A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától, így összességébe kisebb értéket yerük és fordítva. A péz idıértékéek vizsgálatakor gyakra említik meg az iflációt, de azt a számításaikba kiküszöbölhetjük, ha reáljövedelmekkel és reálkamatlábakkal számoluk. A befektetések egyik közös jellemzıje, hogy a jelebe kell a tıkét befektetük, míg a hozam(ok) egy késıbbi, jövıbei idıpot(ok)ba jeletkezik(-ek). A jelebei befektetést akkor tudjuk összeméri a jövıbei hozamokkal, ha a pézfolyam egyes elemeiek értékét egy közös (jelebei, vagy jövıbei) idıpotra számítjuk át. Ekkor az idıpottól függıe jeleértékszámításról (diszkotálásról), vagy jövıértékszámításról beszélük. Egy jövıbei pézösszeg jeleértéke: PV FV ( + r) ahol PV: jeleérték FV: a jövıbei pézösszeg r: kamatláb : a jeletıl eltelt idıszakok (évek) száma Pézfolyam jeleértéke: PV t t t 0 ( + r) ahol PV: jeleérték t: idıszakok (évek) sorszáma t: a t. évi jövedelem (cashflow) r: kamatláb Örökjáradék, vagy tıkésítési járadék: A végtele hosszú, azoos idıközökét kifizetett azoos pézösszegek sorozatát evezzük örökjáradékak. Ha a gyakorlatba az idıszak em is végtele, de kellı hosszúságú, akkoris az örökjáradék jeleértékével jól közelíthetı az ilye befektetések hozamaiak jeleértéke. Az örökjáradék jeleértéke: PV r ahol PV: jeleérték : a pézfolyam valamely eleme r: kamatláb (tıkésítési ráta)
Ha a feti pézfolyamba a pézfolyam elemei évete azoos százalékkal övekedek (azaz mértai sorozatot alkotak), akkor ú. övekvı tagú örökjáradékról beszélük. Ebbe az esetbe a jeleérték összefüggése a következıképpe módosul: PV r g ahol PV: jeleérték : a pézfolyam elsı eleme r: tıkésítési ráta g: övekedési ráta Jövıérték: FV PV ( + r) ahol FV: jövıérték PV: jeleérték r: kamatláb : idıszakok (évek) száma Mitapéldák:. Mekkora összeget kell elhelyezi egy társasház felújítási számlájá évi 6% kamatos kamatozást feltételezve ahhoz, hogy 3 év múlva.500.000 Ft álljo redelkezésre a tervezett felújítási muka elvégzéséhez? r6%0,06 3 év FV.500.000 Ft FV.500.000 PV.59.49 3 ( + r) ( + 0,06) Ft.. Meyi pézt érdemes adi 0% kamatláb mellett egy 5 éve keresztül évi.000.000 Ft kifizetést biztosító befektetésért? r0%0, 5 év.000.000 Ft A befektetésért legfeljebb ayit érdemes adi, ameyi a jövıbei hozamok jeleértéke:
PV t t ( + r) t.000.000, +, +, 3 +, 4 +, 5 45.489.44 Ft 3. Mekkora egy évi 00.000 Ft örökjáradákot fizetı kötvéy jeleértéke, ha a kamatláb 3%? 00.000 Ft r3%0,03 00.000 PV 6.666.667 Ft r 0,03 4. Meyi pézt érdemes adi 8% kamatláb mellett évi 5%-kal övekvı örökjáradékért, amelyik az elsı évbe.000 Ft-ot fizet?.000 Ft r8%0,08 g5%0,05 A befektetésért legfeljebb ayit érdemes adi, ameyi a jövıbei hozamok jeleértéke:.000 PV 33.333 r g 0,08 0,05 Ft 5. Egy bakszámlá elhelyezük 500.000 Ft-ot. Meyit fog éri a befektetésük 7 év múlva, ha a betét kamata évi 7,5%? PV500.000 Ft 7 év r7,5%0,075 ( + r) 500.000 ( + 0,075) 7 89. 55 FV PV Ft 3
PÉNZÁRAMLÁSOK ÉRTÉKELÉSE Egy befektetés midig valamilye pézáramlással írható le, azaz külöbözı idıpotokba külöbözı összegő kifizetések (befektetés), majd külöbözı idıpotokba törtéı hozamok jellemzik. A pézáramlás egyes elemeit cash-flowak evezzük (jele: ). Nettó jeleérték: NPV PV I ahol NPV: ettó jeleérték PV: a jövıbei hozamok jeleértéke I: a jelebei befektetés A befektetés akkor fogadható el, ha NPV>0. Belsı megtérülési ráta: Az a kamatláb amely mellett a befektetés ettó jeleértéke éppe 0. Kiszámítása az alábbi egyelet megoldásával lee lehetséges: PV I 0 t ( + IRR) t t I 0 ahol IRR: belsı megtérülési ráta t: évek sorszáma t: t. évi cash-flow I: jelebei befektetés Az IRR kiszámítására általába üzleti kalkulátort, vagy valamilye közelítı módszert (pl.: iteráció) alkalmazuk. A befektetés akkor fogadható el, ha a belsı megtérülési ráta agyobb, mit az elvárt megtérülés (az alteratíva költség). Sajáttıke-aráyos megtérülés: ROE INVBS 00 ahol: ROE: sajáttıke-aráyos megtérülés : cash-flow INVBS: sajáttıke befektetés A sajáttıke-aráyos megtérülést mide évre ki kell számítai, majd ezt hasolítjuk össze a sajáttıke alteratíva költségével (soha em diszkotáluk!). 4
Mitapéldák: 6. Egy repülıgép üzembe helyezésével kapcsolatba a következı adatok becsülhetık: Beszerzési ár: 5.000.000 A kiegészítı beredezések beszerzési ára (a t0 idıszakba):.50.000 A tervezett haszálati idı (a kiegészítıké is): 7 év A 7. év végé a repülı és a kiegészítık piaci értéke: 833.000 A repülıgép átlagsebessége: 700 km/h Ülıhelyek száma: 00 Árbevétel utaskilométerekét: 0,0 A sajáttıke alteratíva költsége: 8% Repülési idı [óra]: Ülıhelyek átl. Kihaszáltsága: Fajlagos üzemeltetési ktg. [ /repülési óra]:. év. év 3. év 4. év 5. év 6. év 7. év.400.600.600.600.600.600.600 40% 4% 43% 45% 45% 45% 45% 3.300 3.500 3.500 3.700 3.800 3.800 3.800 Határozzuk meg a Repülıgép projekt ettó jeleértékét! A befektetés a következı pézáramlássa jellemezhetı: Adatok ezer -ba 0. év. év. év 3. év 4. év 5. év 6. év 7. év Lehetséges teljes bevétel: 0 9.600.400.400.400.400.400.400 Kihaszálatlaságból eredı veszteség: 0.760 3.6.768.30.30.30.30 Effektív bevétel: 0 7.840 9.84 9.63 0.080 0.080 0.080 0.080 Üzemeltetési ktg.: 0 4.60 5.600 5.600 5.90 6.080 6.080 6.080 Tıkeráfordítás: 7.50 0 0 0 0 0 0 0 ash-flow (): -7.50 3.0 3.584 4.03 4.60 4.000 4.000 4.000 Lehetséges teljes bevétel Repülési idı Ülésszám Átlagsegesség Árbevétel utaskilométerekét Kihaszálatlaságból eredı veszteség Lehetséges teljes bevétel (00 Kihaszáltság) / 00 Effektív bevétel Lehetséges teljes bevétel Kihaszáltságból eredı veszteség Üzemeltetési ktg. Repülési idı Fajlagos üzemeltetési ktg. Tıkeráfordítás Beszerzési ár + Kiegészítı beredezések beszerzési ára ash-flow Effektív bevétel Üzemeltetési ktg. Tıkeráfordítás 5
Nettó jeleérték: NPV 7 3.0 3.584 4.03 4.60 4.000 4.000 4.000 + 833.50 + + + + + + + 3 4 5 6,08,08,08,08,08,08,08 7 3.6 NPV 3.6 ezer > 0, tehát a befektetés elfogadható. 7. Két befektetési lehetıség kíálkozik (A és B), melyek a következı pézáramlással jellemezhetık: Projekt Pézáramlás I0 A -.00.500 B -500 650 Számítsuk ki az A és B projekt belsı megtérülési rátáját! A projekt: B projekt: NPV NPV.500.00 + 0 IRR 0,5 5% + IRR 650 500 + 0 IRR 0,30 30% + IRR Ábrázoljuk a ettó jeleértéket a belsı megtérülési ráta függvéyébe! NPV 300 50 5% 30% IRR 6
Melyik projekt fogadható el, ha a tıke alteratíva költsége r7%? Az A projekt esetébe IRR<r, így azt elvetjük. A B projekt esetébe IRR>r, így azt elfogadhatjuk. T.f. hogy az elvárt megtérülési ráta változására számítuk. Adjuk dötési szabályt a két projekt közti választásra! A két görbe metszéspotja: 500 650.00 + 500 + r 0, % + r + r Ha r<% A projektet választjuk. Ha r% A két projekt egyeértékő. Ha r>% B projektet valósítjuk meg. 8. A 6. példába szereplı Repülıgép projektet teljes egészébe saját tıkébıl fiaszírozzuk. Határozzuk meg a sajáttıke-aráyos megtérülést az egyes évekbe. Elfogadható-e a befektetés, ha a megtérülési ráta alapjá dötük? ROE INVBS 00 A sajáttıke befektetés Beszerzési ár + Kiegészítı beredezések beszerzési ára INVBS INVBS 7.50 ezer. év. év 3. év 4. év 5. év 6. év 7. év ash-flow (): 3.0 3.584 4.03 4.60 4.000 4.000 4.000 INVBS: 7.50 7.50 7.50 7.50 7.50 7.50 7.50 ROE: 8,67% 0,78% 3,37% 4,% 3,9% 3,9% 3,9% A befektetés elfogadható mert a sajáttıke-aráyos megtérülés mide évbe magasabb, mit a tıke alteratívaköltsége (elvárt megtérülés). 7
KÖTVÉNYEK ÉRTÉKELÉSE A kötvéy egy olya hosszúlejáratú, követelést megtestesítı értékpapír, mely elıre meghatározott idıpotokba elıre meghatározott kamatot fizet és a tıkét szité elıre meghatározott idıpot(ok)ba fizeti vissza. A kötvéy árfolyama em más, mit a kötvéy jövıbe várható kifizetéseiek jeleértéke. A kötvéy befektetéseket az árfolyamuko kívül az átlagos futamidıvel (duratio, DUR), ill. a volatilitásukkal (kamatláb érzékeységükkel). A volatilitás azt mutatja meg, hogy a kamatláb %-os változásáak hatására háy %-kal változik a kötvéy árfolyama. Duratio: DUR t PV ( ) t t V ahol DUR: a kötvéy átlagos futamideje t: az egyes évek sorszáma : a teljes futamidı PV(t): a t. évi kifizetés (kamat+tıke) V: a kötvéy értéke (árfolyama) Volatilitás: VOL DUR + r ahol DUR: a kötvéy átlagos futamideje VOL: a kötvéy volatilitása (kamatérzékeysége) r: kamatláb (tıke alteratívaköltsége) Mitapéldák: 9. Egy 00.000 Ft évértékő kötvéy lejáratáig 3 év va hátra, a kötvéy évi 6% kamatot fizet (évleges kamatozás), a kamat évete egyszer esedékes, a tıketörlesztésre az utolsó két évbe 50-50% aráyba kerül sor. A következı kamatfizetés egy év múlva esedékes. A hasoló kockázatú és futamidejő kötvéyektıl elvárt hozam évi 5% (r). Legfeljebb meyit érdemes fizeti ezért a kötvéyért? 8
A kötvéy az alábbi pézáramlással jellemezhetı: 50% 50% 6% 6% 6% 0... 3. év A jövıbei kifizetések jeleértéke: PV 6% 6% + 50% 6% + 50% + + 3,5,5,5 88,83% V Ha a kötvéy árfolyama 88,83%, akkor legfeljebb: 88,83 00.000 88.830 Ft-ért érdemes érdemes azt megvásároli. 00 0. Számítsuk ki az elızı példába szereplı kötvéy átlagos futamidejét és volatilitását! A kötvéy kifizetései: Év PV(). 6.000.800. 66.000 4.40 3. 66.000 33.79 Σ - V 88.83 PV ( t ) t.800 4.40 33.79 3 DUR + +,4 év. V 88.83 88.83 88.83 t DUR,4 VOL,79 %, azaz a kamatláb %-os emelkedése eseté az árfolyam,79%-kal + r,5 csökke és fordítva. A potosság érdekébe érdemes 3-4 tizedesjegyre kerekítei, ill. a diszkotálásál óvatosa bái a kerekítésekkel! 9
RÉSZVÉNYEK ÁRFOLYAMA, HOZAMA, KOKÁZATA A részvéy tulajdoi részesedést megtestesítı értékpapír. Hozamra két úto-módo tehetük szert. Egyrészt a részvéyük utá évete osztalékot kaphatuk (bizoytala), másrészt az árfolyam esetleges övekedéséek realizálásával. A részvéy hozama: r D S 0 S + S S 0 0 ahol r: a részvéy hozama D: a tárgyévi osztalék S0: az év eleji árfolyam (ú. spot ár) S: az év végi árfolyam (ú. spot ár) A részvéy kockázata em más, mit a hozam szórása. Mivel a részvéyhozamok eloszlása ú. ormális statisztikai eloszlást mutat, így kiszámítása a következıképpe törtéik: σ t ( r t r átl ) ahol σ: a hozam szórása : a vizsgált idıszak hossza (évek, hóapok, stb. száma) t: az adott idıszak sorszáma rt: a t. idıszak hozama rátl: a hozamok átlaga a vizsgált idıszakba Mitapéldák:. Részvéyüket 5 éve át figyeltük, mide évbe az osztalékfizetést követıe feljegyeztük az árfolyamokat: Év Árfolyam [Ft] (S) Osztalék [Ft] (D) 0. 00 4. 50 36. 300 30 3. 60 0 4. 400 40 Állapítsuk meg az egyes évek hozamát! 0
Az. év hozama: D S S0 36 50 00 r + + 0,43 43 % S S 00 00 0 0 Hasolóa számíthatjuk ki a többi év hozamát is. A hozamokat a következı táblázatba foglaltuk össze: Év Hozam (r) 0. -. 43%. 3% 3. -0% 4. 69%. Mekkora az elızı feladatba szereplı részvéy kockázata? Az átlagos hozam: r átl 43 + 3 0 + 69 33,5% 4 A szórás: σ ( r t r átl ) σ 3 σ 3,89% t [( 43 33,5) + ( 3 33,5) + ( 0 33,5) + ( 69 33,5) ]
PORTFÓLIÓK ÉRTÉKELÉSE Befektetık kockázatukat általába úgy igyekezek mérsékeli, hogy diverzifikálják a befektetéseiket, azaz többféle eszközbe fektetek be egyidejőleg, azaz ú. befektetési portfóliót hozak létre. Az egyes portfóliókat a hozamuk és a szórásuk (kockázatuk) jellemzi. Hatékoy portfólió alatt az adott kockázat mellett maximális hozamot biztosító kombiációk összességét értjük. Mitapélda: 3. Tekitsük az alábbi kockázatos portfóliókat! Portfólió Várható hozam r [%] Szórás σ[%] A 0 3 B,5 5 5 D 6 9 E 7 9 F 8 3 G 8 35 H 0 45 a.) Melyek a em hatékoy portfóliók? 5 hozam 0 5 0 B A E D F G H 5 0 0 0 0 30 40 50 szórás Nem hatékoyak: A, D és a G portfóliók, mert létezik kisebb szórású portfólió mely ugyaakkora, vagy agyobb hozamot ígér.
b.) Melyik a legjobb portfólió, ha a kockázatmetes kamatláb %? Az a legjobb, ahol az egységyi kockázatra jutó többlethozam maximális. A em hatékoy portfóliókat a továbbiakba ics értelme vizsgáli. Portfólió Várható többlethozam [%] Szórás σ[%] Többlethozam / σ B,5-0,5 0,04 5-3 5 0,0 E 7-5 9 0,7 F 8-6 3 0,88 H 0-8 45 0,78 A táblázatból kiolvasható, hogy az F a legjobb portfólió. c.) Mekkora a maximális elérhetı hozam, ha legfeljebb 5% szórást vállaluk és hitelügylet em lehetséges? Midössze két hatékoy portfólió (B és ) szórása em agyobb, mit 5%. Közülük a ígéri a agyobb hozamot, 5%-ot. d.) Mi az optimális stratégia, ha % kamatláb mellett kockázatmetes állampapírt vásárolhatuk és továbbra is legfeljebb 5% szórást vállaluk? Meyi a várható hozam? A feladatot aráypárral oldjuk meg. Abból iduluk ki, hogy az egységyi kockázatra jutó többlethozamot az F portfólió ígéri, viszot az összes szórás legfeljebb 5% lehet: Szórás f 3 + ( f) 0 5 f 5 / 3 Az optimális stratégia tehát az, ha pézük 5 / 3-ed részét F-be fektetjük és 7 / 3-ed részé pedig kockázatmetes állampapírt vásároluk. A várható hozamuk: 7 5 + 8 6,69% 3 3 3