Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu Absztrakt: Az előadás ayaga agyméretű közúti közlekedési redszerek matematikai modellezésére speciális, hipergráf struktúrát mutat be, amely leírja egy tartomáy eseté, a belső-belső, a külső-belső, a belső-külső és a külső-külső hálózati elemek közötti átadási törvéyt. Megadja a redszer működését leíró emlieáris differeciálegyelet-redszert. Bemutatja, hogy a redszer pozitív redszer. Ljapuov függvéyek módszerével kimutatja, hogy az autoóm redszer aszimptotikusa stabilis. A em autoóm redszerre, a peremekre voatkozó, Ljapuov függvéyt alkalmazó iráyítási törvéyt ad meg, amely elégséges feltételt ad a redszer aszimptotikus stabilitására és diamikusa alkalmazható a teljes tartomáyo, ill. azoko a szubtartomáyoko, ahol kritikus helyzet lép fel.. BEVEZETŐ Egy közúti közlekedési modell általába ige boyolult: Számos geometriai jellemző szab feltételeket. Számos egyedi szabályozás működik. Ige agy számú résztvevő kap szerepet. Ige agy befolyása va a humá téyezőkek. Sokféle külső téyező, szezoális hatások, időjárás, stb. játszik közre. Midezek elleére a haszálható modellekkel szembe alapkövetelméy a hatékoyság: A modell vegye figyelembe mide olya elemet, amely a redszer működése sorá téyleges hatást gyakorol és elhayagolása eltorzítaá az eredméyeket. Matematikailag legye korrektül megalapozott. A szimuláció eseté umerikusa gyors legye. Szabályozás eseté legalább valós idejű szabályozás valósuljo meg..ábra: a gráf csúcsait a közlekedési csomópotok Fiomítva a térképet (,.3.ábra:. A HAGYOMÁNYOS, CSOMÓPONT KÖZPONTÚ TÉRKÉP MODELL ÉS A HÁLÓZATKÖZPONTÚ MODELL KÖZTI KÜLÖNBSÉG Az irodalomból ismert közúti közlekedési hálózati modellek a csomópotokat, ill. kereszteződéseket kitütetett elemkét kezelik a modellekbe. Ez olya gráfot eredméyez, amely hűségese leutáozza a térképet, a gráf csúcsai a csomópotok, illetve kereszteződések, az ívek pedig az őket összekötő útszakaszok. Ha ráézük egy városi, vagy közúti térképre, a térkép egy olya gráf, amelyek csúcsait a közlekedési csomópotok, éleit pedig a csomópotokat összekötő utak alkotják..ábra: fiomított térkép-gráf a teljese részletes hálózatig, a csúcsok halmazába az összes kereszteződés is megjeleik, és az élek is kibővülek az összes útszakasszal.
hálózatba téylegese szakaszok kooperálak és ezek az elemek alkotják a hálózati gráf csúcsait. Egyszerű példakét tekitsük a 4. ábrá látható, éháy beszámozott elem rádolgozó ill. zavaró kooperációját:. elem kooperál a. 3. 4. 5. és 6.-al. 3. elem kooperál a 7.-el. 7. elem kooperál a 8. és 9.-el. 3.ábra: részletezett térkép-gráf Tehát ez a leírás természetes módo adta azt a szemléletet, hogy a közpoti helyet a csomópotok (kereszteződések foglalják el u.i., ők a gráf csúcsai és a forgalom leboyolításáál a csúcsok kooperálak egymással az őket összekötő útszakaszoko keresztül. Eek ige kiterjedt és moder kutatási iráyai az itelliges csomópotok, egymással kooperáló csomópotok - ágesek, játékelméleti módszerek stb. területei jeletkezek. Külö fotos kutatási terület a körforgalmú csomópotok vizsgálata is. Tehát, valóba agyo fotos a csomópotok optimális működése a redszerbe, azoba, ha alaposabba átgodoljuk a szerepüket, ők a szükséges rosszak a hálózatba. A közlekedés szempotjából, az elee az ideális, ha miél kevesebb keresztező forgalom lee! Sőt, ha ők em is létezéek és mide potból mide potra keresztező forgalom élkül lehete el juti! Nyilvá ez abszurd, de ez a godolat elvezet beüket egy más megközelítéshez. Felveti azt a kérdést, hogy valóba szükséges, hogy a csomópotok legyeek a vizsgálatok közpoti helyé? A jó válasz erre az, hogy a közlekedés szempotjából, a hálózat egészét kell a vizsgált közpoti helyére tei. 3. A HÁLÓZATI MODELL ELEMEI, ÁLLAPOTJELLEMZŐK. AZ ÁLLAPOTJELLEMZŐKTŐL FÜGGŐ SZABÁLYOZOTT KOOPERÁCIÓK, HÁLÓZATI KAPCSOLATOK ÉS A MATEMATIKAI MODELL. A modell elemei A hálózat alkotó elemei, első megközelítésbe a sávszakaszok és a defiiált parkolók és hozzájuk sorolhatók az utak melletti parkoló sávokat is. Köye belátható, hogy a defiiált parkolók, valamit az utak melletti parkoló sávok a hálózat működésébe, mit általáosított szakaszok veszek részt, tehát az egész 4.ábra: a hálózat alkotó elemei Az iráyított gráf élei diamikus relációk, ugya is a kapcsolatba álló, (kooperáló csúcsok közötti kapcsolatok diamikusak. Ezt a kapcsolatot írja le a kapcsolati mátrix. Ez figyelembe vesz mide, a térkép által tartalmazott elemet és midazokat a szabályokat (ide értve a lámpákat is, amelyek megadják, hogya törtéik a közlekedés? (A szabályok az elemeke törtéő közlekedés, továbbá az egyik elemről a másikra törtéő átlépés feltételeit írják elő. A térképük fotos paramétereket is tartalmaz még, sávszakaszok hossza, szélessége, száma, parkolókba elhelyezhető járművek száma, megegedett sebességek számszerű értékei, ezeket már a diamikus modell paramétereiél vesszük figyelembe. Ez a modell tehát, az egész hálózatot vizsgálja a teljes kapcsolatredszer mellett. Ebbe öálló elemkét már em jeleik meg a csomópot, ugyais mide csomópot működése része a teljes kapcsolatredszerek! A közlekedési hálózat éháy specialitása:. A párhuzamos sávok hatással vaak egymásra. Ez a kölcsöhatás, ami egymásra törtéő átdolgozás, egymás zavarása, befolyásolja a párhuzamos sávoko kialakuló járműsűrűséget és a járművek sebességét.. A szembejövő forgalom is hatással va a jobb és baloldali sávra. Ez a kölcsöhatás, megléte egymás előzések következtébe fellépő zavarásába mutatkozik meg. 3. A defiiált parkolók, valamit az utak melletti parkoló sávok a hálózat működésébe, mit általáosított szakaszok veszek részt, és az ott leparkolt járművek is kölcsöhatásba vaak azokkal a hálózati szakasokkal, ívekkel, amelyekkel közvetle forgalmi kapcsolatba állak. Ez, az időbe változó itezitású kapcsolat, képes pl. ömagába is csúcsterhelést létrehozi a vizsgált hálózato aélkül, hogy erre a hálózatra egy defiiált külső hálózatról forgalom beérkeze.
4. Jármű átadást éritő belső autoómizmusok is működek a kapcsolatba álló hálózati elemek között. Pl. hiába zöld a lámpa, em törtéik átadás, ha túl agy a járműsűrűség felvevő szakaszo, vagy ulla az átadó szakaszo. Állapotjellemző, kapcsolata a hagyomáyos sűrűséggel Modellükbe a (geometriai járműsűrűség alatt azt az s dimezió élküli (0 s mérőszámot értjük, amely az egy szakaszo tartózkodó járművek együttes hosszáak és a szakasz hosszáak aráyát méri. A belső hálózat útszakaszai fellépő sűrűségek a redszer állapotjellemzői. Az db. belső szakaszból álló közlekedési hálózati modellük írja le azt a közúti/városi közlekedési redszert, amely egy zárt görbével körülhatárolt tartomáyába helyezkedik el. Ez esetbe a (H B belső hálózato kialakuló járműsűrűségek a redszer állapotjellemzői, redre x (t, x (t, x 3 (t,, x (t. A modell, a (H K külső hálózat azo részhálózatát is haszálja, amely olya m db. szakaszból áll, amelyekek közvetle kapcsolatuk va valamely belső szakasszal. Az ezeke kialakuló járműsűrűségeket jelöli s (t, s (t,, s m (t, amelyeket mérések alapjá ismerük. A hálózatot leíró matematikai modellük figyelembe veszi a hálózat tartomáyo belüli belső és a tartomáyo kívüli külső kapcsolatait is (5. ábra: irodalom eredméyei, lásd Greeshields (lieáris, Kladek, Greeberg (logaritmikus, Pipes ad Mujal, Drew, Uderwood, Drake, Zachor, Edie, Kövesé Gilicze Éva, - Debreczei Gábor [9]. A parkolók a hálózat működésébe, mit általáosított szakaszok veszek részt. Egy P i parkolóba legye a férőhely N i és legye t időpotba i (t db. Jármű a parkolóba. Ekkor tekitsük az x i (t= i (t/ N i állapotjellemzőt, amelyre egyrészt teljesül: 0 x i (t feltétel, másrészt, h egységjármű hosszat feltételezve: x i (t= i (t*h/ N i *h, tehát defiiálható az l i = N i *h fiktív szakasz, amelye i (t*h hosszat foglalak el a járművek (6. ábra: 6. ábra: a parkolók általáosított szakaszok Az állapotjellemzőktől függő szabályozott kooperációk, hálózati kapcsolatok és a matematikai modell. A hálózati matematikai modell megalkotásához tehát, alapvető fotossággal bírt a hálózatot defiiáló kapcsolati mátrix, amely egy hipermátrix. [,,3]. 5. ábra: a belső és külső hálózat kapcsolatai Hagyomáyosa, járműsűrűség, vagy forgalomsűrűség alatt az egységyi útszakaszo, adott, t időba található járművek számát érti a szakirodalom (Megjegyzedő, hogy ez a meyiség ameyibe erre az áramlástai modellalkotás esetébe szükség va - differeciális alakba is alkalmazható. Jele: pl. S, mértékegysége lehet: [járműszám/km] Az így most bevezetett s dimezió élküli (geometriai sűrűség fogalom közvetleül átszámítható a hagyomáyos S sűrűségre a méterbe mért, h egységjármű hossz statisztikai fogalom felhaszálásával: s=s*h/000, vagy S=000*s/h 7. ábra: a belső és külső hálózat kapcsolatai hipermátrixa A kapcsolati mátrixok felírása azt a kapcsolatot adja meg, amikor egy j szakasz kooperál az i szakasszal: Ez által, természetese erre az s (geometriai sűrűségre is alkalmazható a sebesség-sűrűség kapcsolatát feltáró
Vezessük be a V(x, x,, x = l *x + l *x + + l *x függvéyt, amelyél 0<l i, az x i állapotjellemzőhöz tartozó szakasz hosszát jeleti. Rövide L =[ l, l, l ] és x skaláris szorzata: V(x, x,, x = L*x (3 8. ábra: a kapcsolatai mátrix A tárgyalt modell alkalmazható a agyméretű közúti közlekedési hálózatok szimulációs vizsgálatára, tervezésére és a közlekedési redszerek szabályozására. A 7. ábrá látható hipermátrix részletezve az alábbi: A V(x skalár-vektot függvéy pozitív defiit, mert: V(x=0, csak ha x=0 V(x>0, értelmezési tartomáyába mide emzérus x állapotjellemzőre. Képezzük a W függvéyt: W=d V(x/dt=( V/ x (d x /dt+. + ( V/ x (d x /dt = = l * d x /dt + l * d x /dt + + l *dx /dt = L* x K külső 9. ábra: a kapcsolatai hipermátrix részletezve A K belső és a K outp mátrixból képzett K kostruált mátrix szerepel a matematikai modellt alkotó differeciálegyeletredszerbe: Tehát W a ( egyeletredszer egyes egyeleteiek jobb oldalá szereplő tagok összege, amelyekél az l i szakaszhossz paraméterek kiesek az <L> - diagoális mátrixal törtét szorzás miatt.( <L> - diagoális mátrix a főátlójába a szakaszhosszak reciprokait tartalmazza. K(x,s kapcsolati mátrix kostrukciójából adódóa, az összegzés utá K belső mátrix mide eleme kiesik a W függvéyt alkotó függvéyek közül (az x i együtthatókál csak K outp mátrixba szereplő elemek lépek fel, az s i együtthatókál pedig csak K iput mátrixba szereplő elemek lépek fel. m m m W= ao i,, x x ao i,, x x ao i,, x x + ai i, ( s s + ai i, ( s s + ai i, ( s m s m i = 0. ábra: a K kostruált mátrix A matematikai model. A matematikai modell felírásakor a belső szakaszok x(t állapotjellemző vektorára az alábbi elsőredű emlieáris differeciálegyelet-reszert kaptuk [,,3]. x(t ( x = </l i> ( x [ K ( x x(t ( x + K ip ( x m s(t (m x ] ( Ahol: </l i > a belső szakaszhosszak reciprokait tartalmazó diadoális mátrix, a K(x(t,s(t és K ip (x(t,s(t kapcsolási mátrixok elemei a kapcsolási függvéyeket és a sűrűségi állapotoktól függő függvéyeket tartalmazzák, az elemek fizikai jeletése sebesség. A redszer pozitív redszer, a modell léyegét tekitve makroszkopikus modell. 4. STABILITÁS ÉS A LJAPUNOV STABILITÁSSAL MEGVALÓSÍTOTT IRÁNYÍTÁS Tekitsük az ( differeciálegyelet-redszert kissé tömörebb alakba: x =<L> - [K(x,s x + K iput (x,s s] ( Az állapotjellemzőkre igaz, hogy: 0<x i < (i=,, Tehát a redszer stabilis, ha a peremeke a kiszállítás agyobb, mit a peremeke törtéő beszállítás. m m m ai i, ( s s + ai i, ( s s + ai i, ( s m s < m ao i,, x x + ao i,, x x + ao i,, x x i = Rövide: F iput < F output (4 Az autoóm redszer viszot midig stabilis, ekkor ugyais: s := 0 s := 0 s m := 0 m m m W = ao i,, x x ao i,, x x ao i,, x x i = mivel a szummákba szereplő sebességek em egatívak. A Ljapuov függvéy fizikai jeletésére: Vizsgáljuk meg a V(x, x,, x = l *x + l *x + + l *x függvéy fizikai jeletését. A defiíciók szerit: x i = i *h/ l i ahol: i az i-ik szakaszo tartózkodó járművek száma h egységjármű hossz
i *h/ l i helyettesítés utá: V = ( + + + *h a tartomáyba tartózkodó összes jármű számával aráyos. Potosabba: V az adott t időpotba a belső úthálózato a járművek által elfoglat összes úthosszat adja meg. Tehát, V(t t-szeriti deriváltjáak egatív értéke, az összes jármű szám csökkeését, illetve az elfoglat összes úthossz csökkeését jeleti a belső úthálózato. Ez a (4 vizsgálati eredméy, a Ljapuov függvéyt alkalmazó iráyítási törvéyt ad meg, amely elégséges feltételt ad a redszer aszimptotikus stabilitására és diamikusa alkalmazható a teljes tartomáyo, ill. azoko a szubtartomáyoko, ahol kritikus helyzet lép fel. Valójába ezek (a tartomáyo kívüli beveszető útszakaszoko mért járműsűrűségek, mit gerjesztések, a tartomáyo kívüli kivezető szakaszoko mért járműsűrűségek pedig, mit fojtások együtt alkotják a matematikai modell téyleges iput-folyamatai. A tartomáy útszakaszai fellépő x i (t sűrűségek a redszer állapotjellemzői. belső és m külső útszakaszból álló közlekedési hálózati modellt alkalmazuk. Ebbe a tartomáyba a térkép alapjá beszámozuk mide figyelembe veedő útszakaszt és parkolót. A matematikai modell megalkotásához alapvető fotossággal bír a hálózatot defiiáló kapcsolati mátrixok megadása (7. ábra. A modellük égy kapcsolati mátrixot alkalmaz. Végül, emlieáris hálózati modellt vizsgáluk. ( IRODALOM. ábra: Ljapuov függvéyt alkalmazó iráyítási törvéy a tartomáyo, ill. szubtartomáyok 5. ÖSSZEFOGLALÁS A tárgyalt modell alkalmazható a agyméretű közúti közlekedési hálózatok szimulációs vizsgálatára, tervezésére és a közlekedési redszerek szabályozására. Speciális makroszkópikus modellt alkalmaztuk, ezáltal elkerüljük, a parciális differeciál-egyeletredszerekre vezető matematikai modellt. Speciális modellükbe em kap kitütetett szerepet a csomópot! Szakaszok vaak, amelyek kooperálak, vagy em. (Pl. Speciális szakasz a parkoló is és kooperálhat két párhuzamos sáv is. Modellükbe a járműsűrűség alatt az egy szakaszo tartózkodó járművek együttes hosszáak és a szakasz hosszáak aráyát értük. A közúti közlekedési modellük egy zárt görbe által körülhatárolt, - em feltétle egyszerese összefüggő - tartomáyba elhelyezkedő úthálózat szakaszakaszai, az áramlás következtébe fellépő járműsűrűségeket vizsgálja. A tartomáyba beáramló és oa kiáramló járműfolyamatokat ismeretek tekitjük. Ezek a közlekedési folyamatok - első ráézésre - iputjai és outputjai a közlekedési redszerek. [] Péter T. - Bokor J.: Járműforgalmi redszerek modellezése és iráyításáak kutatása. A jövő járműve,bp,06,- pp9-3. [] Dr. Péter T. Dr. Bokor J.: Nagy méretű közúti közlekedési hálózatok emlieáris modelljéek kapcsolati hipermátrixa, A jövő járműve,-. Budapest, 007 [3] Péter T. Itelliges közlekedési redszerek és járműkotroll. Előírások a közlekedés biztoságáak övelésére. Bp.005. pp.-465. Magyar Mérökakadémia Symposium. [4] Dr. Péter T. Stróbl A. Fazekas S.: Hazai szoftverfejlesztés a agyméretű közúti közlekedési hálózatok folyamataalízisére, Budapest, 007 Magyar Mérökakadémia: Iováció és Fetarható Felszíi Közlekedés [5] Drew, D. R.:Traffic Flow Theory ad Cotrol, New York, McGarw-Hill Book Compay, 968 [6] Maklári J.: Közforgalmú csomópotok teljesítőképességéek vizsgálata. Városi közlekedés 00/4 [7] Markos Papageorgiou: Cocise Ecyclopedia of Traffic ad Trasportatio Systems. Pergamo Press, 99. [8] Kachroo P. - Özbay K.: "Feedback Cotrol Theory for Dyamic Traffic Assigmet", Spriger, 999. [9] Kövesé dr. Gilicze Éva - Dr. Debreczei Gábor Itelliges közúti közlekedési redszerek és út-jármű redszerek matematikai modellezése és aalízise, (004. /OM. Kutatási jeletés/