d, mivel 5 Pobléma Az előző feladat eedméyeit felhaszálva adjuk meg aak a göbevoalú háomszögek a teületét, amit az y xm (m > 0) m-edfokú paabola, az xd egyees, és az abszissza tegely által va köbehatáolva Megoldás: Az a módsze, ahogy az előző feladatot megoldott, itt em alkalmazható, hisze az OD szakaszukat em lehet felosztai geometiai soozatot alkotó véges sok észe Azoba segítségül hívva a má megkapott eedméyeket, köyebbe boldogulhatuk Az ABCD göbevoalú tapéz hatá alakzatjakét is tekithetük az 5 OCD
göbevoalú háomszöget, feltéve, hogy A A d m+ m + m+ m + d kifejezés -hez tat, ha 0 m+ m + Tehát a göbevoalú háomszögük teülete potosa ez az d éték m+ Ez az eedméy azoba em sak pozitív m -eke igaz, haem egatívaka is, amelyek ( ) -él agyobbak Megjegyzés: A következő poblémák az yx x göbe, az x, xd, továbbá az abszissza tegely által hatáolt göbe voalú tapéz teületével foglalkozik, potosabba az előző pobléma azo esetével, ahol m 6 Pobléma Legye T és T aak a göbevoalú tapézok teülete, melyeket az y x hipebola, az xc, x D, az abszissza tegely, az xc, x D egyeesek hatáolak Bizoyítsuk be, hogy ha C C teljesül, akko T és T teületek megegyezek D D Megoldás: Első lépéskét osszuk fel az abszissza tegely C D és C D szakaszait egyelő észe, ahol O C és O D d valamit O C és O D d Ezeke a szakaszoka állítsuk téglalapokat a (9 ába) szeit 6
9 ába A C D szakaszo álló téglalapok közül a k -adik teületét T k () -gyel jelölve: T k () d d d d d d ( k ) + k d d + k + k k + k ( 0 ába Hasolóképpe állítjuk elő a C D - álló k -adik téglalap teületét: 7 )
T k () d d d d d d ( k ) + k d d + k + k k + k ( A feladatok feltétele az volt, hogy ) d d, ezét T k () T k Ebből következik, hogy a C D szakaszo álló téglalap T teületösszege egyelő a C D szakaszo álló téglalap T teületösszegével 7 Pobléma Bizoyítsuk be, hogy F ( z z ) F (z )+F ( z ) teljesül mide tetszőleges pozitív z és z eseté Megoldás: A következőkbe z és z egymáshoz viszoyított étékük szeit válasszuk szét a feladat megoldását ( eset) Ha z, z > ába 8
Tudjuk, hogy z z z, ezét az előző feladat eedméye alapjá a ( ábá) z jelölt göbevoalú tapézok teülete egyelő Mivel az abszissza tegely, az y x hipebola, az x, az x z z egyeesek által hatáolt göbevoalú tapéz teülete egyelő az abszissza tegely, az y hipebola, az x, az x z és a megfelelő x x z és x z z egyeesek által hatáolt két göbevoalú tapéz teületösszegével Tehát F ( z z ) F (z )+F ( z ) ( eset) Ha z, feltéve, hogy z > z ába Ebbe az esetbe ezt az egyelőséget kell bizoyítai: F ( z )+F ( z )F ()0, azaz F () F ( z ) z 9
Mivel z, ezét az előző feladat eedméye végett az z y x hipebola,az abszissza tegely, az x, az x z egyeesek által meghatáozott göbevoalú tapéz teülete megegyezik az y x z az y hipebola, az abszissza tegely, az x, az x hipebola, az abszissza tegely, az x z, az x egyeesek által x elhatáolt göbevoalú tapéz teületével Ie egyből következik a bizoyítadó egyelőség, azaz F z F (z ) (3 eset) Ha z, z < Ekko az egyes étékek eipokai, azaz beláttuk, hogy F F (z ), z F,, > A ( eset)-be z z z z F ( z ) z és F F ( z z ) z z valamit F z +F z F z z Megszoozva az egyelőség midkét oldalát ( ) -gyel megkapom a bizoyítai kívát összefüggést, azaz F ( z )+F ( z ) F ( z z ) (4 eset) Ha z >, z < de z z Továbbá feltesszük, hogy tehát z z > A feltételből következik, hogy z > A koábba bizoyítottak miatt F ( z z ) + F ( ) F z z F ( z ) z z 0
Ebből: F ( z z ) F (z ) F z F ( z ) + F (z ) Ha z z < -et tesszük fel, akko is hasoló módo látjuk be az összefüggést Következésképpe az F ( z ) + F ( z ) F (z z ) -et mide esete beláttuk 8 Pobléma A következőkbe az F ( z) függvéy egyik fotos tulajdoságát bizoyítjuk be γ Teljesül az F ( z ) γ F ( z ), bámely γ eseté A bizoyítást több lépésbe végezzük, így tejesztve ki ételmezését mide γ száma Megoldás: ( eset) Ha pozitív egész szám, F ( z ) F ( z) Ebbe az esetbe a 7 Pobléma eedméyekét a közefogási elv ételmébe: F ( z ) F ( z)+f ( z ) F ( z) 3 F ( z ) F (z )+F ( z) F ( z)+f ( z) 3 F ( z) F ( z 4 ) F ( z 3)+F ( z) 4 F ( z) F (z ) F (z )+ F ( z) ( ) F (z )+ F ( z ) F ( z) ( eset) Ha k em egatív egész, F ( z k ) k F ( z) Legye k, ahol pozitív egész Ekko a hatváyozási szabályok alkalmazása utá az k F (z ) F () F ( z ) összefüggéshez jutuk z Tehát F (z k ) F ( z ) k F ( z)
m (3 eset) Ebbe az esetbe m egész szám, F ( z ) m F ( z ) Ez köye adódik, m ha a ( eset)-be bizoyított fomulába z -t elevezzük z -ek Ekko ezt a m képletet kapjuk: F ( z) m F ( z ), ie pedig a ( eset)-be bizoyítottak m szeit F ( z ) F ( z ) m m (4 eset) Ha tetszőleges aioális szám, teljesül az alábbi kapsolat: m F ( z ) F ( z) Valóba teljesül, mivel F ( z m ) F m [( z ) ] m F (z ) m ( eset), illetve (3 eset)-be leítak szeit az (5 eset) Az alábbiakba azzal az utolsó lehetőséggel foglalkozuk, amiko γ tetszőleges γ iaioális szám eseté F (z ) γ F ( z) teljesül Hozzuk léte két olya soozatot, ami aioális számokból áll, azaz γ, γ,, γ, valamit a γ ', γ ',, γ ', -t E két soozat elégítse ki a következő feltételeket: 0 γ γ < 0 γ ' γ > 0 lim γ lim γ ' γ Megjegyzés: A γ szám tizedes tötekkel való alsó közelítése γ, felső közelítése γ ' -két tekithető A γ és a γ ' potossággal közelítik a γ számukat 0
Tudjuk, hogy a szóba fogó F ( z) függvéy z változó övelésével ő Tehát γ γ ' F ( z ) < F ( z γ) < F ( z ) Továbbá tudjuk, hogy γ és γ ' aioális számok, azaz γ γ F ( z) < F ( z ) < γ ' F ( z), ez a (4 eset)-ből következik γ Ie γ < F (z ) < γ ' következik, ezt továbbfejtve a Közefogási elv végett: F ( z) γ lim γ F (z ) lim γ ' F ( z) γ lim γ ' A kezdeti feltételek közül a (3pot)-ba foglaltak szeit mivel lim ezét teljesül a következő kapsolat: γ F(z ) γ F ( z) γ F (z ) γ F(z) Ez az a képlet, amit be szeettük vola láti A későbbiekbe ezt az F ( z) függvéyt logaitmus függvéyek hívjuk Megjegyzés: Az (5 eset) levezetése utá köyű beláti, hogy az eddig F ( z) -két említett függvéy maga a l (z ) Amit azt a fetiekbe beláttuk, F ( z) F (e l( z) ) l( z) F (e) l ( z), mivel F (e) az e szám defiíiója szeit Tétel (közefogási elv): Legye (a ) egy olya soozat, amelyhez létezek olya ( x ) és ( y ) soozatok, hogy ℕ+ : x a y, és lim x lim y : A Ekko (a ) koveges, és lim a A 3
Defiíió ( Az e szám) Tekitsük az e + ℕ soozatot Megmutattuk a 3 és 33 Feladatok soá, hogy (e ) szigoúa mooto övekedő és felülől kolátos soozat, ezét koveges is A lim + : e Ezzel a soozattal legtöbbet Leohad Eule (707-783) foglalkozott Ő vezette be az (e ) soozat hatáétékée az e jelölést + + + + ( ℕ) szozat 0!!!! + + + + e hatáétéke ugyaez az e szám, azaz lim!!! 0! Másészt megmutatható az is, hogy az s : ( ) 9 Pobléma Hatáozzuk meg aak a göbevoalú tapézak a teületét, amit az abszissza tegely, az ya x poliom, az odiáta tegely továbbá az x egyees hatáol 3 ába Megoldás: Ahogy azt má koábbi feladatokál is alkalmaztuk, osszuk fel egyelő észe az abszissza tegely azo szakaszát, mely a tapéz alapját képezi Ezt evezzük el OC szakaszak A feladat szövege szeit ez hosszú 4
Mide kis szakasz hossza ya x göbe, a, a,, a Ebből beít ( ) következik, (, az ezeke képzett kis téglalapjaiak, valamit az téglalapjaiak magassága a következőképpe alakul: hogy S + a + a + + a az ( ) S -el jelölt összes téglalap teületösszege ) A záójele belül egy métai soozat összege lelhető fel, melyet ki tudjuk fejezi a a ezzel az összegképlettel: Ie S a a S Potosa ez az összeg végtelebe vett hatáétéke lesz a keesett ABCD göbevoalú tapéz teülete a a Slim lim ( a ) a Eek kiszámításához a 36 Feladatáak megoldása szükséges Ez alapjá ( ) lim a lim ( a ) l a l(a) Ebből következik, hogy a keesett teület S a l a 0 Pobléma Hatáozzuk meg aak a göbevoalú háomszögek a teületét, amelyet az abszissza tegely, az x egyees (ahol > ), valamit az ylog a x göbe hatáolak 5
4 ába Első megoldás: y Felhaszálva azt az összefüggést, ami szeit ylog a x átalakítható xa -á, továbbá a 9 Pobléma megoldásából köye adódik jelelegi poblémák megoldása Itt az ABC göbevoalú háomszög teületét kell potosa meghatáozuk, ahol az OA és OB Ez a (4 ábáól) is köye leolvasható Első lépéskét az OACD tapéz teületét kell kiszámoluk Köye látszik, hogy ez a tapéz ugyaolya alakú, mit a (3 ábá) látható tapéz, amiek a teületét má meghatáoztuk Tehát az OACD göbevoalú tapéz, amelyet az xa y göbe, az y0 és az ylog a egyeesek, továbbá az odiáta tegely hatáol, az előző feladat megoldása alapjá S OACD a loga a b b teületű l a l a Azoba az ABC göbevoalú háomszög teülete megkapható a két göbevoalú tapéz teületéek külöbségéből Azaz S ABC S OBCD S OACD Ezutá felíható, hogy S b log a b b b log a b l a b+ b l b b+ l a l a l a 6
Megjegyzés: A 0-es Poblémát másképpe is meg lehet oldai, a 9-es Pobléma megoldásáak felhaszálása élkül A következőkbe ezt a levezetést szemléltetjük Második megoldás: Osszuk fel az AB szakaszt egyelő észe úgy, hogy az alábbi jelölésekkel dolgozuk OA, OBd 5 ába A felosztott szakaszaik ede: (5 ába) OM OM OM 3 d OM OM OM, 3, Mivel OM, továbbfejtve OM OM 3,OM,OB d, ahol d (lásd a 4-es Poblémába) Ezekből következik, hogy a téglalapok alapjai a következőképpe alakulak:, ( ), ( ),, ( ) 3 A magasságuk pedig: log, log log, log 3 log,, log log 7
Ie köye adódik az OBC göbevoalú háomszögbe látható téglalapok teületösszege, azaz S ( ) log + ( ) log + ( ) 3 log + + ( ) (++3 + + ) log ( ) log Következésképpe eek az összegek a végtelebe vett hatáétéke lesz a háomszög teülete Az összegbe fellelhetük egyszeűbbe is leíhatuk (++3 + + egy összefüggést, melyet ) ( ) ( ) log Ezt visszaíva az összegképletbe, S log Mivel d, ezt visszaíva: log log d, ezét S d log d (d ) log d ( d ) De tudjuk, hogy lim ( d )l(d ), ie következik, hogy Slim S d log d ( d ) log d d d l d d + d log d l l 8
Hamadik fejezet A függvéy alkalmazása éháy evezetes hatáétéke 3 Feladat Lássuk be az alábbi összefüggést, feltéve, hogy p > : p p p + + + p+ p + lim Megoldás: Első lépéskét meg kell hatáozuk azt a göbe alatti teületet, amit az abszissza tegely, az x d egyees, illetve az y x p p-edfokú paabola hatáol, ha p > Majd alkalmazzuk az eddig is gyaka haszált módszet, osszuk fel az ON szakaszt egyelő észe Az így keletkezett potokat jelöljük Q, Q,, Q -gyel Íjuk fel tehát az S közelítő teületösszeget: S h [ h +( h) + +( h) ] h p p p p + p p p ( + + + ), ha h d, azaz az ON szakasz felosztásával kapott h -hosszú szakaszok hossza Így a kédéses göbe alatti S teület megegyezik eek a közelítő teületösszegek a hatáétékével -be ézve Azaz S lim d p+ p p ( + + + p+ p ) -el Ezt má kiszámoltuk a 5 Pobléma 9
p+ d megoldása soá, következésképp S p+ Ie köye levezethető, hogy a kezdeti feltételüket figyelembe véve (azaz p p p + + + p + p + p > eseté) lim 3 Feladat Lássuk be, hogy a következő számok mooto övekvő soozatot alkotak 3 ( + ; + ; + ; ; + ; + 3 + + ) ; Megoldás: A bizoyításhoz elég azt beláti, hogy >s eseté teljesül: [ ] [ ] log + A > log + logaitmus s s függvéy azoosságai végett ez megegyezik az alábbi egyelőtleséggel: Kiagadva ebből a -et, ez aak a göbevoalú log + > s log + s log + teülete, amelyet az abszissza tegely, az x, az x+ ABCD tapézak a valamit az y x hipebola hatáolak is, az Hasolóképpe ábázolható a log + s 30 AB ' C ' D alakzat teülete
6 ába Az ába jelölései alapjá T ABRQ > T ABCD valamit T BB ' SR > T BB ' C ' D De tudom, hogy T AB ' C ' Dlog + log + s, ie következik, hogy log + > log + s s, azaz > s log + s 33 Feladat Lássuk be, hogy a következő számok mooto sökkeő soozatot alkotak 3 + + ; + ; ; + Megoldás: Az előző feladathoz hasolóképpe a bizoyításhoz elég supá azt beláti, hogy [ ] [( >0 eseté teljesül, hogy: log + + Ietől a kettő külöbségét vizsgáljuk 3 > log + + ) ] +
[ ] [( log + + log + + ) ] + [ ] ] potosa aak a göbevoalú tapézak a tapézak ( +) log + + (+) log + log + log + + + ( +) log + [ A log + log + + a teülete, amelyet az abszissza tegely, az x+, az x+ valamit az y egyeesek, + hipebola hatáolak x 7 ába ( Ugyaígy levezethető, hogy a log + x+ + ) pedig az abszissza tegely, az x, az, továbbá az y által meghatáozott göbevoalú tapéz teülete + x 3
Ha vesszük a BB ' C ' C tapézt, eek teülete agyobb, mit a BB ' C ' M téglalapé, )( ( amié egyébkét BB ' B ' C ' + [ ( )] Azaz (+) log + log + + ) ( +) + + + > ( +) + + Nyilvávaló, hogy az ABCD göbevoalú tapéz teülete kisebb, mit az ABND téglalapé, amiől azoba tudjuk, hogy AB AD ( Ie következik, hogy log + + ) < + + Ezutá összevetve a két egyelőséget, megkapjuk, hogy [ ] [( log + + [ ( (+) log + ) ] )] ( log + + log + + + log + ) >0 + Pot ezt szeettük vola beláti Ie má egyszeű megmutati, hogy a 3 Feladat soozata alulól kolátos, eek alsó kolátjáak választhatjuk a 0 -át Megállapítható, hogy midkét soozat (A 3 és 33 Feladat) hatáétéke megegyezik, és ez az e-szám 34 Feladat Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges z eseté lim z + e z! Megoldás: (eset): Tegyük fel, hogy z>0 és vegyük azt a göbevoalú ABCD tapéz z teületét, melyet az abszissza tegely, az x, az x+, továbbá az y hipebola hatáolja 33 x
8 ába A keesett tapéz teülete az ABKD és ALCD téglalapok teülete közé esik Ezek teületei z z és között va, amit a 33 Feladat megoldásával z + magyaázhatuk z z z z z Ie következik, hogy >log + >, azaz z>log + > z z+ + [ ] Tegyük fel, hogy, ekko log lim + z z, azaz lim + (eset): Hasolóképpe vizsgáljuk az az esetet is, amiko z<0 34 z e z
9 ába z z z Itt az ABKD teülete, az ALCD téglalapé z z z Ha z<0, akko az ABCD göbevoalú tapéz teülete pedig log + Az utóbbi ábából következik, hogy z z z z z z < log + < <log + < z z z z <log + z <z [ ] z Feltéve, hogy felíható, hogy log lim + z avagy z lim + e z Így beláttuk, ami bizoyítai akatuk 35
35 Feladat Hatáozzuk meg a következő hatáétéket! lim ( a ) Megoldás: Tekitsük azt az ABCD göbevoalú tapézt, melyet az abszissza tegely, az x, x a egyeesek, valamit az y x hipebola hatáolak Eek a teülete log a log a Azoba aak a göbevoalú tapézak a teülete, amelyet az x, x+ log a egyeesek, és az y hatáolják, egyételműe kisebb, mit x log a Ie ögtö következik, hogy szemlélteti 0 ába 36 a>+ log a, ezt a (0 ába)
Hasolóképpe, ha az x, x y által hatáolt egyeesek, és az x log a göbe alatti teület agyobb, mit az alapú és log a magasságú log a téglalap teülete Tehát agyobb, mit log a Ie következik, hogy a< log a log a Azaz log a< a <, továbbfejtve a eláiót: log a log a log a< ( a )< log a log a Végül az eddigiek alapjá lim ( a )log a Ezt a feladatuk megoldása 36 Feladat 37
Lássuk be az alábbi eláiót tetszőleges pozitív eseté () 4 e 5 e <!< e e Megoldás: Vegyük az ylog x göbét valamit aak az daab egységyi magasságú göbevoalú tapéz és egy göbevoalú háomszög teületösszegét A k tapéz páhuzamos oldalai log k és log (k +) Ezét a kédéses teületösszeg potosa: log +log ( ) log log 3+ log log 4 +log 3 + + + + log +log 3+ + log ( )+ log ába Az itt vizsgált összegél yilvávalóa agyobb az abszissza tegely, az ylog x göbe, és az x egyees által meghatáozott teület, melyet ietől T () -két említük () Azaz T > log +log3+ +log ( )+ log A eláió kifejezések külöbségét fogjuk vizsgáli, evezzük K () -ek 38 két oldalá lévő
[ ] () () A K :T log +log 3+ +log ( )+ log külöbség az övelésével ő A következő lépéskét íjuk fel aak az tapézak a teületösszegét, melyeket az xk 0,5 valamit az xk+0,5 egyeesek és az ylog x göbéhez az xk potba húzott éitők hatáolak Ahol k ( ) Ehhez vegyük hozzá azt a tapézt is, amelyet az x, x,5 egyeesek, és az ylog x göbéhez az x,5 potba húzott éitő hatáol Valamit egy olya téglalapot, amiek a magassága log, az oldalai pedig ede x és az x egyeeseke esek 3 ába Tudjuk, hogy a k tapéz középvoala potosa log (k +), valamit a hozzávett tapézé pedig log,5 Ie a kapott alakzatuk teületét megkaphatjuk Nevezzük R() -ek 39
[ ] 5 () Ekko R log + log 3 + + log ( ) + log + log 4 Azoba tudjuk hogy, () R >T () [ ], tehát log + log 3 + + log ( ) + log + log () Ie következik ez a eláió: K < log 5 > T 4 5 4 A 0 Poblémába T () étékét kiszámítottuk: T () log + Valamit felhaszálva a log + log 3 + + log log! összefüggést is, hozzájutuk K () étékéhez ( ) K () ( log + ) log! log K () log log e + log!+ log log +! e -et köze tudom fogi a következőképpe: 0 < log ( ) 5 + < log 4! e < log + < log! e 5 4! e 4 e> > e 5 () e e Ez pedig éppe a bizoyítai kívát egyelőtleség () 4 >! > e 5 e 37 Feladat Lássuk be, hogy az! () e háyados koveges, feltéve, hogy, és hatáétéke legye 40
Megoldás: Az előző feladatból kideült, hogy a keesett szám 4 e és e között va 5 Midemellett azt is beláttuk, hogy a kédéses K () mooto övekvő és felülől () kolátos, mivel K < log 5 mide -e 4 Tehát lim K () K, ahol az előzőek végett 0 < K < log : K 5, hisze tudjuk, hogy 4 >0 A 36 Feladat megoldásából tudjuk, hogy K () log +, ezét hogyha létezik! e! e a K hatáéték, akko létezik a keesett lim is Ha vesszük a K -a felít kolátokat, láthatjuk, hogy -e teljesüli fog a bizoyítai 4 5 kívát egyelőtleség, azaz e > > e 38 Feladat Bizoyítsuk be, hogy a 37 Feladatba szeeplő szám π -vel egyelő Megoldás: () A! () e soozat hatáétékéek meghatáozásához fel kell haszáluk a Wallis fomulát Ez a π szám közelítését adja Defiíió: Legye ℕ, ekko legye ( )!! 4 ( ) (), illetve ( + )!! 3 5 ( ) ( + ), melyeket szemi-faktoiálisak szokás evezi 4
Tétel (Wallis fomula):!! 4 4 π ; másképpe felíva: lim π 3 3 5 + ( )!! + ( lim ) Bizoyítás: Vizsgáljuk a si x függvéy hatváyait Ekko igaz az alábbi eláió: (si x) (si x) + (si x) +, ha x 0 ; π [ ] Mivel eze az itevallumo a si x függvéy sak [ 0 ; ] közötti étéket vehet fel, ezét a hatváyok étékei sökkeő vagy kostas lehet Vegyük ezek itegáltjait szité az x 0 ; π itevallumo [ ] π π π 0 0 0 (si x) dx (si x) + dx (si x) + dx A továbbiakba tekitsük a si x függvéy k hatváyáak itegáltját az x 0 ; π [ itevallumo, feltéve hogy k ℤ Ezt az itegált későbbiekbe P k -két említjük π π π P k si x dx si k 0 k 0 x si x dx si k x ( os x ) dx 0 π π si k x dx si 0 k x os x dx 0 P k π π k x os x os si k x os x dx si x 0 0 u' v π si k x os x + si k x si x k k 0 k si x P k k si x os x + P k k k 4 ]
Most vizsgáljuk sak P k étékét k si x Pk Pk os x P k k k ( π k 0 [P ] + si k x P k P k os x k k ) [ k P k k ] [ π 0 k k si x os x k k ] π 0 Visszatéve a eláióhoz, majd behelyettesítve a kiszámoltakat, hozzájutuk ehhez az összefüggéshez: ( ) ( 3) π ( + ) ( + 3) ( ) ( + ) ( + ) 3 ( + ) ( + 3) π ( + ) ( + ) 3 ( ) ( 3) π ( ) ( + ) ( ) π ( ) ( + ) ( ) 3 ( + ) 3 Osszuk le az egyelőtleséget ( ) ( 3) -vel ( ) ( + ) π π [ ( ) ] ( + ) [( ) 3 ] ( + ) Alkalmazzuk a Közefogási elvet! Mivel a eláió midkét oldala π -höz tat, ie [ ( ) ] π következik, hogy ( + ) [( ) 3 ] [ ] ( ) π Végül lim ( ) ( 3) 3 + lim 4 4 π 3 3 5 ( ) ( + ) Ezzel a fomulát bebizoyítottuk 43
A továbbiakba alakítsuk át a kapott képletet: 4 ( 4 6 ) (!) π lim lim ( 3 ) ( + ) [()!] ( + ), π avagy lim ()! e () π lim e Tehát lim + e, továbbá lim! e ()! e (), ezét helyettesítsük az étékekkel () () e () és a ()! ( ) e lim lim () Így (!) Mivel + ()! () lim +, azoba +, következésképpe mide agy -e! π e π Végül π 39 Feladat Tekitsük a következő számot, majd bizoyítsuk be, hogy bámely -e 0 < γ < : γ + + + + + log 3 4 Megoldás: Vegyük egy olya ABCD göbevoalú tapézt, amelyet az y, az x, x x hatáolak Eek az alakzatak a teülete potosa log Alkalmazva a szokásos 44
eljáást, megkapjuk, hogy az egységyi oldalú, de ede ; ; ; ; 3 magasságú téglalapok teületösszege agyobb, mit log 4 ába 3 Tehát + + + + > log γ + + + + log > 0 3 Ezutá vegyük azokat a téglalapokat, melyekek teületösszege alulól besli a göbe alatti teületüket Azaz az egységyi oldalú, de ede téglalapok teületösszege temészetese kisebb, mit log 45 ; ; ; magasságú 3
3 Következésképpe felíható, hogy log > + + + γ +, azaz + + + log < 3 Így bámilye -e 0 < γ < 30 Feladat Továbba is a 39 Feladat által bemutatott speiális számot vizsgáljuk, mely szeit γ + + + + log 3 Bizoyítsuk be, hogy a γ soozat koveges, feltéve, hogy Megoldás: A 39 Feladat eedméyét felhaszálva megállapíthatjuk, hogy a γ soozat felülől kolátos, tehát elég azt beláti, hogy emellett mooto övekszik Ez azoba egyételmű, hisze a γ potosa a (3ábá) látható y göbé túllógó teület, x ez pedig étékéek övelésével ő Miutá a felülől kolátosság adott volt, a mooto övekedést pedig beláttuk, ezekből má következik, hogy a soozat koveges Megjegyzés: ( 3 Ez utóbbi két feladatból következik, hogy γ lim + + + + ) log, és ez γ szám az Eule álladó Máséve Eule-Masheoi kotasak is evezik, étéke megközelítőleg 0,57756649, azoba máig em ismet, hogy aioális vagy iaioális szám 46
3 Feladat Bizoyítsuk be, hogy p > eseté az + + p + + p összeg koveges, p 3 feltéve, hogy Mutassuk meg, hogy a hatáéték p és között va p p Megoldás: A megoldás meete hasolóa alakul a 39 és a 30 Feladatéhoz Vegyük azt a göbevoalú tapézt, amit az abszissza tegely, az x, x egyeesek, továbbá az y göbe fog köze xp 6 ába Nevezzük el a következő soozatot h p -ek h p + p + p + + p > 3 h + [ x p+ dx p+ xp 47 + ] p + ( + ) p + p+
Vegyük most a göbe alatti teület téglalapoka tötéő felosztását az odiáta tegelytől kiidulva 7 ába Ekko [ ] x p+ p + h p + + + + p < + p dx + + 3 p+ p+ p+ h x < hp < + p < p p p p p ( + ) < p p p p p p < hp < p p + p p p < p< ; ha p p 48
Megjegyzés: Néháy édekesség a 3 Feladat alkalmazásával kapsolatba: ) p : Azoba Eule számításai alapjá a potos éték: π6 ) p 4 : 4 4 3 Eule íásai alapjá a potos éték: π 4 90 4 3) Azoba egy máig megoldatla poblémába ütközük, ha szeeték megkapi a p potos étékét 3 3, de is olya E egész szám, amelye 49 3 πe 3 p 3 eseté
Negyedik fejezetbe A logaitmus alkalmazása az élet külöböző teületei A gyakolati helyzetekbe olya adatedszet, amelybe kisi ( 0 és 0 közé esők), közepes ( 0 3 és 5 0 közöttiek), és agy számok ( 06 és 9 0 közé esők) szeepelek, összesűíthetőek övid skáláa is A kapsolat úgy is ételmezhető, mit a fizikai meyiségek (mit például hagmagasság, hageősség, stb) által keltett fizikai ézet aáyos a fizikai jel (teljesítméyek) logaitmusával Ez idokolja a külöböző logaitmus skálák bevezetését Ilye a deibel-skála, melyek legagyobb előye, hogy szélsőségese agy és kisi étékek összehasolítását is lehetővé teszi Továbbá az, hogy a deibel logaitmikus skálája megfelel az embei hallószev működéséek A Rihte-skála a földegés eősségéek megfigyelésé alapuló ú Rihtemagitudót adja meg Ez a méőszám a földegés fészkébe felszabaduló eegia logaitmusával aáyos Egy másik teületkét említhetjük a adioaktív izotópokkal kapsolatos számításokat Nagy haszát veszik a tudósok a logaitmusak a adioaktív ayagok bomlási idejéek számításáál Vegyük például a 4 tömegszámú széizotópot, amely ugya adioaktív, de az élő szevezetbe is megtalálható Tehát a 4C izotóp kimutatható a égészeti leletekből, így eek ismeetébe kiszámítható a koa 50
Az egyik legagyobb sikee a logaitmikus komeghatáozási módszeek az 988ba a toiói lepel (Jézus halotti leple) koáak meghatáozása volt Végezetül a tásadalomtudomáy, a biológia, a közgazdaságta, és számos más tudomáyág számításaiba is fellelhető a logaitmus, melyek haszosságát má az ókoba is felismeték a kamatos kamat számításál Bá magával a függvéyel közvetleül sak speiális feladatok soá találkozhatuk, mégis az élet, a tudomáy egeteg észé fellelhető, és élkülözhetetle 5
Köszöetyilváítás Ezúto szeetém megköszöi elsősoba témavezetőmek, Mezei Istváak a szakdolgozatom elkészítése soá yújtott szakmai taásait, ispiáló szavait; valamit Szüleimek és Nagyszüleimek, hogy lehetővé tették számoma felsőfokú taulmáyaim elvégzését Külö fejezem ki köszöetemet Nagypapámak, aki az egyetemi éveimet kivételes figyelemmel kíséte, és olyko szigoú, de lelkesítő szavaival támogatott 5
Iodalomjegyzék [] Hotobágyi Istvá: Elemi matematika IV Taköyvkiadó, 978 [] Juhász Istvá, Oosz Gyula, Paózay József, D Simo Judit: Az éthető matematika Nemzeti Taköyvkiadó, 0 [3] Kósa Adás, Mezei Istvá, S Gyamati Ezsébet: Aalízis Példatá Műszaki Köyvkiadó, 986 [4] Kósa Adás: Ismekedés a matematikai aalízissel Műszaki Köyvkiadó, 98 [5] D Szép Jeő: Aalízis Közgazdasági és Jogi Köyvkiadó, 965 [6] D Vas Gyögyé: Hétjegyű logaitmus Nehézipai Köyvkiadó, 967 [7] http://ewikipediaog/wiki/rihte_sale [8] http://ewikipediaog/wiki/deibel [9] http://ewikipediaog/wiki/logaithm [0] http://ewikipediaog/wiki/expoetiatio [] http://wwwtakoyvtahu/hu/tatalom/tkt/oxfod-typotex- fizikai/h0s4html [] http://wwwbethlehu/matek/mathist/foas/logaitmus_defiiiojahtm [3] http://wwwkomalhu/ikkek/kg/e/ehshtml [4] http://ttkptehu/ami/phae/toteet/logaitmhtml 53
Nyilatkozat Név: Lebaov Dóa Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka Matematika szak Bs Neptu azoosító: ARPZK3 Szakdolgozat íme: A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai A szakdolgozat szezőjekét fegyelmi felelősségem tudatába kijeletem, hogy a dolgozatom öálló mukám eedméye, saját szellemi temékem, abba a hivatkozások és idézések stadad szabályait következetese alkalmaztam, mások által ít észeket a megfelelő idézés élkül em haszáltam fel Budapest, 04003 a hallgató aláíása 54