Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása: Azt mondjuk, hogy ha egy halmazbeli művelet eredménye nem vezet ki a halmazból (tehát a művelet eredménye szintén eleme a kérdéses halmaznak), akkor e halmaz erre a műveletre nézve zárt halmaz. Ha a művelet eredménye már egy másik (általában bővebb) halmazba is tartozhat, akkor azt mondjuk, hogy e halmaz erre a műveletre nézve nyílt halmaz. A tárgyak megszámlálására a 0; 1; 2; számokat használjuk, s ezek alkotják a természetes számok halmazát. Jele: N. A természetes számok halmazából az összeadás és szorzás művelete nem vezet ki (az eredmény is természetes szám lesz), viszont a kivonás igen, ezért szükség van a természetes számok ellentettjeire is. Ezek a számok együttvéve ( ; 2; 1; 0; 1; 2; 3 ) alkotják az egész számok halmazát. Jele: Z. Az egész számok halmazából az összeadás, kivonás és szorzás nem vezet ki, viszont az osztás igen. Ebből a célból az egész számok halmazát újabb tört számokkal bővítve, megkapjuk a racionális számok halmazát. Jele: Q. A racionális számok halmazából az összeadás, kivonás, szorzás és osztás nem vezet ki, viszont a négyzetgyökvonás igen. Ebből a célból a racionális számok halmazát az irracionális számok halmazával bővítve, megkapjuk a valós számok halmazát. Jele: R. A számfogalmak kialakításánál megjelenik a permanencia elv: Valamely számhalmazon érvényes tulajdonságtól azt kívánjuk, hogy az érvényes legyen egy bővebb számhalmazon is. A racionális és valós számok halmaza zárt a négy alapműveletre nézve. Az irracionális számok halmaza nyílt az alapműveletekre nézve: a műveletek eredménye lehet racionális szám is. Egy 0 tól különböző racionális és egy irracionális szám összege, különbsége, szorzata és hányadosa is irracionális szám lesz. A valós számok halmazát tovább bővíthetjük úgy, hogy negatív számokból is tudjunk négyzetgyököt vonni. Így megkapjuk a komplex számok halmazát. Jele: C. 1
DEFINÍCIÓ: (Egész számok) Egész számoknak nevezzük az olyan számokat, amelyek felírhatóak két természetes szám különbségeként. DEFINÍCIÓ: (Racionális számok) Azokat a számokat, amelyek felírhatóak két egész szám hányadosaként (tört alakban), racionális számoknak nevezzük. A racionális számok felírhatóak vegyestört alakban és tizedestört alakban is. Pl.: 2 1 3 = 7 3 Véges tizedes tört: A tört alak úgy egyszerűsíthető, illetve bővíthető, hogy nevezője 10-nek valamilyen hatványa legyen. Pl.:,6 = 6 14,92 = 1492 0,0703 = 703 10 1000 10000 Végtelen szakaszos tizedestört: A tizedes vessző után álló számjegyek egy szakasza újra és újra ismétlődik. Pl.: 1,03 6 = 1,0363636 2, = 2, 3, 1 89 = 3,189189 Bármely két racionális szám között van újabb racionális szám. Az egész számok is felírhatóak törtalakban. DEFINÍCIÓ: (Irracionális számok) Az olyan tizedestörtet, amely nem véges és nem végtelen szakaszos, irracionális számnak nevezzük. Pl.: 2; π. Irracionális számok esetében a tizedesvessző utáni számjegyek ismétlődésében nincs szabályosság. Az irracionális számok nem írhatóak fel két egész szám hányadosaként (tört alakban). Az irracionális számok esetében közelítő értékkel számolunk. DEFINÍCIÓ: (Valós számok) A racionális és irracionális számok halmazának uniója együtt alkotják a valós számokat. A valós számok halmazának elemei és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést hozhatunk létre, így a valós számokat szemléltethetjük a számegyenes pontjaival. 2
DEFINÍCIÓ: (Reciprok) Egy 0 - tól különböző szám reciprokán azt a számot értjük, amellyel a számot megszorozva a szorzat értéke 1 lesz. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Jelöléssel: b a. Egy szám osztóinak megkeresését elég a szám négyzetgyökéig vizsgálni. Az 1 - et és magát a számot triviális osztónak nevezzük, s nem tekintjük valódi osztónak. A 0 minden számnak többszöröse, s a 0 a 0 nak osztója. DEFINÍCIÓ: (Prímszám) Prímszámnak (törzsszámnak) nevezzük azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan két osztója van a természetes számok között. TÉTEL: Végtelen sok prímszám létezik. DEFINÍCIÓ: (Összetett szám) Összetett számnak nevezzük azt a 0 - tól különböző természetes számot, melynek kettőnél több osztója van. A 0 - t és 1 - et nem tekintjük prímszámnak és összetett számnak sem. TÉTEL: (Számelmélet alaptétele) Minden összetett szám felírható prímszámok szorzataként és ez a felírás a sorrendtől eltekintve egyértelmű. DEFINÍCIÓ: (Legnagyobb közös osztó) Két vagy több 0 - tól különböző természetes szám legnagyobb közös osztója az adott számok mindegyikének osztója és az összes közös osztójuknak többszöröse. Jelölés: (a; b). DEFINÍCIÓ: (Legkisebb közös többszörös) Két vagy több 0 - tól különböző természetes szám legkisebb közös többszöröse az adott számok mindegyikének többszöröse és az összes közös többszörösüknek osztója. Jelölés: [a; b]. 3
TÉTEL: Ha az a és b szám legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét összeszorozzuk, akkor az a és b szám szorzatát kapjuk. Jelölés: a b = (a; b) [a; b]. Legnagyobb közös osztó meghatározása: a közös prímtényezők szorzata az előforduló legkisebb hatványon Legkisebb közös többszörös meghatározása: az összes különböző prímtényezők szorzata az előforduló legnagyobb hatványon DEFINÍCIÓ: (Relatív prímek) Ha két, vagy több természetes szám legnagyobb közös osztója 1, akkor ezeket az adott számokat relatív prímeknek nevezzük. Jele: (a, b) = 1. TÉTEL: (Oszthatósági szabályok) Egy természetes szám pontosan akkor osztható 2 - vel, ha utolsó számjegye osztható 2 - vel - tel, ha az utolsó számjegye osztható - tel 10 - zel, ha az utolsó számjegye osztható 10 - zel 4 - gyel, ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 4 - gyel 2 - tel, ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 2 - tel 8 - cal, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 8 - cal 100 - zal, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 100 - zal 12 - tel, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 12 - tel 16 - tal, ha az utolsó négy számjegyből álló szám osztható 16 - tal 1000 - rel, ha az utolsó négy számjegyből álló szám osztható 1000 - rel 3 - mal, ha a számjegyek összege osztható 3 - mal 9 - cel, ha a számjegyek összege osztható 9 - cel 11 - gyel, ha a váltakozó előjellel vett számjegyeinek összege osztható 11 - gyel. 4
TÉTEL: (Maradékos osztás tétele Euklideszi osztás) Bármely a, b természetes számhoz található olyan egyértelműen meghatározott p, r természetes szám, amelyre a = b p + r teljesül, ahol 0 r < b. Ekkor p - t hányadosnak, r - t maradéknak nevezzük. TÉTEL: (Euklideszi algoritmus) Két számon végrehajtott euklideszi algoritmus utolsó nem 0 maradéka a két szám legnagyobb közös osztója. TÉTEL: Ha egy összeg minden tagja osztható egy számmal, akkor az összeg is osztható ezzel a számmal. Jelöléssel: a b és a c a (b + c). TÉTEL: Ha egy szorzat valamelyik tényezője osztható egy számmal, akkor a szorzat is osztható azzal a számmal. Jelöléssel: c a c (a b). DEFINÍCIÓ: (Számelméleti függvény) Az olyan függvényeket, melyek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza, számelméleti függvényeknek nevezzük. TÉTEL: Ha n felírható n = p 1 α 1 p 2 α 2 p r α r alakban, ahol p 1, p 2,, p n az n szám prímosztói, akkor megadhatóak a következő számelméleti függvények: az n szám osztóinak száma: d(n) = (α 1 + 1) (α 2 + 1) (α r + 1) az n szám osztóinak összege: σ(n) = p 1 α 1+1 1 p 1 1 az n - nél nem nagyobb, n-hez relatív prímek száma: p 2 α2+1 1 p r αr+1 1 p 2 1 p r 1 φ(n) = (p 1 1) p 1 α 1 1 (p 2 1) p 2 α 2 1 (p r 1) p r α r 1
1. Írj fel 4 számot törtalakban a 3 7 és 7 között! Ahhoz, hogy fel tudjunk írni törteket a két szám között, a nevezőket bővítsük a megfelelő mértékig: 3 = 9 7 21 = 1 7 21 Ezek alapján 4 ilyen megfelelő szám lehet a következő: 10 21, 11 21, 12 21, 13 21. 2. Írd fel törtalakban a következő tizedestörteket! 1, 23 2, 8 3, 2 14 4, 69 7 Az első esetben véges tizedestörtről van szó, vagyis a megoldás a következő: 1,23 = 123 100. A második és harmadik esetben arra kell törekednünk, hogy két különböző számmal megszorozva az adott számot, olyan számokat kapjunk, melyekben a tizedesvessző után ugyanazok az ismétlődő számjegyek szerepeljenek. Ekkor ugyanis, ha ezeket kivonjuk egymásból, akkor eltűnnek a tizedesvessző utáni számjegyek. 100x = 28,888 10x = 2,888 90x = 233 x = 233 90 1000x = 3214,214214 x = 3,214214 999x = 3211 x = 3211 999 1000x = 4697,9797 10x = 46,9797 900x = 461 x = 461 900 6
3. Számítsd ki a következő emeletes törtek pontos értékét! a) 1 4 3+ 2 4 1 2 b) 2 4 3 1+ 3 2 Az emeletes törteket belülről kifelé haladva bontjuk ki, s azt használjuk fel, hogy egy számot törttel úgy osztunk, hogy szorozzuk a tört reciprokával. a) 1 4 3+ 2 4 1 2 = 1 4 3+ 2 9 2 = 1 4 3+ 4 9 = 1 4 31 9 = 1 36 = = 31 31 31 b) 2 4 3 1+ 3 2 = 2 4 3 1+ 10 3 = 2 4 3 13 3 = 2 4 3 1 = 2 4 24 = 2 2 = 4 = 1 24 24 6 13 13 4. Sorold fel a következő számok összes osztóját! 100 242 A számok osztóit elegendő a számok négyzetgyökéig keresni, mert ha a számot felírjuk az osztópárok szorzataként, akkor a négyzetgyök után a szorzótényezők megegyeznek, csak a sorrendjük fordított. Számítsuk ki a számok négyzetgyökét: 100 = 10 és 242 1,. Írjuk fel a számokat osztópárok szorzataként: 100 = 1 100 = 2 0 = 4 2 = 20 = 10 10 = 20 = 2 4 = 0 2 = 100 1 242 = 1 242 = 2 121 = 11 22 = 22 11 = 121 2 = 1 242 Ezek alapján a 100 osztói: 1; 2; 4; ; 10; 20; 2; 0; 100. Ezek alapján a 242 osztói: 1; 2; 11; 22; 121; 242. 7
. Írd fel 0 - tól 20 - ig a 6 többszöröseit! Azok a számok a 6 többszörösei, melyek felírhatóak 6 - nak és egy egész számnak szorzataként. Ezek alapján a megoldás: 0, 6, 12, 18. 6. Mely számok relatív prímek a következőek közül? 11, 14, 1, 18, 2 Először a számokat bontsuk fel prímtényezőkre. 11 = 11 14 = 2 7 1 = 3 18 = 2 3 2 2 = 2 A számok közül azok lesznek relatív prímek, melyek nem tartalmaznak azonos prímtényezőt. Ezek alapján a relatív prímek: (11; 14), (11; 1), (11; 18), (11; 2), (14; 1), (14; 2), (18; 2). 7. Határozd meg 324 és 70 összes osztójának számát, összes osztójának összegét, illetve a relatív prímek számát! Először a számokat bontsuk fel prímtényezőkre: 324 = 2 2 3 4 és 70 = 2 3 3. Az osztók számát megkapjuk a d(n) számelméleti függvény segítségével: d(324) = (2 + 1) (4 + 1) = 3 = 1 d(70) = (1 + 1) (1 + 1) (3 + 1) = 2 2 4 = 16 Az osztók összegét megkapjuk a σ(n) számelméleti függvény segítségével: σ(324) = 23 1 3 1 = 7 121 = 847 2 1 3 1 σ(70) = 22 1 32 1 4 1 = 3 4 16 = 1872 2 1 3 1 1 A relatív prímek számát megkapjuk a φ(n) számelméleti függvény segítségével: φ(324) = (2 1) 2 1 (3 1) 3 3 = 1 2 2 27 = 108 φ(70) = (2 1) 2 0 (3 1) 3 0 ( 1) 2 = 1 1 2 1 4 2 = 200 8
8. Határozd meg 60 és 198 legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! Először a számokat bontsuk prímtényezőkre: 60 = 2 2 3 és 198 = 2 3 2 11. A legnagyobb közös osztó meghatározásához a közös prímtényezőket az előforduló legkisebb hatványon összeszorozzuk. Ezek alapján a legnagyobb közös osztó: (60, 198) = 2 3 = 6. A legkisebb közös többszörös meghatározásához a két számban szereplő összes prímtényezőt az előforduló legnagyobb hatványon szorozzuk össze. Ezek alapján a legkisebb közös többszörös: [60, 198] = 2 2 3 2 11 = 1980. 9. Határozd meg a b számot, ha tudjuk, hogy a = 2 7 3 7; (a, b) = 2 4 3 és [a, b] = 2 7 3 9 7! A b szám prímtényezők szorzataként való felíráshoz a legnagyobb közös osztóból indulunk ki. Abból az következik, hogy a b szám prímtényezős felbontásában biztosan lesz 2 4 (mert az a számban 2 7 szerepelt), s 3-nak valamilyen hatványa (mivel a-nál is éppen 3 szerepelt, ezért a hatványt még nem tudjuk kitalálni). Ezek után tekintsük a legkisebb közös többszöröst. Abból pedig azt kapjuk, hogy biztosan lesz a b szám prímtényezős felírásában és 3 9 (mert az a szám felírásában az nem, míg a 3 csak az ötödik hatványon szerepelt). Ezek alapján a b szám a következő: b = 2 4 3 9 = 1 74 640. 10. Határozd meg az 182 és 1972 számok legnagyobb közös osztóját Euklideszi algoritmus segítségével! Az euklideszi algoritmus azt jelenti, hogy minden újabb lépésben az előző lépésben szereplő osztót osztjuk el az ott keletkezett maradékkal: 1972 182 = 1, maradék: 120. 182 120 = 1, maradék: 2. 120 2 = 2, maradék: 16. 2 16 = 3, maradék: 4. 16 4 = 4, maradék: 0. Az utolsó nem 0 maradék lesz a megoldás, vagyis a két szám legnagyobb közös osztója: 4. 9
11. Milyen x érték esetén lesz a 7431x2 szám osztható 24 - gyel? Először a 24 - et fel kell írnunk két olyan relatív prímszám szorzatára, melyekre tanultunk korábban oszthatósági szabályt. Mivel 24 = 3 8, így ebből következik, hogy egy szám akkor lesz osztható 24 - gyel, ha osztható 3 - mal és 8 - cal is. Az adott szám akkor lesz osztható 3 - mal (számjegyek összege osztható 3 - mal), ha x = 1, 4, 7. Az adott szám akkor lesz osztható 8 - cal (utolsó 3 számjegyből képzett szám osztható 8 - cal), ha x = 1,, 9. Ezek alapján a szám csak akkor lesz osztható 24 - gyel, ha x = 1. 12. Milyen x és y érték esetén lesz az 1x24y6 szám osztható 12 - vel? Mivel 12 = 3 4, így ebből következik, hogy egy szám akkor lesz osztható 12 - vel, ha osztható 3 - mal és 4 - gyel is. Ebben a feladatban két ismeretlen van, ezért el kell döntenünk a két oszthatóság közül melyik az, amelyik biztosan meghatározza az egyik ismeretlent. Az adott szám akkor lesz osztható 4 - gyel (utolsó 2 számjegyből képzett szám osztható 4 - gyel), ha y = 1, 3,, 7, 9. Az x kiszámításánál a 3 - mal való oszthatóságot befolyásolja, hogy y helyére a lehetséges értékek közül melyiket választjuk, ezért több megoldásunk is lesz. Ha y = 1, akkor x = 1, 4, 7. Ha y = 3, akkor x = 2,, 8. Ha y =, akkor x = 0, 3, 6, 9. Ha y = 7, akkor x = 1, 4, 7. Ha y = 9, akkor x = 2,, 8. Ezek alapján a következő számpárok lesznek a megfelelő megoldások (első az x, második az y érték): (1; 1), (4; 1), (7; 1), (2; 3), (; 3), (8; 3), (0; ), (3; ), (6; ), (9; ), (1; 7), (4; 7), (7; 7), (2; 9), (; 9), (8; 9). 10