FELADAT KÜLÖNFÉLE MODELLJEINEK KOMPARATÍV ELEMZÉSE

Alalmazott Matematiai Lapo 34 (2017), 73 95 EGY NEMLINEÁRIS VEGYES-EGÉSZÉRTÉKŰ OPTIMALIZÁLÁSI FELADAT KÜLÖNFÉLE MODELLJEINEK KOMPARATÍV ELEMZÉSE DOBJÁNNÉ ANTAL ELVIRA ÉS VINKÓ TAMÁS Egy optimalizálási feladat megoldásána sebességét soféle tényező befolyásolhatja, többe özött az adott feladat mérete (beleértve a változó és a orláto számát is), típusa (lineáris, egészértéű stb.), a megoldó algoritmus, valamint a reprezentáció módja (beleértve az alalmazott adatstrutúráat és a matematiai modellt is). Jelen tanulmányt egy hálózati folyam probléma matematiai modelljéne felírása apcsán felmerülő érdése ihletté. A ciben azt vizsgálju, hogy egy onrét, nagyméretű lineáris és nemlineáris vegyes-egészértéű programoat is magában foglaló optimalizálási feladat megoldásána sebességét mennyiben befolyásolja ülönféle modellezési techniá alalmazása. Egy elosztott tartalommegosztó hálózat max-min méltányos erőforrás-elosztásána iszámítását célzó modell tizenét változatát hasonlítju össze egy iterjedt numerius tesztelés során, ét professzionális megoldó és huszonhét nagyméretű tesztfeladat felhasználásával. Reményein szerint a özölt eredménye túlmutatna a onrét problémán, és árnyaltabb épet adna más hasonló feladato megértéséhez is. 1. Bevezetés Élőép interneten történő özvetítésére számos megoldás létezi. Amennyiben a sálázhatóság érdése fölmerül, gyaran az elosztott módon műödő módszere adna minőségi választ. Egy ilyen lehetséges módszer a BitTorrent protoollon alapszi [4]. A BitTorrent eredetileg egy tartalommegosztó rendszer, amely elsősorban nagyméretű fájlo hatéony hozzáférését segíti elő [5, 8]. Kiderült azonban, hogy a protooll részleteine megfelelő módosításával lehetőségün van élő özvetítésre (live streaming), illetve video-on-demand szolgáltatáso támogatására is [7, 6, 15, 13, 12]. Míg a hagyományos tartalomletöltésnél a felhasználó igénye elsősorban a letöltés sebességére vonatozi (minél gyorsabb, annál jobb), addig a letöltés özbeni megteintés vagy meghallgatás jellegű szolgáltatásonál minden felhasználóra a számára elérhető lehető legjobb minimális letöltési sebességet ell garantálnun.

74 DOBJÁNNÉ ANTAL ELVIRA ÉS VINKÓ TAMÁS Jelen ciben ez utóbbi feladatra fóuszálun. A feladat, bizonyos feltétele iötése mellett, megfogalmazható egy speciális szerezetű gráfon értelmezett nemlineáris vegyes-egészértéű optimalizálási feladatént. Enne részletes leírását az [1] ciben találhatju meg. Mivel a vizsgált feladat megoldására javasolt iterációs módszer számos részletet és modellezési meggondolást tartalmaz, ezért természetesen adódi a érdés: vajon milyen tényező befolyásoljá a megoldás sebességét? Jelen ciben összegyűjtöttü a lehetséges opcióat, amelyeet részletes numerius vizsgálatona vetettün alá. Bár a feladat specifius, meggyőződésün, hogy az elvégzett numerius teszte által apott eredménye általánosabb érvényű empirius épet adna a hasonló típusú problémá számítógépes megoldási lehetőségeire. A övetezőben először megadju a legfontosabb fogalmaat, valamint a használt hálózati modellt (2. szaasz). Ezután röviden ismertetjü az [1] ciben javasolt iterációs módszert, továbbá a lehetséges algoritmus változato egy bőséges listáját (3. szaasz). A felhasznált tesztesete leírását (4. szaasz) a numerius eredménye diszussziója öveti (5. szaasz). 2. Max-min méltányos erőforrás-elosztás problémája Ebben a fejezetben bevezetjü a legszüségesebb definícióat, amelye egyrészt megadjá a vizsgált feladat felhasználási területét, másrészt leírjá a vizsgált optimalizálási algoritmus bemeneteént szolgáló folyam hálózatot. Mint azt a bevezetőben említettü, a vizsgált feladat egy elosztott tartalommegosztó rendszerben előforduló erőforrás-elosztás problémaöréhez tartozi. Ez a rendszer a BitTorrent. Jelen ci szempontjából nézve a rendszerne három fő omponense van: letöltő (leecher e), megosztó (seeder e) és a megosztott fájlo (ezeet gyaran torrentene is nevezzü, amely valójában a megosztott tartalom techniailag fontos jellemzőit leíró meta fájl, de az elnevezés nem lesz félreérthető). A BitTorrent a fájloat darabora osztja. Egy adott fájlra nézve a megosztó halmaza azon felhasználóat tartalmazza, ai rendelezne a fájl összes darabjával. Fontos szempont, hogy a letöltő is tudna egymás özött daraboat cserélni, így a letöltés özben egyben feltöltőént is szolgáljá a rendszer műödését. Pontosan ez az az ötlet, amitől a BitTorrent rendívüli módon jól sálázható [5]. A továbbiaban BitTorrent özösség alatt felhasználó (leechere és seedere), valamint fájlo egy rögzített halmazát értjü. Capotă és szerzőtársai [3] nyomán egy BitTorrent özösség atuális állapotát vagyis, hogy egy adott időpillanatban i ine tölthet fel, milyen adatátviteli orláto érvényese, stb. egy speciális hármas gráf reprezentációval írhatju le. Ezt az irányított, súlyozott hármas gráfot G = ({U, L, D}, E, f, c) jelöli. A özösség alapvető elemei a felhasználó halmaza (I) és a torrente halmaza (T ). Minden i I felhasználó rendelezi µ i feltöltési apacitással és δ i letöltési apacitással, továbbá

EGY NEMLINEÁRIS VEGYES-EGÉSZÉRTÉKŰ OPTIMALIZÁLÁSI FELADAT KÜLÖNFÉLE MODELLJEINEK KOMPARATÍV ELEMZÉSE 75 U = { u i i I} : a feltöltő csúcso halmaza, ahol u i az i felhasználó feltöltési (seeding vagy leeching) potenciálját reprezentálja; D = { d i i I} : a letöltő csúcso halmaza, ahol d i (leeching) potenciálját reprezentálja; az i felhasználó letöltési L = { li t i I, t T } : a leeching csúcso halmaza, ahol az lt i (ún. leeching session) létezése azt jelöli, hogy az i felhasználó éppen leech-eli, letölti a t torrentet; E : az éle halmaza; E = E U E D, ahol E U = i,j,t (u i, lj t ) a feltöltő éle halmaza, és E D = j,t (lt j, d j) a letöltő éle halmaza; c : U L D N : a apacitás függvény, amely a résztvevő sávszélesség-orlátait reprezentálja: c(u i ) = µ i, c(d i ) = δ i, c(l t i) = ; f : E R + : a folyam függvény, a iosztott sávszélességet reprezentálja azoon az éleen, amelye ielégíti a folyammegmaradási tulajdonságot: f(u i, lj) t = f(lj, t d j ) lj t L, u i U valamint a apacitás orláto at: f(u i, lj) t µ i u i U, l j t : (ui,lt j ) E U l t j : (lt j,dj) E D f(l t j, d j ) δ j d j D. Célun minden (l t j, d j) E D élre a max-min méltányos erőforrás-elosztás meghatározása, vagyis minden egyes letöltő élre a lehető legnagyobb folyam iszámítása, figyelembe véve, hogy egy letöltő élen sem növelhető a folyam értée olyan áron, hogy egy tőle isebb folyammal rendelező letöltő élen csöentjü azt. Ez tulajdonéppen a Pareto-optimális erőforrás-elosztás egy roon feladata [14]. A formális definíció megtalálható pl. [3] és [14] cieben. 3. A probléma megoldása; modellátírási lehetősége A max-min méltányos erőforrás-elosztás iszámítását célzó algoritmus iindulási alaját a 3.1. algoritmus tartalmazza. A orábbi ciünben [1] bemutatott megoldás tulajdonéppen Radunović és Le Boudec általános max-min programozási algoritmusána [14] a feladatra adaptált változata. A letöltési éle max-min

76 DOBJÁNNÉ ANTAL ELVIRA ÉS VINKÓ TAMÁS méltányos folyamait iteratív módon számítju: minden iterációban a legisebb, még nem rögzített folyammal rendelező letöltő élere állapítju meg a minden orlátot ielégítő legnagyobb folyam értéét. A halmazoat nagy betűel, az optimalizálási feladato döntési változóit is betűel, míg a paramétereet (a rögzített értéel bíró változóal egyetemben) görög betűel jelöljü. 3.1. Algoritmus. mmaxmin 1. Alsó orlát számítása a folyam értéere. MM 0 megoldása: max f, f.h. f(l t j, d j) f (l t j, d j) E D. A minimális folyam érté eltárolása. Legyen ϕ := f. 2. Maximális átvitel számítása. Az MM MaxFlow -val jelölt LP-feladat megoldása: max f(lj t, d j), (l t j,d j ) E D f.h. f(l t j, d j) ϕ (l t j, d j) E D. Optimum eltárolása. Legyen σ := (l t j,d j ) E D f(l t j, d j). 3. Inicializálás. Legyen F :=, := 1, E 1 := E D, (l t j, d j) E D : l t j := 0, ϕ 0 = 0. -gyel jelölt LP- 4. LP-megoldás (max-min folyam érté iszámítása). Az mmm (1) feladat megoldása: max f, (1) f.h. f(lj t, d j) + l t j (1 ϵ) σ (l t j,d j ) E (l t j,d j ) (E D \E ) f(l t j, d j) f (l t j, d j) E. Optimum eltárolása. Legyen ϕ := f. 5. Előmegoldás (max-min folyammal rendelező éle iválasztása). E f := (lt j, d c(d j ) (l j) E t j,d j ) (E D \E ) lt j deg (d = ϕ j), x t j := 0, (lt j, d j) E f. A deg (d j) a d j azon bemenő éleine száma, amelye E elemei. Ha E f = 0, ugrás a 7. lépésre. 6. MINLP-megoldás (max-min folyammal rendelező éle iválasztása). Az mmm (2) -vel jelölt vegyes-egészértéű bilineáris programozási feladat megoldása: max x t j, (l t j,d j ) E f.h. f(lj t, d j) x t j + ϕ (1 x t j ) + l t j = (1 ϵ) σ, (2) (l t j,d j ) E (l t j,d j ) E (l t j,d j ) (E D \E ) ahol x t j {0, 1}. f(l t j, d j) ϕ (l t j, d j) E, f(l t j, d j) > ϕ x t j (l t j, d j) E,

EGY NEMLINEÁRIS VEGYES-EGÉSZÉRTÉKŰ OPTIMALIZÁLÁSI FELADAT KÜLÖNFÉLE MODELLJEINEK KOMPARATÍV ELEMZÉSE 77 7. Fixálás (iválasztott éleen folyam rögzítése). A ϕ -ra vonatozó atív orláto ieresése, és a apcsolódó letöltő éleen a folyam értée rögzítése: Φ := { (l t j, d j) E x t j = 0}, l t j := ϕ, (l t j, d j) E ahol x t j = 0, F := F Φ, E +1 := E \ Φ. 8. Megállási feltétel. Ha F = E D, megállun. Különben := + 1 és ugrás a 4. lépésre. Az algoritmus 1. lépésében egy jó alsó orlátot számítun a folyam értéere, ezt a 4. lépésben használju majd fel. A 2. lépésben meghatározzu a hálózat maximális átviteléne mértéét abban az esetben, amior minden letöltő élre az f(lj t, d j) ϕ. Korábbi ciünben megmutattu, hogy ez a σ-val jelölt szint az algoritmus minden iterációjában biztosítható. A övetező lépésben inicializálun: az F halmaz ezdetben üres, ez tartalmazza majd a rögzített folyam értée azonosítóit; a cilusváltozó; E a. iterációban rögzítetlen folyammal rendelező éle halmaza; az utolsó iteráció után pedig l t j tartalmazza minden (lt j, d j) E D letöltő élre az optimális folyam értéét. A 4. lépésben iszámítju a rögzítetlen folyamo max-min értéét, továbbá egy jó ezdő (fízibilis) megoldást a 6. lépés speciális MINLP-jéhez. Az 5. lépés egyfajta előmegoldás, szerepét a 3.5. alszaaszban részletesebben bemutatju. Ez a lépés el is hagyható. A 6. lépésben állítju elő azt a max-min méltányos elosztást, ami egyúttal a σ átvitelt is garantálja (ϵ toleranciával, amit a lehetséges numerius hibá miatt engedün meg). Enne a MINLP-ne a célja, hogy a 4. lépésben meghatározott max-min értéet a lehető legevesebb élre rögzítsü egy-egy iteráció 7. lépésében. Végül, 4-től ismételjü a lépéseet, amíg minden élre meg nem határoztu a max-min méltányos alloációt. A 3.1. algoritmusna természetesen soféle variációja épzelhető el, a megvalósítás során érdemes lehet ülönféle modellezési trüöet alalmazni. Korábbi ciün munálatai özben mi magun is többféle változtatást eszözöltün a hatéonyság növelése érdeében, azonban az egyes változtatáso hasznosságána igazolására aor nem erülhetett sor. A övetezőben számbavesszü az általun javasolt módosításoat, az 5. szaaszban pedig elemezzü az ezen módosításo ombinációiból előálló modell-változato hatéonyságát a futási idő és az elért optimum érté teintetében. 3.1. Egy redundáns orlát hozzáadása A 3.1. algoritmus 4. lépésében szereplő mmm (1) jelzésű LP feladathoz hozzáadhatju a övetező orlátot: f ϕ. (3) Antal és Vinó [1] 3. lemmája alapján a (3) orlát redundáns, és csa az első iterációban atív, mivel az (1) jelzésű célfüggvény és a 7. fixáló lépés együttesen iényszeríti, hogy f > f 1 minden iterációra. Ugyanaor benyomásun

78 DOBJÁNNÉ ANTAL ELVIRA ÉS VINKÓ TAMÁS szerint az LP-megoldóna jelentős segítség, ha ez a fix alsó orlát is szerepel a feladatban. 3.2. Bilineáris vegyes-egészértéű feladat McCormic-átírása A 3.1. algoritmus 6. lépésében szereplő mmm (2) jelzésű bilineáris programozási feladat helyettesíthető a McCormic-átírásával [11]. Ez az átírás egy evivalens vegyes-egészértéű lineáris programozási (MILP) feladatot eredményez, amelyben a bilineáris ifejezése helyére új, folytonos változóat vezetün be: p t j := f(l t j, d j ) x t j, ahol (lj t, d j) E : p t j R+, továbbá x t j {0, 1}. Az mmm(2) feladat McCormicátírása tehát a övetező: max x t j, f.h. (l t j,dj) E p t j + ϕ (l t j,dj) E (l t j,dj) E (1 x t j) + (l t j,dj) (E D\E ) f(l t j, d j ) ϕ (l t j, d j ) E, f(l t j, d j ) > ϕ x t j (l t j, d j ) E, l t j (1 ϵ) σ, (4) min ( δ j x t j, f(l t j, d j ) ) p t j (l t j, d j ) E, (5) max ( 0, f(l t j, d j ) δ j (1 x t j) ) p t j (l t j, d j ) E, (6) vagyis az eredeti (2) jelzésű orlátot lecseréljü (4)-re, és iegészítjü a feladatot az (5) és (6) orlátoal. Habár a probléma dimenziója nő az átírás folytán, egy egzat orlátozás és szétválasztás típusú megoldó alalmazható az előálló MILP globális optimumána megtalálására [2]. A övetezőben az algoritmus 6. lépésében szereplő MINLP-, ill. MILP-feladatora gyűjtőnéven MIP-ént fogun hivatozni. 3.3. Kezdőértéadás a bináris változóra Az mmm (1) optimális megoldása leépezhető mmm (2) egy fízibilis megoldására. Legyen f (2) (lt j, d j ) := f (1) (lt j, d j ), és x t 1 ha f (1) j := (lt j, d j) > ϕ és (lj t, d j) E, 0 ha f (1) (lt j, d j) = ϕ és (lj t, d j) E.

EGY NEMLINEÁRIS VEGYES-EGÉSZÉRTÉKŰ OPTIMALIZÁLÁSI FELADAT KÜLÖNFÉLE MODELLJEINEK KOMPARATÍV ELEMZÉSE 79 Itt f (y) (lt j, d j) a apcsolódó f(lj t, d j) folyam értéeet jelöli az mmm (y) egy fízibilis megoldásában. Az mmm (2) feladat megoldása során segítséget jelenthet a bináris változóra vonatozó ezdőértée explicit megadása. 3.4. Kezdőértéadás a McCormic-átírás mesterséges változóira Az mmm (2) McCormic-átírásána ezdőértée csaugyan előállítható mmm (2) ezdőértééből. Ehhez mmm (2) ezdőértéét bővítsü a p változóra vonatozó értéeel: p t f (1) j := (lt j, d j) ha x t j = 1 és (lt j, d j) E, 0 ha x t j = 0 és (lt j, d j) E. 3.5. Előmegoldás, avagy folyamo rögzítése a folyammegmaradásra hivatozva A 3.1. algoritmus 5. lépése egy, az AMPL-előmegoldójában is megvalósított standard LP-előmegoldó technia [9, 10]. Az E f := { (l t j, d j ) E c(d j ) (l t j,dj) (E D\E ) lt j deg (d j) = ϕ } halmaz azoat a letöltő éleet tartalmazza, amelyere a apcsolódó f(lj t, d j) folyam értée egyértelműen iszámíthatóa a hálózat folyammegmaradási tulajdonsága alapján. A fenti ifejezésben deg (d j) a d j csúcs azon bemenő éleine számát jelöli, amelyeen a. iterációban még nincs rögzített folyam. Pontosabban, E f minden elemére rögzíthető a ϕ folyamérté az algoritmus. iterációjána 7. lépésében, méghozzá a 6. lépésben szereplő MIP megoldásától függetlenül. Enne megfelelően az előmegoldást tartalmazó modelleben imarad a MIP megoldása, amennyiben E f valamely. iterációban. Ha lenne olyan letöltő él, amelyre ϕ értéű folyamot ellene rögzíteni, de az előmegoldó ezt nem tudja megállapítani, úgy a övetező iterációban ϕ +1 értée meg fog egyezni ϕ -val és a MIP megoldásra erül. Legrosszabb esetben az iteráció számána duplázásával is járhat ez a megoldás, azonban az általun tesztelt eseteben az iteráció jelentős részében minden szüséges fixálás megtörtént az előmegoldási fázisban, és csa az esete töredéében volt szüség a MIP megoldására. 3.6. Modellváltozato A fent bemutatott módosítási javaslato ombinációiból összesen tizenettő modellváltozatot észítettün, hogy a módosításo hasznosságát ülön-ülön, ill.

80 DOBJÁNNÉ ANTAL ELVIRA ÉS VINKÓ TAMÁS 1. táblázat. A vizsgált modelle átteintése Modell 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 ref 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 együttesen elemezni tudju (eredménye az 5. szaaszban). Az 1. táblázat összefoglalja, hogy melyi modell melyi orábbi alszaasz(o)ban bemutatott módosítást tartalmazza. Referenciaént (ref) a orábban publiált matematiai modell [1] szolgált, amely minden módosítást tartalmazott, a többi modellt számoal jelöltü. 4. Tesztesete Ahhoz, hogy a ülönböző algoritmusvariánsoal numerius hatéonysági vizsgálatoat észíthessün, számos mesterségesen generált hálózatot észítettün. Ebben a szaaszban ezen teszthálózato előállításána módszereit özöljü. Alapvetően három, lényegileg ülönböző típusú hálózatot gyártottun, amelye a övetező: Túlereslet: Ebben az esetben a özösségben elérhető fájlo egy részét soal többen aarjá letölteni, mint amennyien a teljes tartalommal rendelezne. A BitTorrent fogalmai szerint tehát ilyenor nagyon so letöltő és ehhez épes nagyon evés megosztó van jelen. A hálózatoat úgy gyártottu, hogy a fájlo véletlenszerűen választott 10%-ában legyen túlereslet. Konrétan a felhasználó fele letöltőént van jelen a iválasztott tíz százaléban. Megjegyezzü, hogy eze a felhasználó emellett letöltőént vagy feltöltőént részt vehetne más fájloban is. Az ilyen állapot általában aor fordul elő valós BitTorrent özösségeben, amior megjelenne rendívül népszerű tartalma, amire hirtelen nagyon soan íváncsia.

EGY NEMLINEÁRIS VEGYES-EGÉSZÉRTÉKŰ OPTIMALIZÁLÁSI FELADAT KÜLÖNFÉLE MODELLJEINEK KOMPARATÍV ELEMZÉSE 81 Egyenletes: Itt minden fájlra teljesül egyfajta egyensúly, nagyjából ugyanannyi a letöltő, mint a megosztó. Túlínálat: Itt pedig a özösségben elérhető fájloat soal többen ínáljá letöltésre, mint amennyien azt ténylegesen le is tölti éppen. Tehát több megosztó van, mint letöltő. Érdees módon valós BitTorrent özösségeben ez az állapot az, amely a legtöbbször előfordul. Enne részben az a magyarázata, hogy az ilyen özösségeben a rögzített szabályo egyie általában előír bizonyos időtartamig történő rendelezésre állást (seedelést), vagy pedig azt, hogy a letöltött mennyiség valamely részét fel ell tölteni a rendszerbe. Ez utóbbi hosszas időt vehet igénybe abban az esetben, ha a fájlra már csa cseély az érdelődés. Típusonént 9 teszthálózatot gyártottun, amelyeben a felhasználó száma 100, 300 és 500 volt, míg a torrente száma rendre 50, 100 és 200. Ami a sávszélességeet illeti (amely a folyam hálózatban az éle apacitását jelenti), mindegyi hálózatban véletlenszerűen választottun értéeet, egyenletes eloszlással, mégpedig a feltöltő élere a [128, 2048] intervallumból, míg a letöltő élere az [512, 4096] intervallumból. A gráfo méretét a 2. táblázatban foglaltu össze. Vegyü észre, hogy minden gráfban a ponto száma jelentősen több, mint a felhasználó és torrente száma. Enne a magyarázata, hogy bemenetént nem páros gráfot ell megadnun, hanem a 2. fejezetben említett hármas gráfot, amelyben elsősorban a öztes (L halmazba tartozó) csúcso száma lesz magas. 2. táblázat. A teszteléshez használt gráfo csúcsaina száma (n) és éleine száma (m) A valós BitTorrent özösségeből származtatható gráfo az itt vizsgáltanál jóval nagyobb méretűe, ugyanaor nem feltétlenül reprezentálna olyan eseteet, amelyeet itt vizsgáltun. A isebb méret továbbá lehetővé teszi, hogy ivárható időn belül legyen megoldásun.

82 DOBJÁNNÉ ANTAL ELVIRA ÉS VINKÓ TAMÁS 5. Eredménye 5.1. Tesztörnyezet leírása A hálózat összetételéne, valamint a megoldás során alalmazott matematiai modellne a megoldó (solver) program hatéonyságára gyaorolt hatását szerettü volna megállapítani, ezért iterjedt numerius tesztelést végeztün. A 3. szaaszban bemutatott tizenettő modellváltozat, a 4. szaasz huszonhét tesztesete és ettő professzionális megoldó minden lehetséges ombinációjára három futtatást végeztün. Az algoritmus-variánso AMPL-nyelven volta ódolva. A Gurobi- és a MOSEKsolvert vettü górcső alá, mivel ez a ét általános nemlineáris megoldó állt rendelezésünre, amelye a szóban forgó modelle optimalizálási feladatait ivárható időn belül meg tudtá oldani. Mindét megoldót az alapértelmezett paramétereel műödtettü. A teszte egy 24 magos Intel Xeon 2, 27 GHz-es számítógépen futotta, ahol 24 GB memória állt rendelezésre. 5.2. Gurobi A 3 5. táblázato a Gurobi-megoldóval elért átlagos futási időet mutatjá a ülönböző feladatosztályora. Megjegyezzü, hogy bizonyos modell teszteset megoldó ombinációra, valószínűleg a feladat bonyolultságából adódó nagy tárigény miatt, mindhárom futtatásor szegmentálási hibával állt le az AMPL. Ezeet az eseteet n.a. jelöli a táblázatoban. A megértés segítésére minden további táblázatra vetítettün egy, az adatoból észült hőtérépet is, a övetező színsála alapján: Továbbá minden oszlopban aláhúzással jelöltü a minimumot. Mindeneelőtt szembeötlő, hogy a hálózat felépítése rendívüli mértében befolyásolja a megoldó sebességét. Az egyenletes típusú hálózatora lehetett a leggyorsabban iszámítani a max-min méltányos erőforrás-elosztást, a futási idő átlaga itt 475 másodperc volt. A túleresletet mutató hálózatoban az átlagos futási idő egy nagyságrenddel nagyobb, 5 380 másodperc volt, míg a túlínálatot mutató hálózatoon dolgozott legtovább a megoldó, átlagosan ismét egy nagyságrenddel tovább, 41 940 másodpercig. Az 1 3. algoritmusvariánso minden tesztesetre a leglassabbna bizonyulta, a 2. és 3. variáns több esetben szegmentálási hibával állt le. Az 1. variáns az 5.-hez épest átlagosan 59%-al lassabban futott, a referenciához viszonyítva tehát átlagosan több, mint négyszeres futási időt igényelt. Ugyanaor a 8. variáns a referenciához viszonyítva átlagosan 4%-al rövidebb futási időet produált.

EGY NEMLINEÁRIS VEGYES-EGÉSZÉRTÉKŰ OPTIMALIZÁLÁSI FELADAT KÜLÖNFÉLE MODELLJEINEK KOMPARATÍV ELEMZÉSE 83 3. táblázat. A futási idő átlaga Gurobi-megoldóval a túleresletet mutató hálózatora (másodperc) 4. táblázat. A futási idő átlaga Gurobi-megoldóval az egyenletes eresletet mutató hálózatora (másodperc)

84 DOBJÁNNÉ ANTAL ELVIRA ÉS VINKÓ TAMÁS 5. táblázat. A futási idő átlaga Gurobi-megoldóval a túlínálatot mutató hálózatora (másodperc) Megállapítható tehát, hogy a 3.2. alszaaszban bemutatott McCormic-átírás alalmazása az előmegoldás nélül jelentősen, de az előmegoldással együtt is ismértében bonyolítja a feladatot. A 3.4. alszaaszban felvázolt ezdőértéadás, az 1. és 2. variáns eredményeire alapozva, az esete 84%-ában javított a futási időn, átlagosan 6%-al. A 3.3. alszaasz ezdőértéadása, a 2. és 3. variáns összevetése alapján a McCormic-átírással ombinálva tizenegy esetben, vagyis az összevethető esete 50%- ában lassított némileg a megoldáson. Ugyanaor az 5. és 6. variáns alapján, tehát csupán a ezdőértéadás hatását vizsgálva edvezőbb a helyzet: az esete 89%-ában gyorsabb volt a 6. variáns, átlagosan 6%-al. Úgy tűni továbbá, hogy a hálózat típusától függ a javulás nagysága: míg a túleresletet mutató példában 1%-os lassulást eredményezett a ezdőértéadás, az egyenletes hálózatoban 6%-al gyorsabb, míg a túlínálatot mutató hálózatoban 12%-al gyorsabb volt a 6. variáns. A 4. és 7., 10. és 8., valamint 11. és 9. variánso futási idejét is összehasonlítva, a 3.3. alszaasz ezdőértéadását implementáló modelle átlagosan mintegy 3%-al volta gyorsabba a ezdőértéadást mellőző, minden egyéb teintetben megegyező variánsonál. A 3.1. alszaaszban bemutatott redundáns orlát hozzáadása a 4. és 5. variáns összehasonlításában 7 esetet leszámítva segít a Gurobina, átlagosan mintegy 4%-al futott gyorsabban a 4. variáns. Ebben a teintetben azonban igen nagy a szórás, a legjobb esetben 30%-al is gyorsabb volt a 4. variáns, a legrosszabb esetben azonban 13%-al lassabb. A 10. és 11. variáns az előmegoldót is implementálja, ebben a ontextusban nagyobb hasznot hozott a plusz orlát: átlagosan

EGY NEMLINEÁRIS VEGYES-EGÉSZÉRTÉKŰ OPTIMALIZÁLÁSI FELADAT KÜLÖNFÉLE MODELLJEINEK KOMPARATÍV ELEMZÉSE 85 9%-al gyorsabban futott a 10. variáns. A 6. és 7., valamint a 8. és 9. variánst is figyelembe véve átlagosan 6%-os javulást eredményez a futási idő teintetében a 3.1. alszaaszban tárgyalt módosítás. Érdemes megfigyelni, hogy az egyenletes ínálatot mutató gráfora csa is mértéű javulást, ill. bizonyos eseteben lassulást eredményez ez a módosítás. Mindhárom típusú hálózatban a 3.5. alszaasz előmegoldóját megvalósító öt algoritmusvariáns (a referencia és a 8-11.) produálta a legrövidebb átlagos futási időet, a 8. és 10. variáns hasonló idővel a ét leggyorsabb volt. A referencia algoritmus átlagosan 58%-al gyorsabban futott, mint a 3. szaaszban bemutatott módosításoat nélülöző 5. variáns, habár egyetlen esetben 16%-al lassabb volt annál (az 500 felhasználót és 200 torrentet tartalmazó példán a túlínálatos teszthalmazban). Összevetve a referencia algoritmust az 1. variánssal, továbbá a 8. és 7., 9. és 6., 10. és 4., valamint a 11. és 5. variánso futási idejét, az előmegoldó beépítése 32 88%-al (átlagosan 61%-al) gyorsította meg a végrehajtást. A megoldás minőségét teintve nem volt jelentős ülönbség az egyes algoritmusvariánso özött. A többszöri futtatás eredményei is identiusa volta, csa a futási idő ülönbözte. A futási idő variációs oefficienseit mutatja a 6 8. táblázat. A variációs oefficiens tulajdonéppen az átlaggal normált szórás százaléos formája. A tesztesete eltérő mérete miatt a szórást ebben az esetben nincs értelme összehasonlítani. A Gurobi által igényelt futási idő átlagos variációs oefficiense mintegy 19% volt a teljes adathalmazra. 5.3. MOSEK A 9 11. táblázato a MOSEK-megoldóval elért átlagos futási időet mutatjá. A Gurobival összehasonlítva ez a megoldó az esete 65%-ában lassabb volt: a túleresletet mutató hálózatora átlagosan 56%-al, az egyenletes eresletet mutató hálózatora 151%-al, míg a túlínálatot mutató hálózatora átlagosan 20%-al több időt igényelt, mint a Gurobi. A hálózat felépítésétől itt is nagy mértében függött a megoldó sebessége. Az arányo a Gurobihoz hasonlóa volta: az egyenletes típusú hálózato max-min méltányos erőforrás-elosztását átlagosan 884 másodperc alatt lehetett iszámítani, a túleresletet mutató hálózatora ugyanez 3 966 másodpercig tartott, a túlínálatot mutató hálózatora pedig átlagosan 34 649 másodpercig. Érdees, hogy a 4 7. algoritmusvariánso produáltá a leggyorsabb futási időet, ugyanaor a MOSEK ezere a modellere jelentősen eltérő optimumot talált mind a három teszthalmazban, mint a Gurobi. A többi esetben nem volt jelentős eltérés a ülönböző variánso által talált optimumban. Felmerül a érdés, hogy egyáltalán itt miről is van szó. Az algoritmus végeredményént egy valós számoból álló vetort ad meg, amelyne hossza megegyezi az E D letöltő éle halmazána méretével. Mivel a használt programo lebegőpontos műveleteet végezne, ezért ereítési hiba előfordulhat, amely befolyásolhatja a végeredményt.

86 DOBJÁNNÉ ANTAL ELVIRA ÉS VINKÓ TAMÁS 6. táblázat. A futási idő variációs oefficiense Gurobi-megoldóval a túleresletet mutató hálózatora (százalé) 7. táblázat. A futási idő variációs oefficiense Gurobi-megoldóval az egyenletes eresletet mutató hálózatora (százalé)

EGY NEMLINEÁRIS VEGYES-EGÉSZÉRTÉKŰ OPTIMALIZÁLÁSI FELADAT KÜLÖNFÉLE MODELLJEINEK KOMPARATÍV ELEMZÉSE 87 8. táblázat. A futási idő variációs oefficiense Gurobi-megoldóval a túlínálatot mutató hálózatora (százalé) 9. táblázat. A futási idő átlaga MOSEK-megoldóval a túleresletet mutató hálózatora (másodperc)

88 DOBJÁNNÉ ANTAL ELVIRA ÉS VINKÓ TAMÁS 10. táblázat. A futási idő átlaga MOSEK-megoldóval az egyenletes eresletet mutató hálózatora (másodperc) 11. táblázat. A futási idő átlaga MOSEK-megoldóval a túlínálatot mutató hálózatora (másodperc)

EGY NEMLINEÁRIS VEGYES-EGÉSZÉRTÉKŰ OPTIMALIZÁLÁSI FELADAT KÜLÖNFÉLE MODELLJEINEK KOMPARATÍV ELEMZÉSE 89 Jelen esetben pontosan ezt tapasztaltu, tehát a ét megoldó a ereítési hibára ülönbözőéppen érzéeny. A Gurobihoz hasonlóan itt is a McCormic-átírást megvalósító 1 3. algoritmusvariánso volta a leglassabba, mindhárom produált szegmentálási hibát is a legnagyobb feladatoon. A 3.4. alszaasz ezdőértéadása, a 3.3. alszaasz ezdőértéadása, és a 3.1. alszaasz redundáns orlátja átlagosan mintegy 4%, 3%, ill. 5% lassulást eredményezett a MOSEK-megoldóval ombinálva. A referencia átlagosan 65%-al gyorsabban futott, mint az 1. algoritmusvariáns, ráadásul ebben az összehasonlításban (tehát a McCormic-átírással ombinálva) minden esetben több, mint 50%-os gyorsulást eredményezett a 3.5. alszaasz előmegoldója. Ugyanaor a 8 11. algoritmusvariánsoat az előmegoldót nem implementáló párjaial összehasonlítva átlagosan 67%-os lassulást tapasztaltun a MOSEK esetében. A futási idő variációs oefficienseit a 12 14. táblázat tartalmazza. A MOSEK által igényelt futási idő átlagos variációs oefficiense a Gurobitól nagyobb, átlagosan 30% volt a teljes adathalmazra. 5.4. Konlúzió A 15. táblázat tartalmazza egy-egy algoritmusvariáns átlagos futási idejét az egyes teszthalmazora. A 300 felhasználót és 100, ill. 200 torrentet, továbbá az 500 felhasználót és 100, ill. 200 torrentet tartalmazó teszteseteet mellőztü az átlagszámítás során, hogy a szegmentálási hiba miatt hiányzó adato (ld. az 5.2. alfejezet eleje) ne torzítsá az eredményt. A ciben özölt teszte eredményei alapján a övetező tanulságoat vonhatju le: A hálózat felépítésétől rendívüli mértében függ a megoldó sebessége. Az egyenletes típusú hálózatora a leggyorsabb, a túlínálatot mutató hálózatora pedig a leglassabb iszámítani a max-min méltányos erőforrás-elosztást. A sebesség nagyjából arányos az alalmazott speciális hármas gráf reprezentáció csúcsaina és éleine a számával. A Gurobi általában gyorsabban oldotta meg a feladatot, és evésbé volt érzéeny a ereítési hibára, mint a MOSEK. Ugyanaor a Gurobi több tesztesetre produált szegmentálási hibát. A Gurobi edvezőbben reagált a ciben szereplő modellátírásora. A 3.2. alszaaszban bemutatott McCormic-átírás alalmazása minden esetben lassította a megoldást. Ez meglepő és egyben pozitív eredmény, amellyel imutattu, hogy a tesztelt megoldó önnyebben boldogulta a isebb méretű nemlineáris feladattal, mint a nagyobb méretű lineáris változattal.

90 DOBJÁNNÉ ANTAL ELVIRA ÉS VINKÓ TAMÁS 12. táblázat. A futási idő variációs oefficiense MOSEK-megoldóval a túleresletet mutató hálózatora (százalé) 13. táblázat. A futási idő variációs oefficiense MOSEK-megoldóval az egyenletes eresletet mutató hálózatora (százalé)

EGY NEMLINEÁRIS VEGYES-EGÉSZÉRTÉKŰ OPTIMALIZÁLÁSI FELADAT KÜLÖNFÉLE MODELLJEINEK KOMPARATÍV ELEMZÉSE 91 14. táblázat. A futási idő variációs oefficiense MOSEK-megoldóval a túlínálatot mutató hálózatora (százalé) 15. táblázat. Egy-egy modell-változat átlagos futási ideje (másodperc)

92 DOBJÁNNÉ ANTAL ELVIRA ÉS VINKÓ TAMÁS A mesterséges változóra vonatozó ezdőértéadás (3.4. alszaasz) hatása az alalmazott megoldótól és a feladat típusától függően változott, az összes teszt átlagában +1,01% volt. A bináris változóra vonatozó ezdőértéadás (3.3. alszaasz) hatása az alalmazott megoldótól és a feladat típusától függően változott, az összes teszt átlagában elenyésző, mindössze +0,06% volt. A 3.1. alszaaszban leírt fix alsó orlát hozzáadása az alalmazott megoldótól és a feladat típusától függően eltérő hatást gyaorolt, az összes teszt átlagában +0,66% javulást eredményezett a megoldás sebességében. A ciben szereplő modellátíráso özül a 3.5. alszaaszban bemutatott előmegoldó hatása a legedvezőbb, az összes teszt átlagában +9,75% javulást eredményezett. Nem volt olyan algoritmusvariáns, amely minden teszthalmaz esetén egyértelműen a legjobb lett volna, még azonos megoldó esetében sem. 6. Összefoglalás Jelen ciben egy omplex, nagyméretű lineáris és vegyes-egészértéű nemlineáris optimalizálási feladatoat is felvonultató probléma apcsán elemeztü a matematiai modellezés során felmerülő átírási lehetősége hatásait. Kiterjedt numerius tesztelést végeztün tizenét modellváltozat, huszonhét teszteset és ettő professzionális megoldó minden lehetséges ombinációjával. Az elvégzett ísérlete számos érdees eredménnyel szolgálta. Egyrészt megállapíthatju, hogy nem találtun olyan modellváltozatot, amely minden esetben a leggyorsabban oldotta meg a feladatot. Láttu továbbá, hogy a tesztelt orszerű megoldó számára nem jelentett problémát a bilineáris felírás hatéony megoldása. Végül ismét iemelendő az előmegoldó (presolve) techniá használatána jelentős előnye. Továbblépésént tervezzü megvizsgálni a modelle hálózati folyam alaú felírásána hatásvizsgálatát, amelyre az AMPL-nyelv lehetőséget ad. Ezután pedig az elvégzett ísérlete egyfajta megfordítása övetezhet, amelyben a bemenetént megadott gráfo szerezeténe mélyebb elemzésével imutatju, hogy az egyes algoritmus variánsona mely gráfo a legedvezőbbe a megoldás hatéonyságána szempontjából. Köszönetnyilvánítás Vinó Tamást az MTA Bolyai-ösztöndíja támogatta.

EGY NEMLINEÁRIS VEGYES-EGÉSZÉRTÉKŰ OPTIMALIZÁLÁSI FELADAT KÜLÖNFÉLE MODELLJEINEK KOMPARATÍV ELEMZÉSE 93 Hivatozáso [1] Antal, E., and Vinó, T.: Modeling max min fair bandwidth allocation in BitTorrent communities, Computational Optimization and Applications 66:2 (2017), 383 400. [2] Bonami, P., Kilinç, M., and Linderoth, J.: Algorithms and Software for Convex Mixed Integer Nonlinear Programs, vol. 154 of The IMA Volumes in Mathematics and its Applications, Springer (2012), 1 39. [3] Capotă, M., Andrade, N., Vinó, T., Santos, F., Pouwelse, J., and Epema, D.: Interswarm resource allocation in BitTorrent communities, In Proceedings of IEEE International Conference on Peer-to-Peer Computing (P2P 2011) (2011), 300 309. [4] Cohen, B.: The BitTorrent Protocol Specification, http://bittorrent.org/beps/bep_ 0003.html. Utolsó letöltés: 2017. április 24. [5] Cohen, B.: Incentives build robustness in BitTorrent, In Worshop on Economics of Peerto-Peer systems (2003), Vol. 6, 68 72. [6] Dana, C., Li, D., Harrison, D., and n. Chuah, C.: BASS: BitTorrent Assisted Streaming System for Video-on-Demand, In 2005 IEEE 7th Worshop on Multimedia Signal Processing (2005 ot.), 1 4. [7] Do, T. T., Hua, K. A., and Tantaoui, M. A.: P2VoD: providing fault tolerant video-ondemand streaming in peer-to-peer environment, In Communications, 2004 IEEE International Conference on (2004 jún.), Vol. 3, 1467 1472. [8] Fan, B., Lui, J.-S., and Chiu, D.-M.: The Design Trade-Offs of BitTorrent-Lie File Sharing Protocols, IEEE/ACM Transactions on Networing 17:2 (2009 ápr.), 365 376. [9] Fourer, R., and Gay, D. M.: Experience with a Primal Presolve Algorithm, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (1994), 135 154. [10] Gay, D. M.: Symbolic-Algebraic Computations in a Modeling Language for Mathematical Programming, Springer-Verlag (2001), 99 106. [11] Gupte, A., Ahmed, S., Cheon, M., and Dey, S.: Solving Mixed Integer Bilinear Problems Using MILP Formulations, SIAM J. Optim. 23:2 (2013), 721 744. [12] Li, B., Wang, Z., Liu, J., and Zhu, W.: Two Decades of Internet Video Streaming: A Retrospective View, ACM Trans. Multimedia Comput. Commun. Appl. 9:1s (2013 ot.), 33:1 33:20 o. [13] Paris, J. F., and Shah, P.: Peer-to-Peer Multimedia Streaming Using BitTorrent, In 2007 IEEE International Performance, Computing, and Communications Conference (2007 ápr.), 340 347. [14] Radunović, B., and Le Boudec, J.-Y.: A Unified Framewor for Max-Min and Min- Max Fairness With Applications, IEEE/ACM Transactions on Networing 15:5 (2007), 1073 1083. [15] Vlavianos, A., Iliofotou, M., and Faloutsos, M.: BiToS: Enhancing BitTorrent for Supporting Streaming Applications, In Proceedings IEEE INFOCOM 2006. 25TH IEEE International Conference on Computer Communications (2006 ápr.), 1 6.

94 DOBJÁNNÉ ANTAL ELVIRA ÉS VINKÓ TAMÁS (Beérezett: 2016. november 28.) Dobjánné Antal Elvira a Szegedi Tudományegyetemen végzett özgazdasági programozó matematiusént 2010-ben, jelenleg a Neumann János Egyetemen főisolai adjuntus. 2012-ben 5 hónapot az Almeríai Egyetemen vendégesedett Erasmus-ösztöndíjjal. 2013-ban SZTE Talent ösztöndíjas, 2016- ban az MTA Szegedi Aadémiai Bizottság ifjúsági pályázatán III. díjat nyert. PhD foozatát 2017-ben szerezte informatiatudományból a Szegedi Tudományegyetemen. Kutatásait a globális, illetve nemlineáris optimalizálás területén folytatja. Vinó Tamás programtervező matematius, habilitált egyetemi docens. Diplomáját és foozatait a Szegedi Tudományegyetemen szerezte. Posztdotori utatóént több mint 6 évet töltött Hollandiában az Európai Űrügynöségnél és a Delfti Műszai Egyetemen. Kutatómunájában a hálózattudomány és a globális optimalizálás határterületeit vizsgálja. Összesen 30 nemzetözi tudományos ci szerzője, vagy társszerzője, ezere a Scopus szerint több mint 220 független hivatozást apott. DOBJÁNNÉ ANTAL ELVIRA Neumann János Egyetem, Természet és Műszai Alaptudományi Tanszé 6000 Kecsemét, Izsái út 10. antal.elvira@gamf.uni-neumann.hu VINKÓ TAMÁS Szegedi Tudományegyetem, Számítógépes Optimalizálás Tanszé 6701 Szeged, P.O. Box 652 tvino@inf.u-szeged.hu

EGY NEMLINEÁRIS VEGYES-EGÉSZÉRTÉKŰ OPTIMALIZÁLÁSI FELADAT KÜLÖNFÉLE MODELLJEINEK KOMPARATÍV ELEMZÉSE 95 COMPARATIVE ANALYSIS OF SEVERAL MODELS OF THE SAME SAME MIXED-INTEGER NONLINEAR PROGRAMING PROBLEM Elvira D. Antal and Tamás Vinó Our study was inspired by modeling questions emerging in connection to computing max-min fair bandwidth allocation in BitTorrent communities. We analyze several reformulation and solution techniques, including the McMormic reformulation of a MINLP, and a standard LP presolve technique, in point of running time and reached optimum value. Our extensive numerical investigation involves twelve different models of the same problem, twenty-seven test cases, and two professional solvers.