matematika alapszak Waldhauser Tamás jegyzete alapján készítette B. Szendrei Mária

ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET vázlat az előadáshoz matematika alapszak 2019-20, őszi félév Waldhauser Tamás jegyzete alapján készítette B. Szendrei Mária 1. Komplex számok Kanonikus alak, konjugált, abszolút érték, komplex számsík 1.1. Definíció. A valós számokból álló számpárokat komplex számoknak nevezzük. A komplex számok halmazát C jelöli, tehát C = R R. Az (a, b) és (c, d) komplex számok összegét és szorzatát a következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) és (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). 1.2. Tétel. A komplex számok testet alkotnak a fenti műveletekkel. 1.3. Álĺıtás. Minden a, b R esetén (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) és (a, 0) (b, 0) = (ab, 0). Jelölés. Tetszőleges a R esetén az (a, 0) komplex szám helyett egyszerűen a-t írunk, és nem is különböztetjük meg az a valós számtól. (Úgy tekintjük, hogy R C.) A (0, 1) komplex számot pedig i jelöli a továbbiakban. 1.4. Álĺıtás. i 2 = 1. 1.5. Tétel. Minden komplex szám előáll, mégpedig egyértelmű módon, x+yi (x, y R) alakban. Az (a, b) komplex szám ilyen felírásánál x = a és y = b, azaz (a, b) = a + bi. 1.6. Definíció. A z = (a, b) komplex szám a + bi alakban való felírását z kanonikus alakjának, az a valós számot z valós részének (jelölése: Re z), a b valós számot z képzetes részének (jelölése: Im z) nevezzük. Az i komplex szám neve képzetes egység. 1.7. Definíció. Legyen adott a síkban egy Descartes-féle derékszögű koordinátarendszer, és feleltessük meg az a + bi komplex számnak az (a, b) koordinátájú pontot. Így kapjuk a komplex számsíkot, más néven Gauss-féle számsíkot. Az első tengelyt (abszcissza) valós tengelynek, a második tengelyt (ordináta) pedig képzetes tengelynek hívjuk. A valós tengelyen találhatók a valós számok, a képzetes tengelyen pedig az úgynevezett tiszta képzetes számok. 1.8. Megjegyzés. A komplex számsíkon a komplex számok összeadása (hely)vektorok összeadásával írható le geometriailag, egy komplex szám valós számmal való szorzása pedig (hely)vektor valós számmal való szorzásával. 1.9. Definíció. A z = a + bi komplex szám konjugáltján a z = a bi komplex számot értjük. 1.10. Tétel. Bármely u, v komplex számokra érvényesek az alábbiak: (1) u + v = u + v; (4) u/v = u/v, ha v 0; (7) u + u = 2 Re u; (2) u v = u v; (5) u = u; (8) uu = (Re u) 2 + (Im u) 2. (3) uv = u v; (6) u = u u R; 1.11. Definíció. A z = a + bi komplex szám abszolút értékén a z = a 2 + b 2 nemnegatív valós számot értjük. 1.12. Megjegyzés. A komplex számsíkon a konjugálás nem más, mint a valós tengelyre való tükrözés, az abszolút érték pedig az origótól (nullától) való távolságot jelenti. 1.13. Tétel. Bármely u, v komplex számokra érvényesek az alábbiak: (1) u = uu; (3) uv = u v ; (5) u = u ; (2) 1/u = u/ u 2 ha u 0; (4) u/v = u / v ha v 0; (6) u + v u + v. A pozitív egész (azaz természetes) számok halmazát N, a nemnegatív egész számok halmazát N 0 jelöli, tehát N = {1, 2, 3,...} és N 0 = {0, 1, 2,...}. A pozitív valós számok halmazát R + jelöli. 1

ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 2 Trigonometrikus alak, hatványozás, gyökvonás, egységgyökök 1.14. Definíció. Egy nemnulla z komplex szám argumentumán olyan arg z irányított szöget értünk, amellyel a valós tengely pozitív felét az origó körül elforgatva olyan félegyenest kapunk, amely átmegy a z-nek megfelelő ponton. 1.15. Megjegyzés. A nullának nincs argumentuma, a nullától különböző komplex számok argumentuma pedig csak modulo 2π, azaz 2π egész számú többszöröseitől eltekintve meghatározott. 1.16. Álĺıtás. Bármely 0 z C esetén az r = z és ϕ = arg z jelöléssel z = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r cis ϕ. 1.17. Definíció. A nemnulla z komplex szám fenti (azaz z (cos arg z + i sin arg z) = z cis arg z alakú) felírását z trigonometrikus alakjának nevezzük. 1.18. Megjegyzés. A nullának nincs trigonometrikus alakja, hiszen argumentuma sincs, de bármely ϕ R esetén nyilván 0 = 0 (cos ϕ + i sin ϕ). 1.19. Álĺıtás. Bármely r, r R + és ϕ, ϕ R esetén r cis ϕ = r cis ϕ r = r és k Z : ϕ = ϕ + 2kπ. 1.20. Tétel. Tetszőleges nullától különböző u = r cis ϕ és v = s cis ψ komplex számokra (1) u = r cis ( ϕ) ; (2) uv = rs cis (ϕ + ψ) ; (3) 1 v = 1 s cis ( ψ) ; (4) u v = r s cis (ϕ ψ). 1.21. Megjegyzés. A szorzat trigonometrikus alakjára vonatkozó képletből látszik, hogy rögzített 1 abszolút értékű v = cis ψ komplex szám esetén a z zv leképezés nem más, mint az origó körüli ψ szögű forgatás a komplex számsíkon. 1.22. Tétel (Moivre-képlet). Bármely nemzéró z = r cis ϕ komplex szám és n Z esetén z n = r n cis (nϕ). 1.23. Definíció. Tetszőleges n pozitív egész szám és z C esetén azt mondjuk, hogy az u komplex szám n-edik gyöke z-nek, ha u n = z. 1.24. Tétel. Minden nemnulla komplex számnak pontosan n különböző n-edik gyöke van. A z = r cis ϕ trigonometrikus alakban megadott komplex szám n-edik gyökei: n z = n r cis ϕ + 2kπ (k = 0, 1,..., n 1). n 1.25. Definíció. Az ε komplex számot n-edik egységgyöknek nevezzük, ha ε n = 1. 1.26. Álĺıtás. Az n-edik egységgyökök a következők: ε 0, ε 1,..., ε n 1, ahol ε k = cis 2kπ n jelöléssel ε 0 = 1 és ε k = ε k 1 minden k {0, 1,..., n 1} esetén. (k = 0, 1,..., n 1). Ezzel a 1.27. Megjegyzés. Az n-edik egységgyökök szabályos n-szöget alkotnak a komplex számsíkon, amelynek körülírt köre az origó középpontú egységkör, és egyik csúcsa 1. (Ez a két információ egyértelműen meg is határozza az n-szöget.) 1.28. Következmény. Egy nemnulla komplex szám összes n-edik gyökét megkapjuk, ha egy rögzített n-edik gyökét sorra megszorozzuk az n-edik egységgyökökkel. Tehát ha u n 0 = z 0, akkor a z komplex szám n-edik gyökei: n z = u0 ε k (k = 0, 1,..., n 1). 1.29. Tétel. Ha n > 1, akkor az n-edik egységgyökök összege 0.

ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 3 2. Gyűrűk és testek A gyűrű, integritástartomány, test fogalma 2.1. Definíció. Legyen A nemüres halmaz és kétválatozós művelet A-n. Azt mondjuk, hogy e A egységelem az (A; ) algebrai struktúrában, ha e a = a e = a minden a A esetén. A műveletet kommutatívnak hívjuk, ha tetszőleges a, b A elemekre a b = b a. A műveletet asszociatívnak nevezzük, ha tetszőleges a, b, c A elemekre (a b) c = a (b c). Ha asszociatív, akkor azt mondjuk, hogy (A; ) félcsoport. 2.2. Álĺıtás. Tetszőleges (A; ) algebrai struktúrában legfeljebb egy egységelem van. 2.3. Definíció. Legyen e egységelem, a, a pedig tetszőleges elem (A; )-ban. Ha a a = a a = e, akkor azt mondjuk, hogy a inverze a-nak. 2.4. Álĺıtás. Ha (A; ) félcsoport, akkor bármely elemének legfeljebb egy inverze van. Jelölés. Multiplikatív írásmód: ha (A; ) félcsoport, akkor egységelemét (ha van) általában 1-gyel jelöljük, tetszőleges a elemének inverzét pedig (ha van) a 1 -gyel. Additív írásmód: ha (A; +) félcsoport, akkor egységelemét (ha van) általában 0-val jelöljük, tetszőleges a elemének inverzét pedig (ha van) a-val. 2.5. Definíció. Egy félcsoportot csoportnak hívunk, ha van egységeleme, és minden elemének van inverze. Abelcsoporton kommutatív csoportot értünk, azaz olyan csoportot, amelynek művelete kommutatív. 2.6. Definíció. Legyen A nemüres halmaz, és legyenek, kétváltozós műveletek A-n. Azt mondjuk, hogy disztributív -ra, ha minden a, b, c A-ra a (b c) = (a b) (a c) és (b c) a = (b a) (c a). 2.7. Definíció. Ha egy nemüres R halmazon olyan + és kétváltozós művelet van értelmezve (nevezzük ezeket összeadásnak és szorzásnak), amelyekre (R; +) Abel-csoport, (R; ) félcsoport, és a szorzás disztributív az összeadásra, akkor az (R; +, ) algebrai struktúrát gyűrűnek nevezzük. 2.8. Definíció. Az (R; +) csoportot az (R; +, ) gyűrű additív csoportjának nevezzük, és ennek megfelelően beszélünk additív egységelemről és additív inverzről is. Az (R; ) félcsoport neve: a gyűrű multiplikatív félcsoportja. 2.9. Álĺıtás. Ha (R; +, ) gyűrű, akkor minden a, b R esetén a0 = 0a = 0 és (ab) = ( a)b = a( b). 2.10. Megjegyzés. Tetszőleges gyűrűben értelmezhetjük a kivonás műveletét a b a = b + ( a) képlettel, és könnyen beláthatjuk, hogy a szorzás a kivonásra is disztributív. 2.11. Definíció. Testnek nevezünk egy (T ; +, ) gyűrűt, ha (T \ {0} ; ) Abel-csoport (ebből következik, hogy T 2). 2.12. Definíció. Ha egy gyűrűben nemcsak az összeadás, hanem a szorzás is kommutatív, akkor kommutatív gyűrűnek nevezzük. Ha pedig nemcsak additív, de multiplikatív egységelem is létezik, akkor egységelemes gyűrűről beszélünk. 2.13. Definíció. Egy egységelemes gyűrűbeli elemet egységnek nevezünk, ha létezik multiplikatív inverze. 2.14. Tétel. Az egységek bármely egységelemes gyűrűben csoportot alkotnak a szorzás műveletére nézve. 2.15. Definíció. Az R gyűrű egységeinek multiplikatív csoportját R egységcsoportjának nevezzük és R -gal jelöljük. 2.16. Definíció. Ha T test, akkor a (T ; ) = (T \ {0} ; ) Abel-csoportot a T test multiplikatív csoportjának hívjuk. 2.17. Definíció. Ha egy gyűrű a, b elemeire ab = 0, de sem a, sem b nem nulla, akkor azt mondjuk, hogy a és b zérusosztók. Ha egy gyűrűben nincsenek zérusosztók (azaz nullától különböző elemek szorzata sosem nulla), akkor zérusosztómentes gyűrűnek nevezzük. A kommutatív, egységelemes, zérusosztómentes gyűrű neve integritástartomány. 2.18. Álĺıtás. Integritástartományban lehet nemzéró elemmel egyszerűsíteni, azaz tetszőleges a, b, c (c 0) elemekre 2.19. Álĺıtás. Minden test integritástartomány. ac = bc = a = b.

ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 4 Nevezetes gyűrűk: maradékosztály-gyűrűk, Gauss-egészek, polinomgyűrűk 2.20. Álĺıtás. Minden m 2 egész szám esetén a modulo m maradékosztályok egységelemes kommutatív gyűrűt alkotnak. A Z m gyűrű egységei éppen a redukált maradékosztályok (innen a Z m jelölés). Ha m prímszám, akkor Z m test, ha m nem prím, akkor Z m még csak nem is integritástartomány. 2.21. Definíció. A Z m gyűrű neve modulo m maradékosztály-gyűrű, illetve prím modulus esetén maradékosztálytest. 2.22. Definíció. Gauss-egészeknek nevezzük azokat a komplex számokat, melyeknek valós és képzetes része is egész szám. A Gauss-egészek halmazát Z[i] jelöli: Z[i] = {a + bi : a, b Z}. 2.23. Álĺıtás. A Gauss-egészek a komplex számok szokásos összeadásával és szorzásával integritástartományt alkotnak. 2.24. Álĺıtás. A Gauss-egészek gyűrűjében az egységek éppen a negyedik egységgyökök: Z[i] = {1, 1, i, i}. 2.25. Definíció. Legyen R integritástartomány. Az olyan R-beli elemekből képezett (a 0, a 1,...) végtelen sorozatot, amely csak véges sok nullától különböző tagot tartalmaz, R feletti polinomnak nevezzük. Az a i elemeket a polinom együtthatóinak hívjuk. Az R feletti polinomok halmazát R[x] jelöli. 2.26. Definíció. Az f = (a 0, a 1,...) polinom fokszámán a legnagyobb olyan n nemnegatív egész számot értjük, amelyre a n 0. Ha nincs ilyen n, azaz ha f = (0, 0,...), akkor azt mondjuk, hogy f fokszáma. Az f polinom fokszámát deg f jelöli. Ha deg f < 1 (azaz 0 vagy ), akkor f-et konstans polinomnak nevezzük. Ha deg f = n 0, akkor az a n R elemet f főegyütthatójának hívjuk. Főpolinomon olyan polinomot értünk, amelynek főegyütthatója 1. 2.27. Definíció. Az f = (a 0, a 1,...) és g = (b 0, b 1,...) polinomok összegét és szorzatát az alábbi képletekkel értelmezzük: n f + g = (c 0, c 1,...), ahol c n = a n + b n és fg = (d 0, d 1,...), ahol d n = a i b n i (n N 0 ). 2.28. Álĺıtás. Tetszőleges f, g R[x] polinomokra deg (f + g) max (deg f, deg g) és deg (fg) = deg f + deg g. 2.29. Tétel. A fent definiált összeadással és szorzással R[x] integritástartomány. 2.30. Definíció. Az R[x] gyűrű neve: az R feletti egyhatározatlanú polinomok gyűrűje, röviden R feletti polinomgyűrű. 2.31. Álĺıtás. Minden a, b R esetén (a, 0, 0,...) + (b, 0, 0,...) = (a + b, 0, 0,...) és (a, 0, 0,...) (b, 0, 0,...) = (ab, 0, 0,...). Jelölés. Tetszőleges a R esetén az (a, 0, 0,...) polinom helyett egyszerűen a-t írunk, és nem is különböztetjük meg az a gyűrűelemtől. (Úgy tekintjük, hogy R R[x].) A (0, 1, 0,...) polinomot pedig x jelöli a továbbiakban. 2.32. Tétel. Minden nemzéró polinom előáll a 0 +a 1 x+ +a n x n (n N 0, a n 0) alakban, és ez az előállítás egyértelmű. Ha n N 0 és f = (a 0, a 1,...) n-edfokú polinom, akkor f = (a 0, a 1,..., a n, 0, 0,...) = a 0 + a 1 x + + a n x n. Jelölés. A polinomokat ezentúl a n x n + + a 1 x + a 0 vagy n i=0 a ix i alakban írjuk fel, és természetesen úgy értjük, hogy a n+1 = a n+2 =... = 0. Legtöbbször hallgatólagosan azt is feltesszük, hogy a n 0, azaz a polinom n-edfokú. Az x szimbólum neve: határozatlan. A határozatlant bármilyen más betű is jelölheti, ilyenkor az R[x] jelölés is megfelelően módosul. (Például ha a határozatlan y, akkor a polinomgyűrű R[y].) 2.33. Álĺıtás. Az R[x] polinomgyűrűben az egységek pontosan azok a konstans polinomok, amelyek (mint R-beli elemek) egységek R-ben. Formálisan: R[x] = R. i=0

3. Test feletti egyhatározatlanú polinomok ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 5 A polinomok számelmélete 3.1. Definíció. Az f T [x] polinom osztója a g T [x] polinomnak (jelölés: f g), ha létezik olyan h T [x] polinom amelyre g = fh. 3.2. Tétel. A T [x] polinomgyűrűn az oszthatóság reflexív és tranzitív reláció, továbbá tetszőleges f, g, h, k T [x] polinomokra (1) 1 f és f 0; (3) f g, h = f g ± h; (5) ( fh gh és h 0 ) = f g; (2) 0 f f = 0; (4) ( f g és h k ) = fh gk; (6) ( f g és g 0 ) = deg f deg g. 3.3. Definíció. Az f és g polinomok asszociáltak (jelölés: f g), ha f g és g f. 3.4. Álĺıtás. Az asszociáltság ekvivalenciareláció T [x]-en. 3.5. Tétel. Tetszőleges f, g T [x] polinomokra f g pontosan akkor teljesül, ha van olyan c T \ {0}, melyre g = cf. A zéruspolinom osztályát kivéve minden asszociáltsági osztály tartalmaz pontosan egy főpolinomot. 3.6. Definíció. A d T [x] polinom legnagyobb közös osztója az f és g T [x] polinomoknak, ha teljesül a következő két feltétel: (1) d f és d g; (2) k T [x] : (k f és k g) = k d. Hasonlóan definiálható polinomok legkisebb közös többszöröse is. 3.7. Álĺıtás. Ha d legnagyobb közös osztója az f, g T [x] polinomoknak, akkor d összes asszociáltja is az, és fordítva, f és g bármely két legnagyobb közös osztója egymás asszociáltja. Ugyanez igaz a legkisebb közös többszörösre is. Jelölés. Az lnko(f, g) jelölést az f, g polinomok bármelyik legnagyobb közös osztójára használni fogjuk, és legtöbbször főpolinomnak választjuk (ha lehet); ugyanígy használjuk a legkisebb közös többszörös lkkt(f, g) jelét is. Kitekintés. A fenti definíciókat T [x] helyett bármelyik integritástartományban be lehet vezetni, és érvényben maradnak a 3.2, 3.4, 3.7-beli tulajdonságok 3.2(6) kivételével. Továbbá ha az integritástartomány bármely két elemének van legnagyobb közös osztója, akkor 3.12 is érvényes. 3.8. Tétel (a maradékos osztás tétele). Ha f, g T [x] és g 0, akkor léteznek olyan egyértelműen meghatározott q és r T [x] polinomok, amelyekre f = qg + r és deg r < deg g. 3.9. Definíció. Az f = qg + r, deg r < deg g maradékos osztásban f az osztandó, g az osztó, q a hányados és r a maradék. 3.10. Definíció. Euklideszi algoritmus az f, g T [x] polinomokon: az maradékos osztások sorozata, ahol r n+1 = 0. f = q 0 g + r 1, deg r 1 < deg g g = q 1 r 1 + r 2, deg r 2 < deg r 1 r 1 = q 2 r 2 + r 3, deg r 3 < deg r 2. r n 1 = q n r n + r n+1, deg r n+1 < deg r n 3.11. Tétel. Tetszőleges f, g T [x] polinomoknak létezik legnagyobb közös osztója és legkisebb közös többszöröse. Euklideszi algoritmussal kiszámítható a legnagyobb közös osztó: r n lnko(f, g), és kifejezhető f és g lineáris kombinációjaként, azaz található olyan u, v T [x], melyekre fu + gv = r n. Ha f vagy g nemzérus polinom, akkor lkkt(f, g) fg/ lnko(f, g). 3.12. Tétel. Tetszőleges f, g, h, d, u, v T [x] polinomokra fennállnak az alábbiak: (1) lnko(f, f) f; (5) lnko(f + gh, g) lnko(f, g); (2) lnko(f, g) lnko(g, f); (6) ( lnko(f, g) ) h lnko(fh, gh); (3) lnko ( lnko(f, g), h ) lnko ( f, lnko(g, h) ) ; (7) ( d = lnko(f, g) 0 és f = du, g = dv ) = lnko(u, v) 1; (4) lnko(f, g) f f g; (8) lnko(f, g) 1 = lnko(f, gh) lnko(f, h). 3.13. Tétel. Tetszőlegesen adott nemzéró f, g, h T [x] polinomok esetén az fu + gv = h egyenlet akkor és csak akkor oldható meg az ismeretlen u, v T [x] polinomokra nézve, ha lnko(f, g) h. Ebben a fejezetben T mindig tetszőleges testet jelöl, és hacsak mást nem mondunk minden polinomot ezen test felett tekintünk.

ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 6 3.14. Definíció. Tetszőleges f, g, m T [x] esetén azt mondjuk, hogy f kongruens g-vel modulo m, ha m f g (jelölés: f g (mod m)). 3.15. Álĺıtás. A mod m kongruencia ekvivalenciareláció T [x]-en, és két polinom akkor és csak akkor kongruens modulo m, ha ugyanazt a maradékot adják m-mel osztva. 3.16. Tétel. Tetszőleges f, g, h T [x] esetén az fu h (mod m) lineáris kongruencia akkor és csak akkor oldható meg (az u ismeretlen polinomra nézve), ha lnko(f, m) h. 3.17. Definíció. A mod m kongruenciához tartozó ekvivalenciaosztályokat modulo m maradékosztályoknak nevezzük. Az f T [x] polinomot tartalmazó modulo m maradékosztályt f jelöli, a maradékosztályok halmazát (vagyis a modulo m kongruenciához tartozó faktorhalmazt) pedig T [x]/ (m) jelöli. Tehát T [x]/ (m) = { f : f T [x] }. 3.18. Definíció. A modulo m maradékosztályok halmazán értelmezzük az összeadást, az additív inverz képzését és a szorzást a következőképpen: tetszőleges f, g T [x] esetén legyen f + g = f + g, g = g, fg = fg. 3.19. Álĺıtás. A fenti műveletek jóldefiniáltak, azaz maradékosztályok összege (addditív inverze, szorzata) nem függ attól, hogy az egyes maradékosztályokból melyik elemet választjuk reprezentánsnak, és ezekkel a műveletekkel T [x]/ (m) kommutatív egységelemes gyűrűt alkot (maradékosztály-gyűrű). 3.20. Tétel. Az f T [x]/ (m) maradékosztálynak akkor és csak akkor létezik multiplikatív inverze, ha lnko(f, m) 1.

ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 7 Polinomfüggvények, gyökök, interpoláció 3.21. Definíció. Az f = a n x n + + a 1 x + a 0 T [x] polinom c T helyen vett helyettesítési értékén az f (c) = a n c n + + a 1 c + a 0 T elemet értjük. Az f T [x] polinomhoz tartozó polinomfüggvény pedig nem más, mint az f : T T, c f (c) leképezés. A polinomot és a hozzá tartozó polinomfüggvényt ugyanúgy jelöljük; a szövegkörnyezetből kiderül, hogy mikor melyikről van szó. Ha polinomfüggvényekről van szó, akkor x-et változónak nevezzük (nem pedig határozatlannak). 3.22. Definíció. A c T elem gyöke az f T [x] polinomnak, ha f(c) = 0. 3.23. Álĺıtás. Legyen f = a n x n + + a 1 x + a 0 T [x] és c T. Definiáljuk a b n 1, b n 2,..., b 0, b 1 T elemeket a következőképpen: b n 1 = a n, b n 2 = cb n 1+ a n 1,..., b 0 = cb 1 + a 1, b 1 = cb 0 + a 0, és jelölje g a b n 1 x n 1 + + b 1 x + b 0 T [x] polinomot. Ekkor b 1 = f(c) és f = (x c)g + b 1. Tehát az f és x c polinomokon végrehajtott maradékos osztás hányadosa g, maradéka pedig f(c). 3.24. Megjegyzés. Az előző állításbeli eljárás (tábláztos formájának) neve: Horner-elrendezés. 3.25. Tétel (Bézout tétele). Bármely f T [x] és c T esetén f(c) = 0 x c f. 3.26. Következmény. Tetszőleges f, g T [x] polinomok esetén f és g közös gyökei ugyanazok, mint lnko(f, g) gyökei. 3.27. Következmény. Ha c 1,..., c k T páronként különböző elemek és f T [x], akkor f(c 1 ) =... = f(c k ) = 0 (x c 1 ) (x c k ) f. 3.28. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f T [x] polinomnak a c T elem k-szoros gyöke, ha (x c) k f, de (x c) k+1 f. A k számot a c gyök multiplicitásának hívjuk. 3.29. Megjegyzés. Megengedjük a k = 0 esetet is: c pontosan akkor nullaszoros gyök, ha nem gyök. 3.30. Következmény. Ha a nemnulla f T [x] polinom fokszáma n, akkor legfeljebb n különböző gyöke van a T testben. 3.31. Következmény. Ha az f, g T [x] polinomok legfeljebb n-edfokúak, és n+1 különböző helyen ugyanaz a helyettesítési értékük, akkor f = g. 3.32. Következmény. Ha a T test végtelen, akkor két T feletti polinom akkor és csak akkor egyenlő, ha a hozzájuk tartozó polinomfüggvények megegyeznek. 3.33. Tétel (Lagrange-interpoláció). Tetszőleges c 1,..., c n+1 (n N 0 ) páronként különböző és d 1,..., d n+1 (nem feltétlenül különböző) T -beli elemekhez létezik pontosan egy olyan legfeljebb n-edfokú f T [x] polinom, amelyre f (c i ) = d i (i = 1,..., n + 1). Ez a polinom f = n+1 i=1 d ih i, ahol h i = (x c 1) (x c i 1 )(x c i+1 ) (x c n+1 ) (c i c 1 ) (c i c i 1 )(c i c i+1 ) (c i c n+1 ). 3.34. Definíció. Az előző tételbeli f polinom neve Lagrange-féle interpolációs polinom. 3.35. Megjegyzés. Előfordulhat, hogy az n + 1 pontra illesztett Lagrange-féle interpolációs polinom foka kisebb, mint n. Pontosan n-edfokú polinom létezését nem lehet garantálni. Ha nem kötünk ki semmit a fokszámra, akkor elveszítjük az unicitást: bármely g T [x] polinomra f + (x c 1 ) (x c n+1 ) g is megfelelő. Nem nehéz meggondolni (tegyük meg!), hogy minden olyan polinom, amely a c i (i = 1,..., n + 1) helyeken a d i értékeket veszi fel, elő is áll ilyen alakban. 3.36. Következmény. Véges T test esetén minden T T leképezés legfeljebb ( T 1)-edfokú polinomhoz tartozó polinomfüggvény.

ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 8 Irreducibilis polinomok, véges testek 3.37. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az egyik tényező asszociált p-hez. (Ekkor a másik tényező szükségképpen asszociált 1-hez, azaz egység; ilyenkor triviális faktorizációról beszélünk.) Formálisan: p T [x] irreducibilis, ha deg p 1 és f, g T [x] : p = fg = (p f vagy p g). 3.38. Álĺıtás. Egy legalább elsőfokú p T [x] polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha p nem bontható deg p-nél kisebb fokszámú polinomok szorzatára. 3.39. Definíció. A p T [x] polinom prím, ha legalább elsőfokú, és valahányszor osztója egy szorzatnak, mindannyiszor osztója a szorzat egyik tényezőjének. Formálisan: p T [x] prím, ha deg p 1 és f, g T [x] : p fg = (p f vagy p g). 3.40. Tétel. Test feletti polinomokra az irreducibilitás és a prímtulajdonság ekvivalens. 3.41. Tétel. Minden legalább elsőfokú T feletti polinom felbontható irreducibilis polinomok szorzatára. Ez a felbontás a tényezők sorrendjétől és asszociáltságtól eltekintve egyértelműen meghatározott, azaz ha p 1 p n és q 1 q m ugyanazon polinom két irreducibilis faktorizációja, akkor n = m, és létezik olyan π S n permutáció, amelyre p i q iπ minden i = 1,..., n esetén. 3.42. Álĺıtás. Az elsőfokú polinomok bármely test felett irreducibilisek. 3.43. Tétel. Ha f T [x] irreducibilis és deg f 2, akkor f-nek nincs gyöke. 3.44. Tétel. Ha f T [x] és 2 deg f 3, akkor f pontosan akkor irreducibilis, ha nincs gyöke. 3.45. Tétel. A T [x]/(f) maradékosztály-gyűrű akkor és csak akkor test (maradékosztálytest), ha f irreducibilis T felett. 3.46. Tétel. Tekintsük a K = T [x]/(f) maradékosztálytestet, ahol T test és f T [x] irreducibilis polinom. Jelölje n az f polinom fokszámát. Ekkor (1) K test minden eleme egyértelműen felírható alakban; (2) f-nek mint K[x]-beli polinomnak van gyöke. Speciálisan, ha T = Z p, akkor K = p n. a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 (a n 1,..., a 0 T ) 3.47. Megjegyzés. A T = R és f = x 2 + 1 esetben kapott K test éppen a komplex számok teste. 3.48. Következmény. Tetszőleges T test és f T [x] irreducibilis polinom esetén létezik olyan K test, amelyre (1) K bővítése T -nek, azaz K T ; (2) létezik olyan α K elem, amely gyöke f-nek mint K feletti polinomnak; (3) K minden eleme egyértelműen előáll a n 1 α n 1 + + a 1 α + a 0 (a n 1,..., a 0 T ) alakban, ahol n = deg f. 3.49. Definíció. Azt mondjuk, hogy a K test T -ből az α elem adjungálásával keletkezik (jelölés: K = T (α)), és az ilyen módon előálló testeket T egyszerű algebrai bővítéseinek nevezzük. 3.50. Tétel. Tetszőleges q N esetén pontosan akkor létezik q-elemű test, ha q prímhatvány. Irreducibilis polinomok C és R felett, gyöktényezős alak, Viète-formulák 3.51. Tétel (az algebra alaptétele). Minden legalább elsőfokú komplex együtthatós polinomnak van gyöke a komplex számok testében. 3.52. Következmény. A komplex számok teste felett pontosan az elsőfokú polinomok irreducibilisek. 3.53. Következmény. Minden legalább elsőfokú komplex együtthatós polinom elsőfokú polinomok szorzatára bomlik. Ha f = a n x n + + a 1 x + a 0 C[x] (n 1, a n 0), akkor f-nek multiplicitással számolva pontosan n gyöke van. Ha ezek a gyökök α 1,..., α n (mindegyiket annyiszor feltüntetve, amennyi a multiplicitása), akkor f = a n (x α 1 ) (x α n ). Ezt nevezzük a polinom gyöktényezős felbontásának. 3.54. Következmény. Bármely f, g C[x] esetén f g akkor és csak akkor teljesül, ha f minden gyöke egyúttal gyöke g-nek is, mégpedig legalább akkora multiplicitással, mint f-nek.

ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 9 3.55. Tétel (Viète-formulák). Legyenek az n-edfokú f = x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 C[x] főpolinom komplex gyökei α 1,..., α n (mindegyiket annyiszor feltüntetve, amennyi a multiplicitása). Ekkor fennállnak az alábbi összefüggések: a n 1 = α 1 + α 2 + + α n ; a n 2 = α 1 α 2 + α 1 α 3 + + α n 1 α n ; a n 3 = α 1 α 2 α 3 + α 1 α 2 α 4 + + α n 2 α n 1 α n ;. ( 1) n 1 a 1 = α 1 α 2 α n 2 α n 1 + α 1 α 2 α n 2 α n + + α 2 α 3 α n 1 α n ; ( 1) n a 0 = α 1 α 2 α 3 α n 1 α n. 3.56. Megjegyzés. A fenti képleteket Viète-formuláknak hívjuk. A k-adik sor bal oldalán ( 1) k a n k áll, a jobb oldalon pedig az α 1,..., α n betűkből képezett összes k-tényezős szorzat összege, tehát egy ( n k) -tagú összeg. Formálisan: ( 1) k a n k = α i1 α i2 α ik. 1 i 1<i 2< <i k n 3.57. Tétel. A valós polinomok nemvalós gyökei komplex konjugált párokban lépnek fel: f R[x] z C : f (z) = 0 = f ( z) = 0. 3.58. Következmény. Egy valós együtthatós polinom pontosan akkor irreducibilis a valós számok teste felett, ha elsőfokú, vagy olyan másodfokú polinom, melynek nincs valós gyöke. Tehát az R feletti irreducibilis polinomok a következők: ax + b (a, b R, a 0) ; ax 2 + bx + c ( a, b, c R, a 0, b 2 4ac < 0 ). Irreducibilis polinomok Q felett 3.59. Definíció. Az a n x n + + a 1 x + a 0 Z[x] polinomot primitív polinomnak nevezzük, ha együtthatói relatív prímek, azaz lnko(a 0,..., a n ) = 1. 3.60. Álĺıtás. Minden racionális együtthatós polinom felbontható egy racionális szám és egy primitív polinom szorzatára: f Q[x] r Q f Z[x] : f = rf és f primitív polinom. 3.61. Megjegyzés. Ha az előző állításban f 0, akkor f f, tehát Q[x]-ben asszociáltság erejéig mindig lehet primitív polinomokkal számolni. 3.62. Tétel. Primitív polinomok szorzata is primitív. 3.63. Tétel. Ha egy legalább elsőfokú egész együtthatós polinom nem bontható fel nála kisebb fokszámú egész együtthatós polinomok szorzatára, akkor Q felett sem bomlik így fel, és viszont. Formálisan: ha f Z[x] és deg f = n 1, akkor az alábbi két állítás ekvivalens: (1) g, h Z[x] : f = gh és 0 < deg g, deg h < n; (2) g, h Q[x] : f = gh és 0 < deg g, deg h < n. 3.64. Definíció. Azt mondjuk, hogy a p prímszám pontos osztója az a egész számnak, ha a osztható p-vel, de p 2 -tel már nem. Jelölés: p a. 3.65. Tétel (Schönemann Eisenstein-tétel). Legyen f = a n x n + + a 1 x + a 0 Z[x]. Ha létezik olyan p prímszám, amelyre p a n, p a n 1,..., p a 1, p a 0, akkor f irreducibilis a racionális számok teste felett. 3.66. Következmény. Minden n 1 egész számra létezik Q felett irreducibilis n-edfokú polinom. 3.67. Megjegyzés. A Schönemann Eisenstein-tétel megfordítása nem igaz! Vagyis abból, hogy nem létezik olyan p prímszám, ami teljesítené a megfelelő oszthatósági feltételeket, nem következik, hogy a polinom nem irreducibilis (keressünk ellenpéldát!). A megfordítás helyett következzék inkább a tétel tükörképe. 3.68. Tétel ( ). Legyen f = a n x n + + a 1 x + a 0 Z[x]. Ha létezik olyan p prímszám, amelyre p a n, p a n 1,..., p a 1, p a 0, akkor f irreducibilis a racionális számok teste felett. Schönemann Eisenstein-tétel 3.69. Tétel. Legyen f = a n x n + + a 1 x + a 0 tetszőleges egész együtthatós polinom. Ha p q egyszerűsíthetetlen tört alakjában felírt racionális szám (azaz p, q Z, q 0 és lnko(p, q) = 1), akkor ( p ) f = 0 = q a n és p a 0. q Speciálisan, egész együtthatós főpolinom racionális gyökei mindig egész számok.

ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 10 Derivált, többszörös gyökök 3.70. Definíció. Az f = a n x n + + a 1 x + a 0 C[x] polinom deriváltján az na n x n 1 + + 2a 2 x + a 1 polinomot értjük. Jelölés. Az f polinom deriváltját f jelöli, a k-adik deriváltat pedig f (k), az f (1) = f és f (0) = f megállapodással. 3.71. Tétel. Minden f, g C[x] polinomra és k pozitív egész számra érvényesek az alábbi deriválási szabályok: (1) (f + g) = f + g ; (2) (fg) = f g + fg ; (3) ( f k) = kf k 1 f. 3.72. Tétel. Ha k 1 és az α komplex szám k-szoros gyöke az f polinomnak, akkor k 1-szeres gyöke f -nek. Speciálisan, ha k = 1, akkor α nem gyöke f -nek. 3.73. Megjegyzés. Az előző tétel megfordítása nem igaz: f -nek lehetnek olyan gyökei is, amelyekért nem f a felelős. 3.74. Következmény. Az f C[x] polinom α gyökének multiplicitása nem más, mint a legkisebb olyan k nemnegatív egész, amelyre f (k) (α) 0, azaz α akkor és csak akkor k-szoros gyök, ha f (α) = f (α) = = f (k 1) (α) = 0, de f (k) (α) 0. 3.75. Következmény. Az α komplex szám akkor és csak akkor többszörös gyöke az f C[x] polinomnak, ha gyöke lnko(f, f )-nak. 3.76. Következmény. Bármely legalább elsőfokú f C[x] polinomra az gyökei, de mindegyik egyszeres gyök. f lnko(f,f ) polinom gyökei ugyanazok, mint f 3.77. Következmény. Ha T számtest, azaz részteste C-nek, és f T [x] irreducibilis T felett, akkor f-nek minden komplex gyöke egyszeres.

ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 11 4. Csoportok A csoport, részcsoport és izomorfia fogalma Emlékeztető. 2.1 2.5. Definíciók és Állítások 4.1. Definíció. Legyen kétváltozós művelet a nemüres A halmazon. Az (A; ) algebrai struktúrát grupoidnak hívjuk. Azt mondjuk, hogy (1) invertálható művelet, ha bármely a, b A elemek esetén az a x = b és az y a = b egyenletnek is legalább egy megoldása van; (2) egyszerűsítéses (illetve kancellatív) művelet, ha bármely a, b A elemek esetén az a x = b és az y a = b egyenletnek is legfeljebb egy megoldása van. 4.2. Megjegyzés. A kancellativitás így is megfogalmazható: a, u, v A: a u = a v = u = v és u a = v a = u = v. 4.3. Megjegyzés. A művelet pontosan akkor (1) invertálható, ha művelettáblázatának minden sorában és minden oszlopában A minden eleme legalább egyszer előfordul; (2) egyszerűsítéses, ha művelettáblázatának minden sorában és minden oszlopában A minden eleme legfeljebb egyszer fordul elő; 4.4. Álĺıtás. Véges alaphalmaz esetén az invertálhatóság és a kancellativitás egymással ekvivalens. 4.5. Tétel. Minden csoport művelete invertálható és egyszerűsítéses. Fordítva, minden invertálható művelettel rendelkező félcsoport csoport. 4.6. Definíció. Legyen (G; ) csoport és A G. Azt mondjuk, hogy az A részhalmaz zárt a műveletre, ha a 1, a 2 A : a 1 a 2 A. 4.7. Álĺıtás. Ha A nemüres zárt részhalmaz a (G; ) csoportban, akkor A-ra való megszorítása művelet A-n, és A félcsoportot alkot erre a műveletre. Az ilyen (A; ) félcsoportot (G; ) részfélcsoportjának nevezzük. 4.8. Definíció. Ha (G; ) csoport, H nemüres zárt részhalmaza (G; )-nak, és a (H; ) részfélcsoport maga is csoport, akkor azt mondjuk, hogy (H; ) részcsoportja a (G; ) csoportnak. Jelölés: (H; ) (G; ). 4.9. Definíció. Legyen (A; ) és (B; ) csoport [grupoid]. Azt mondjuk, hogy a ϕ: A B leképezés izomorfizmus (A; )-ról (B; )-ra, ha ϕ bijektív leképezés, és ϕ felcserélhető a műveletekkel, azaz a 1, a 2 A: (a 1 a 2 )ϕ = a 1 ϕ a 2 ϕ. Ha létezik ϕ: (A; ) (B; ) izomorfizmus, akkor azt mondjuk, hogy (A; ) és (B; ) izomorf (jelölés: (A; ) = (B; )). Kitekintés. Meg lehet mutatni, hogy izomorfizmusok inverze és szorzata is izomorfizmus. Továbbá csoportok [grupoidok] bármely halmazán az = izomorfiareláció ekvivalencia. Jelölés. A későbbiekben a csoportokat és az alaphalmazukat ugyanúgy jelöljük, és általában multiplikatív íráamódot használunk (pl. kivétel: gyűrű additív csoportja). Nevezetes példák 4.10. Példa. Tetszőleges gyűrű Abel-csoportot alkot az összeadás műveletével, és tetszőleges egységelemes gyűrű egységei csoportot alkotnak a szorzás műveletével (pl. Z, Z n, Q, R, C, Z[i]; Z n, Q, R, C, Z[i] ). 4.11. Példa. Tetszőleges T test esetén a T feletti n n-es mátrixok gyűrűjének egységcsoportja a T feletti n-dimenziós általános lineáris csoport (jelölés: GL n (T )). Ebben az 1 determinánsú mátrixok alkotta részcsoport a megfelelő speciális lineáris csoport (jelölés: SL n (T )): GL n (T ) = {A T n n : det(a) 0}, SL n (T ) = {A T n n : det(a) = 1}. 4.12. Példa. A komplex egységgyökök részcsoportot alkotnak C -ban, és minden n 2 egész számra az n-edik egységgyökök E n halmaza részcsoportja a komplex egységgyökök csoportjának. Az E n csoport izomorf a Z n csoporttal: E n = Zn.

ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 12 4.13. Példa. Tetszőleges nemüres A halmaz összes transzformációi (azaz az A A leképezések) monoidot alkotnak a leképezésszorzás műveletével, a bijektív transzformációk (azaz permutációk) pedig csoportot alkotnak. 4.14. Definíció. Az A halmaz összes permutációi alkotta csoportot (a leképezésszorzás műveletével) A feletti szimmetrikus csoportnak nevezzük, és S A -val jelöljük. Ha A = {1, 2,..., n}, akkor a csoport neve n-edfokú szimmetrikus csoport, jelölése S n. 4.15. Példa. Az S 4 csoportban a V = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} részcsoportot Klein-féle csoportnak nevezzük. 4.16. Példa. A sík [tér] összes egybevágósági transzformációi csoportot alkotnak a leképezésszorzás műveletével, egy adott síkidomot [térbeli alakzatot] önmagába képező egybevágóságok pedig részcsoportot alkotnak ebben a csoportban (a síkidom [térbeli alakzat] szimmetriacsoportja). 4.17. Definíció. A szabályos n-szög szimmetriacsoportját n-edfokú diédercsoportnak nevezzük és D n -nel jelöljük. 4.18. Tétel. A D n csoportnak 2n eleme van: D n = {id, a, a 2,..., a n 1, t, at, a 2 t,..., a n 1 t}, ahol a jelöli a szabályos n- szög középpontja körüli 2π n szögű forgatást, t pedig az egyik (tetszőlegesen választott) szimmetriatengelyre való tükrözést. Ekkor a k a középpont körüli 2kπ n szögű forgatás (0 k n 1), a t, at, a2 t,..., a n 1 t transzformációk pedig tengelyes tükrözések (két szomszédos tengely π n szöget zár be egymással). Továbbá az {id, a, a2,..., a n 1 } részcsoport izomorf Z n -nel, és bármely k Z-re fennáll a ta k = a k t összefüggés. Permutációcsoportok 4.19. Definíció. Egy csoportot permutációcsoportnak hívunk, ha valamely nemüres A halmaz feletti S A szimmetrikus csoport részcsoportja. Kitekintés (Cayley-tétel). A 4.3. Megjegyzés és a 4.5. Tétel első állítása alapján, tetszőleges (G; ) csoport és a G eleme esetén a ρ a : G G, gρ a = ga leképezés a G halmaz permutációja. Igazolható, hogy G = {ρ a : a G} részcsoport S G -ben, és a G G, a ρ a leképezés izomorfizmus. Tehát minden csoport izomorf egy permutációcsoporttal. 4.20. Definíció. Legyenek a 1,..., a k {1, 2,..., n} páronként különböző elemek, és legyen π S n az alábbi permutáció: a 1 π = a 2, a 2 π = a 3,..., a k 1 π = a k, a k π = a 1 és bπ = b, ha b / {a 1,..., a k }. Ezt a π permutációt így jelöljük: π = (a 1 a 2 a k 1 a k ) és ciklikus permutációnak vagy röviden ciklusnak nevezzük, melynek hossza k. 4.21. Definíció. A π S n permutáció által mozgatott elemek halmaza M π = {i {1, 2,..., n} : iπ i}. Két permutáció idegen, ha mozgatott elemeik halmaza diszjunkt. 4.22. Tétel. Ha π és ρ idegen permutációk, akkor fölcserélhetőek, azaz πρ = ρπ. 4.23. Tétel. Minden S n -beli permutáció előáll páronként idegen ciklusok szorzataként, és ez az előállítás a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. 4.24. Definíció. A 2 hosszúságú ciklusokat, vagyis az (i j) alakú permutációkat transzpozícióknak nevezzük. 4.25. Tétel. Minden S n -beli permutáció előáll transzpozíciók szorzataként. 4.26. Tétel. Egy S n -beli permutáció transzpozíciók szorzataként való felírásában a tényezők számának paritása egyértelműen meghatározott. 4.27. Definíció. Egy π S n permutációt párosnak, illetve páratlannak nevezünk attól függően, hogy páros vagy páratlan sok transzpozíció szorzataként áll elő. 4.28. Álĺıtás. Bármely π, ρ S n permutációkra (1) π és π 1 paritása megegyezik, (2) πρ pontosan akkor páros, ha π és ρ paritása megegyezik. 4.29. Álĺıtás. A páros hosszúságú ciklusok páratlan permutációk, míg a páratlan hosszúságú ciklusok páros permutációk. 4.30. Tétel. Ha n 2, akkor a páros permutációk részcsoportot alkotnak S n -ben, melynek elemszáma S n /2 = n!/2. Ezt a csoportot n-edfokú alternáló csoportnak nevezzük, és A n -nel jelöljük. 4.31. Tétel. Minden A n -beli permutáció előáll 3 hosszúságú ciklusok szorzataként.

ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 13 Hatványozás, elem rendje, ciklikus csoportok Jelölés. Ezentúl G mindig tetszőleges csoportot jelöl. 4.32. Definíció. Az a G elem egész kitevős hatványait a következőképpen értelmezzük: tetszőleges n pozitív egészre legyen a n = a a (n db a szorzata), a n = a 1 a 1 (n db a 1 szorzata), továbbá legyen a 0 = 1. 4.33. Megjegyzés. Additív írásmódban a hatványozásnak a többszörözés felel meg. Az (A; +) additív csoport a elemének egész számú többszöröseit a következőképpen értelmezzük: tetszőleges n pozitív egészre legyen n a = a + + a (n db a összege), ( n) a = ( a) + + ( a) (n db ( a) összege), valamint legyen 0 a = 0 (ahol a bal oldalon álló 0 a nulla egész szám, a jobb oldalon álló 0 pedig (A; +) additív egységeleme). 4.34. Tétel. Tetszőleges G csoport, a, b G és m, n Z esetén teljesülnek az alábbiak: (1) a m a n = a m+n ; (2) (a m ) n = a mn ; (3) ha ab = ba, akkor (ab) n = a n b n. 4.35. Álĺıtás. Bármely a G elem esetén vagy van olyan n pozitív egész, amelyre a n = 1, vagy a különböző kitevős hatványai különbözők. 4.36. Definíció. Az a G elem rendje az a legkisebb n pozitív egész szám, amelyre a n = 1. Ha nincs ilyen n, akkor a rendje végtelen. Az a elem rendjét o(a) jelöli. 4.37. Definíció. Véges csoport rendjén a csoport elemeinek számát értjük. 4.38. Álĺıtás. Ha az a, b G elemek rendje véges, akkor bármely k, l Z esetén (1) a k = 1 o(a) k; (2) a k = a l k l (mod o(a)); (3) o(a k ) = o(a) lnko(k,o(a)) ; (4) ha ab = ba, akkor o(ab) lnko(o(a), o(b)); (5) ha ab = ba, akkor o(ab) = o(a) o(b) lnko(o(a), o(b)) = 1. Jelölés. Tetszőleges a G esetén jelölje [a] az a elem összes hatványainak halmazát: [a] = {a k : k Z}. 4.39. Álĺıtás. Bármely a G elem esetén [a] részcsoport G-ben. (Ezt nevezzük majd később az a elem által generált részcsoportnak; lásd az 4.51. Definíciót.) 4.40. Definíció. A G csoportot ciklikus csoportnak nevezzük, ha létezik olyan a G, amelyre [a] = G. 4.41. Tétel. Legyen G ciklikus csoport, és a G, melyre G = [a]. Ha a rendje végtelen, akkor G = Z, ha pedig o(a) = n N, akkor G = Z n. (Itt Z 1 = {0} egyelemű csoport.) 4.42. Következmény. Egy csoport pontosan akkor ciklikus, ha izomorf a Z, Z 1, Z 2, Z 3, Z 4,... csoportok valamelyikével. 4.43. Tétel. Ciklikus csoport minden részcsoportja is ciklikus. 4.44. Definíció. Ha ε C rendje n, akkor azt mondjuk, hogy ε primitív n-edik egységgyök 4.45. Tétel. Egy ε n-edik egységgyök pontosan akkor primitív n-edik egységgyök, ha hatványaiként az összes n-edik egységgyök megkapható, azaz ha [ε] = E n. 4.46. Tétel. Az ε k = cis 2kπ n E n egységgyök akkor és csak akkor primitív n-edik egységgyök, ha k relatív prím n-hez. 4.47. Következmény. A primitív n-edik egységgyökök száma ϕ(n) (itt ϕ az Euler-féle függvény, lásd az 5.1. Definíciót). Részcsoportok, generálás 4.48. Álĺıtás. Tetszőleges G csoport és H G esetén H akkor és csak akkor részcsoportja G-nek, ha (1) H zárt a szorzásra, azaz h 1, h 2 H : h 1 h 2 H; (2) H tartalmazza G egységelemét, azaz 1 G H; (3) H zárt az inverzképzésre, azaz h H : h 1 H. 4.49. Tétel. Részcsoportok metszete is részcsoport: ha H 1 és H 2 részcsoportjai a G csoportnak, akkor H 1 H 2 is részcsoportja G-nek. 4.50. Megjegyzés. A tétel nem csak kettő, hanem több (akár végtelen sok) részcsoportra is érvényes.

ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 14 4.51. Definíció. Legyen G csoport és B G. A B halmaz által generált részcsoport a legszűkebb olyan részcsoport, amely tartalmazza B-t: [B] = H. B H G 4.52. Megjegyzés. Az üres halmaz generátuma a legszűkebb részcsoport: [ ] = {1 G }. 4.53. Definíció. Ha [B] = G, akkor azt mondjuk, hogy B generátorrendszere a G csoportnak. 4.54. Álĺıtás. A G csoportban a B G részhalmaz által generált részcsoport pontosan azokból az elemekből áll, amelyek megkaphatók B elemeiből (és az egységelemből) szorzás és inverzképzés véges számú alkalmazásával: [B] = {b ε1 1 bεn n : n N 0, b 1,..., b n B, ε 1,..., ε n = ±1}. Lagrange tétele 4.55. Tétel. Legyen H G, és definiáljunk a G halmazon egy relációt: a b a 1 b H. Ekkor ekvivalenciareláció, és tetszőleges a G elem ekvivalenciaosztálya ah = {ah : h H}. 4.56. Definíció. Az ah halmaz neve: az a elem H szerinti bal oldali mellékosztálya G-ben. 4.57. Következmény. Egy H G részcsoport szerinti bal oldali mellékosztályok a G csoport egy osztályozását alkotják. 4.58. Megjegyzés. Hasonló módon definiálhatóak a Ha jobb oldali mellékosztályok, amelyek szintén osztályozást alkotnak. 4.59. Definíció. A G véges csoport H részcsoportja szerinti bal oldali (jobb oldali) mellékosztályok számát H indexének nevezzük. Jelölése: [G : H]. 4.60. Tétel (Lagrange tétele). Tetszőleges G véges csoport és H részcsoportja esetén G = H [G : H]. 4.61. Következmény. Ha G véges csoport, akkor (1) minden H G részcsoportra H G ; (2) minden a G esetén o(a) G ; (2 ) minden a G esetén a G = 1; (2 ) minden a G esetén a 1 = a G 1. 4.62. Következmény. Minden prímszám rendű csoport ciklikus. 4.63. Tétel. A legfeljebb 7-elemű csoportok (izomorfia erejéig) a következők: {1}; Z 2 ; Z 3 ; Z 4, V ; Z 5 ; Z 6, S 3 ; Z 7. 5. Hatványozás modulo m Az Euler-féle ϕ függvény 5.1. Definíció. Tetszőleges n természetes szám esetén legyen ϕ(n) = Z n ( = {a N : 1 a < n és lnko(a, n) = 1} ). Az így definiált ϕ: N N függvényt Euler-féle ϕ függvénynek nevezzük. 5.2. Tétel. Az Euler-féle ϕ függvény gyengén multiplikatív, azaz ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) minden olyan m, n N esetén, amelyekre lnko(m, n) = 1. 5.3. Tétel. Legyen az n természetes szám prímtényezős felbontása n = k i=1 pαi i (p 1,..., p k páronként különbözők). Ekkor k ϕ(n) = n (1 1 ) k k = (p αi i p αi 1 i ) = p αi 1 i (p i 1). p i i=1 i=1 5.4. Tétel. Minden n természetes számra d n ϕ(d) = n. 5.5. Tétel (Euler Fermat-tétel). Ha az a egész szám relatív prím az m modulushoz, akkor a ϕ(m) 1 (mod m). 5.6. Következmény (kis Fermat-tétel). Ha p prímszám és a Z nem osztható p-vel, akkor a p 1 1 (mod p). 5.7. Következmény. Ha a Z relatív prím az m modulushoz és k, l Z, akkor k l (mod ϕ(m)) = a k a l (mod m). i=1