Kabos: Ordinális változók Hipotézisvizsgálat-1 Minta: X 1, X 2,..., X N EVM (=egyszerű véletlen minta) X-re Feltesszük, hogy a mintaelemek között nincs két azonos. Rendezett minta: X (1), X (2),..., X (N) a minta nagyság szerint növekedő sorbarendezése: X (1) < X (2) < < X (N) Rangszámok: R 1, R 2,..., R N ha X n a rendezett mintában az R n -ik. Belátható, hogy X n = X ( R n ) és E {R n } = N + 1 2 V ar {R n } = (N + 1) (N 1) 12 Cov {R n1, R n2 } = N + 1 12 minden n = 1..N -re ha n 1 n 2
Kabos: Ordinális változók Hipotézisvizsgálat-2 Hipotézisvizsgálat két független populációra Legyen X 1, X 2,..., X N EVM X-re, és Y 1, Y 2,..., Y M EVM Y -ra. Az egyesített {X 1, X 2,..., X N,..., Y 1, Y 2,..., Y M } mintában az X-ek rangszámai: R 1, R 2,..., R N Wilcoxon rangösszeg statisztika: W X = Mann-Whitney statisztika: U X = W X N n=1 ( N 2 Belátható, hogy ha X és Y eloszlása azonos, akkor R n ) E {W X } = N(N + M + 1) 2 V ar {W X } = NM(N + M + 1) 12
Kabos: Ordinális változók Hipotézisvizsgálat-3 Legyen X 1, X 2,..., X N EVM az X változóra, a minta empírikus eloszlásfüggvénye ˆF N (t) = 1 N # {n : X n < t}. Legyen Y 1, Y 2,..., Y N EVM az Y változóra, a minta empírikus eloszlásfüggvénye ĜN(t) = 1 N # {n : Y n < t}. Feltesszük, hogy X 1,.., X N, Y 1,.., Y N teljesen független megfigyelések. Kolmogorov-Szmirnov statisztika: { ĜN(t)} B N = ˆFN (t) sup <t< Kolmogorov-Szmirnov statisztika: { A N = ˆF } N (t) ĜN(t) sup <t< A Kolmogorov-Szmirnov próba a két eloszlás azonosságát vizsgálja. A t-próba a két eloszlás várhatóértékének egyenlőségét vizsgálja.
Kabos: Ordinális változók Hipotézisvizsgálat-4 Összefüggésvizsgálat Legyen (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ),..., (X N, Y N ) EVM (X, Y )-ra Az adatelemzés szóhasználatában ezt az adatrendszert így nevezik: összetartozó minták és ezzel megkülönböztetik az eddig tárgyalt adatrendszerektől, melyek a független minták. Összetartozó minta például, ha N házaspárt kérdezünk: az n-ik házaspárnál a férj válasza X n és a feleség válasza Y n A következő próbával X és Y függetlenségét tudjuk tesztelni. Wilcoxon előjeles rangpróba kiszámítjuk a Z n = X n Y n értékeket, n = 1..N kiszámítjuk a Z n rangszámait: R n W + = a pozitív előjelű Z n -ekhez tartozó R n -ek összege Wilcoxon kiszámította W + eloszlását arra az esetre, ha X és Y függetlenek.
Kabos: Ordinális változók Hipotézisvizsgálat-5 Összefüggésvizsgálat Legyen (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ),..., (X N, Y N ) EVM (X, Y )-ra R = (R 1, R 2,..., R N ) ahol R n az X n rangja az X-mintában, Q = (Q 1, Q 2,..., Q N ) ahol Q n az Y n rangja az Y -mintában. S = (S 1, S 2,..., S N ) ahol S n = R n Q n n = 1..N Spearman-korreláció: r S = corr(r, Q) Belátható, hogy r S = 1 6 N(N + 1)(N 1) ( ) 2 N + 1 Belátható, hogy E {T } = N és 2 V ar {T } = 1 N 1 Megjegyzés: r S = ( N(N + 1)(N 1) 12 ) 2 1 N 1 T E{T } V ar{t } N n=1 S 2 n
Kabos: Ordinális változók Hipotézisvizsgálat-6 Értelmezzük az azonosan rendezett párok (C = C 1 + C 2 ) és az eltérően rendezett párok (D = D 1 + D 2 ) számát : C 1 = # {(n, m) : X n < X m és Y n < Y m } C 2 = # {(n, m) : X n > X m és Y n > Y m } D 1 = # {(n, m) : X n < X m és Y n > Y m } D 2 = # {(n, m) : X n > X m és Y n < Y m } Kendall-féle τ : τ A = C D T ahol T = N(N 1) Belátható, hogy τ A = C D C + D = 2C N(N 1) 1 feltéve, hogy a mintaelemek között nincs két azonos. Az azonos értékek kezelése: X az A 1,..., A I különböző értékeket veszi fel, a 1,..., a I multiplicitással Y a B 1,..., B J különböző értékeket veszi fel, b 1,..., b J multiplicitással Legyen α = I a i (a i 1) és β = i=1 J b j (b j 1) j=1 τ B = C D (T α) (T β)
Ordinális változók elemzése ISSPSocIneq változók: v4 v10 v11 v12 v34 urbrural educyrs v4 Importance: coming from a wealthy famil Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid Essential 36 3.1 3.3 3.3 Very important 171 14.9 15.7 19.0 Fairly important 453 39.4 41.5 60.4 Not very important 432 37.6 39.6 100.0 Total 1092 95.0 100.0 Missing Cant choose 22 1.9 No answer 36 3.1 Total 58 5.0 Total 1150 100.0 v10 People study to earn a lot of money Valid Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Strongly agree 220 19.1 19.6 19.6 Agree 576 50.1 51.4 71.1 Neither agree nor disagree 182 15.8 16.3 87.3 Disagree 142 12.3 12.7 100.0 Total 1120 97.4 100.0 Missing Cant choose 19 1.7 No answer 11 1.0 Total 30 2.6 Total 1150 100.0 v11 Differences in income are necessary Valid Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Strongly agree 32 2.8 2.9 2.9 Agree 194 16.9 17.8 20.8 Neither agree nor disagree 329 28.6 30.2 51.0 Disagree 534 46.4 49.0 100.0 Total 1089 94.7 100.0 Missing Cant choose 47 4.1 No answer 14 1.2 Total 61 5.3 Total 1150 100.0
v12 Inequa. exists because of lack of union Valid Cumulative Frequency Percent Valid Percent Percent Strongly agree 75 6.5 7.2 7.2 Agree 327 28.4 31.4 38.6 Neither agree nor disagree 386 33.6 37.1 75.7 Disagree 253 22.0 24.3 100.0 Total 1041 90.5 100.0 Missing Cant choose 95 8.3 No answer 14 1.2 Total 109 9.5 Total 1150 100.0 v34 Differences in income are too large Valid Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Strongly agree 331 28.8 29.2 29.2 Agree 474 41.2 41.9 71.1 Neither agree nor disagree 205 17.8 18.1 89.2 Disagree 122 10.6 10.8 100.0 Total 1132 98.4 100.0 Missing Cant choose 14 1.2 No answer 4.3 Total 18 1.6 Total 1150 100.0 urb Urban-Rural Valid Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent urban 373 32.4 32.4 32.4 else 777 67.6 67.6 100.0 Total 1150 100.0 100.0
Valid Missing educyrs Educ Years (numerical) Cumulative Frequency Percent Valid Percent Percent 1 year 3.3.3.3 2 9.8.8 1.1 3 11 1.0 1.0 2.2 4 12 1.0 1.1 3.3 5 5.4.5 3.8 6 24 2.1 2.3 6.0 7 65 5.7 6.1 12.2 8 55 4.8 5.2 17.4 9 78 6.8 7.4 24.7 10 75 6.5 7.1 31.8 11 140 12.2 13.2 45.0 12 186 16.2 17.6 62.6 13 97 8.4 9.2 71.8 14 76 6.6 7.2 78.9 15 80 7.0 7.6 86.5 16 56 4.9 5.3 91.8 17 40 3.5 3.8 95.6 18 22 1.9 2.1 97.6 19 10.9.9 98.6 20 4.3.4 99.0 21 3.3.3 99.2 22 5.4.5 99.7 23 3.3.3 100.0 Total 1059 92.1 100.0 No form school 17 1.5 NA 74 6.4 Total 91 7.9 Total 1150 100.0 coeducyrs Educ Years (cat-ordinal) Valid Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent primary 184 16.0 16.0 16.0 secondary 479 41.7 41.7 57.7 high 309 26.9 26.9 84.5 univ 178 15.5 15.5 100.0 Total 1150 100.0 100.0
Kétmintás összehasonlítás szám-értékű változóra: t-próba T-TEST GROUPS=urb(1 2) /VARIABLES= v4 v10 v11 v12 v34. Independent Samples Test v4 v10 v11 v12 v34 Equal variances Equal variances not Equal variances Equal variances not Equal variances Equal variances not Equal variances Equal variances not Equal variances Equal variances not t df t-test for Equality of Means Sig. (2- tailed) Mean Difference 95% Confidence Interval of the Difference Std. Error Difference Lower Upper 2.127 1090.034.111.052.009.213 2.163 746.609.031.111.051.010.211 2.727 1118.007.157.057.044.269 2.710 711.264.007.157.058.043.270-1.310 1087.191 -.072.055 -.180.036-1.326 726.341.185 -.072.054 -.178.035 3.435 1039.001.201.059.086.316 3.452 698.257.001.201.058.087.315 4.716 1130.000.280.059.164.397 4.641 696.081.000.280.060.162.399
Kétmintás összehasonlítás ordinális változóra: Mann-Whitney-Wilcoxon próba NPAR TESTS /M-W= v4 v10 v11 v12 v34 BY urb(1 2). Ranks v4 v10 v11 v12 v34 urb N Mean Rank Sum of Ranks urban 360 573.55 206476.50 else 732 533.20 390301.50 Total 1092 urban 366 597.24 218590.00 else 754 542.67 409170.00 Total 1120 urban 356 523.47 186355.00 else 733 555.46 407150.00 Total 1089 urban 346 564.28 195241.50 else 695 499.45 347119.50 Total 1041 urban 368 629.40 231619.00 else 764 536.20 409659.00 Total 1132 Test Statistics a v4 v10 v11 v12 v34 Mann-Whitney U 122023.500 124535.000 122809.000 105259.500 117429.000 Wilcoxon W 390301.500 409170.000 186355.000 347119.500 409659.000 Z -2.140-2.872-1.709-3.448-4.750 Asymp. Sig. (2-tailed).032.004.087.001.000 a. Grouping Variable: urb
Teszt két eloszlás egyenlőségére: Kolmogorov-Szmirnov próba NPAR TESTS /K-S= v4 v10 v11 v12 v34 BY urb(1 2). Most Extreme Differences a. Grouping Variable: urb Test Statistics a v4 v10 v11 v12 v34 Absolute.067.078.065.098.124 Positive.067.078.014.098.124 Negative -.001.000 -.065.000.000 Kolmogorov-Smirnov Z 1.046 1.218 1.006 1.488 1.948 Asymp. Signif. (2-tailed).224.103.264.024.001
Wilcoxon előjeles rangpróba NPAR TEST /WILCOXON=v4 v10 v11 v12 v34 WITH coeducyrs. coeducyrs - v4 coeducyrs - v10 coeducyrs - v11 coeducyrs - v12 coeducyrs - v34 a. coeducyrs < v4 b. coeducyrs > v4 c. coeducyrs = v4 d. coeducyrs < v10 e. coeducyrs > v10 f. coeducyrs = v10 g. coeducyrs < v11 h. coeducyrs > v11 i. coeducyrs = v11 j. coeducyrs < v12 k. coeducyrs > v12 l. coeducyrs = v12 m. coeducyrs < v34 n. coeducyrs > v34 o. coeducyrs = v34 Ranks N Mean Rank Sum of Ranks Negative Ranks 669 a 429.47 287315.00 Positive Ranks 159 b 351.52 55891.00 Ties 264 c Total 1092 Negative Ranks 318 d 345.57 109891.00 Positive Ranks 430 e 395.90 170235.00 Ties 372 f Total 1120 Negative Ranks 673 g 448.44 301798.00 Positive Ranks 175 h 332.45 58178.00 Ties 241 i Total 1089 Negative Ranks 498 j 351.43 175012.00 Positive Ranks 211 k 363.43 76683.00 Ties 332 l Total 1041 Negative Ranks 279 m 337.78 94241.50 Positive Ranks 476 n 401.57 191148.50 Ties 377 o Total 1132
Wilcoxon előjeles rangpróba Test Statistics c coeducyrs - v4 coeducyrs - v10 coeducyrs - v11 coeducyrs - v12 coeducyrs - v34 Z -17,330 a -5,350 b -17,471 a -9,388 a -8,435 b Asymp..000.000.000.000 a. Based on positive ranks. b. Based on negative ranks. c. Wilcoxon Signed Ranks Test
Összefüggésvizsgálat szám-értékű változókra: Pearson-korreláció CORRELATIONS /VARIABLES= v4 v10 v11 v12 v34 coeducyrs WITH educyrs /PRINT=TWOTAIL NOSIG /MISSING=PAIRWISE. s v4 educyrs Pearson,083 ** Sig. (2-tailed).008 N 1016 v10 Pearson,226 ** N 1038 v11 Pearson -,071 * Sig. (2-tailed).024 N 1008 v12 Pearson,221 ** N 968 v34 Pearson,232 ** N 1045 coeducyrs Pearson,926 ** N 1059 **. is significant at the 0.01 level (2-tailed). *. is significant at the 0.05 level (2-tailed).
Összefüggésvizsgálat ordinális változókra NONPAR CORR /VARIABLES= v4 v10 v11 v12 v34 WITH coeducyrs /PRINT=BOTH TWOTAIL NOSIG /MISSING=PAIRWISE. s coeducyrs Kendall's v4 tau_b.035 Sig. (2-tailed).182 N 1092 v10,144 ** N 1120 v11 -,083 ** Sig. (2-tailed).002 N 1089 v12,137 ** N 1041 v34,148 ** N 1132 Spearman's v4 rho.040 Sig. (2-tailed).187 N 1092 v10,166 ** N 1120 v11 -,094 ** Sig. (2-tailed).002 N 1089 v12,157 ** N 1041 v34,172 ** N 1132 **. is significant at the 0.01 level (2-tailed).
Kategoriális főkomponens elemzés CATPCA VARIABLES=v4 v10 v11 v12 v34 /ANALYSIS=v4(LEVEL=ORDI) v10(level=ordi) v11(level=ordi) v12(level=ordi) v34(level=ordi) /DIMENSION=2 /NORMALIZATION=VPRINCIPAL /PRINT=QUANT LOADING /PLOT=LOADING. Quantifications Table v4 Importance: coming from a wealthy famil a Centroid Coordinates Vector Coordinates Category Frequency Quantification 1 2 1 2 Essential 36-4.168 1.760-2.507 1.580-2.615 Very important 171 -.969.316 -.638.367 -.608 Fairly important 453 -.142 -.002 -.123.054 -.089 Not very important 432.896 -.301.586 -.340.562 Missing 50 Variable Principal Normalization. a. Optimal Scaling Level: Ordinal. v10 People study to earn a lot of money a Centroid Coordinates Vector Coordinates Category Frequency Quantification 1 2 1 2 Strongly agree 220-1.809.408-1.337.360-1.350 Agree 576.168 -.090.110 -.033.125 Neither agree nor disagree 182.411 -.053.314 -.082.307 Disagree 142 1.625 -.226 1.239 -.323 1.213 Missing 22 Variable Principal Normalization. a. Optimal Scaling Level: Ordinal.
v11 Differences in income are necessary a Centroid Coordinates Vector Coordinates Category Frequency Quantification 1 2 1 2 Strongly agree 32-2.469-1.447-1.589-1.690-1.265 Agree 194-1.604-1.129 -.779-1.097 -.822 Neither agree nor disagree 329 -.257 -.192 -.110 -.176 -.132 Disagree 534.893.628.436.611.458 Missing 53 Variable Principal Normalization. a. Optimal Scaling Level: Ordinal. v12 Inequa. exists because of lack of union a Centroid Coordinates Vector Coordinates Category Frequency Quantification 1 2 1 2 Strongly agree 75-2.692 1.727 -.825 1.813 -.532 Agree 327 -.749.542 -.022.505 -.148 Neither agree nor disagree 386.401 -.253.137 -.270.079 Disagree 253 1.181 -.832.109 -.795.233 Missing 101 Variable Principal Normalization. a. Optimal Scaling Level: Ordinal. v34 Differences in income are too large a Centroid Coordinates Vector Coordinates Category Frequency Quantification 1 2 1 2 Strongly agree 331-1.062.926.072.892.213 Agree 474 -.259.192.161.218.052 Neither agree nor disagree 205 1.027 -.871 -.171 -.862 -.206 Disagree 122 2.066-1.695 -.587-1.736 -.414 Missing 10 Variable Principal Normalization. a. Optimal Scaling Level: Ordinal.
Component Loadings Component Loadings v4 Importance: coming from a wealthy famil v10 People study to earn a lot of money 1 2 -.379.627 -.199.746 v11 Differences in income are necessary v12 Inequa. exists because of lack of union.684.512 -.673.198 v34 Differences in income are too large -.840 -.200 Variable Principal Normalization.