0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos:
MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I... A számtai sorozat első eleméek összege... I... A számtai sorozat középtulajdosága... 3 I..3. Gyakorló feladatok számtai sorozatra... 4 I.3. A mértai sorozat... 6 I.3.. Gyakorló feladatok mértai sorozatra... 0 I.3.. Vegyes feladatok sorozatokra... 0 II. Statisztika... II.. Középértékek... II.. A szóródás mutatói... 4 III. Valószíűség-számítás... 7 IV. Feladatgyűjteméy... 3
SOROZATOK, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG Amit az epocha végére tudi kell: Fogalmak: sorozat, számtai sorozat, differecia, mértai sorozat, háyados, mooto és szigorúa mooto sorozatok, korlátosság, statisztika, gyakoriság, relatív gyakoriság, diagramok, módusz, mediá, átlag, terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás, eseméy, elemi eseméy, összetett eseméy, klasszikus valószíűségi mező, biztos eseméy, lehetetle eseméy, komplemeter eseméy Összefüggések: sorozatokhoz kapcsolódó jelölések, számtai sorozat -edik eleme és első eleméek összege, számtai közép, mértai sorozat -edik eleme és első eleméek összege, mértai közép, statisztikai mutatók, középértékek számítása, a valószíűség kombiatorikus számítása Eljárások: sorozat elemeiek meghatározása képlettel és rekurzíva megadott sorozat eseté, elemek és összegek számítása számtai és mértai sorozat eseté, szöveges feladatok, kamatos kamattal kapcsolatos feladatok megoldása, adathalmazból táblázat és grafiko készítése, statisztikai mutatók, középértékek értelmezése, szöveges feladatokba törtéő alkalmazása, összetett eseméyek valószíűségéek kiszámítása kombiatorikus modell alapjá Az epocha értékelése: 70% az epochazáró A másik 30%-ot az epocha sorá feldolgozásra kerülő ayagrészekből írt résztesztek fogják adi. (5%-5%). További 0 potot ér az órai aktivitás illetve a házi feladatok elkészítése. A százalékos eredméyek átváltása jegyre: 0%-39% ullás (0) 40%-54% elégséges () 55%-69% közepes (3) 70%-84% jó (4) 85%-00% jeles (5) 3
MÁSODIK EPOCHAFÜZET I. Sorozatok I.. Sorozatok megadása, defiíciója Ezt az éeket a kottába zeei hagok sorozatával ábrázolták: A dallam szempotjából meghatározó, hogy melyik hag áll az első, a második, a harmadik,... a tízedik, és az utolsó helye. A matematikusok a köyebb leírás kedvéért éháy egyszerű jelölést vezettek be. A sorozatokhoz kapcsolódó jelölések: a -gyel jelölik az a sorozat első elemét a -vel jelölik az a sorozat második elemét Általáosítva: a -el jelölik az a sorozat -edik elemét. Általáosa elterjedt jelölések egy sorozat tagjaira: a ; a ; a 3 ; a - ; a ; a + ; vagy b ; b ; b 3 ; b - ; b ; b +. Nevezd meg a feti hagsorozat következő elemeit! a ; a 5 ; a ; a 30 ;. Megadtuk éháy számsorozatot, és mellettük éháy számot. Dötsd el, hogy a számok közül melyik szerepel az adott sorozatba és melyik em! Amelyik előfordul, aál add meg azt is, hogy háyadik elem! 3 5 9 a ), 4, 6, 8, 0, 058; 4 0 ;,6 0 ; 8 0 ; b ), 4, 7, 0, 3, 364; 98; 347 69; c ), -,, -,, -, 0; ; -; d ) *, 4, 8, 6, 3, 056; 96 344; 05 346 464; e ) *, 4, 9, 6, 5, 36, 65; 9 0 ; 3 6 0 ; 49 4 0 ; 3. Add meg a feti sorozatok megfelelő elemeit! a ) a 0 ; a 5 ; a 8 ; a 3 ; b ) a 0 ; a 5 ; a 8 ; a 3 ; c ) a 0 ; a 5 ; a 8 ; a 3 ; d ) a 0 ; a 5 ; a 8 ; a 3 ; e ) a 0 ; a 5 ; a 8 ; a 3 ; 4
SOROZATOK, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG 4. Folytasd az alábbi sorozatokat. Mi lehet a képzési szabály? Mi lehet ez alapjá a sorozatok 0. tagja? Írd ezt le a tault jelölés haszálatával! ( a 0?) (Többféle megoldás is lehet.) a ) 0,, 3, 7, 5, b ), 4, 6, 37, 58, c ),, 4, 8, 7, 5, 5. Az alábbi függvéyek értelmezési tartomáya az {,, 3, 4, 5, 6} halmaz. Készíts értéktáblázatot, és ábrázold a függvéyeket! a ) a: x a 5 b ) b: xa x + 3 c ) c: xa x + d ) d: xa x 3 e ) e: xa x 8x + f ) f: x xa 6. Most képlettel adjuk meg a sorozat képzési szabályát. Írd fel a sorozat első 0 elemét! a ) a + 3 b ) b A sorozat fogalmáak defiíciója: Sorozatak evezzük az olya függvéyt, amelyek értelmezési tartomáya a pozitív egész számok halmaza. Az számhoz hozzáredelt elemet a sorozat -edik tagjáak modjuk. A defiícióból következik, hogy sorozato általába végtele sok tagot tartalmazó sorozatot értük. Természetese a véges sorozat fogalmára is adható hasoló jellegű defiíció: A véges sorozat olya függvéy, amelyek értelmezési tartomáya az első valaháy pozitív egész szám. Megállapoduk abba, hogy ha az ellekezőjét em modjuk, a sorozato végtele számsorozatot értük. 5
MÁSODIK EPOCHAFÜZET Olvasd el, és godold végig Pósa Lajosak a sorozat defiíciójával kapcsolatos godolatait! Az, 6,, 6,, 6, sorozat idáig valami olyasfélét jeletett a számukra, hogy az, a 6, a stb. számokat elhelyeztük szépe egymás mellé egy végtele hosszú, képzeletbeli voal meté. Potosabba em tudtuk vola elmagyarázi, hogy miről is va szó itt tulajdoképpe. A matematikába jó éháy fogalmat haszáluk, amelyet csak szemlélteti tuduk, de potosa elmagyarázi, azaz egyszerűbb fogalmakra visszavezeti em. A matematikusok egy része arra törekszik, hogy az ilye fogalmak számát legalább csökketse, mégpedig úgy, hogy ezek egyikétmásikát akár kissé erőltetette is, de visszavezesse a többi el em magyarázott fogalomra. Egy ilye visszavezetéssel találkozuk most. Eszerit a fet említett, 6,, 6, sorozatba ezetúl függvéyt kellee látuk, mégpedig azt a hozzáredelést, amely -hez -et, -höz 6-ot, 3-hoz -et stb. redel: Ez a függvéy persze képlettel is megadható: xa 5x 4, x N vagy f ( x) 5x 4 (x pozitív egész szám) Ez a visszavezetés em felel meg egésze az eredeti képükek, hisze a sorozatot em hozzáredeléskét képzeljük el, mégis látuk kell, hogy az új fogalom tökéletese helyettesíti a régit. Végül is midegy, hogy azt modjuk: elemek egymás utá, mide -re va egy - edik elem, vagy azt, hogy egy hozzáredelésről va szó, amely mide pozitív egészhez ad egy valamilye -hez hozzáredelt elemet. (Persze az ilye visszavezetés ige viszoylagos értékű, hisze a hozzáredelés szó jeletését már em magyaráztuk meg. Nem törtée semmi tragédia, ha a sorozatot sem magyarázgaták, haem haszálák a természetes elképezésüket.) 7. Egy sorozatak megadtuk az első elemét és az +-edik eleméek a képzési szabályát az -edik elem ismeretébe. Add meg a sorozatok kérdéses elemeit! Vigyázz, az a kifejezésbe csak az szerepelhet paraméterkét! a ) a 4 és a + a a 5 ; a ; b ) a 5 és a + a + a 6 ; a ; c ) a 6 és a + a + a 8 ; a ; d ) a és a + a a 9 ; a ; 6
SOROZATOK, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG A feti feladatba a sorozatok rekurzív megadásával találkoztál. A rekurzív megadás azt jeleti, hogy adott a sorozat első eleme, és az a művelet, amellyel az -edik elemből az (+)-edik elemet ki lehet számoli. Az így megadott sorozat 0. elemét a 9. elem segítségével lehet kiszámoli, amit viszot csak a 8. elem segítségével lehet megkapi Vagyis az első elemből, a megadott szabály alkalmazásával, lépésekét lehet eljuti a sorozat bármely eleméhez. A rekurzíva megadott sorozatok émelyikét meg lehet adi olya zárt képlet segítségével is, ahol az a -be csak az szerepel paraméterkét. 8. Adj meg három tetszőleges sorozatot zárt képlettel és rekurzíva is! 9. Háy pár yúlra szaporodik egy év alatt a kezdeti egy pár, ha a yulak két hóap alatt válak ivaréretté, és ezutá mide pár mide hóapba egy új párak ad életet? (Segítség: Írd fel az egymást követő hóapokba a yúlpárok számát!) Az előző feladatba az egymást követő hóapokba a yúlpárok száma rekurzíva megadott sorozatot adhat: a ; a ; a + a + a + Ez az úgyevezett Fiboacci-sorozat. Eek első két tagja, majd a harmadiktól kezdve úgy kapjuk az elemeit, hogy az előző kettőt összeadjuk. Fiboacci (Leoardo Pisao, 70-40) olasz matematikus volt. 0. A következő feladatokba felsorolással, zárt képlettel, illetve függvéy hozzáredelési utasítás segítségével adtuk meg a sorozatokat. Mide esetbe a három közül az egyikkel. Pótold a hiáyzó megadási módokat! a ) ; 3; 5; 7; a f(x) és x N b ) a 3 x a felsorolás: c ) x a 5x + felsorolás: a. Keresd meg azokat a függvéyeket, amelyek az alábbi sorozatokat határozzák meg! 3 7 5 a ) ; ; ; ;. b ) *** ; ; ; ;. c ) -; ; -3; 4; -5; 6; 3 4 4 8 d ) ; ; 4 8 ; 6 ;. e ) ; 3 ; 3 4 ; 4 5 ;. f ) *** -; ; 6; 3;. Válogasd ki az előző feladat sorozatai közül azokat, amelyek a ) szigorúa mooto övekvők 7
MÁSODIK EPOCHAFÜZET b ) szigorúa mooto csökkeők c ) mide eleme a [0; ] itervallumba esik d ) mide eleme az [; ] itervallumba esik Figyelj! Defiíciók következek. I. Az a ; a ; a 3 ; sorozatot mooto övekvőek modjuk, ha a a a 3 a a + II. Az a ; a ; a 3 ; sorozatot szigorúa mooto övekvőek modjuk, ha a < a < a 3 < < a < a + III. Egy sorozat felülről korlátos, ha megadható egy A szám, amelyél agyobb eleme ics a sorozatak. Egy sorozat alulról korlátos, ha megadható egy B szám, amelyél kisebb eleme ics a sorozatak. Egy sorozat korlátos, ha alulról is, felülről is korlátos. 3. Írd fel a függvéykét megadott sorozatok első öt elemét! (Vigyázz, a helyettesítési érték em lehet akármilye szám!) a ) f ( x) 3 x b ) f ( x) 3x 3 + c ) f ( x) x + x + x + x d ) f ( x) x + e ) f ( x) f ) ( x) f 4. Ábrázold az előző feladat elemeit egy-egy derékszögű koordiáta-redszerbe! Melyik lesz szigorúa mooto övekvő, és melyik lesz szigorúa mooto csökkeő sorozat? 5. * Jellemezd a következő sorozatokat korlátosság szempotjából! a ) a - b ) a e ) a f ) a ( ) c ) a ( ) x 3 d ) a 3 + g ) a 4 + ( 3) h ) a 4 ( 3) 6. *** Keresd meg az előző sorozatok közül a ) az alulról korlátos sorozatok legagyobb alsó korlátját! b ) a felülről korlátos sorozatok legkisebb felső korlátját! 7. *** Keress olya sorozatot, amely szigorúa mooto övekvő, és a ) alulról korlátos b) felülről korlátos 8. *** A 3; 7; 0 számokból háy a ) 3 tagú sorozat b ) 5 tagú sorozat c ) 0 tagú sorozat készíthető, ha egy szám többször is felhaszálható, és em kell midegyik számak szerepelie? 8
SOROZATOK, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG 9. *** Jellemezd a következő sorozatokat mootoitás szempotjából! x + a ) a b ) f ( x) és x N x + x + 3 + c ) xa és x N d ) a x e ) a ( ) + ( ) f ) f ( x) x + + és x N 0. Készíts a füzetedbe összefoglalót a sorozatokról godolattérkép formájába! (A defiíció, megadási módok és a tulajdoságok, valamit példák szerepeljeek rajta.) 9
MÁSODIK EPOCHAFÜZET I.. A számtai sorozat. A Kerek család kicseréli régi bútorait. Új ruhásszekréyt szeretéek, de attól félek, hogy a szobát a szekréy látváya látszólag még kisebbé teszi. A lakberedező azt ajálja, hogy olya szekréyt csiáltassaak, amelyek tolóajtaja va, és ezt az ajtót kívül egybevágó égyzet alakú tükrökkel fedjék be úgy, hogy a kis tükörlapokat lécek határolják. A mitából jól látható, hogy az első sorba az első égyzethez 4 db léc, és mide következőhöz 3 db léc szükséges, és mide további sorba az elsőhöz három, a következőkhöz db léc kell. A szükséges lécek számát kell meghatározi. Rajzoljátok le, és számítsátok ki, hogy háy léc kell a) az első sorba, ha egy égyzetből, ha két égyzetből, ha három, illetve ha égyzetből áll! b) a második sorba, ha egy égyzetből, ha két égyzetből, ha három, illetve ha égyzetből áll! c) a harmadik sorba, ha egy égyzetből, ha két égyzetből, ha három, illetve ha égyzetből áll! Írjátok le a kapott adatokat a jelölések haszálatával! Első sor: a a a 3 a Második sor a a a 3 a Harmadik sor a a a 3 a d) Sorokét háy darab tükörlap lesz, ha a lécek 0 cm hosszúak, és a szekréy szélessége, méter? e) Háy sor fér el, ha a szekréy magassága,6 méter? f) Sorokét háy lécre va szükség az első sorba? A továbbiakba? g) Összese háy lécre va szükség? 0
SOROZATOK, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG Számtai sorozatak evezzük az olya sorozatot, amelybe a második tagtól kezdve mide tagot úgy kapuk meg, hogy a sorozat előző tagjához egy a sorozatra jellemző számot hozzáaduk. A második tagtól kezdve bármelyik tagból az előző tagot kivova a külöbség álladó. Egy számtai sorozatot leggyakrabba az első elemével (a ) és a szomszédos elemek külöbségével aduk meg. Ezt a külöbséget d-vel jelöljük, és differeciáak modjuk ez a szó latiul külöbséget jelet.. Egy számtai sorozat első eleme 5, differeciája 3. a) Határozd meg a egyedik elemét! b) Határozd meg a 0. elemét! Milye módszerrel számoltál? c) Írd fel a sorozat első 8 elemét! d) Keress olya elempárokat, melyek külöbsége azoos! (Ne csak 3 legye!) Mit tapasztalsz? e) Keress miél több olya elempárt, melyekek az összege 3! Mit tapasztalsz? f) Hogya lehete kiszámoli a 8 szám összegét a legegyszerűbbe? g) Keress olya elempárokat, melyek összege megegyezik az ötödik elem kétszeresével! Mit tapasztalsz? 3. Adris azt állítja, hogy a számtai sorozat bármely tagja a tőle szimmetrikusa elhelyezkedő tagok számtai közepe. Igaz-e az állítás, em szükséges-e valamilye kiegészítés? 4. Egy számtai sorozat ötödik tagja 7, hetedik tagja 0. Meyi az első tag, a differecia, az első yolc tag összege? 5. * Egy derékszögű háromszög oldalai egy számtai sorozat egymást követő tagjai. A háromszög területe 50 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? 6. *** Tekitsük a háromjegyű páros számok összegét és a háromjegyű páratla számok összegét! Melyik agyobb és meyivel? 7. *** Egy számtai sorozatba az első tag, a differecia 4 és az első tag összege 96. Mekkora az? 8. Találd ki, és írd le a számtai sorozat -edik eleméek képletét! (Az első elem, a differecia és az értéke szerepelhet a képletbe.) 9. Számítsd ki a sorozat valamely elemét a megadott alapadatokból! a) a 3, d-,5 eseté meyi a 7? b) a -, d0,5 eseté meyi a 5? 30. Számítsd ki a sorozat első elemét! a) a 4 5, d eseté meyi a? b) a 0-3, d/ eseté meyi a?
MÁSODIK EPOCHAFÜZET 3. Számítsd ki a sorozat differeciáját! a) a 4 5, a eseté meyi a d? b) a 7 9, a 3 7 eseté meyi a d? 3. Háy egész számot írok le, ha a) az első 0, az utolsó 0? b) és ha az első 4, az utolsó 35? I... A számtai sorozat első eleméek összege Gaussról, a matematika egyik legagyobb alakjáról mesélik a következő legedát. A falusi iskolába, ahova Gauss járt, a taító egyszer hogy kis yugtot yerje a diákjaitól azt a feladatot adta fel a diákokak, hogy adják össze -től 00-ig a számokat. + + 3 + + 00 A kis Gauss egy perce belül jeletkezett, hogy a végeredméy 5050. A tató agyo elcsodálkozott, mert valóba ez a helyes végeredméy, de eyire gyors még Gauss se lehet. Megkérdezte hogya jutott az eredméyre, mire Gauss a következőt modta el. Észrevette, hogy ha az első és az utolsó számot adja össze, az + 00 0. Ha a másodikat, és az utolsó előttit, akkor az + 99 0, vagyis ugyaayi. Ha a harmadikat, meg hátulról a harmadikat, akkor az 3 + 98 0. Világos, hogy ha így halad előröl egyekét illetve hátulról egyekét, akkor mide ilye páros összeg 0 lesz. Már csak azt kell kitaláli, háy ilye 0-gyel egyelő összeg-pár va és 00 között. Köyű láti, hogy pot 50. Fele ayi, aháy számot összeaduk. Látható is, hogy az összeg-párok az 50 + 5 0 összegél érek össze. + + 3 + + 50 + 5 + + 98 + 99 + 00 Így a feladat kérdésére a válasz: 50 0 5050. A feti módszert ezutá párosítós -ak fogjuk evezi. 33. Számítsd ki az összeget párosítós módszerrel! a) 5+5+5+35+45+55 b) +3+4+. c) a 8, d3, a? S? (az első elem összegét jelöljük így) A párosítós módszer csak akkor alkalmazható, ha az páros, külöbe a középső elem pár élkül marad. Eek a problémáak az áthidalására alkalmazhatjuk a duplázós módszert. Itt képzeletbe az összeadadókat kétszer leírjuk egymás alá, de fordított sorredbe. A feti példa eseté: + + 3 + + 50 + 5 + + 98 + 99 + 00 00 + 99 + 98 + + 5 + 50 + + 3 + +
SOROZATOK, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG Az egymás alá kerülő számok összege itt is azoos lesz. Tehát a dupla összegük 0 00 0 000. Az eredeti összeg eek a fele, vagyis az előbb már kiszámolt 5050 lesz. 34. Számítsd ki az összeget duplázós módszerrel! a) 5+5+5+35+45+55+65? b) a 3, d, S 3 c) a 007, a 7 3333, S 7? d) a 77, d, S 44? 35. Gaussak azt a feladatot adta a taára, hogy össze kell adia a számokat -től 000-ig. Meyit kap eredméyül? 36. Egy számtai sorozatba a 7 és a 9 összege 6. Meyi lehet a 8 értéke és miért? Próbálkozz, idokolj! 37. *** Add meg általáosa egy számtai sorozat első eleméek összegét (S ), az első elem (a ), az -edik elem (a ) és segítségével! 38. *** Most írd be az előzőleg kapott képletbe a sorozat -edik elemére voatkozó összefüggést! Hozd a legegyszerűbb alakra a formulát! 39. *** Egy számtai sorozat differeciája, első 0 eleméek összege meg 480. Meyi lehet az első elem? Haszálhatsz bármilye módszert, de é a képletbehelyettesítést ajálom! 40. Számítsd ki a sorozatok adatait! a) a 6, d 3, a 8? 3 b) a, d 0, 5, a 0?, meyi az első 0 elem összege? 4 c) 7, d 4, a?, meyi az első elem összege? a I... A számtai sorozat középtulajdosága 4. Írd föl magadak egy tetszőleges számtai sorozat első hét elemét! a ) Meyi az első és a hetedik elem átlaga (számtai közepe)? b ) Meyi a harmadik és az ötödik elem átlaga? c ) Meyi a második és a hatodik elem átlaga? Mit veszel észre? Tudál valamilye idoklást modai erre? Próbáld megfogalmazi szavakkal, vagy a sorozatos jelölések haszálatával! 4. Egy számtai sorozat első eleme, differeciája 5. Sorold fel az első hét elemét! a ) Meyi az első és harmadik elem átlaga? b ) Meyi az első és ötödik elem átlaga? c ) Meyi az első és hetedik elem átlaga? Figyeld meg a kapott értékeket, és fogalmazd meg a tapasztalatod! 43. Egy számtai sorozat harmadik tagja 0. Meyi az első 5 tag összege? Írj példát ilye sorozatra! 3
MÁSODIK EPOCHAFÜZET A számtai sorozatok összefüggései Alapadatok: a számtai sorozat első eleme: a -edik eleme: a az egymást követő elemek közötti külöbség (differecia): d A sorozat -edik elemét kiszámolhatjuk az első elem és a differecia segítségével. Mivel az elsőből az -edikbe (-) lépéssel jutuk el, ezért eyi alkalommal adtuk hozzá a differeciát. Ebből következik: a a + ( ) d A fet leírt duplázós módszer miatt az első elem összege: S ( a + a ) Beírva az -edik elemre voatkozó összefüggést, adódik az összegképlet másik formája: S [ a + ( ) d] Egy számtai sorozatba a második elemtől kezdve bármely elem kiszámolható a tőle szimmetrikusa elhelyezkedő két elem számtai közepekét. a a + a + a + a +... I..3. Gyakorló feladatok számtai sorozatra. Egészítsd ki a sorozatokról készített godolattérképet, a számtai sorozattal, és összefüggéseivel! +. Melyik számtai sorozat? (Mide esetbe Z ) a) 3 8 3 + a b) b ( ) c),3 + 5,( +,7 ) + d) + 3 d e) e f) f ( ) 6 + A számtai sorozatokál add meg az első elemet és a differeciát! 3. Melyik az a hat szám, amit a 7 és a 35 közé kée iktati, hogy ez az összese yolc szám egy számtai sorozat yolc szomszédos eleme legye? 4. Egy számtai sorozat első két tagjáak összege 8-cal kisebb, mit a következő két tag összege. Az első égy tagot összeadva 38-at kapuk. Számítsd ki a differeciát és az első elemet! (Segítség: Háyszor kell a differeciát hozzáadi az első két tag összegéhez, hogy megkapjuk a harmadik és egyedik tag összegét?) 5. Egy számtai sorozat első három tagjáak összege 30-cal kisebb, mit a következő három tag összege. Az első hat tag összege 60. Melyik ez a sorozat? c 4
SOROZATOK, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG 6. Egy számtai sorozatba a + a 7 6 és a 3 + a 4. Mekkora eek a sorozatak a differeciája meg az első eleme? 7. Számítsd ki a kétjegyű páros számok összegét! 8. Egy számtai sorozat első tagja 00, a hatodik tagja pedig egyelő a differeciával. Határozd meg a második tagot! 9. Egy vállalat kezdetbe 300 terméket gyárt, majd mide héte 5 darabbal többet az előző hetiél. a ) Ezt az ütemet tartva, meyi idő múlva kétszereződik meg a termelés? b ) Összese meyi terméket gyártaak egy év alatt? (Számolj 5 héttel!) 0. A szomszéd templomba midig ayiszor kogatak, aháy óra va épp. Háy kogatást hallhatok egy ap alatt?. ***Az egyiptomi Rhid-papiruszo (Kr. e. 000 körül) olvasható a következő feladat: Öt ember között 00 cipót úgy kell elosztauk, hogy a második ugyaayival kapjo többet az elsőél, mit a harmadik a másodikál, a egyedik a harmadikál és az ötödik a egyedikél; továbbá a két kisebbik rész összege a három agyobb rész összegéek a hetede legye. (Ez a legrégebbi írásos emlék, amelyik sorozat megoldására vezető feladatot tartalmaz.) Hogya végezzük el az elosztást?. *** Két egymástól 9 km távolságra levő városból egy-egy kerékpáros idul egymással szembe. Az első kerékpáros az első órába 0 km utat tesz meg, és mide további órába km-rel kevesebbet, mit az előzőbe. A második kerékpáros, aki két órával később idul, mit az első az első órába 0 km utat tesz meg, és mide további órába 3 km-rel többet, mit az előzőbe. Mikor találkozik a két kerékpáros? Milye messze va a találkozás helye a két várostól? 3. Egy számtai sorozat hét egymást követő tagjáak az összege 700. Meg lehet-e ebből állapítai, hogy a 00 szerepel-e a sorozat tagjai között? (Idokolj!) 4. Egy számtai sorozat egyedik tagja 5. Meyi az első hét tag összege? Írj két kokrét példát is ilye sorozatra, melyből az egyik csökkeő a másik pedig övekvő! 5. Mekkora a 005-él kisebb, hárommal osztva maradékot adó pozitív egész számok összege? 6. Egy köyvszekréybe hét polc va. A legalsó polco 5 köyv va, és mide további polco 3-mal kevesebb, mit az alatta levő. Háy köyv va ebbe a köyvszekréybe? 7. Egy vetélkedő 5 000 Ft jutalmat osztottak ki. Az első helyezett 3000 Ft-ot kapott, a továbbiak sorra 00 Ft-tal kevesebbet, mit az előttük lévő. Háy verseyzőt jutalmaztak? 5
MÁSODIK EPOCHAFÜZET 8. Egy szíházi ézőtére, amely felülről ézve egy körgyűrűcikk, 4 sor va. Az első sorba 8 hely va, utáa mide sorba 3-mal több. Mide sor 0 cm-rel magasabba va az előzőél. a ) Háy férőhelyes a szíház? b ) Meyivel va magasabba az utolsó sor, mit az első? 9. *** Berci és Adris egy kis zsebpézre tehetek szert, ha vállalják a kiürült befőttes üvegek ki- és lemosását (címkétől való megszabadítását). A délutái elfoglaltságuktól függőe az első ap 40 üveget hozak redbe, a további apoko 0-zel többet, mit az előző. Háyadik apo kerül sorra az 500. üveg? 0. Egyforma golyókat helyezük el az asztalo háromszög alakba: az első sorba, alatta, hozzáillesztve, majd a következő sorba 3 stb. a ) Háyadik sorba kerül a 30. golyó? b ) Háy golyóra va szükség ahhoz, hogy a határoló háromszög oldala 0 golyóból álljo? I.3. A mértai sorozat Emlékeztető: A következő feladatokba százalékot kell számolod. Törekedj a legegyszerűbb számítási módra: Ha valamiek a 7%-át kell kiszámoli, akkor egy lépésbe szorozzuk 0,7-dal. Ha valamiek a 7%-kal megövelt értékét kell kiszámoli, akkor ez összese 7%-ot jelet, tehát szorozuk,7-dal. Ha valamiek a 7%-kal csökketett értékét kell kiszámoli, az 73%-ot jelet, vagyis szorozi kell 0,73-dal.. Melyik a agyobb? a ) 5 000-ek a 0%-kal megövelt értéke vagy 4 000-ek a 30%-kal megövelt értéke? b ) 0 000-ek a 5%-kal csökketett értéke vagy 80 000-ek 30%-kal megövelt értéke? c ) A hűtőgépek értéke az évszakoktól függőe változik. Nyáro bizoyos százalékkal emelkedik, téle csökke az ára. Az Eszkimó hűtőgép 78 000 Ft volt ősszel. Téle ezt 5%-kal csökketették, majd tavasz végé a téli árat %-kal megemelték. Számítsd ki, hogy meyibe került téle, illetve yáro a hűtőgép! Háy százalékkal változott az ár összességébe?. Bizsuék beteszek a bakba 00 000 Ft-ot évi 0%-os kamatra. a ) Egy év elteltével meyi pézük lee, ha év közbe em veéek ki belőle? a b ) Ezt az összeget még egy további évre a bakba hagyják ugyaolya kamatra. Meyi lesz a pézük a második év végé? a c ) És a harmadik év elteltével? a 3 d ) És égy év utá? a 4 6
SOROZATOK, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG 3. A Holap Zrt. 5 000 000 Ft-ért autót vásárolt. A cég köyvelője mide év végé kiszámolja a gépkocsi értékét, mert az a haszálat miatt évete 0%-kal csökke. a ) Egy év elteltével meyi lesz az értéke? b b ) Meyi lesz az értéke két év elteltével? b c ) És a harmadik év végé? b 3 d ) És égy év utá? b 4 4. Írd a táblázatba, hogy az előző két feladatba az egyes lépésekél milye műveletet végeztél el, és milye eredméyhez jutottál!. feladat: a vagyo 3. feladat: az autó értéke. lépés. lépés 3. lépés 4. lépés Mi volt a két feladatba a hasolóság? Mértai sorozatak evezzük az olya számsorozatot, amelybe a második tagtól kezdve mide tagot úgy kapuk meg, hogy a sorozat előző tagját egy a sorozatra jellemző számmal szorozzuk. Így a szomszédos tagok háyadosa ugyaaz a szám. Jelölés: a a sorozat első eleme, q (kvócies vagy quoties) a sorozatra jellemző álladó.(a quoties szó latiul háyadost jelet. ) Például: A bakos példáál a 0000, q, Az autós feladatál a 4000000, q 0, 8 5. Lilláak va egy titka. Mivel em szereté, hogy mideki megtudja, ezért hosszas godolkodás utá csak két jó barátőjéek, Dodóak és Jakáak árulja el. A láyok tudak titkot tartai, ezért másap csak két-két emberek árulják el, és soha többé sekiek. Ez utóbbi égy ember azoba következő ap ismét - új társáak árulja el a titkot. a) Számítsd ki, hogy a 5. apo háy ember ismerkedik meg a titokkal, ha feltételezzük, hogy midig olyaokak adják tovább, akik még em hallottak róla! (Első apak azt tekitjük, amikor Dodó és Jaka tudomást szerzett a titokról.) b) Lehet-e, hogy eze a apo már az évfolyamo mideki értesült a titokról, feltéve, hogy az iformációt midig házo belül adták tovább? 7
MÁSODIK EPOCHAFÜZET 6. Válogasd szét az alábbi sorozatokat aszerit, hogy számtai, mértai vagy egyik sem! A számtai sorozatokál add meg a differeciát és a mértai sorozatokál a háyadost! a) -, 5,, 9 b) 3,, 48, 9 c) -,, -, 3 3 3 3 d) -, 4, -8, 6 e),,, f),,, 4 8 6 3 4 5 g) 3; 4,5; 6; 7,5 h), 3, 7, 7. Adott egy számsorozat első két eleme: és 6. Folytasd a sorozatot a megadott szabály szerit további három elemmel úgy, hogy a) legye számtai sorozat! b) legye mértai sorozat! c) egyik se legye! d) Ábrázold midhárom sorozatot külö koordiátaredszerbe! 8. Adott a mértai sorozat első eleme és háyadosa. Számold ki a megadott elemet! a) a 4, q 3,? a 5 b) a 3, q, a 6? 9. Egy mértai sorozat első eleme 5 és a háyadosa. Írd fel a következő elemeket az első elem, a háyados és műveletek segítségével! a a a 3 a 8 a Próbálj általáosítai, vagyis keresd meg a mértai sorozat -edik elemére voatkozó képletet! Ebbe csak az első elem (a ) és a háyados (q) szerepelje! a 0. *** Marciak agyo megtetszett egy vicc ( Hogya kell yulat fogi? Utáozi kell a répa hagját! ), ezért szereté épszerűsítei. SMS-be továbbküldi a viccet két ismerőséek, és az üzeetbe arra is felkéri őket, hogy ők is küldjék tovább két emberek az üzeetet. A második lépésbe így már 4 üzeet megy tovább. Ha mideki, aki megkapja az üzeetet, és továbbküldi két ismerőséek, akkor 3. lépésbe 8 üzeet idul útak. Írd a téglalapokba a további lépésekbe elküldött üzeetek számát! Szorozd össze a voallal összekötött elemeket, és írd a szorzatot a voal fölé? Mit veszel észre? Most itt is szorozz, és godolkodj! Próbálj általáosítai! Fogalmazd meg a szabályszerűséget! Mi lehet az oka a felfedezett szabályak? Bizoyítsd be! 8
SOROZATOK, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG A mértai sorozatok összefüggései Alapadatok: a mértai sorozat első eleme: a -edik eleme: a az egymást követő elemek háyadosa (quoties): q A sorozat -edik elemét kiszámolhatjuk az első elem és a háyados segítségével. Mivel az elsőből az -edikbe (-) lépéssel jutuk el, ezért eyi alkalommal szoroztuk meg q-val. Ebből következik: a a A mértai sorozatba az első elem összege: S a q q q Egy mértai sorozatba a második elemtől kezdve bármely elem égyzete kiszámolható a tőle szimmetrikusa elhelyezkedő két elem szorzatakét. ( ) a a a a... a + + Ezt az összefüggést pozitív tagú sorozatokál átírhatjuk úgy, hogy az -edik elem a két szimmetrikusa elhelyezkedő elem mértai közepe: a a a + a a +.... *** Olvasd el, és kövesd a logikáját a következő bizoyításak, ami a mértai sorozat összegképletére voatkozik! Egy mértai sorozat első eleme a, háyadosa q. Bizoyítsuk be, hogy q S a (q )! q Jelöljük a mértai sorozat első tagjáak összegét S-el! S a + a + a +... + 3 a a a q képlettel: S a + a q + a q +... + a q Szorozzuk be midkét oldalt q -val: 3 S q a q + a q + a q + + a q A feti egyelőségbe a sorozat elemeit fejezzük ki az S... A második egyelőségből kivova az elsőt: q S a q (A köztes tagok kiestek!) a Emeljük ki a bal oldalból S-et, a jobb oldalból pedig a-et! S q a q ( ) ( ) Mivel a feltétel szerit q ezért oszthatuk (q - ) - gyel: q S a Ezzel a mértai sorozat összegképletét bizoyítottuk. q 9
MÁSODIK EPOCHAFÜZET I.3.. Gyakorló feladatok mértai sorozatra. Egy mértai sorozat első eleme 3, a kvócies. Számold ki a sorozat 5. elemét, és az első 5 elem összegét! 3. Egy mértai sorozat első eleme 6, harmadik eleme 4, meyi a háyadosa? (Háy megoldás va?) 4. Egy mértai sorozat ötödik tagja, kilecedik tagja 3. Mekkora a háyadosa? 5. Egy mértai sorozat ötödik eleme 48, kvóciese. Meyi az első eleme? Meyi az első elem összege? 6. Mivel egyelők az a mértai sorozatba az alábbi kifejezések? a) a7 a9 b) a3 a5 c) a a4 (Vigyázz, az előjelekre is godolj!) 7. Egy mértai sorozat ötödik tagja 0. Meyi az első kilec tag szorzata? 8. Egy mértai sorozat harmadik tagja, hetedik tagja 9. Határozd meg a sorozat kezdőtagját és háyadosát! (Vigyázz, több megoldás va!) *** Add meg képlettel is a sorozatot! 9. Tóthék eladják haszált autójukat, és a kapott pézt - 00 000 Ft-ot - beteszik a bakba két évre lekötve, évi 9%-os kamatra. Meyi pézt vehetek ki két év múlva? És égy év múlva? 0. Mekkora lehetet az éves kamat, ha 000 000 Ft-ot tettek be, és két év múlva 0 500 Ft-ot vettek ki?. A legeda szerit mitegy 000 évvel azelőtt Perzsia uralkodóját redkívül elbűvölte a sakkjáték szépsége. Maga elé idézte a játék feltalálóját, hogy személyese jutalmazza meg találmáyáért. A szeréy bölcs azt kérte, hogy helyezzeek a tábla első égyzetére egy szem búzát, a másodikra két szemet, a harmadikra égyet, a egyedikre yolcat és így tovább, s eze búzaszemek összege legye a jutalma. Háy búzaszemet jelet ez? (Valóba szeréy volt?) Meyi a súlya ekkora meyiségű búzáak kg-ba, ha 000 szem búza átlagos tömege 40 gramm. I.3.. Vegyes feladatok sorozatokra. Egy kezdő mérök az első mukahelyé a következő fizetési ajálatokat kapja: a) A kezdő fizetése havi 0 000 Ft, és ha elégedettek a mukájával, akkor ezt az összeget egyedévete 6 000 Ft-tal megemelik. b) A kezdő fizetése havi 0 000 Ft, és ha elégedettek a mukájával, akkor ezt az összeget egyedévete 5%-kal megemelik. A mukaszerződést éves időtartamra kötik. Melyik ajálatot válassza? 3. Pisti CD-állváya trapéz alakú. A legalsó sorba 0 db CD fér el. Mide további sorba -vel kevesebbet lehet raki, mit ameyi az alatta levőbe va. A CDtartó hatsoros. Háy CD va a legfelső sorba? Háy CD va összese? 0
SOROZATOK, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG 4. A tejtermékek árát az elmúlt két évbe kétszer is emelték. Először 7%-kal, másodszor 8%-kal. Átlagosa háy százalékkal emelték évete az árat? 5. A Napsugár bevásárlóközpot mélygarázsa 5 szites. A második szite 0 parkolóhely va, és felfelé haladva mide további szite 30-cal több. Háy autó fér el a legalsó és a legfelső szite? Összese háy autó kaphat helyet? 6. *** Számold ki 3%-os kamatláb mellett a) a három év múlva esedékes 00 000 Ft, b) öt év múlva esedékes 350 000 Ft diszkotált értékét! 7. Melyik a századik pozitív páros szám? 8. Meyi az első száz darab pozitív páros szám összege? 9. Doa Rosa három pizzériáját zériáját a fiai vezetik, Alberto, Giai és Pietro. A forgalomról a következő adatokat tudja Doa Rosa: Albert 8 70 eurót forgalmazott, ami a tavalyi forgalmáak 04%-a. Giai éve em sikerült jól, %- kal visszaesett a fogalma, így 6 660 euró volt, míg Pietro 55 eurós forgalma 5%-os övekedést jelet a tavalyhoz képest. Most azo godolkodik Doa Rosa, hogy őtt vagy csökket a forgalma, és háy százalékkal? Számold ki! 30. Egytől kezdve egymás utá leírjuk azokat a számokat, amelyek 3-mal osztva egy maradékot adak. c) Melyik szám áll a századik helye a sorba? d) Háyadik helye áll a 37? e) Háyadik helye áll a 63? f) Meyi lesz a 00 és 00 közötti ilye számok összege? 3. Mekkora a területe a rajzo látható legagyobb égyzetek, ha a legkisebb égyzet területe e? 3. Mekkora összeget helyezze el a éves futamidejű, évi %-os fix kamatos kamatozású takaréklevélbe az, aki a második év végé 500 000 Ft-ot akar kapi? 33. Meyit kell fizeti a kertészek a kert felásásáért, ha az első óra mukadíja 4 000 Ft, és mide továbbié 00 Ft-tal tal kevesebb. A muka 0 órá át tart. 34. Egy 0 soros mozi ézőteréek első sorába 0 szék va. Mide további sorba kettővel több hely va. Háya ülhetek le a 0. sorba, és mekkora a mozi befogadóképessége? 35. Háy év alatt duplázódik meg 8%-os kamatláb mellett 500 000 Ft? 36. Egy üzletet 5 ap múlva felszámolak. A tulajdoos felméri az árukészlet értékét, mely 800 000 Ft. Aak érdekébe, hogy megszabaduljo az összes árutól, apota 0%-kal csökketi az összes termék árát az előző api árhoz képest. Mivel egyáltalá em volt vevője az öt ap alatt, az új tulajdoos felajálja, hogy az árukészletet a csökketett áro megvásárolja. Meyit kell fizetie?
MÁSODIK EPOCHAFÜZET II. Statisztika Emlékeztető: A matematikai statisztika adatok gyűjtésével, redszerezésével és elemzésével foglalkozik. A épszámlálás például egy ilye statisztikai adatgyűjtés. A felmérés sorá kapott egy-egy adat előfordulásáak számát gyakoriságak evezzük. (Például az AKG-ba járó 0.-es láyok száma, vagyis gyakorisága: 40) Ha a gyakoriságot elosztjuk az összes adat számával, akkor megkapjuk a relatív gyakoriságot. (Például a láyok relatív gyakorisága az évfolyamo: 40/850,47) Az adatok szemléletes megjeleítésére diagramot szoktak készítei. A rajzos szemléltetés (grafikus ábrázolás) arra jó, hogy ráézésre eldöthessük az egyes adatfajtákhoz tartozó gyakoriságok aráyát. Leolvashatjuk például, hogy miből va a legtöbb vagy a legkevesebb. Az leggyakrabba haszált diagramfajták: oszlopdiagram, kördiagram, töröttvoaldiagram, sávdiagram. Az összegyűjtött adatokat szokták úgyevezett statisztikai mutatókkal jellemezi. Eze belül vaak a középértékek és a szóródás mutatói. Középértékek: az átlag, a módusz és a mediá. Defiíció: Az adathalmaz legtöbbször előforduló elemét móduszak evezzük. (Ha több olya elem va, amiek gyakorisága megegyezik, és a legagyobb, akkor az adathalmaz többmóduszú, ha mide adat azoos számba fordul elő, akkor ics módusza.) Defiíció: Az adathalmaz mediája a agyság szerit redezett elemek közül a középső. (Ha páros elemszámú a mita, akkor a két középső átlagát kell vei.) Defiíció: Az adatok átlagát számtai közepét úgy kapjuk meg, hogy összegüket elosztjuk a darabszámukkal. II.. Középértékek. Artúr kistestvére 3900 grammal született tavaly. Egyéves koráig majdem mide hóapba ugyaazo a apo feljegyezték a tömegét, az adatokat a következő táblázat tartalmazza: Hóap 3 4 5 6 7 8 9 0 Tömeg(g) 450 500 560 6000 670 750 8040 830 8990 940 a) Ábrázold az adatokat grafikoo! b) A grafiko alapjá becsüljük meg a hiáyzó júiusi és szeptemberi értékeket! c) Mikor volt éppe 6 kg a csecsemő? d) Becsüljük meg, mikor lépte át az 5 kg-ot, a 7 kg-ot? e) Jósoljuk meg, mikorra lesz 0 kg?
SOROZATOK, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG f) Mikorra duplázta meg a születési tömegét? g) Ha évete ugyaeyit gyarapoda, mekkora lee a tömege 3 éves korára?. Lili iskola utá előfizetéses meüt eszik ebédre, ami 450 Ft apota. Eszti mide ap másutt eszik, eze a héte hétfő rátott sajtot evett rizzsel 50 Ft-ért, kedde rakott krumplit 40 Ft-ért, szerdá sült csirkét zöldborsóval 630 Ft-ért, csütörtökö pirított májat tökfőzelékkel 430 Ft-ért, péteke tejbegrízt a tejivóba 60 Ft-ért. Ki költött többet a héte az ebédjére? Átlagosa meyit költött Lili egy ebédre? 3. Gazsi év végé összeszámolta, hogy háy köyvet olvasott abba az évbe, és megállapította, hogy havota átlagosa 3 köyvet olvasott el. a ) Háy köyvet olvasott összese abba az évbe? b ) Volt-e olya hóap, amikor egy köyvet sem olvasott? c ) Meyivel kellett vola több köyvet olvasia abba az évbe, hogy a havi átlaga felmeje 4-re? d ) Meyi lehetett a legtöbb köyv, amit egy hóapba olvasott, ha mide hóapba elolvasott legalább egy köyvet? (Tegyük fel, hogy hóap végére midig elolvasta azokat a köyveket, amelyekbe abba a hóapba belekezdett.) 4. Egy öttagú család átlagéletkora most 0 év. a ) Háy évesek az ikrek, ha az apa 38, az aya 36 éves, a legkisebb gyerek pedig 4 éves? b ) Meyi lesz a család átlagéletkora 5 év múlva? c ) Meyi volt a család átlagéletkora 5 évvel ezelőtt? 5. Az iskolai kosárlabda bajokságba Ádám csapata 7 meccset játszik. Az első hat meccse Ádám ; 0; 6; ; 8; 4 potot ért el. Háy potot kell dobia az utolsó meccse, hogy elérje a tavalyi 4 potos meccsekéti átlagát? 6. Tomi hiáyzott a matematika dolgozat írásakor, így élküle az osztályátlag 68 pot volt. Tomi 9 potos dolgozatával az osztályátlag felmegy 69-re. Háya vaak az osztályba Tomival együtt? 7. Alex redezte a köyvespolcát, ezért megmérte a köyvei vastagságát. Az egyik polco levő köyvekre a következő eredméyeket kapta milliméterbe: 4; ; 4; 9; 7; 8; 6; 4; ; 3; 6; 6; 59. Az utolsó két szám az agol szótáraiak vastagsága. Számold ki a köyvek vastagságáak átlagát! Írd fel a köyvek vastagságát agyság szerit övekvő sorba, és keresd meg a középsőt! 8. Az egy lakosra jutó zöldterület agysága m -be magyarországi megyeszékhelyeke: Budapest: ; Békéscsaba: 33; Debrece: 8; Eger: 35; Győr: 63; Kaposvár: 4; Kecskemét: 5; Miskolc: 4; Nyíregyháza: 5; Pécs: 78; Salgótarjá: ; Szeged: 5; 3
MÁSODIK EPOCHAFÜZET Székesfehérvár: 44; Szekszárd: ; Szolok: 8; Szombathely: 9; Tatabáya: 43; Veszprém: 4; Zalaegerszeg: 73. Meyi az adatok mediája? 9. Blaki virághagymákat ültetett a kertjébe. Hóvirágot 55-öt, krókuszt 8-at, jácitot -et, tulipát 8-at, árciszt 7-et, gyögyikét 3-at. Ráhel ugyailye hagymákat ültetett. Kiderült, hogy a két láy által ültetett virághagymák számáak módusza, mediája és számtai közepe is ugyaayi. Külöbözhetek-e Ráhel virághagymáiak számai Blaki virághagymáiak számától? Keressük példákat! 30. Nyolc szám átlaga 0, mediája, módusza pedig 6 és. A legkisebb szám, a legagyobb 5. Mi lehet a yolc szám? II.. A szóródás mutatói 3. A megadott osztályzatok alapjá számítsuk ki az alábbi három tauló jegyeiek átlagát, móduszát és mediáját:. tauló 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3. tauló 3 3 3 3 3 4 4 4 3. tauló 3 3 3 4 4 5 5 Midegyik esetbe midhárom középérték 3, pedig az adatsokaságok eltértek egymástól. A sokaságok jellemzésére em elegedő középértékeket haszáli, ezért bevezetjük a szóródást mérő számokat. A legegyszerűbb mérőszám, amivel a mita szórtságát jellemezhetjük a terjedelem. Defiíció: A számsokaság legagyobb és legkisebb számáak külöbségét terjedelemek evezzük. A terjedelmet egyszerűe meg tudjuk határozi, ezért gyakra haszáljuk. Hátráya, hogy egyetle szélsőséges adat már agyo befolyásolja ezt a mérőszámot. (Az ilye szélsőséges adatokat például egyes potozásos sportágakba úgy küszöbölik ki, hogy em számítják a legkisebb és a legagyobb potszámot.) Az 5. példa eseté az adatsorokhoz a következő terjedelmek tartozak: az. taulóhoz 0, a. taulóhoz, a 3. taulóhoz 4. 4
SOROZATOK, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG A statisztikába haszálatos szóródás mérőszám lehet az átlagos abszolút eltérés. Defiíció: Az x;x;...;x számsokaság egy tetszőleges x számtól vett átlagos abszolút eltéréséek evezzük a következőt: S ( x) x x + x x +... + x (Legtöbbször az átlagtól való abszolút eltérést szokták számoli ilye módo. Ez azt jeleti, hogy megadjuk az egyes adatok átlagtól való eltérését (pozitív előjellel), és ezekek az eltérésekek kiszámítjuk az átlagát.) 3. A mitapéldába szereplő három tauló osztályzataiak határozzuk meg az átlagtól és a mediától vett átlagos abszolút eltérését! Láttuk, hogy a középértékek megegyeztek a három sokaság eseté, de az átlagos abszolút eltérések (0; 0,55;,09) már mutatják az adatsorok közötti külöbözőséget. x Az átlagos abszolút eltéréshez hasolóa számolhatjuk az átlagos égyzetes eltérést. Eek léyege, hogy em az eltéréséket, haem azokak a égyzetét átlagoljuk. Defiíció: Az x;x;...;x számsokaság egy tetszőleges x számtól vett átlagos égyzetes eltéréséek evezzük a következőt: D ( x) ( x x) + ( x x) +... + ( x x) Ha x potosa a sokaság átlaga, akkor ezt a számot a sokaság szóráségyzetéek evezzük, a belőle vot égyzetgyököt pedig szórásak. Megmutatható, hogy D (x) akkor miimális, ha x a sokaság átlaga. Ezeket a mérőszámokat már éháy szám eseté is hosszadalmas kiszámítai. A zsebszámológépek általába redelkezek a statisztikai fukciókkal, ezek a lehetőségek gyorsítják a mukákat. 33. Határozzuk meg a mitapéldába szereplő három tauló osztályzataiak a szórását! (Az. taulóál 0, a. taulóál 0,74, a 3. taulóál pedig,35.) 34. Az előző héte három tauló jegyeit figyeltük meg. Adrásé: 3, 5, 4; Bálité: 3, 5, 3, 4, 4; Csabáé:,, 3, 5, 4. Számítsuk ki a szórást mid a három adatsor eseté. 5
MÁSODIK EPOCHAFÜZET 35. Az alábbi táblázat magyarországi városokba mért csapadék meyiségét mutatja havi botásba. a ) Add meg az egyes városokba mért csapadékértékek terjedelmét! b ) Számítsd ki a havi csapadékmeyiségek átlagát, és az átlagtól való abszolút eltérését Kecskeméte, és értelmezd az eredméyt! c ) Számítsd ki a csapadékmeyiség átlagát és szórását Pécsett! 36. Egy profi golfjátékosak két ütőkészlete va, és em tudja eldötei, hogy melyikkel ér el jobb eredméyeket. A Mizuo készletet haszálva az utolsó hat játék eredméye: 68, 7, 7, 68, 67, 74. A Lyx-szel játszva az eredméyei: 70, 65, 74, 7, 75, 64. A számtai közép és a szórás segítségével dötsd el, hogy melyik készlet hozza az egyeletesebb teljesítméyeket! 37. Egy autóakkumulátorokat gyártó vezető mérökek két gyártási eljárás közül kell választaia. Egy-egy 8 elemű mitát vesz a külöböző eljárással gyártott akkumulátorokból, és megvizsgálja élettartamukat. Az élettartamokat (hóapba megadva) a táblázat tartalmazza. Mi az egyes miták számtai közepe és szórása? Melyik eljárást ajálaád a mérökek? A válaszod idokold! 38. Egy autógyártó cég az új műayag-alumíium alumíium alapú modelljéek fogyasztását vizsgálta. Külöböző autópályáko végzett mérések sorá azt mérték, hogy egy gallo beziel háy mérföldet tett meg az autó. (Nézz utáa, hogy egy gallo háy liter, és egy mérföld háy kilométer!) A mérési eredméyeket a következő táblázat tartalmazza. Háy mérföldet tett meg átlagosa az autó egy gallo beziel? Mekkora a szórás? 4 37 40 38 35 38 37 39 4 37 36 37 39 38 40 38 40 40 0 7 6
SOROZATOK, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG III. Valószíűség-számítás A valószíűség szó egy eseméy bekövetkezési hajladóságát jeleti. Az emberiség törtéete sorá a hazárdjátékok yerési esélyéek, a fogdások kimeeteléek találgatása sok embert foglalkoztatott. Ma ez külö tudomáy és üzlet. Godolj csak a számtala fogadási lehetőségre, amit a lottó, Tipp-mix, lóversey és más szerecsejátékok jeleteek! A kockajátékot már az ókori római birodalomba is ismerték. Claudius, Augustus, Nero és Caligula is szevedélyes kockajátékos volt. Később, az 600-as évekbe Chevaliar de Méré lovag a következő kérdéssel fordult Pascalhoz, a híres matematikushoz: ha egy kockával égyszer dobuk, aak agyobb-e az esélye, hogy egyszer sem dobuk hatost, vagy aak, hogy legalább egyszer 6-ost dobuk? Pascal potosa kiszámította a kérdezett valószíűséget, és matematikus barátjával, Fermat-val még számos valószíűség-számítási törvéyt állított fel. A valószíűség számítás megszületését Pascalak a párizsi Akadémia számára 654- be írt levelétől számítjuk. A korábbi matekepocháko számos valószíűségi kísérletet végeztük. Most emlékezzük az egyik legegyszerűbbre: egy érmét sokszor feldobuk, és feljegyezzük, hogy háy fejet és háy írást kaptuk. Tapasztaltuk, hogy ha elég sok kísérletet végzük, akkor a fejek és az írások relatív gyakorisága is 0,5 körül mozog. Azt a számot evezzük a matematikába egy eseméy valószíűségéek, amely körül a bekövetkezéséek a relatív gyakorisága igadozik. A valószíűséget P-vel jelöljük, és zárójelbe írjuk mellé az eseméyt, amiek a valószíűségéről szó va. Feti példákba P(írást dobuk) 0,5. Talá emlékeztek a gyufás skatulya kísérletre is. Az asztal szélére helyezve alulról pöcköltük a gyufásdobozt, és azt jegyeztük fel, hogy melyik lapjára esik. Eél a kísérletél azt tapasztaltuk, hogy a külöböző oldalakra való ladolás valószíűsége em egyelő. Most képzeletbe írjuk számokat a gyufásdoboz oldalaira -től 6-ig úgy, hogy a két legkisebb lapra kerüljö az és a, a közepes méretűre a 3 és a 4, a legagyobb lapokra pedig az 5-6 számok! Néháy fogalom következik: Egy kíséret lehetséges kimeeteleit eseméyekek evezzük. Az előbb említett gyufásdobozos kísérlet lehetséges kimeetelei: az,, 3, 4, 5 vagy 6-tal jelölt lapjára esik. Egy eseméy például, hogy a doboz a legkisebb lapjára esik. Ezt az eseméyt tudjuk még két további eseméyre botai (-es vagy -es lapjára esik). Az elemi eseméyek olya kimeetelek, amelyek tovább már em bothatók. 7
MÁSODIK EPOCHAFÜZET A pöckölés sorá az -es, -es, 3-as, 4-es, 5-ös, 6-os dobást elemi eseméyekek hívjuk. Pézérme feldobásáál elemi eseméyek: a fej vagy az írás bekövetkezése. Az, hogy dobások egy sorozatába egymás utá ötször fejet dobuk, összetett eseméy. Most vizsgáljuk olya valószíűségi kísérleteket, ahol az elemi eseméyek bekövetkezéséek a valószíűsége azoos! Ilye például a kockadobás. Itt hat elemi eseméy kövezhet be, egyekét egyhatod valószíűséggel. Ezek az eseméyek: -es, -es, 3-as, 4-es, 5-ös és 6-os dobás. Ez a hat eseméy együtt teljes eseméyteret alkot. Ez az jeleti, hogy a kísérlet elvégzésekor ezek közül potosa egy következik be. Ugyaeél a kísérletél teljes eseméyteret alkot a következő három (em elemi) eseméy is: A: a dobott szám 5-tel osztható, B: a dobott szám páros, C: a dobott szám vagy 3. Ez a három eseméy is redelkezik azzal a tulajdosággal, hogy közülük potosa egy következik be a kísérlet sorá. Itt azoba az egyes eseméyek valószíűsége eltér egymástól. Az olya teljes eseméyteret, melybe az egyes eseméyek valószíűsége egyelő klasszikus valószíűségi mezőek evezzük. Ebbe az esetbe egy eseméy valószíűségét a következő képlettel számoljuk: a kedvező esetelek száma P összes lehetségeseset száma. Egyszerre dobuk fel három érmét. Mi aak a valószíűsége, hogy midegyikek ugyaaz az oldala kerül felülre?. Két teljese egyforma, külsőre megkülöböztethetetle kockát feldobuk, a dobott számok összegét tekitjük. Mekkora aak a valószíűsége, hogy a dobott számok összege 7? 3. Két dobókockával dobuk, a dobott számok összegét tekitjük. Melyik eseméy valószíűbb? A eseméy: a dobott számok összege legalább 0; B eseméy: a dobott számok összege legfeljebb 4. 4. Melyiket vállalád ikább? Kihúzok egy ászt a 3 lapos magyarkártya csomagból Dobok egymás utá hatost a dobókockával Dobok egymás utá 3 írást egy pézérmével Kitalálom egy illető telefoszámáak utolsó számjegyét 8
SOROZATOK, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG 5. Egy piros és egy fekete dobókockával dobva tudjuk, hogy a dobott számok összege 5. Botsd ezt föl elemi eseméyekre! 6. Egy piros és egy fekete dobókockával dobva tudjuk, hogy a dobott számok összege 4. Botsd föl az összetett eseméyt azoos valószíűségű elemi eseméyekre! Mekkora lesz így az egyes eseméyek valószíűsége? 7. Egy dobókockával dobuk. A kísérlet lehetséges kimeeteleit a következőeseméyekre botottuk fel: A: Négyest vagy hatost dobuk. A: Prímszámot dobuk. A3: a ) Add meg a harmadik eseméyt úgy, hogy a három eseméy együtt teljes eseméyteret alkosso! b ) Melyik eseméyek mekkora lesz a valószíűsége? 8. Mi a valószíűsége aak, hogy magyar kártyából egy lapot húzva az a ) a tök alsó; b ) valamelyik ász; c ) valamelyik római számmal jelzett kártya lesz? 9. A kísérlet az, hogy a magyar kártyából egy lapot húzuk. Adj meg olya eseméyt, amelyek a valószíűsége a ) 4 ; b ) 8 ; c ) ; d ) 4 3 0. Két szabályos dobókockát egymástól függetleül feldobva mi a valószíűsége aak, hogy a dobott számok midegyike prímszám lesz?. Három dobókockával dobva a dobott számokat összeadjuk. Meyi a valószíűsége aak, hogy legalább 7 lesz az összeg?. Va három számkártyák a 0; ; 8 számjegyekkel. Keverjük össze, majd helyezzük le mid a hármat egymás mellé. a ) Mi a valószíűsége aak, hogy az így keletkezett szám páros lesz? b ) Mi a valószíűsége aak, hogy páratla számot rakuk ki? c ) Mi a valószíűsége aak, hogy kétjegyű számot raktuk ki? d ) Mi a valószíűsége aak, hogy a keletkezett szám háromjegyű lesz? A biztos eseméy valószíűsége. A lehetetle eseméy valószíűsége 0. Ha két eseméy bekövetkezése kizárja egymást, de a két eseméy közül az egyik midig bekövetkezik, akkor ez a két eseméy egymás komplemetere. Komplemeter eseméyek valószíűségéek összege. 9
MÁSODIK EPOCHAFÜZET 3. Válaszd ki az alábbi eseméyek közül azokat, amelyek lehetetle eseméyek, és azokat, amelyek biztos eseméyek! A: Idé júliusba valamelyik ap Magyarországo esi fog az eső. B: Egy pézérmével 0-szer egymás utá fejet dobuk. C: Egy szabályos dobókockával 7-tel osztható számot dobuk. D: Ha 30-szor feldobuk egy érmét, legalább fej is lesz a dobások között. E: Ha két egész számot összeszorzuk, az eredméy egész szám lesz. F: Ha két egész számot elosztuk egymással, az eredméy racioális lesz. 4. Egy kockával dobuk, határozzuk meg az alábbi eseméyek komplemeter eseméyét! C: A dobott szám páros. D: A dobott szám legalább 5. E: A dobott szám kisebb, mit 3. F: A dobott szám prímszám. 5. Két kockával dobuk egy alkalommal. Add meg a lehetséges kimeetelekhez a komplemeter eseméyt! a ) Midkét kockával egyest dobuk. b ) Legalább az egyik kockával egyest dobuk. c ) A dobott számok összege 0. d ) A dobott számok összege legalább 0. e ) A dobott számok összege legfeljebb. 6. Va 5 számkártyák: ; ; 5; 6; 8. Letesszük ezeket egymás mellé. A keletkező számra voatkozak a kérdések. Fogalmazd meg az eseméyek komplemeter eseméyét! Számítsd ki midkét eseméy valószíűségét! a ) A: 5-tel osztható számot kapuk. b ) B: 3-mal osztható számot kapuk. c ) C: A keletkezett ötjegyű számba a számjegyek em övekvő sorredbe követik egymást. 7. Zárás előtt egy cukrászdába már csak háromféle rétes maradt: meggyes, túrós, almás. Bemegy egy vevő, aki égy szelet rétest szerete vásároli. Az eladóra bízza, hogy milye rétest ad eki. a ) Milye kimeetelek lehetségesek? b ) Mely eseméyek lehetségesek az alábbiak közül, melyik biztos és melyik lehetetle? A: Midegyik fajtából kapott. B: Valamelyik fajtából legalább két szeletet kapott. C: Midegyik rétes, amit kapott, külöbözőféle. D: Két szelet meggyes rétest kapott. 30
SOROZATOK, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG IV. Feladatgyűjteméy Sorozatok f. Most képlettel adjuk meg a sorozat képzési szabályát. Írd fel a sorozat első 0 elemét! 4 a ) a + 4 b ) b 5 f. Igaz-e, hogy az ( + ) a ) a sorozat hetedik tagja a 7 9? + b ) b sorozat mide tagja egész szám? 0 c ) c sorozat mide tagja törtszám? + 3 d ) d sorozat mide tagja pozitív szám? + 8 e ) e sorozatak tagja az 908 78? + 3 f3. Egy sorozat képzési szabálya: ( ) a. a ) Add meg a sorozat első öt elemét, valamit a századik elemét is! b ) Készítsd el a sorozathoz tartozó grafikot is! c ) Háyadik eleme a sorozatak a 400? d ) Tagja-e a sorozatak az 948? Számtai sorozatok f4. Két kalóz osztozkodik a zsákmáyo. Úgy egyeztek meg, hogy felváltva választaak. Az első 3 tárgyat vehet el, ész ezt követőe midig -vel többet lehet kivei, mit előzőleg. A tízedik elvétel utá a zsákmáy éppe elfogyott. a ) Háy darabból állt a zsákmáy? b ) Melyik kalózak lett több kicse? f5. Add meg a sorozatok első öt elemét, és a századikat is! Ábrázold az első éháy elemet grafikoo! Melyik képlet ad számtai sorozatot? a ) a + 3 b ) b c ) c d ) ( ) + d e ) e f ) f 0 f6. Képezd a pozitív egész számok 5-tel való osztási maradékát! a ) Háy külöböző eleme va eek a sorozatak? b ) Készítsd el a sorozathoz tartozó grafikot! c ) Határozd meg a következő értékeket: a 7 ; a 56 ; a +5 -a 3