Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4 2 ( ( 2 2 2 ( 3 2 6 2A 2 2 2 2 4 2 ( 9 3 3B 2 3 3 ( ( 2 9 + 6 3 7 9 2A 3B 2A + ( 3B 4 2 2 3 3 8 3 2 A T 3 ( (B T T 3 B 4 2. Feladat: Legyen A ( 3 2 7 B ( 2 ( 5 C 8 Határozzuk meg A + B + C, 5A + B 7C, A T 4B 6C T, mátrixokat. ( ( 3 + 2 2 + + 5 4 4 A + B + C 7 + + 8 6 8 ( ( 5 + 2 + 7 + 35 24 44 5A + B 7C 35 + + 7 + + 56 42 56
Mivel ezért A T A T 4B 6C T 3. Vizsgafeladat: Legyen A ( 3 7 2 C T ( 5 8 ( 3 8 + 6 7 4 + 6 2 3 + 48 ( 4 5 és B Határozzuk meg 3((2A B (A 3B mátrixot. ( ( 7 3 2 4 9 32 48. 3 ((2A B (A 3B 3(2A B A + 3B 3A + 6B ( ( ( 3 2 42 8 3 3 8 + 5 3 2 24 2 5 27 4. Feladat: Határozzuk meg AB, BA, (ABA, A(BA és A 2 mátrixokat, ha ( ( 3 2 2 A B 7 Mivel A és B 2 2-es mátrixok, a sorok és oszlopok száma azonos, a szorzások elvégezhet ek. 2 3-2 6 3 7 4 7 tehát AB ( 6 3 4 7 3-2 7 2 3-4 tehát BA ( 3 4 Vegyük észre, hogy AB BA, azaz a mátrixok szorzása nem kommutatív. 3-2 7 6 3 39-2 4 7 9-28 tehát (ABA ( 39 2 9 28 3-4 3-2 39-2 7 9-28 tehát A(BA ( 39 2 9 28 2
Vegyük észre, hogy ABA A(BA (ABA, azaz teljesül a mátrixok szorzásra vonatkozó asszociatív tulajdonság. 3-2 7 3-2 -5-6 7 2-4 tehát A 2 ( 5 6 2 4 5. Feladat: Legyen A 2 5 4 3 7 B 4 2 7 2 9 3 Határozzuk meg azt az X mátrixot, amelyre 2A + X 5B teljesül. Az egyenletet átrendezve kapjuk, hogy 2 4 X 5B 2A 35 8 45 5 6 4 24 35 8 39 6. Feladat: Legyen A ( 2 3 4 5 6 B 9 8 6 7 9 C ( Határozzuk meg AB + C, AB + B, CB + A és BC + A T mátrixokat. A mátrixok különböz típusúak, ezért els lépésben mindig meg kell nézni, hogy vajon a kijelölt m velet elvégezhet -e? AB + C vizsgálata: A B (2 3 (3 2 AB (2 2 Mivel A mátrix oszlopainak száma megegyezik B mátrix sorainak számával, azaz a bels indexek azonosak, a szorzás elvégezhet, a küls indexek pedig meghatározzák a szorzatmátrix típusát. Valamint AB (2 2 + C (2 2 AB + C (2 2 azaz AB és C mátrixok azonos típusúak, ezért AB + C m velet elvégezhet. Készítsük el AB szorzáshoz a táblázatot. 9 8 6 7 9 2 3 46 39 4 5 6 8 84 tehát AB ( 46 39 8 84 3
AB + B vizsgálata: Mivel ( 46 39 AB + C 8 84 ( + AB (2 2 + B (3 2 A két mátrix típusa különböz, az összeadás nem végezhet el. (BA 2 vizsgálata: B (3 2 A (2 3 BA (3 3 ( 47 38 8 85 A bels indexek azonosak, BA szorzat létezik. A m velet eredménye egy négyzetes mátrix, így (BA 2 m velet is elvégezhet. 2 3 4 5 6 9 9 8 27 8 6 32 46 6 7 9 43 59 75 tehát BA 9 8 27 32 46 6 43 59 75 CB + A vizsgálata: Mivel 9 8 27 32 46 6 43 59 75 9 8 27 88 2583 3348 32 46 6 434 6232 824 43 59 75 55 793 326 tehát (BA 2 C (2 2 88 2583 3348 434 6232 824 55 793 326 B (3 2 a bels indexek nem egyeznek meg, a m velet nem végezhet el. BC + A T vizsgálata: Mivel és a m velet elvégezhet. Számolás: B (3 2 BC (3 2 + AT (3 2 C (2 2 BC (3 2 4 BC + AT (3 2
- 9 9-9 8 6 8-2 7 9 7 2 tehát BC 9 9 8 2 7 2 Az eredmény: BC + A T 9 9 8 2 7 2 + 4 2 5 3 6 5 3 8 7. Feladat: Határozzuk meg AB, BA, és CA szorzatokat,ha 4 A B ( 3 ( 2 C El ször nézzük meg a szorzások elvégezhet ek-e. Mivel A B (3 ( 3 AB (3 3 a bels indexek azonosak a szorzás elvégezhet.. 3 4 4 4 2 - - - -3 tehát AB 4 4 2 3 Mivel B A ( 3 (3 BA ( a bels indexek azonosak, a szorzás elvégezhet. 4-3 tehát BA ( Mivel C A (2 3 (3 CA (2 a bels indexek azonosak, a szorzás elvégezhet. 4 - -2 - - -5 tehát CA ( 5 5
8. Feladat: Határozzuk meg AA T és A T A mátrixokat, ha ( 3 A 5 A bels indexek megegyeznek, a m veletek elvégezhet ek. A T ( 3 5 ( ( ( AA T 3 3 5 5 5 5 25 ( ( ( A T 3 3 9 3 A 5 5 3 26 Vegyük észre, hogy AA T A T A, de mindkett szimmetrikus. 9. Feladat: Határozza meg az A és T A mátrixokat, ha 3 5 A 8 2 4 3 5 A 3 5 8 2 4 3 5 A m velet eredménye: az A mátrix soraiban lév elemek összege. 3 5 T A (; ; 8 2 (5; 4; 8; 3 4 3 5 9 4 3. Feladat: Végezzük el az alábbi m veleteket A e 3 és e T ( 2 3 A 5 A, ha A e 3 ( 2 3 5 ( 3 A m velet eredménye: kiemeltük a mátrix 3. oszlopát. ( e T 2 3 A (; (2; ; 3 5 A m velet eredménye: kiemeltük a mátrix els sorát. 6
. Feladat: Végezzük el a következ szorzást, majd értelmezzük a m velet eredményét: 2 e T 2 3 3 4 ( 2 3 3 4 ( ( 3 ( 4 A m velet eredménye: kiemeltük a mátrix 2. sorát, majd a sor elemeit összeadtuk. 2. Feladat: Mutassuk meg, hogy (AB T B T A T, ha ( ( 2 5 A B 3 4 ( ( ( 2 5 4 AB 3 4 3 2 ( (AB T 3 4 2 ( ( ( B T A T 2 3 5 4 3 4 2 Valóban teljesül, hogy (AB T B T A T 3. Feladat: Végezze el a következ szorzást: A 2 e 2, ha ( 7 4 A 2 Végeredmény: A 2 e 2 ( 2 8 4. Feladat: Határozza meg az A T A mátrixot, ha ( 3 A 5 2 Végeredmény: A T A ( 24 6 7
5. Feladat: Határozza meg az e T 4 A szorzat eredményét, ha 3 A 6 7 5 Végeredmény: e T 4 A 4 6. Feladat: Határozza meg az T A e 2 szorzat eredményét, ha 3 A 6 7 5 Végeredmény: T A e 2 9 7. Feladat: Határozza meg az A (e 3 e 4 szorzat eredményét, ha 5 7 2 A 2 6 4 8 7 3 Végeredmény: A (e 3 e 4 8. Feladat: Határozza meg az b T A d mátrixot, ha 3 5 A 4 6 7 4 5 b 6 Végeredmény: b T A d 52. Vizsgafeladat: Legyen A Határozzuk meg (A + A 2 2 mátrixot. 2. El ször határozzuk meg A 2 mátrixot. 5 2 2 5 2 2 3 - - 2 - - 2-4 2-2 -3 5 - - -3 8 d 5 2 2
A + A 2 2 + Végül határozzuk meg (A + A 2 2 mátrixot. Az eredmény: (A + A 2 2 2. Vizsgafeladat: Legyen A 2 4 2 3 5 3 3-5 3-4 7 - -4 2 3-5 3 32-62 2-4 7 - -4 73-2 -4 2 2-4 32 62 2 4 73 2 2 4 Határozzuk meg AB B 2 mátrixot. Mivel Tehát 3 2 3 2 5-3 2 4 3 2-3 2-4 2-4 - 5-7 2 3-2 - 4-2 4 4 2 4 5 7 2 4 2 4 és B AB B 2 27 2 4 6 7 5 6 3 5 3 4 7 4 2 5 3 2 4 3 2. 5-3 2 4 3 2 5-3 2 27-2 4 4 6 3 2 7 5 6 4 4 8 5 23 2 7 35 2 Egyszer bb a számolás, ha észrevesszük, hogy AB B 2 (A BB. 3. Vizsgafeladat: Határozzuk meg AB és AC mátrixokat, ha 2 3 5 A 4 5 3 4 4 B 2 2 2 7 3 2 C 3 2 3 4 9
Tehát 4 2-2 2 2-3 -5-9 5-6 -3-4 5 2-8 4-3 -4-9 9-6 - 7 3 2 3-2 - - 3 4 2-3 -5-9 5-6 -3-4 5 2-8 4-3 -4-9 9-6 - AB AC De ebb l nem következik B C egyenl ség. 9 5 6 3 2 8 4 9 9 6 4. Vizsgafeladat: Határozzuk meg (ABC és A(BC mátrixokat, ha 2 A 2 2 3 ( 2 B 5 3 C 3 2 2 3 4 El ször nézzük meg, hogy a m velet elvégezhet -e. A B C (3 2 (2 4 (4 3 ABC (3 3 Az egymás mellett lév bels indexek megegyeznek, ezért a szorzások elvégezhet ek. Ebben az esetben használjuk fel, hogy a mátrixok szorzása asszociatív, azaz (ABC A(BC, így elég csak (ABC mátrixot kiszámolni. Határozzuk meg AB szorzatot. 2 5 3 - -2 2-9 -6 2-2 2-4 8 6-2 3 5 9-3
Határozzuk meg (ABC mátrixot. -3 2-2 3 4 2-9 -6 2 25-4 -5-4 8 6-2 -24 2 8 5 9-3 -39 9 2 Tehát (ABC A(BC 25 4 5 24 2 8 39 9 2 5. Feladat: Határozzuk meg AA T és A T A mátrixokat, ha 2 A 3 2 3 Egy négyzetes mátrix transzponáltja is vele azonos típusú négyzetes mátrix, így a szorzások elvégezhet ek. 3 2 2-3 2 6 7 3-5 2 3 7 5 4 Tehát AA T 6 7 5 7 5 4 2 3-2 3 3 2 4 7 2-6 5 3 7 5 A T A 4 7 6 5 7 5 Vegyük észre, hogy szimmetrikus mátrixokat kaptunk, de AA T A T A 6. Vizsgafeladat Egy utazási iroda 4 társasutazásra a hét els három napján különböz számú jegyet adott el. Ezeket az adatokat az alábbi A mátrix mutatja:
London Párizs Róma Bécs Hétf 8 6 4 Kedd 2 6 2 2 Szerda 2 8 8 Az egyes utazások ára a táblázatban lév sorrendnek megfelel en: p T (5; ; 2, 5 pénzegység. Végezzük el az alábbi m veleteket és értelmezzük az eredményeket: Ap, e T 2 A, Ae 3, T Ap. Írja fel mátrixm velettel és számítsa ki, hogy mennyi volt a bécsi jegyek eladásából származó naponkénti bevétel! A Ap 8 6 4 2 6 2 2 2 8 8 8 6 4 2 6 2 2 2 8 8 p 5 2 5 A kapott vektor megadja a naponkénti bevételt. Azaz hénf n 72 pénzegység, kedden 64 pénzegység, szerdán 47 pénzegység. 8 6 4 e T 2 A (; ; 2 6 2 2 52 2 8 8 Kedden az iroda összesen 52 repül jegyet adott el. Ae 3 8 6 4 2 6 2 2 2 8 8 5 2 5 72 64 47 Az eredmény megmutatja, hogy naponta hány repül jegyet adtak el a Rómába. T Ap (; ; 8 6 4 2 6 2 2 2 8 8 A bécsi jegyek eladásából származó naponkénti bevétel: p T e 4 Ae 4 (5; ; 2, 5 8 6 4 2 6 2 2 2 8 8 2 5 2 5 6 2 8 83
7. Vizsgafeladat 5 8 6 4 2 6 2 2 2 8 8 Egy termel a piacon négyféle gyümölcsöt árul. Az A mátrix mutatja, hogy a hét egyes napjain mennyit adott el a különféle gyümölcsökb l. Hétf Kedd Szerda Csütörtök Péntek Szombat Szilva 5 6 6 7 8 Körte 4 3 4 5 7 7 Žszibarack 3 4 2 3 9 Ringló 2 4 5 8 2 A táblázat az eladott mennyiséget kg-ban mutatja. Az egyes gyümölcsfajták kilogrammonkénti árát (a táblázatbeli sorrendnek megfelel en az árvektor tartalmazza, amely a következ : p T (; 2; 3; 9. Végezzük el az alábbi m veleteket és értelmezzük az eredményeket! a p T A b e T A c Ae 3 d A(e 5 e e A f p T A g T A p T A (; 2; 3; 9 5 6 6 7 8 4 3 4 5 7 7 3 4 2 3 9 2 4 5 8 2 7 6 5 5 6 6 7 8 48 36 48 6 84 84 39 52 26 39 3 7 8 9 36 45 72 8 A táblázatból leolvasható gyümölcsönként a napi bevétel. 5 6 6 7 8 e T A (; ; ; 4 3 4 5 7 7 3 4 2 3 9 (; 5; 6; 6; 7; 8 2 4 5 8 2 Megkaptuk szilvából az eladott napi mennyiséget. 6 Ae 3 4 2 4 Ae 3 szerdán a gyümölcsönkénti forgalom A(e 5 e (; 4; 2; ; ; 4 A(e 5 e naponta mennyivel többet adtak el ringlóból, mint szilvából 33 A 3 3 32 3
A gyümölcsönként a heti forgalom p T A p T A gyümölcsönként a heti forgalom Ft-ban. 33 36 364 98 T A (; 3; 6; 9; 32; 36 T A naponkénti összes gyömölcs forgalom. 8. Vizsgafeladat Egy étteremben négyféle levesb l eladott adagok számát a hét els három napján az alábbi A mátrix mutatja: Rántott leves Zöldségleves Paradicsomleves Csontleves Hétf 2 3 5 Kedd 3 2 Szerda 25 3 2 2 Az egyes levesek ára: p T (5; 7; ; 2 pénzegység. (a Mennyi a leves forgalom naponként pénzegységben? (b Mennyi a leves forgalom összesen a 3 nap alatt? (c Számítsa ki és magyarázza meg a jelentését: T A. (d Számítsa ki és magyarázza meg a jelentését: Ae 2 Ae 3. 9. Vizsgafeladat Három étteremben négyféle ételb l egy napon eladott adagok számát mutatja az alábbi A mátrix: I. vendégl II. vendégl III. vendégl. étel 2 3 2. étel 3 4 3. étel 5 2 3 4. étel 4 25 2 Az egyes ételek ára: 6 Ft, 5 Ft, 8 Ft, 4 Ft. (a Mennyi az egyes vendégl k forgalma Ft-ban? (b Mennyi az egyes ételekb l eladott adagok száma a három vendégl ben együttesen? (c Mennyi az összes étel forgalom Ft-ban?. Vizsgafeladat Egy utazási iroda 4 társasutazásra a hét els három napján különböz számú jegyet adott el. Ezeket az adatokat az alábbi A mátrix mutatja: Párizs Berlin Varsó Amszterdam Hétf 6 8 6 4 Kedd 4 6 2 2 Szerda 2 8 8 4
Az egyes utazások ára: p T (9; 6; 7; 8 pénzegység. Írja fel mátrixm velettel és számítsa ki, hogy: (a mennyi volt az utazási iroda bevétele naponta; (b három nap alatt az egyes városokba hány jegyet adtak el! Számítsa ki és magyarázza meg a jelentését: (a e T 2 A (b (; ; Ap. 5