Ha sokáig mérünk: kiátlagoljuk a jelet Milyen lesz ez a súlyfüggvény? T idejű integrálás + delta függvény T ideig integrálva:

Hasonló dokumentumok
Wavelet transzformáció

Fehérzajhoz a konstans érték kell - megoldás a digitális szűrő Összegezési súlyok sin x/x szerint (ez akár analóg is lehet!!!)

Shift regiszter + XOR kapu: 2 n állapot

Idő-frekvencia transzformációk waveletek

Mintavétel: szorzás az idő tartományban

Idő-frekvencia transzformációk waveletek

Fourier transzformáció

Fourier térbeli analízis, inverz probléma. Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea ősz

Idő-frekvencia transzformációk waveletek

π π A vivőhullám jelalakja (2. ábra) A vivőhullám periódusideje T amplitudója A az impulzus szélessége szögfokban 2p. 2p [ ]

Mérés és adatgyűjtés

Digitális jelfeldolgozás

RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT

Jelfeldolgozás - ANTAL Margit. impulzusválasz. tulajdonságai. Rendszerek. ANTAL Margit. Sapientia - Erdélyi Magyar Tudományegyetem

Z v 1 (t)v 2 (t τ)dt. R 12 (τ) = 1 R 12 (τ) = lim T T. ill. periódikus jelekre:

ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 5. A JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI: JELEK

4. Szűrés frekvenciatérben

Négypólusok tárgyalása Laplace transzformációval

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk

Idı-frekvencia transzformációk waveletek

Digitális jelfeldolgozás

4. Laplace transzformáció és alkalmazása

Segédlet a gyakorlati tananyaghoz GEVAU141B, GEVAU188B c. tantárgyakból

ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 6. A MINTAVÉTELI TÖRVÉNY

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Irányítástechnika II. előadásvázlat

Ellenőrző kérdések a Jelanalízis és Jelfeldolgozás témakörökhöz

Villamosságtan szigorlati tételek

Jelek és rendszerek - 4.előadás

1. témakör. A hírközlés célja, általános modellje A jelek osztályozása Periodikus jelek leírása időtartományban

Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

ADAT- ÉS INFORMÁCIÓFELDOLGOZÁS

DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

Jelfeldolgozás. Gyakorlat: A tantermi gyakorlatokon való részvétel kötelező! Kollokvium: csak gyakorlati jeggyel!

Fourier-sorfejtés vizsgálata Négyszögjel sorfejtése, átviteli vizsgálata

2. gyakorlat Mintavételezés, kvantálás

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

Híradástechikai jelfeldolgozás

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Digitális szűrők - (BMEVIMIM278) Házi Feladat

Orvosi Fizika és Statisztika

2. Elméleti összefoglaló

Analóg-digitális átalakítás. Rencz Márta/ Ress S. Elektronikus Eszközök Tanszék

Matematika (mesterképzés)

A mintavételezéses mérések alapjai

λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)

Fourier transzformáció

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03

Gyakorló többnyire régebbi zh feladatok. Intelligens orvosi műszerek október 2.

illetve, mivel előjelét a elnyeli, a szinuszból pedig kiemelhető: = " 3. = + " 2 = " 2 % &' + +

Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox

Mátrix-exponens, Laplace transzformáció

Képalkotás modellezése, metrikái. Orvosi képdiagnosztika 6. ea ősz

1. Visszacsatolás nélküli kapcsolások

X. ANALÓG JELEK ILLESZTÉSE DIGITÁLIS ESZKÖZÖKHÖZ

Algoritmuselmélet 18. előadás

ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 9. SZŰRŐK

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

Képfeldolgozó eljárások áttekintés. Orvosi képdiagnosztika

Searching in an Unsorted Database

ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 8. A JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI

3.18. DIGITÁLIS JELFELDOLGOZÁS

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

AZ IMPULZUSKOMPRESSZIÓ RADARTECHNIKAI ALKALMAZÁSA BEVEZETÉS

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

5. témakör. Szögmodulációk: Fázis és frekvenciamoduláció FM modulátorok, demodulátorok

Jelfeldolgozás bevezető. Témalaboratórium

ANTAL Margit. Sapientia - Erdélyi Magyar Tudományegyetem. Jelfeldolgozás. ANTAL Margit. Adminisztratív. Bevezetés. Matematikai alapismeretek.

Hangtechnika. Médiatechnológus asszisztens

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Akusztikus mérőműszerek

Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Képrestauráció Képhelyreállítás

Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján

A Matematika I. előadás részletes tematikája

Irányítástechnika 2. előadás

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

A fontosabb definíciók

M ű veleti erő sítő k I.

Intelligens Rendszerek Elmélete. Versengéses és önszervező tanulás neurális hálózatokban

ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK II. 5. DC MOTOROK SZABÁLYOZÁS FORDULATSZÁM- SZABÁLYOZÁS

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István

Soros felépítésű folytonos PID szabályozó

Elektronika Előadás. Digitális-analóg és analóg-digitális átalakítók

Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján

Digitális Fourier-analizátorok (DFT - FFT)

Képalkotás modellezése, metrikái. Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz

KANDÓ KÁLMÁN VILLAMOSMÉRNÖKI FŐISKOLAI KAR. Mikroelektronikai és Technológiai Intézet. Aktív Szűrők. Analóg és Hírközlési Áramkörök

Az ideális határesetek, mint például tömegpont, tökéletesen merev testek pillanatszerű

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

Eddigi tanulmányaink alapján már egy sor, a szeizmikában általánosan használt műveletet el tudunk végezni.

Gingl Zoltán, Szeged, :47 Elektronika - Műveleti erősítők

Mintavételezés és AD átalakítók

Digitális mérőműszerek. Kaltenecker Zsolt Hiradástechnikai Villamosmérnök Szinusz Hullám Bt.

Dr. Gyurcsek István. Példafeladatok. Helygörbék Bode-diagramok HELYGÖRBÉK, BODE-DIAGRAMOK DR. GYURCSEK ISTVÁN

11. Orthogonal Frequency Division Multiplexing ( OFDM)

Átírás:

1 Integráló voltmérő Ha sokáig mérünk: kiátlagoljuk a jelet Milyen lesz ez a súlyfüggvény? T idejű integrálás + delta függvény T ideig integrálva: A súlyfüggvény: T széles impulzus

2 Ha a bemenő zaj B sávszélességű és P teljesítményű volt, akkor a kimeneti zaj: P zaj = σ 2 ki = n 0B eff σ2 be BT. Integráló voltmérők integrálási ideje általában a hálózati feszültség periódusidejének egészszámú többszöröse!

3 Kváziperiodikus jelek detektálása zaj jelenlétében Ötlet: Nemperiodikus jelek tegyük kváziperiodikussá! Ezután integrálás/összegezés kisebb zaj. A fázis fontos - azaz vagy pontos fázismérés, vagy saját trigger szükséges: τ időközönként k-szor minta, N-szer megismételve:

4 Milyen lesz a jel/zaj viszony? Az átlagolás a hasznos jel amplitudóját N-szeresére növeli N-szeresére növekszik a zaj teljesítménye (szórásnégyzete) A jel/zaj javulás mértéke arányos N-vel!» jel zaj» jel zaj» jel zaj 1mérés Nmérés javulás = v(i) σ 2 = Nv(i) Nσ 2 = 1 N

5 Macska + trigger: 64 átlagolás után sokkal jobb a jel! Összegezés/átlagolás: milyen lesz a frekvenciatartományban? N db egymást T időközzel követő delta frekvenciaspektruma: V (ω) = 1 N = ( 1 N N 1 X n=0 e iωt = e iωt 1 N(e iωt 1) )(1 e iωt N 1 e iωt )(eiωt N/2 e iωt/2 e iωt N/2 e iωt/2) =

6 = = 1 N V (f) = 1 N e iωt N/2 iωt N/2 e e eiωt N/2 sin(ωnt/2) sin(ωt/2) = 1 N iωt/2 e iωt/2 e iωt/2 sin(πfnt ) sin(πft ). Minták számának növelése fésűszerű karakterisztika - fésűs szűrő 100 10 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 1e-05 1e-06 1e-07 1e-08 0 100 200 300 400 500

7 100 10 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 1e-05 1e-06 1e-07 1e-08 0 100 200 300 400 500

8 100 10 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 1e-05 1e-06 1e-07 1e-08 0 100 200 300 400 500 l. Cf

9 Illesztett szűrő: ismert jelalak amplitudójának mérése Előzetes információ: ismerjük a jelalakot! Mekkora az amplitúdó? Példa: t szélességű négyszögimpulzus + fehérzaj: keressük az amplitudót egy H ideális aluláteresztő szűrővel: H sávszélességének növelése: jel amplitudója egy darabig nő, majd állandó H sávszélességének növelése: zaj amplitudója H-val arányosan nő Hol az optimum?!

10 Másképpen: ha a bemenőjel alakja ismert: milyen legyen az optimális H(ω) (vagy h(t)) a maximálisan pontos amplitúdó méréshez? Megoldás a S/N (SNR, Signal/Noise Ratio, jel/zaj viszony) maximumát keressük h(t) függvényében, digitalizált értékekre. Legyen h = [h i ] a szűrő, az x = s + n szűrendő jel pedig a s jel + a n zaj összege. A szűrő kimente: y[n] = X i (h[n i]) x [i] ȳ = h x = h s + h n = y s + y n S/N = = ȳ s 2 E( ȳ n 2 ) = h 2 s E( h n 2 ) R 2 dω H(ω)S(ω) E( R dω H(ω)N(ω) 2 )

11 De Z E( h n 2 ) = E( Z = E( Z = E( dω H(ω)N(ω) 2 ) dω(h(ω)n(ω))(h(ω)n(ω)) ) dω(h(ω)h(ω) )(N(ω)N(ω) )) = h E( n n ) h = h R n h = h h, mivel fehérzaj esetén a zaj autokovariancia mátrixa R = I. S/N = h s 2 h h Felső limit (Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij): ā b 2 (ā ā)( b b)

12 Így S/N = h s 2 h h ( h h)( s s) h h = s s A maximumot akkor érjük el, ha h = α s, azaz ha h(t) = v(t 0 t) (a konjugálás az első definícióban időbeli tükrözést jelent!). Illesztett szűrő: megvalósítás pl. digitális szűrővel! Hálózat frekvenciakarakterisztikája: h(t) = v(t 0 t)! Digitális átvitelnél az illesztett szűrő maximalizálja a bit/hiba arányt is:

13 Bemenőjel két Dirac-delta, relatív α amplitúdóarány ismert: milyen az optimális hálózat? Két jel + zaj egyetlen mérésből meghatározandó A Hálózat egyszerű digitális (FIR) szűrő + β paraméter:

14 S N (A + Aαβ)2 = n 2 0 (1 + β)2 = A2 (1 + αβ) 2 n 2 0 1 + β 2 β itt «S N (n + βn T ) 2 = n 2 + 2βnn T + β 2 n 2 T β = α

15 A szélsőérték: β = α az illesztett szűrő a megoldás! 2D-ben is működik az eljárás: 3 frekvencia - pontforrások keresése:

Korreláció vagy illesztett szűrő? 16

17

Gravitációs hullámok: első és másodfajú statisztikai hiba. 18

19

20

21 Wavelet transzformáció Eddig vagy amplitúdó vagy frekvencia leírást követtünk δ(t t 0 ) ill. sin x, cos x bázissal. sin x, cos x: időbeli eltolás operátorára invariánsak - sajátfüggvények. Jelek kifejtése ortogonális bázisfüggvények szerint: - Dirac-delta amplitúdó idő leírás - sin és cos függvények Fourier leírás Példák: - konstans frekvenciájú jel időben végtelen sin vagy cos hullám, de csak egy megadott frekvencián. - rövid, Dirac-delta jellegű impulzus Fourier-transzformáltja sok, nagyjából egyezőamplitúdójú sin és cos hullám: a fázisok pontosan olyanok, hogy az impulzus előtt és után a hullámok kioltják egymást, de a megfelelő időpontban az impulzus megjelenik! Időben növekvő frekvenciájú jel: nem tudjuk egyik térben sem jól leírni (hosszú jelsorozat, széles spektrum).

Lehetséges más felbontás is - tetszőleges teljes bázisvektor-rendszer választható. 22

23 Egy általános bázisvektor-rendszer általában nem TONR rendszer. Hasznos a (kvázi)-ortogonalitás - a teljesség általában feltétel. Kvázi-ortogonalitás: a konvolúció komplikált / nem gyorsabb! Walsh, Haar egyéb függvények - gyorsabb számolás pl. osztályozási problémákhoz, alakfelismeréshez.

24 Pl. Walsh bázis: sin x, cos x előjele, DFT helyett csak összeadás. Időben lokalizált bázist is lehet választani - ezt a DFT esetén is megtehetjük: csíkok a frekvencia-idő síkon

25 Keskeny ablakok Szeles ablakok f t méretű cellák. A mintavételi törvény (legalább 2 minta a legmagasabb frekvenciából) korlátozza a cella minimális méretét (ugyanaz a korlát, mint a kvantummechanikai határozatlansági reláció esetén: a fázistérben FT kapcsolat itt is, ott is). A szokásos idő- és frekvenciatartománybeli ábrázolás speciális felbontás, ahol az adott cella egyik irányban végtelen kiterjedésű. A síkot végtelen lehetséges módon fel lehet bontani a t és f csíkokon kívül! Waveletek: speciális választás lokalizált cellákkal. Frekvenciájuk viszonylag jól meghatározott ÉS időbeli (térbeli) helyzetük is korlátozott. A minimális cellaméret itt is korlátos!

26 Ido t f F r e k v e n c i a (t,f) Fazister Jel Diszkrét wavelet transzformáció (DWT) : - rekurzív szűrés - páros-páratlan tagokra decimálás (FFT algoritmus!) - gyors FFT-vel összemérhető sebesség A cellák területe megegyezik!

Wavelet bazis 27

28 Daubechies wavelet Az FFT/DWT forgatás az amplitúdó idő tér és a frekvencia idő tér között: mátrixművelet! 0 1 0 V 0 ω 0 0 ω 0 1 ω 0 2... ω 0 (N 1) 1 0 V 1 B V 2 C @. A = ω 1 0 ω 1 1 ω 1 2... ω 1 (N 1) B ω 2 0 ω 2 1 ω 2 2... ω 2 (N 1) C B @. A @ V N 1 ω (N 1) 0 ω (N 1) 1 ω (N 1) 2... ω (N 1) (N 1) (itt ω = e 2πi/N ) A DAUB4 wavelet: speciális digitális szűrő D 4 = 2 6 4 c 0 c 1 c 2 c 3 c 3 c 2 c 1 c 0 c 0 c 1 c 2 c 3 c 3 c 2 c 1 c 0..... c 0 c 1 c 2 c 3 c 3 c 2 c 1 c 0 c 2 c 3 c 0 c 1 c 1 c 0 c 3 c 2 3 7 5

29 x (bemenő) adatokból y = D 4 x kimenő transzformált. D 4 két FIR szűrő: - páratlan sorok: c 0,..., c 3 simítást/integrálás - páros sorok: c 3, c 2, c 1, c 0 különbségképzés/deriválás Legyen a páros sorok kimenete 0 a konstans és a lineáris jelekre + legyen a mátrix inverze annak transzponáltja. (digitális szűrő technika: kvadratúra tükör szűrő) 4 egyenlet, megoldás: c 0 = (1 + 3)/4 2 c 1 = (3 + 3)/4 2 c 2 = (3 3)/4 2 c 3 = (1 3)/4 2 A DAUB család többi tagja is hasonlóan generálható: c 0 = (1 + q 10 + 5 + 2 10)/16 2 c 1 = (5 + p 10 + 3 5 + 2 c 2 = (10 2 q 10 + 2 5 + 2 10)/16 2 c 3 = (10 2 p 10 2 5 + c 4 = (5 + q 10 3 5 + 2 10)/16 2 c 5 = (1 + 10 p5 + 2

Asszimetrikus esetek, más paraméter sorrend a mátrixban + más jelekre kirótt 0 feltételek a simításnál: különböző wavelet családok generálhatók. 30

31 Diszkrét Wavelet Transzformáció (DWT) D 4 = 2 6 4 c 0 c 1 c 2 c 3 c 3 c 2 c 1 c 0 c 0 c 1 c 2 c 3 c 3 c 2 c 1 c 0..... c 2 c 3 c 0 c 1 c 1 c 0 c 3 c 2 3 7 5 Wavelet mátrix hierarchikus alkalmazása: 1. lépés: teljes N = 2 n adatsorra: 2. lépés: előző lépés simított adatain s.í.t.

32 2 3 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 y 10 y 11 y 12 y 13 6 y 14 7 4 y 15 5 y 16 mátrix 2 3 s 1 d 1 s 2 d 2 s 3 d 3 s 4 d 4 s 5 d 5 s 6 d 6 s 7 6 d 7 7 4 s 8 5 d 8 sorbarakás 2 3 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 6 d 6 7 4 d 7 5 d 8 mátrix 2 3 S 1 D 1 S 2 D 2 S 3 D 3 S 4 D 4 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 6 d 6 7 4 d 7 5 d 8 sorbarakás 2 3 S 1 S 2 S 3 S 4 D 1 D 2 D 3 D 4 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 6 7 4 d 7 5 d 8 s Végül: két S + a D + D, d wavelet együtthatók DWT: ortogonális mátrixtranszformációk sorozata a DWT inverze az eljárás megfordításából áll! Ez hasonĺıt az FFT CT-re:

33 DWT mátrixszorzások lepkeművelet simított adatok kiválogatása FFT rendezés /bit-reverzálás De más, mint az FFT CT: FFT: minden lépésben 2 n pont DWT: adatok száma lépésenként feleződik DWT fázistér: hierarchikusan felépítés minden lépésben dupla a frekvencia és feleződik a pontok száma (lehetne másképp is, de az nem DAUB). Alacsony frekvenciák értéke pontos DE nem tudjuk, hogy mikor történik? Magas frekvenciák értéke pontatlan DE tudjuk, hogy mikor történik!

Wavelet bazis 34

Wavelet függgvény : inverz DWT segítségével megkapható: 35

36 0.8 0.6 0.4 i=1 i=10 i=50 i=150 0.2 0-0.2-0.4-0.6 0 100 200 300 400 500 i = 150: (128, 255) intervallum, x = (150 128)/(256 128) 512 = 88 i = 50: (32, 63) intervallum, x = (50 32)/(64 32) 512 = 288 A DAUB4 deriváltak nem mindenhol folytonosak, a jobb oldali derivált nem mindenhol létezik! Folytonos eset: a cellák átfedhetnek, a wavelet paraméterek nem függetlenek (pl. osztályozásnál nem okoz gondot).

37

38

39 Wavelet alkalmazások exponenciális lefutású impulzusok zajjal: A fázistérben csak a 512/32 legnagyobb értéket tartottuk meg. Rossz zajtömörítés: javul a jel/zaj viszony! l. W/g1.sh Veszteséges tömörítés: az amplitúdó és a hely is tárolandó! Minimax tulajdonság: a wavelet az összes ortonormált bázis közül a Shannon entrópia szerint a legrövidebb leírása az adatoknak és a bázisfüggvényeknek! N dimenziós DWT az FFT-hez hasonlóan dimenziónként végezhető.

40 N=2: képfeldolgozás, ahol az élek megőrzése fontos: wavelet tömörítés, nagyság szerint válogatott komponensek kevesebb paraméter, DE nemlineáris! JPEG tömörítési algoritmusban meghatározó szerep! DWT első szintje:

A visszaálĺıtott és az eredeti különbsége : 41

42

43

44

45

46

Osztályozás wavelet együtthatókkal: 47

48

Irány szerinti wavelet információ: klasszifikációs eljárás bemenete. Orvosi, stb. alkalmazások. l. W/avi 49

50 Nemlineáris eljárások morfológiai feldolgozás Wavelet amplitúdó vágás: nemlinearitás. Fekete-fehér kép. Dilatáció (ha objektummal érintkezik, akkor objektum) és erózió (ha háttérrel érintkezik, akkor háttér): Zárás (dilatáció, majd erózió) és nyitás (erózió, majd dilatáció):

51

52