Mánesessé, eektrodinamika Máneses aapjeenséek: Eyes vasércek, pédáu manetit (Fe 3 O 4 ) képesek apró vasdarabokat maukhoz vonzani. máneses test és a vasdarab között mindi vonzó a köcsönhatás. z iyen máneseket permanens vay áandó máneseknek nevezzük. Tapasztaat szerint az acé femánesezhető ey máneses érc seítsééve. Ey acé mánestű két véét póusnak nevezzük, a vasreszeék csak ide tapad. Ezt a jeenséet ey mánesrúd seítsééve könnyen bemutathatjuk. Vasreszeék rúdmánes körü Tapasztaat szerint ey fefüesztett mánestű a födrajzi É-D irányba á be, tehát a Födnek is van máneses mezője. zt a póust, amey a stabi eyensúyi heyzetben É- feé néz, É-i póusnak nevezzük, a másikat, pedi D-i póusnak. Két mánestű eynemű póusait közeítve taszítóerő, a küönnemű póusok között, pedi vonzóerő ép fe. áyvas femánesezhető, azonban a mánes etávoításakor máneses tuajdonsáát eveszti. jeenséet máneses poarizációnak nevezzük. D É D É áandó mánes áyvas D É etávoítva vasreszeék áyvas femánesezése tapasztaat szerint semmiyen módon nem érhető e, hoy ey testben a kétfajta mánessé közü az eyik túsúyba kerüjön. Mé az eemi részeknek, pédáu az eektronnak is uyanannyi az É-i, mint a D-i mánessée. Máneses tötés, máneses monopóus tehát nem étezik. eeyszerűbb máneses aakzat a máneses dipóus. z eektromos infuenciának, vay meosztásnak nincs máneses mefeeője. tapasztaat szerint a mozó tötés, pédáu áramma átjárt vezető közeébe heyezett mánestű efordu. mozó tötés tehát nemcsak eektromos, hanem máneses mezőt is ket, és ebben a máneses dipóusra foratónyomaték hat. hatás köcsönös, mive áramjárta vezetőre máneses mezőben erő hat, ezt mpere-erőnek nevezzük.
máneses indukció-vektor bevezetése: máneses mezőt jeemző vektort, a B máneses indukcióvektort az mpère-erő seítsééve definiájuk. z árameemet a máneses mező ey tetszőees pontjába heyezzük, és mérjük a rá ható erőt. z árameemre jeemző adatok az áramerőssé I, és az íveemvektor Δr, ennek hossza Δs. mérési tapasztaatok szerint az árameemre máneses mezőben vee párhuzamos erő nem hat, az erő mindi merőees az árameemre ΔF Δr. vizsát P ponton át fevehető ey oyan kitüntetett e eyenes, ameynek irányába áítva az árameemet Δr e rá erő nem hat, Δ F =. Ha az árameem α szöet zár be az e eyenesse, akkor az erő merőees a Δr és e síkjára és naysáa arányos az I áramma, vaamint Δr = Δssin α ΔF -va. I Δs sin α hányados az árameem adataitó már nem fü, kizáróa a máneses mezőt jeemzi a P pontban, ezt nevezzük a máneses indukció naysáának a kérdéses pontban. ΔF B = IΔssinα máneses indukció iránya pedi párhuzamos az e kitüntetett eyenesse, és érteme oyan, hoy ΔF, r és ΔFΔr B. Δ B ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert akosson { } N Nm Vs Vs máneses indukció mértékeysée: [ B] = = = = = tesa = T m m m m Ezt fehasznáva az mpère-erő képete: ΔF = IΔ r B Ey vékony vonaas vezetőre ható erőt a vezetőszakaszra vaó interáássa kaphatjuk me: F = I ( dr B ) B F I Δr mpère-erő iránya Tekintsünk ey hosszúsáú keresztmetszetű vonaas vezetőszakaszt, és az eyen merőees a homoén máneses mezőre, (ásd az ábra). Ekkor az erő iránya az ábrán átható, a naysáa pedi: F = BI Ha a vezeték α szöet zár be a máneses indukcióva B -ve, akkor: F = BIsinα Lorentz-erő: Teyük fe az eyszerűsé kedvéért, hoy a vezetőben foyó I áram azt jeenti, hoy N db q tötésű eektron uyanazon v sebessée haad az hosszúsáú vezetőben, (azaz uyanazon Δt idő aatt teszi me az távosáot) ekkor I=Nq/Δt és v=/δt. Ezeket az mpere-erő képetébe beírva az N db eektronra ható erő: F = BI = BNq / Δ t = BNqv Vayis az ey eektronra ható erő F = qvb Átaánosan ey B máneses térben v sebessée mozó, q tötésű részecskére ható erő, az ún. máneses Lorentz-erő:
F=q v B Ez az erő merőees a sebessére és a máneses indukcióra, { vbf,, } iyen sorrendben jobbsodrású rendszert akot. Ha eektromos tér is van jeen, a q tötésre a F=q(E + v B) eektrománeses Lorentz-erő hat. z áram a tötéshordozók rendezett mozása. z áramvezetőre azért hat erő a máneses mezőben, mert a mozó tötéshordozókra hat erő, és mive ezek a vezetőhöz vannak kötve, az erő átadódik a vezető testének. (máneses) Lorentz-erő minden pianatban merőees a sebessére, ezért a sebessé naysáa nem vátozik, csak az iránya (vayis a máneses Lorentz-erő tejesítménye nua). Pédáu, ha v merőees B -re, a tötött részecske körpáyára kényszerü, ha v nem merőees B -re, akkor a tötés csavarvona mentén mozo. Lorentz-erőnek fontos szerepe van akkor, amikor tötött részecskéket akarnak etéríteni, ietve yorsítani. cikotron ey oyan részecskeyorsító, amiben a Couomb erőt hasznáják a sebessé naysáának növeésére és a Lorentz erőt a részecske körpáyán tartására. a máneses duánsok mező iránya cétáry ionforrás cikotron részecskeyorsító vázata tötött részecskék yorsítása a két duáns között történik, ameyekre vátakozó feszütséet kapcsonak. Ennek frekvenciáját úy számítják ki, hoy mindi yorsítsa a részecskét, azaz amikor a részecske a duánsok között van, akkor az a duáns, amey feé éppen repü, vonzóerőt fejt ki rá. z akamazott homoén máneses mező pedi körpáyára kényszeríti a részecskét, vayis a centripetáis erőt a Lorentz-erő adja: v QvB= m r a körpáya suara: mv r =, QB tehát ahoy yorsu a részecske, úy kerü a középponttó távoabb. körmozás periódusideje: rπ π m T = = v QB Vayis a periódusidő (és ezze a körfrekvencia) a sebessétő és a páya suarátó füeten áandó. Ez azért fontos, mert íy áandó frekvenciájú feszütséet ehet a duánsokra kapcsoni a yorsításhoz. Ezt a berendezést főe orvosi dianosztikában hasznát 3 izotóptermeésre hasznáják, pédáu 53 I jód izotópot áítanak eő, vaamint anyavizsáatra, ietve mafizikai aapkutatásra. 3
Foratónyomaték homoén máneses mezőben nyuvó sík áramhurokra: Máneses mezőben ey kicsiny sík áramhurokra foratónyomaték hat. Beátható, hoy ez a nyomaték az áramhurok aakjátó füeten: M for = I B = n a feüetvektor meynek irányítását jobb kéz szabáy szerint adhatjuk me. kicsiny sík áramhurokban foyó áram iránya és a feüeti normáis iránya a jobbcsavar szabáy szerint kapcsoódik össze. I n feüeti normáis iránya Meáapodás szerint az itt bemutatott jeöés a feüetbő kifeé mutató vektort jeent, a feüetbe befeé mutató vektort pedi a következő módon jeöjük:. z eektromos dipóusra ható foratónyomatékot már korábban áthattuk: M for = p E Ennek anaóiájára az áramhuroknak máneses dipónyomatékot vay dipómomentumot tuajdonítunk: M for = I B= m B aho m= I az áramhurok máneses dipómomentuma, meynek mértékeysée: [ m] = m permanens máneses dipóusra (mánestűre) ható foratónyomaték hasonóan: M for = m B, aho m z m máneses dipónyomaték abszoút értéke attó fü, miyen erősen van femánesezve a mánestű. dipóusra ható foratónyomaték akkor szűnik me, ha m B. kis áramjárta hurok tehát iránytűként hasznáható. köráram, mint I iránytű n D É Permanens máneses dipóus, és köráram hasonósáa Mejeyezzük, hoy inhomoén máneses mezőben az áramhurokra vay átaában a máneses momentumra ható eredő erő átaában nem nua, hanem az inhomoenitás mértékétő (a térerőssé radiensétő) és a hurok eheyezkedésétő fü. (naóia: inhomoén eektromos erőtérben az eektromos dipóusra erő, homoénben csak foratónyomaték hat.) Máneses indukciófuxus és Gauss-törvény: máneses mező szemétetésére a máneses indukcióvonaakat hasznájuk. Ezek oyan irányított örbék, ameyeknek érintő eysévektora eyirányú az érintési pontbei máneses indukcióvektorra. Meáapodás szerint a máneses indukcióvonaakat oyan sűrűn vesszük fe, hoy a rájuk merőeesen áított eysényi feüeten éppen annyi indukcióvona haadjon át, mint amennyi ott az indukció mérőszáma. 4
máneses indukciófuxus Φ irányított feüetre vonatkozik, és meadja a feüetet átdöfő máneses indukcióvonaak eőjees számát. Homoén máneses mező esetén az feüet indukciófuxusa: Φ = B = Bcosα B α B α n feüet máneses mezőre merőees vetüete Ha a máneses mező inhomoén, akkor ey eemi kicsiny feüet fuxusa ΔΦ = B Δ, ey tetszőees feüet indukciófuxusa pedi interáássa nyerhető: Φ = Bd Mive máneses tötések (monopóusok) nem éteznek, íy tetszőees zárt feüetre számított máneses indukciófuxus mindi zérus. mánes es Gauss-törvény tehát: Bd = máneses indukcióvonaaknak nincs kezdetük és nincsen véük. ( törvény differenciáis/okáis aakja: divb =.) máneses indukcióra vonatkozó határfetéte: B n B. z eektromos indukcióvektor normáis koordinátája a határfeüeten azért n = szenvedett urást, mert ott eektromos tötések votak. Máneses tötések nincsenek, ezért a máneses indukció normáis koordinátája a két feüet határán foytonos. máneses poarizáció, a mánesezettsé vektora: nukeonok (proton, neutron) máneses dipónyomatéka sokka kisebb, mint az eektronoké, ezért ey atom vay moekua máneses dipónyomatéka ényeében meeyezik az eektronok dipónyomatékának összeéve. z eektronok máneses dipónyomatéka két részbő á: a) mozásbó származó máneses nyomaték, mive a mozó eektron kicsiny köráramnak tekinthető b) saját máneses nyomaték (a spinbő adódik) z anya mánesezettséének jeemzésére vezessünk be ey új vektort. Leyen Δm a Δ V térfoatban évő máneses dipónyomatékok vektori összee. Δm P ΔV z anya mánesezettséének bevezetése Definíció szerint a mánesezettsé vektora a P pontban meadja az eysényi térfoatra jutó máneses nyomatékot. Δm M = im ΔV ΔV 5
mánesezettsé mértékeysée: [ M ] = m 3 m = m. Cészerű bevezetni a máneses térerősséet mint a B és a M vektorok ineáris kombinációját, mive rá eyszerű aakú aaptörvény áapítható me. H máneses térerőssé definíció szerint: B H = M μ 7 Vs Itt a μ o = 4π univerzáis áandó a vákuum permeabiitása. m máneses térerőssé mértékeysée: [ ] [ ] mértékeysée: [ ] Vs [ B ] Vs μ o = = m = [ H] m. m o H = M =. Ezze a permeabiitás m M mánesezettsé, vaamint a mánesező tér B indukciója közötti kapcsoatot anyaeyenetnek nevezzük. Eső közeítésben B és M között arányossáot fetéteezünk, iyenkor beszéünk ineáris anyaeyenetrő. Ha B ~ M akkor H ~ M. etöbb izotróp közeben a H és az M vektorok nemcsak eyirányúak, hanem a tapasztaat szerint eymássa eyenesen arányosak is: M = χ H χ a máneses szuszceptibiitás. Ezze B = μ H + M = μ H + χh = μ + χ H = μ μ H, ( ) ( ) ( ) o o o o aho μ = + χ a reatív permeabiitás, μ = μ oμ' pedi az abszoút permeabiitás. B = μ + χ H, B= μμ' H vay B = μ H z anyaeyenet íy: ( ) o o z anyaok máneses tuajdonsáai Mai ismereteink szerint az anyaok máneses tuajdonsáaik aapján három fő típusba sorohatóak: dia-, para-, ferrománeses típusba, de ezen feü éteznek antiferrománeses anyaok és ferritek is, emeett a szupravezetőket is küön kateóriába soroják. Diamánessé: bizmut, réz, ezüst, arany, hiany, óom, víz oyan anyaok, ameyek küső máneses mező nékü nem mutatnak máneses tuajdonsáokat. Máneses mezőbe heyezve a kis bizmut-darabot, taszító hatást észehetünk. bizmut poarizáódott és a mánesező tér indukciója eentétes irányú a mánesezettsé vektoráva. Ezekné az anyaokná tehát χ <, abszoút értéke átaában nem több mint -4, de enné néhány naysárendde kisebb is ehet. reatív permeabiitás ennek mefeeően csak ey kicsit kisebb eyné: μ ' = + χ,9999... Mive χ neatív, a közebei B indukció ecsökken a vákuumbei B o = μ o H indukcióhoz képest. Ez a csökkenés nayon kicsiny mértékű. z iyen anyaok atomjai küső máneses mező nékü nem rendekeznek máneses dipónyomatékka. z eektronok páya- és sajátmáneses momentumaik erontják eymást. Küső mező hatására ez a heyzet feboru, 6
iyenkor az eyik eektron feyorsu, a másik eassu, és ezáta az atomnak eredő máneses dipónyomatéka keetkezik. jeensé a hőmérsékettő füeten. D É D É É D D É údmánes és diamáneses, i. paramáneses anya köcsönhatása Paramánessé: Paramáneses anyaok az aumínium, króm, patina, vofrám, héium, oxién, eveő. Küső mező híján ezek az anyaok sem mutatnak máneses tuajdonsáot. fefüesztett aumínium oyót az áandó mánes vonzza. Ebben az esetben az anya atomjainak küső máneses mező nékü is van eredő máneses dipónyomatékuk, de küső mező híján ezek rendezetenü ának. máneses mező az atomi dipóusokat a maa irányába foratja, mépedi anná inkább miné erősebb az akamazott máneses mező, és miné aacsonyabb a hőmérséket. Ezt a jeenséet rendeződési poarizációnak nevezzük. 3 6 Iyenkor B M, a szuszceptibiitás pozitív: χ, vayis a vákuumbei indukcióhoz képest iyenkor (kismértékben) növekszik az indukció. Ferrománessé: vas, kobat, nikke és ezek ötvözetei erősen mánesezhető anyaok, a máneses mezőbő kiemeve többé-kevésbé meőrzik a mánesesséüket. ferrománeses anyaok mind sziárd anyaok és máneses szempontbó anizotropok, a B, H, és M vektorok nem esnek ey eyenesbe. ferrománeses anyaot küső máneses mezőbe heyezve, az M mánesezettsé, a H térerőssé növeéséve csak ey bizonyos határi nő, ekkor teítődés következik be. z iyen anyaok esetén a ineáris anyaeyenet nem hasznáható. B és H közötti összefüés nemcsak nem ineáris, de nem is eyértékű. Kíséretie mehatározható a mánesezési vay hiszterézis örbe. remanens B mánessé szűzörbe (eső mánesezési örbe) H Ferrománeses anya hiszterézis örbéje z összetartozó B és H értékek hányadosábó kiszámítható μ ', vay χ már nem áandó fü a H-tó és a minta eőéetétő. vasná μ r és íy χ tipikusan több száz, de eyes speciáis ötvözetekné μ r akár eymiió föött is ehet. z oyan anyaokat, ameyeknek számottevő a remanens, azaz visszamaradó mánessée, permanens máneseknek nevezzük, iyen pédáu az acé. Ha a ferrománeses anya hőmérséketét növejük, akkor ey bizonyos T C hőmérséket, az úynevezett Curie-hőmérséket föött a ferrománeses anyaok paramáneses 7
anyaokká vának. vas Curie-hőmérsékete 769 o C, a kobaté 75 o C, a nikkeé 36 o C. Ha az anyaot hűtjük, a Curie-hőmérséketen ey másodrendű fázisátaakuás játszódik e. Nincs atens hő és térfoaturás, a szuszceptibiitás viszont diverá (a yakoratban ez akár naysárendbei vátozást is jeenhet) ferrománeses anyaoknak azt a tartományát, ameynek mánesezettsée eyirányú, doménnek (domain) nevezzük. domének -9 - - cm 3 térfoatú tartományok ~ 5 számú atomma. Ey-ey domén teítési mánesezett, de küső tér híján a domének mánesezettsée rendezeten, a szomszédos domének yakran eentétesen mánesezettek, íy a makroszkopikus minta össz-mánesezettsée ényeében zérus. Ha ekezdjük növeni a küső máneses teret, akkor azon domének térfoata kezd nőni, ameyek mánesezettséének iránya kis szöet zár be a küső mánesező tér irányáva. Ezt a jeenséet nevezzük faetoódásnak. Nay mánesező tér esetén ey másik effektus is feép, ey-ey domén mánesezettsée urásszerűen beforduhat a küső mező irányába. Máneses tér erjesztése z mpère-fée erjesztési törvény: Korábban emítettük, hoy mozó tötések máneses mezőt hoznak étre. mérési tapasztaatok aapján feáított mpère-fée erjesztési törvény vékonyvonaas áramok esetén azt mondja ki, hoy a máneses térerőssé zárt örbére vett interája eyenő a örbe áta határot tetszőees feüeten áthaadó áramok aebrai összeéve: Hds = I i I < Δ I > i Δs zárt örbe áta körüfoott áramok eőjeezése z áramerősséek aebrai összeéné az eőjeezésre azt a szabáyt hasznájuk, hoy az az áram, ameyik a feüetet a feüet normáisának irányában döfi pozitív, ameyik azza eentétesen döfi, az pedi neatív. Meáapodás szerint, a peremörbe körüjárási irányát és a feüeti normáis irányát a jobbcsavar szabáy kapcsoja össze. z mpère-fée erjesztési törvény írja e az áram és az átaa erjesztett máneses mező közötti összefüést. máneses mező tehát mé stacionárius esetben sem konzervatív. Tapasztaati tény, hoy a erjesztési törvény akkor is érvényben marad, ha térben mánesezhető anyaok vannak jeen. Határfetéteek (peremfetéteek): Két köze határfeüetén: Ht = H t, azaz a két köze határán a máneses térerőssé tanenciáis koordinátája foytonos és B n = Bn, azaz a két köze határán a máneses indukció normáis koordinátája foytonos. Hosszú eyenes vezető máneses tere: Szimmetriaokokbó következik, hoy a térerőssé értéke csak a vezetőtő mért távosátó fü. z erővonaak körüfoják az áramot, tehát a 8
vezetőre merőees síkokban fekvő koncentrikus körök, középpontjukban a vezetőve. Ekkor, ha ey iyen körvona mentén interáunk, a H naysáa áandó, iránya párhuzamos az íveemme, íy H kihozható az interáje eé: Hds = H ds = H rπ = I, azaz H=I/rπ. Szoenoid máneses tere: tekintsünk ey, az átmérőjéhez képest hossz, sűrűn csévét heneres tekercs, máneses terét. mező homoénnek tekinthető a tekercs besejében. tekercs hosszát jeöje, a menetszám eyen N, és eyen, a keresztmetszet. Ekkor az eysényi hosszra jutó menetek száma N. tekercsben foyó áramerőssé I. Ey akamasan meváasztott zárt örbére írjuk fe a erjesztési törvényt. zárt örbe eyen az BCD téaap, x az B oda hossza. N D x B C szoenoid tekercs és máneses mezeje zárt örbére történő összezést febonthatjuk néy nyít örbére történő összezésre: B C D Hds = Hds + Hds + Hds + Hds B C D téaap esetében a DC szakaszon a tér közeítőe nua, az D és a BC szakaszon pedi a tér iránya merőees a örbére, íy az össze csak az B odara nem tűnik e. Ebbő: N Hx = x I, azaz H = NI NI Ezze a máneses indukció: B = μ máneses eneria, máneses eneriasűrűsé: homoén máneses mező eneriája ey V térfoatú térrészben: Wm = B HV máneses mező eneriasűrűsée meadja az eysényi térfoatban taáható máneses eneriát: Wm wm = = B H V w mértékeysée az eektromos esethez hasonóan J/m 3. Ha a tér ey tetszőees pontjában a máneses térerőssé H és a máneses indukcióvektor B, akkor a pont körü fevett kicsiny ΔV térfoatban Δ W = B H Δ V máneses eneria taáható. Ha a mező nem homoén, ey tetszőees vées V térfoatban természetesen interáássa nyerhetjük a máneses eneriát: W = w = mdv B HdV V V 9
z eektrománeses indukció zt már tudjuk, hoy ha ey máneses mezőben évő vezetőben áram foyik, akkor a vezetőre erő hat (mpère-erő) és az mozásba endü. Kérdés, hoy ha máneses mezőben vezetőt mozatunk, akkor indukáódik-e áram, i. átaában hoyan tudunk máneses úton áramot áítani eő. Mozási indukció: Ha ey vezetőt máneses mezőben mozatunk, akkor a vee eyüttmozó tötéshordozókra a Lorentz-erő hat. Ezt az erőt ideen erőnek nevezzük: F = qv B. D É mozatva G kiendü az árammérő Mozási indukció jeensée F z ideen térerőssé: E = v q = B. mozó vezető vona mentén eektromotoros erő indukáódik (keetkezik), vayis ekkor a vezető áramforrásként működik. mozási indukciót eíró Neumann-törvény átaános aakja: B = B E Eds = v B ds B ( ) i Ha a vezetőbő készített vona zárt, akkor az indukát eektromotoros erő hatására indukát áram jön étre. Tekintsük eyenes vezetőt, és vb,, Δs eyenek eymásra merőeesek. B F Δs E v F Mi G z indukát eektromotoros erő a zárt áramkörben indukát áramot eredményez fenti, áramforrásként visekedő mozó fémrudat ineáris enerátornak is nevezik. Fiyeembe véve a nayon speciáis eometriát, az eektromotoros erő: B = = B E E Eds = v B ds = vb B ( ) i körben foyó áram erőssée pedi az eenáások ismeretében mehatározható. Ha az eész kör eenáása, akkor I=ε/. zonban az indukát áram miatt erre a rúdra is hat az mpèreerő, a mozás irányáva eentétesen (ez a Lenz-törvény menyivánuása), íy azt ey F h (húzó)erőve ke kompenzánunk. Ennek az erőnek a tejesítménye fedezi a foyasztón mért tejesítményt. enerátorok mechanikai tejesítmény árán szoátatnak eektromos tejesítményt. fenti erendezésné a mozó rúd konstans hossza vot, eyen a zárt hurok másik (az ábrán vízszintes) odaának hossza h. Ekkor a hurok terüete =h, a pédában ez anná yorsabban
csökken, miné yorsabban mozo a rúd jobbra. rúd sebessée v=-dh/, de mive konstans, d/=d(h)/=-v. z indukciófuxus vátozási yorsasáa: d Φ d(b) d = = B = Bv = ε. Átaánosan, ha ey irányított nem fetétenü merev zárt vezetőhurok máneses mezőben mozo, akkor a benne indukát eektromotoros erőt Faraday törvénye adja: ΔΦ E = Δt Tehát a zárt vezetőhurokban indukát eektromotoros erő eyenő a zárt hurok áta körüfoott máneses fuxus vátozási yorsasáának eentettjéve (Fuxus-szabáy). fuxus-szabáy seítsééve az indukát eektromotoros erő yakran könnyebben számítható, mint a Neumann-törvénnye. Vátakozó áramú enerátor: Tekintsünk ey téaap aakú vezető keretet. Keresztmetszete eyen, és forojon áandó ω szösebessée homoén máneses mezőben. máneses mező indukciója eyen B. kezdeti pianatban eyen n B. Eőször írjuk fe a máneses indukciófuxus időbei vátozását: É α B n D Vátakozó áramú enerátor Φ = Bd = B cosα F mive α = ωt, íy az időben vátozó máneses fuxus Φ = Bcosωt. kamazzuk a Faraday-törvényt az indukát eektromotoros erő kiszámítására: dφ E = = B ω sinωt. Hasznájuk az E jeöést az eektromotoros erő csúcsértékére E = B ω, ezze E = E sinωt Ha eymenetű keret heyett N menetű tekercset akamazunk, akkor az erővonaak mindeyik meneten átmennek, vayis a fuxus (és annak vátozási yorsasáa) N-szeresére nő. Tehát a vátakozó áramú enerátor eektromotoros ereje: E = NBω sinωt Nyuami indukció: Tehát ey zárt vezetőkörben áram indukáódik, ha a máneses indukciófuxus, azaz a B feüetre vett interája vátozik. Ez az interá nem csak úy vátozhat, hoy a örbe aakja vay heyzete, azaz az interáási tartomány vátozik, hanem úy is, hoy az interandus, azaz a B vektor naysáa vay iránya vátozik az időben (esete az interáási tartománnya eyütt). Ha az interáási tartomány nem vátozik, azaz nincs mozás, B pedi vátozik, nyuami indukcióró beszéünk.
vasma G primer kör szekunder kör nyuami indukció jeensée, köcsönös indukció Tekintsük a fenti erendezést. Mindaddi, amí a vátoztatható eenáássa vátoztatjuk az áramerősséet a primer körben, vátozni fo az átaa erjesztett máneses tér indukciója. Ezeket az indukcióvonaakat a szekunder kör körüfoja, és vátozik a szekunder fuxus. tapasztaat szerint, amí a fuxust vátoztatjuk, a szekunder körben áram foyik. z áram étrejöttének oka itt nem ehet a Lorentz-erő, hiszen a szekunder vezető nem mozo. jeensé mayarázata az, hoy az időben vátozó máneses mező eektromos teret induká, és ez az indukát eektromos mező mozdítja e a szekunder vezeték szabad eektronjait. Ez a nyuami indukció jeensée. fenti kíséretben eírt konkrét jeenséet köcsönös indukciónak nevezzük, iyenkor a primer kör áramának vátozása induká feszütséet a szekunder körben. Tekintsük most a következő erendezést: G L E nyuami indukció jeensée, önindukció tapasztaat szerint, ha a tekercset az áramforrásró ekapcsojuk és eyben rövidre zárjuk, akkor az árammérő ey idei mé csökkenő áramerősséet jeez. jeensé mayarázata az, hoy az áramforrást ekapcsova vátozik a máneses mező fuxusa, ez eektromos mezőt induká, és ez tartja fenn az áramot ey idei. jeenséet önindukciónak nevezzük, iyenkor az indukát feszütséet a vezetőkör saját áramának vátozása okozza. Összeezve, a Faraday-fée indukciótörvény tömör aakja: ΔΦ ε = Δ t, aho Φ = Bd a máneses indukciófuxus. észetesebben kiírva: F d Eds = Bd F özített zárt vona mentén az indukát eektromos feszütsé eyenő a zárt vona áta körüfoott máneses fuxus vátozási yorsasáának eentettjéve. z indukát eektromos mező nem örvénymentes, ezért nem is konzervatív. Eektromos mezőt tehát nem csak tötések kethetnek, hanem időben vátozó máneses mező is. tötések ketette mező forrásos, s ha a tötések nyuszanak, vay áramásuk stacionárius,
akkor örvénymentes. z időben vátozó máneses mező ketette indukát eektromos mező forrásmentes és örvényes. Szoenoid tekercs önindukciós eyütthatója: Hosszú vékony tekercsben a máneses térerőssé és a máneses indukció: NI NI H =, B= μ Írjuk fe az eyeten menet áta körüfoott fuxust (menetfuxus): N Φm = Bd = μ I tekercsfuxus eyenő a menetfuxusok összeéve, íy N Φ = NΦm = μ I tekercsfuxus arányos az őt erjesztő áramma: Φ = LI. z arányossái tényező L az önindukciós eyüttható: μ N L = Vs z önindukciós eyüttható mértékeysée: [ L] = = henry= H Ha ey tekercsben vátakozó áram foyik, akkor Φ = LI() t dφ di U = = L Sokmenetű tekercs esetén mive L arányos N -te a tekercs önindukciós eyütthatója oyan nay, hoy az eyben az eész vezető kör induktivitásának tekinthető. Köcsönös indukció eyütthatója szoros csatoás esetén: Tekintsünk két nyuaomban évő tekercset eymás közeében. primer tekercs menetszáma eyen, a szekunder tekercsé pedi N. Ha a primer tekercsben foyó áram I, akkor az indukció: N N N köcsönös indukció szoros csatoás esetén NI () t B = μ a menetfuxusa pedi: N Φ = μ I() t szoros csatoás azt jeenti, hoy a primer tekercs menetfuxusa eyben a szekunder tekercs menetfuxusa is, íy a szekunder tekercs tejes fuxusa: NN Φ () = NΦ = μ I t kifejezésbő kiovasható, hoy a szekunder tekercs fuxusa arányos a primer áramma, az arányossái tényező M, a köcsönös indukció eyütthatója: Φ = MI, aho 3
NN M = L = μ szekunder tekercs kapcsain az indukát feszütsé: dφ di U = = M hurok törvény átaánosítása eyeten hurok esetén: Tekintsük ey oyan hurkot, amey ey eenáást, ey kondenzátort, ey tekercset, és ey áramforrást tartamaz: C Q L C E Huroktörvény átaánosítása Leyen a tejes kör eenáása, C a kondenzátor kapacitása, L a tekercs (és eyben az eész hurok) önindukciós eyütthatója, ietve E az akamazott eektromotoros erő. Íjuk fe a nyuami indukció Faraday-törvényét a hurokra: d ( Bd ) Eds = Mive a tekercs önindukciós eyütthatója eyben a kör indukciós eyütthatója is: di Eds = L zárt örbét bontsuk fe két részre, haadjon a vezetőben, pedi a kondenzátor emezei közötti szieteőben. mennyiben a térerőssére vonatkozó összezést az ábra szerinti,, szakaszokra küön kiszámojuk, akkor az aábbi eyenetet nyerhetjük: Q di I E + = C L d t Kirchhoff-hurokeyenet átaánosítása soros LC körre: di Q L + I+ = C E Tekercs rákapcsoása áandó feszütsére: Leyen a tekercs L induktivitása áandó, a kör ohmos eenáása, az áramforrás áandó eektromotoros ereje ε. kapcsoót a t= időpianatban zárjuk. Kérdés, hoyan vátozik az I áramerőssé. Ha hirteen (Δt= idő aatt) nuáró vées értékre nőne, akkor di/ és ezze az indukát feszütsé véteen nay enne, ami eheteten. Következésképp I()=. differenciáeyenet: I E = L di Ey szétváasztható típusú, interáva: z interáást evéezve: di = ε I L 4
ε I n = t K L kezdeti fetétebő n ε/k= azaz K= ε, tehát ε t t L L I(t) = e = I e Fehasznátuk, hoy t= -re I = ε/-nek adódik. Vezessük be a τ=l/ mennyiséet, ameyet időáandónak vay a kör reaxációs idejének is neveznek. Ezze az áramerőssé: t/ I(t) = I e τ ( ) z áramerősé tehát exponenciáisan tart a maximáis I értékhez. Ha a tekercset hirteen ekapcsojuk az áandó feszütsérő, ennek a fordítottja játszódik e, az áram exponenciáis füvény szerint tart a nuához. Kondenzátor kisütése: Ey Q tötésre, azaz U =Q /C feszütsére fetötött kondenzátort eenááson keresztü kisütünk. differenciáeyenet: Q dq I + =, aho I = C Idő szerint deriváva és átrendezve: di di = I, ez is szétváasztható: C = I C. t C t/ τ meodás: n I = t + K, azaz mive K=nI, I(t) = Ie = Ie, aho τ=c az C kör C időáandója. Ez azt az időt adja me, amey aatt e-adrészére csökken az áramerőssé. Kondenzátor szinuszos vátakozó feszütséen: Eyenáramot a kondenzátor nem vezeti, de vátakozó feszütsé hatására periodikusan fetötődik és kisü. Íy a vátakozó áram foytonosan foyik a körben anékü, hoy a emezek közötti szieteőrétekben tötések áramanának. z átaános Kirchhoff-hurokeyenetbő kapjuk, hoy a kondenzátor U=Q/C feszütsée az áramforrás ε eektromotoros erejéve eyenő. Mive ε(t)= ε o sinωt, dq d I(t) = ( CUsin t) CU cos t = ω = ω ω. Tehát az áramerőssé az időnek koszinuszos füvénye, az áramerőssé és a feszütsé között π/ fázisküönbsé van, vayis az áramerőssé 9 o -ka siet a feszütséhez képest. Ez azért ehetsées, mert nem a kondenzátor emezei között évő feszütséküönbsé az oka a tötések áramásának, hanem ennek a feszütsének a mevátozása. feszütsé csúcsértéke U, az áramerősséé CU ω, a kettő hányadosaként értemezhetjük a kondenzátor vátóáramú eenáását, más néven kapacitív eenáását vay kapacitanciáját: XC =, ωc Ez, mint átható, fü a frekvenciátó és eyenáramra véteenné váik. Ideáis tekercs szinuszos vátakozó feszütséen: Ha minden ohmos eenáást ehanyaounk, a meodandó eyenet: E = L di, aho ε(t)= ε o sinωt. Idő szerint interáva kapjuk, hoy ε cos ω t / ω = ε LI, azaz I(t) = cosω t, vayis az induktivitáson az áram L ω 9 o -ot késik a feszütséhez képest. feszütsé és az áramerőssé csúcsértékének hányadosa a tekercs vátóáramú eenáása, más néven induktív eenáása vay induktanciája: XL = L ω Eyenáramra ez nua, a frekvencia növeéséve növekszik. 5
Soros LC-kör erjesztett eektrománeses rezései L C ε Soros LC kör Tekintsük a fenti soros LC kört, és akamazzuk rá az átaánosított hurok törvényt: di Q L + I+ = C E z áramkörben akamazzunk ey vátakozó áramú enerátort, aminek az eektromotoros ereje E = E cos t ω füvény szerint vátozik. a erjesztő eektromotoros erő ampitúdója ω pedi a körfrekvenciája. Kirchhoff-fée huroktörvény formáisan tejesen anaó a erjesztett rezés mozáseyenetéve. z anaó mennyiséek: m L tehetetensé x Q a vátozó κ csiapítás D a ruó, i. a kondenzátor tároja az eneriát, ami a menyúásbó, i. a tötésfehamozódásbó adódik C F E kényszer, eneriabetápáás ω = D m LC körfrekvencia fenti eyenet ey differenciáeyenet a kondenzátor feyverzetein évő tötés időfüésére. Ennek meodását itt nem részetezzük, csak feírjuk az időben áandósut áapot aakját. Bár az eyenet a tötésre vonatkozik, mi rötön az ebbő származtatható áramerőssé időfüését írjuk fe: I = I cos( ωt ϕ ) z áramerőssé időfüésében szerepő I a étrejövő áram csúcsértéke, mí ϕ a kezdőfázis. z áramerőssé csúcsértékét a soros vátakozó áramú körökre vonatkozó Ohm törvény aapján határozhatjuk me: E I = + Lω ωc vay: I = E Z aho Z a soros kör impedanciája: Z = + Lω ωc korábban bevezetett jeöésekke ferajzojuk az impedancia vektorábrát. E 6
X L X C X L X C ϕ Z Impedancia vektorábra Ebbő eovasható a kezdőfázis: Lω tϕ = ω C vay cosϕ = Z Ha ϕ > akkor I késik E -hoz képest, ha ϕ < akkor I siet E -hoz képest. z eyes kapcsoási eemek póusain mérhető feszütséek: Grafikusan a feszütséeket úy kaphatjuk me, hoy az impedancia vektorábrán minden eenáás-jeeű mennyiséet beszorzunk az áramerőssée. z ohmos eenááson évő feszütsé az áramerőssée mindi fázisban van. Ha U = I az eenááson a feszütsé csúcsértéke, akkor ( ) = cos( ωt ) U t U ϕ kondenzátor feszütsée π/-ve késik az áramhoz képest, azaz C() cos ωt π U t = UC ϕ aho UC = IXC, a kondenzátoron mérhető feszütsé csúcsértéke. z ideáis tekercs feszütsée π/-ve siet az áramerősséhez képest: L() cos ωt π U t = UL ϕ + aho U I X az induktivitáson mérhető feszütsé csúcsértéke. L = L Foró vektorábra: soros LC kör fázisviszonyainak szemétetésére yakran hasznáják a foró vektoros ábrázoást. Iyenkor a vektor hossza arányos az iető fizikai mennyisé csúcsértékéve, és áandó szösebessée foro a síkban. vízszintes teneyre vett vetüet harmonikus rezést véez, ez adja a fizikai mennyisé pianatnyi értékét. z eső vektor, amit ey iyen ábrázoásná feveszünk, az áramerőssé vektora. Mive az ohmos eenááson évő feszütsé az áramerőssée mindi fázisban van, íy az azt eíró vektor az áramerőssée párhuzamos. z ideáis tekercs feszütsée π -ve siet az áramerősséhez képest, íy az ezt ábrázoó vektor, a vektorok forásának irányában meeőzi az áramerőssé vektorát. kondenzátor feszütsée π -ve késik az áramhoz képest, íy a vektora az áramerőssé vektorához képest π -ve emarad. vektorok összee pedi kiadja a enerátor eektromotoros erejét. Mejeenik az ábrán a fázisküönbsé is. 7
U L + ω = á. E I U C U Foró vektorábra Vátakozó áram jeemzése effektív értékekke: vátakozó áram effektív értéke a hőhatás szempontjábó eyenértékű stacionárius áram erősséét jeenti. kár a vizsát vátakozó áram foyik át ey foyasztón (jobb odai ábra), akár ey I eff erősséű stacionárius áram (ba odai ábra), ey periódus aatt az eektromos munkavézés meeyezik. I eff I = I sin ωt Eyszerű áramkörök az effektív áramerőssé bevezetéséhez W I T = () eff T W = I t I szinusznéyzet-füvényt kiinteráva beátható, hoy az effektív érték: I eff =. Hasonóan a enerátor effektív feszütsée: E eff = E. Tejesítmény soros vátakozó áramú körben: soros áramkör esetén az áramforrás pianatnyi tejesítménye: Pt = E tit () = E cosωticos ωt ϕ () () ( ) Két ismert trionometrikus azonossáot ( cos( α β) cosαcos β sinαsin cos( α β) = cosαcos β + sinαsin β) összeadva: ( ) ( ) + = β és cos α + β + cos α β = cosαcos β Leyen α = ωt és β = ωt ϕ, ekkor: cos ( ωt ϕ) + cos ϕ = cos ωt cos ( ωt ) ϕ, íy a pianatnyi tejesítmény: EI Pt () = cos( ωt ϕ) + cosϕ Ha ennek a füvénynek képezzük az időátaát, akkor mive a koszinuszos füvény időátaa zérus, csak a jobbodai ta marad, mive az konstans. z átatejesítmény a csúcsértékekke, vay az effektív értékekke kifejezve: EI E I eff P= cosϕ = cosϕ = Eeff Ieff cosϕ = E = I eff Z 8
z mpère-maxwe-fée erjesztési törvény: Faraday indukció törvénye szerint az időben vátozó máneses mező eektromos mezőt ket. Maxwe eméeti mefontoások aapján fetéteezte, hoy az eektromos mező időbei vátozása pedi örvényes máneses mezőt ket. z eyenet feírása során az mpère-fée erjesztési törvény kieészítette ey további taa, ameyet etoási áramnak nevezett. Íy szüetett me az mpère-maxwe törvény: d H ds = I + i Dd Fehasznáva az eektromos indukciófuxust, az mpère-maxwe törvény rövidebben: dψ H ds = I +. i máneses térerőssé zárt örbére vett interája eyenő a vonara feszített feüetet átdöfő áramok erősséének, és a feüeten átmenő eektromos fuxus vátozási yorsasáának az összeéve. Máneses mezőt tehát nemcsak máneses dipóusok, vay áramok erjeszthetnek, időben vátozó eektromos mező is képes máneses mezőt keteni. jeensé szimmetrikus mefeeője a Faraday-fée indukciónak. z etoási áram, nem áram a szó eredeti értemében, mert nem mindi kapcsoódik hozzá tötések mozása. zonban éppúy erjeszt máneses 7 γ / Ωm, technikai vátóáram esetén a mezőt, mint a vezetési áram. Jó vezetőben ( ) vezetési áramsűrűsé sok naysárendde feümúja az etoási áramsűrűséet. Nem hanyaoható e az etoási áram szieteőben, aho nem foyhat vezetési áram, ietve ha a frekvencia az optikai tartományba esik. Maxwe-eyenetrendszer: XIX. sz. eyik enayobb hatású eyenetrendszere, főe azért, mert ebbő az eyenetrendszerbő vezették e az eektrománeses huámok étezését.. mpère-maxwe fée erjesztési törvény: d H ds = I + i Dd. Faraday-fée indukció-törvény: d E ds = 3. Eektromos Gauss-törvény: 4. Máneses Gauss-törvény: i F F Dd = F Bd és F és Q és divd = ρ Bd = és divb = F D roth = j+ t B rote = t Maxwe-eyenetrendszer meodásához szükséesek az anyaeyenetek is, ameyek meadják, hoy mi a kapcsoat eyfeő az eektromos térerőssé és az eektromos indukció, másfeő a máneses térerőssé és a máneses indukció között. ineáris anyaeyenetek: D=εε re és = r, vaamint az Ohm-törvény: j = γ E+ v B+ E i. Mí azonban a B μμh ( ) Maxwe-eyenetek ezakt természettörvények, az anyaeyenetek csak bizonyos anyaokra iazak, és közeítő jeeűek. 9