1 Egy érdekes mechanikai feladat 1. ábra forrása: [ 1 ] A feladat Az 1. ábra szerinti rudazat A csomópontján átvezettek egy kötelet, melynek alsó végén egy m tömegű golyó lóg. A rudak egyező nyúlási merevsége EA, a kötélé EA s. A kötél az A ponton súrlódásmentesen lett átvezetve. Ha a kötelet a B 0 pontban meghúz - zák, a golyó felemelkedik. A golyónak az aljzattól való felemelkedése pillanatában a kötél B 0 végét Δs - sel elmozdítjuk. Határozzuk meg a golyó tömegét!
2 A megoldás Ennek érdekében a feladatot több részre bontjuk, majd ezeket összekapcsolva jutunk a végeredményhez. 1. lépés Először vegyük úgy, hogy a kötelet az aljzathoz fixen rögzítjük, majd a kötél B 0 pontbeli végét egy vízszintes irányú, F nagyságú erővel meghúzzuk ld.: 2. ábra! 2. ábra Ekkor az A csuklóra egy F nagyságú vízszintes, valamint egy F nagyságú függőleges erő hat, a 2. ábra szerint. Ha a B 0 pontban működtetett F erő hatására a kötél vége Δs - sel el - mozdul, akkor a külső munka nagysága: ( 1 ) Ez a külső munka a ( korlátozottan ) deformálható szerkezetet elmozdulásra készteti. Az A pont a reá ható R erő hatására f vektorú elmozdulást végez. Ezen elmozdulás elő - idézéséhez szükséges munka nagysága: ( 2 ) Az F erővel terhelt kötél megnyúlik. Először azonban vegyük úgy, mintha a kötél nyújt - hatalan lenne! Ekkor a teljes Δs elmozdulásnak egy Δs 1 része fejlődik ki a R erő hatására, azaz ( 1 ) - nek megfelelően: ( 3 )
3 Másodszorra vegyük úgy, mintha a rudazat merev lenne, így a teljes elmozdulás másik részét a kötél megnyúlása adja: ( 4 ) majd ( 3 ) és ( 4 ) - gyel is: ( 5 ) Látjuk, a közvetlen feladat a ( 3 ) és ( 4 ) szerinti elmozdulások meghatározása. Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra A 2. és a 3. ábráról leolvasható összefüggések: A rudak hosszváltozásai Hooke törvénye szerint: ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) Látjuk, hogy most meg kell határoznunk a rúderőket. A 2. ábra alapján, vetületi
4 egyenletekkel dolgozunk. ( 10 ) most ( 10 ) - et is felhasználva: ( 11 ) továbbá: ( 12 ) Majd ( 11 ) és ( 12 ) - vel: rendezve: innen: ( 13 ) Összefoglalva a rúderő - eredményeket, ( 10 ), ( 12 ) és ( 13 ) szerint: ( 14 / 1 ) ( 14 / 2 ) Most a szögfüggvényekhez, az 1. ábráról: ( 15 / 1 ) ( 15 / 2 ) Most ( 12 ) és ( 15 / 1 ) - gyel: ( 16 ) majd ( 14 / 2 ) és ( 15 ) - tel: ( 17 ) A rúdhosszak a 2. ábra szerint: ( 18 / 1 ) ( 18 / 2 )
5 Most ( 8 ), ( 16 ) és ( 18 / 1 ) - gyel: ( 19 ) majd ( 9 ), ( 17 ) és ( 18 / 2 ) - vel: ( 20 ) Ezután ( 6 ) és ( 20 ) - szal: tehát: ( 21 ) majd ( 7 ), ( 15 / 1 ), ( 19 ) és ( 21 ) - gyel: tehát: ( 22 ) Most ( 3 ), ( 21 ) és ( 22 ) - vel: ( 23 ) Majd ( 4 ) - gyel is a kötél hosszváltozása, Hooke törvénye szerint: ( 24 ) a 2. ábráról: ezután ( 16 ), ( 18 / 1 ), ( 24 ) és ( 25 ) szerint: ( 25 ) ( 26 ) Most a teljes elmozdulás ( 5 ), ( 23 ) és ( 26 ) - tal: tehát:
6 ( 27 ) 2. lépés Most vegyük az eredeti helyzetet, vagyis hogy a kötél alsó vége nem rögzített és az ( 28 ) súly terheli. A golyó éppen most kezd emelkedni, így a külső munka a golyó helyzeti energiáját még nem növelte, csak a rendszer belső energiáját. Ezért ( 27 ) és ( 28 ) - cal: ( 29 ) innen: ( 30 ) A ( 30 ) eredmény megegyezik az 1. ábrán közölt megoldással. Megjegyzések: M1. Korábban a vizsgált szerkezetet korlátozottan deformálhatónak neveztük. Ez alatt azt értettük, hogy úgy vettük, mintha csak húzásra - nyomásra lennének igénybe vehetőek a rúdelemei, a kötél pedig csak húzásra. Egy összetett alakú és terhelésű valós szerkezetnél ez általában nincs így, mert elemei nem csak húzás / nyomás, hanem nyírás, hajlítás és csavarás útján is képesek rugalmas energiát felvenni és tárolni. Egy bonyolultabb esetben mint amilyen pl. egy rácsos távvezetékoszlop fontos lehet annak közelítő ismerete, hogy a szerkezetre ható külső munkának hányad részét veszik fel a rudak nem húzás és nyomás révén. Erre az információra ma már talán könnyebben szert lehet tenni, számító - gépes segítség felhasználásával. M2. Ilyen számítást eddig még nem végeztünk. Meglepő élmény volt számunkra is. Reméljük, jó is, nem csak érdekes! Arra gondolunk itt, hogy bár eredményünk egyezik a megadottal, de akár fizikai tévedés elkövetése után is kijöhetett a jónak vett eredmény. Vagy nem?
7 M3. Az eddigi eredmények birtokában közelítőleg meghatározhatjuk az A pont teljes elmozdulását is. A 3. ábra szerint, φ = ( u, f ) - fel : ( 31 ) Majd ( 21 ), ( 22 ) és ( 31 ) - gyel számszerűen is: ( 32 / 1 ) ( 32 / 2 ) M4. A feladat megoldása lényegesen egyszerűsödött azáltal, hogy az 1. ábra szerinti geo - metriai elrendezés kellően szabályos, szimmetrikus. Bonyolultabb geometria esetén a kép - letek is bonyolultabbá válnának. Forrás: [ 1 ] https://www.tuhh.de/t3resources/mec/pdf/scripte/aufgabensammlung_tm2.pdf Sződliget, 2018. 08. 05. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár