Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott 40 feladatból legalább 28 feladatot tökéletesen megold. Az elfogadott feladatok száma eddig: Név 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Σ Árvai Dániel 2 1 3 Bali Gábor 2 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 24 Kiss Gábor István 1 3 3 3 1 2 2 1 2 1 1 1 0 21 Nedényi Fanni 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 2 5 39 Pogonyi Péter 1 3 3 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 20 Róka Gáspár 2 3 3 3 1 2 2 3 2 2 1 1 2 27 Szél István 1 3 3 3 1 2 2 2 1 1 1 1 1 22 Torma Zsolt 3 3 1 2 2 1 1 3 2 1 1 2 2 24 Zarnócz Tamás 3 1 2 2 1 1 1 2 2 15 1

1. Valószín ségi változók és vektorváltozók által generált σ-algebrák 1. Legyen az eseménytér az Ω=[ 1,1] halmaz, és legyen az események halmaza a Borel halmazok eseménytérre vett megszorítása, tehát A = B [ 1,1]. Tekintsük az véletlen változót. X : Ω R, X(ω) = ω 2, a. Adjuk meg az X változó által generált σ-algebrát. b. Deniáljunk egy olyan Y változót, melyre σ(x) σ(y ). Milyen függvénykapcsolat írható fel X és Y között? c. Adjunk meg egy olyan Z változót, hogy a σ(x) és a σ(z) halmazrendszer közül egyik se tartalmazza a másikat. 2. a. Deniáljunk egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez t, rajta pedig a hozzárendelési szabályok megadásával egy X és egy Y változót olyan módon, hogy az (X, Y ) pár két szabályos dobókocka független feldobását modellezze. b. Adjuk meg az (X, Y ) vektor, valamint az XY szorzat által generált σ-algebrát. Milyen tartalmazási reláció van a két σ-algebra között? c. Adjunk meg egy Z változót olyan módon, hogy σ(x, Y ) = σ(xy, Z) teljesüljön. 3. Legyen Ω az origó középpontú egységnyi sugarú zárt körlap a valós síkon, és tekintsük a Borel halmazok megszorítását az eseménytérre, mint eseményeket. Legyen X = X(ω) az ω pont els koordinátája, továbbá legyen Y = Y (ω) az ω pontnak az origótól vett távolsága. a. Határozzuk meg az X, az Y és az (X, Y ) változó által generált σ-algebrát. b. Létezik-e olyan A A esemény, mely nem eleme a σ(x, Y ) halmazrendszernek? Ha igen, akkor adjunk rá példát. 2

2. Kolmogorov 01 törvénye és a BorelCantelli lemmák 1. Tekintsünk egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett X 1, X 2,... változókat. A Cauchy-féle konvergenciakritérium alkalmazásával mutassuk meg, hogy az A = {ω Ω : az X n (ω) sorozat konvergens} Ω halmaz eleme a változók által generált σ-algebrának. Mondjunk ki és bizonyítsunk be egy állítást az A esemény valószín ségér l. 2. Legyen X 1, X 2,... független és azonos eloszlású véletlen változó, melyre P (X n = 1) = p és P (X n = 1) = 1 p, n = 1,2,..., valamely rögzített p (0,1), p 1/2, esetén. Mutassuk meg, hogy az S n = X 1 + +X n, n = 1,2,..., sorozat 1 valószín séggel a 0 értéket csupán véges sok n-re veszi fel. A bizonyításban használjuk fel a Stirling-formulát, mely szerint n! ( n ) n 2nπ, n. e (Azt mondjuk, hogy az a n és a b n sorozat asszimptotikusan egyenl, azaz a n b n, ha a n /b n 1, amint n.) 3. Legyen X 1, X 2,... független standard normális eloszlású véletlen változó. Mutassuk meg, hogy ( ) X n P lim inf = 1 = 1. n 2 log n A bizonyításban használjuk fel azt a rendkívül hasznos egyenl tlenséget, hogy a standard normális eloszlás Φ(x) eloszlásfüggvényére és ϕ(x) s r ségfüggvényére ( 1 x 1 ) ϕ(x) 1 Φ(x) 1 x 3 x ϕ(x), x > 0. 3

3. Eloszlásfüggvény és marginális eloszlásfüggvény Tekintsünk egy tetsz leges n pozitív egészet, továbbá p 1,..., p n 0 értékeket, melyekre p 1 + +p n = 1. Azt mondjuk, hogy az (X 1,..., X n ) diszkrét vektorváltozó polinomiális eloszlást követ n, m, p 1,..., p n paraméterekkel, ha súlyfüggvénye P ( X 1 = k 1,..., X n = k n ) = m! k 1! k n! pk 1 1 p kn n, ahol k 1,..., k n nemnegatív egész és k 1 + +k n = m. Legyen n, m 1,..., m n, k tetsz leges pozitív egész. Azt mondjuk, hogy az (X 1,..., X n ) diszkrét változó polihipergeometrikus eloszlást követ n, m, m 1,..., m n paraméterekkel, ha súlyfüggvénye P ( ( ) m1 ) ( X 1 = k 1,..., X n = k n = k 1 mn ) k n ), ahol k 1,..., k n nemnegatív egész és k 1 + +k n = m. ( m1 + +m n m 1. a. Egy kísérlet megadásával deniáljuk az X 1,..., X n valószín ségi változókat olyan módon, hogy (X 1,..., X n ) polinomiális eloszlást kövessen adott n, m, p 1,..., p n paraméterekkel. Határozzuk meg a polinomiális eloszlás marginális eloszlásait. b. Oldjuk meg az a. feladatot polinomiális helyett polihipergeometrikus eloszlásra. 2. Legyen az (X, Y ) vektorváltozó egyenletes eloszlású az origó középpontú egységnyi sugarú zárt körlapon. Adjuk meg X és Y együttes eloszlásfüggvényét és s r ségfüggvényét. Határozzuk meg a marginális eloszlás- és f r ségfüggvényeket. Mennyi az X és Y közötti korreláció? Független a két változó egymástól? 3. Legyen F (x) és G(x), x R, két egydimenziós eloszlásfüggvény, és legyen α [ 1,1] tetsz leges valós szám. Mutassuk meg, hogy ekkor [ H(x, y) = F (x)g(y) 1+α ( 1 F (x) )( 1 G(y) )], x, y R, kétdimenziós eloszlásfüggvény. Mik a kapcsolatos marginális eloszlásfüggvények? 4

4. Véletlen változók transzformáltjai 1. Azt mondjuk, hogy az Xvéletlen változó Cauchy eloszlású a>0 és b R paraméterrel, ha s r ségfüggvénye f(x) = 1 π a a 2 +(x b) 2, x R. Legyen X Cauchy a=1 és b=0 paraméterrel. Adjuk meg arctg X és 1/X eloszlását. (Megoldásként nevezetes eloszlásokat kérek.) 2. Tekintsük az 0, x < 0, x/4, 0 x < 1, F (x) = 1/2, 1 x < 2, 1 1/x, 2 x, h(x) = { x 2, x 1, x 2, x > 1, függvényeket, és legyen X olyan változó, melynek F (x), x R, az eloszlásfüggvénye. Határozzuk meg h(x) várható értékét. 3. a. Legyen X és Y független exponenciális eloszlású változó λ és µ paraméterrel. Mutassuk meg, hogy min(x, Y ) Exp(λ+µ) és P ( min(x, Y ) = X ) = λ λ+µ. b. Legyen X 1,..., X n független exponenciális eloszlású változó rendre λ 1,..., λ n paraméterrel. Az a. pont eredményeinek felhasználásával adjuk meg a min(x 1,..., X n ) változó eloszlását, valamint a valószín ségeket. P ( min(x 1,..., X n ) = X k ), k = 1,..., n, 5

5. Véletlen változók összege, szorzata és hányadosa 1. Legyen az U és a V változó független és egyenletes eloszlású a [0,1] intervallumon. Adjuk meg U +V, U V, UV és U/V s r ségfüggvényét. 2. Tegyük fel, hogy egy tárgyból a tételsor N darab témakört tartalmaz, melyek 0-tól (N 1)-ig vannak számozva. A vizsgán a tételhúzás úgy történik, hogy az oktató és a hallgató felír egy-egy 1 és N közötti számot egy-egy papírra, ezután megmutatják egymásnak a felírt értékeket, és veszik a számok összegének N-nel vett maradékát. Elméletileg igazságos ez a sorsolási mód? Mi lehet az oka annak, hogy a valóságban bizonyos tételeket mégis gyakrabban sorsolnak ki? 3. Mutassuk meg, hogy egy exponenciális és egy t le független geometriai eloszlású változó összege abszolút folytonos változó. Mi az összeg s r ségfüggvénye? 6

6. Véletlen változók generátorfüggvényei 1. Az X valószín ségi változó r-edrend (r=1,2,... ) negatív binomiális eloszlást követ p (0,1) paraméterrel, ha eloszlása ( ) k 1 P (X = k) = p r (1 p) k r, k = r, r +1,... r 1 Az els rend negatív binomiális eloszlást p paraméteres geometriai eloszlásnak is szokás nevezni. a. Mutassuk meg, hogy r darab független p paraméteres geometriai eloszlású változó összege r-edrend p paraméteres negatív binomiális eloszlást követ. Ezek alapján mi a negatív binomiális eloszlás jelentése, milyen alkalmazási területe van neki? b. Határozzuk meg a negatív binomiális eloszlás várható értékét és szórását. 2. a. Feldobok két szabályos dobókockát. Adjuk meg a számok összegének eloszlását. b. Átszámozzuk a dobókockákat olyan módon, hogy továbbra is pozitív egész értéket írunk a lapokra, de megengedjük, hogy hatnál nagyobb számok is szerepeljenek, és azt is, hogy bizonyos értékek egy-egy kockán akár többször is el forduljanak. A két kockát akár két különböz módon is átcimkézhetjük. Megtehet -e ez az átszámozás olyan módon, hogy a dobott számok összegének eloszlása ugyanaz legyen, mint két szabályos kocka esetén? 3. Egy pénzfelvev autómatánál két m veletet lehet végrehajtani: készpénzt felvenni és mobiltelefon egyenleget feltölteni. A reggeli nyitás után a terminálhoz egymástól független λ > 0 paraméteres exponenciális id közönként érkeznek az ügyfelek, akik egymástól függetlenül p (0,1) valószín séggel választják az egyenlegfeltöltés és 1 p valószín séggel a készpénzfelvétel menüpontot. Legyen T az els egyenlegfeltöltés id pontja. Határozzuk meg T eloszlását. 7

7. Véletlen változók eloszlásbeli konvergenciája 1. Legyen X 1,..., X n független és a [0,1] intervallumon egyenletes eloszlású véletlen változó, továbbá legyen M n = max(x 1,..., X n ). Adjuk meg az a n > 0 és a c n R sorozatot olyan módon, hogy (M n c n )/a n eloszlásban konvergáljon, amint n. Határozzuk meg a határeloszlást is. 2. Adott egy urna, benne n darab golyó 1-t l n-ig számozva. Visszatevéssel kihúzunk n golyót, és jelölje X n a kapott értékek legkisebbikét. Mutassuk meg, hogy az X n sorozat konvergál eloszlásban, amint n, és adjuk meg a határeloszlást. 3. Tekintsünk egy berendezést, és tegyük fel, hogy p annak az esélye, hogy a m szer meghibásodik egy rövid 0 < p < 1 hosszúságú id intervallumon. Adjuk meg a m szer X élettartamának eloszlását. Ezt úgy fogjuk megtenni, hogy vesszük a ((k 1)p, kp], k =1,2,... alakú id intervallumokat, és legyen Y =Y (p) annak az intervallumnak a sorszáma, ahol a berendezés tönkremegy. Ekkor py jó közelítés a teljes élettartamra, és X eloszlása megkapható, mint py határeloszlása, ha a beosztás p nomsága tart a nullához. Adjuk meg X eloszlását. 8

8. Konvergenciatípusok 1. Egy r > 0 rögzített valós szám mellett adjunk példát X 1, X 2,... független véletlen változókra olyan módon, hogy a. az X n sorozat 1 valószín séggel konvergáljon, de ne konvergáljon r. középben; b. a sorozat konvergáljon r. középben, de ne konvergáljon majdnem biztosan; c. a sorozat konvergáljon sztochasztikusan, de ne konvergáljon sem r. középben, sem majdnem biztos értelemben. 2. Legyen Z 1, Z 2,... független standard normális eloszlású véletlen változó, és legyen Y n = Z 1 + +Z n n, n = 1,2,... a. A korábbi tanulmányaink alapján mit mondhatunk az Y n sorozat asszimptotikus viselkedésér l? b. Mutassuk meg, hogy az Y n sorozat konvergál r. középben tetsz leges r>0 esetén. 3. Tegyük fel, hogy Z n =(X n, Y n ), n=1,2,..., eloszlásban konvergál a Z =(X, Y ) vektorváltozóhoz. Mutassuk meg, hogy ha X n és Y n minden n-re független egymástól, akkor X és Y is független. +1. Legyen X 1, X 2,... független véletlen változó. Bizonyítsuk be, hogy ha X n X sztochasztikusan, akkor az X változó degenerált, tehát P (X = c) = 1 valamely c valós számra. (Tipp: Használjuk a 3. feladat állítását.) 9

9. A normális eloszlás 1. Tekintsünk két értékpapírt, melyek jelenlegi ára megegyezik, és jöv beli értéke véletlen. Legyen a két értékpapír árfolyama egy év múlva X illetve Y, ahol az X és az Y véletlen változó együttesen normális eloszlást követ, és E(X)=1100, D(X)=100, E(Y )=1200, D(Y )=200, corr(x, Y )= 0,75. a. A Value-at-Risk (VaR) a közgazdászok által kedvelt kockázati mérték. Egy X normális eloszlású befektetés α-var értéke (0 < α < 1) az az x R szám, melyre P (X < x) = α, tehát melyre pontosan α annak a valószín sége, hogy a befektetés jöv beli értéke x alatt marad. Határozzuk meg a két részvény 5%-os VaR értékét. b. Egy rögzített pénzmennyiséget felhasználva a két részvényb l szabadon összeállíthatunk egy portfóliót. Milyen arányban vásároljunk az egyes részvényekb l, ha az a célunk, hogy a portfólió egy év múlva vett értékének szórása minimális legyen? Tegyük fel, hogy egy év múlva eladjuk a portfóliót, és legyen Z az egy értékpapírra jutó átlagos bevétel. Adjuk meg a Z változó 5%-os VaR értékét. c. Válaszoljunk a b. feladat kérdéseire azzal a módosítással, hogy corr(x, Y )=0,75. 2. Adott tíz ember, kiknek a tömege X 1,..., X 10 együttesen normális eloszlású véletlen változó. Legyen E(X i ) = 80, D(X i ) = 20, corr(x i, X j ) = 1, i, j = 1,...,10, i j. Határozzuk meg az S = X 1 + + X 10 összeg eloszlását. Vegyük észre, hogy ez az eredmény tartalmaz egy ellentmondást. Mi ez az ellentmondás, és mi a feloldása? 3. Mindenki ismeri azt a jelenséget, hogy egy porszem a leveg ben nem egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, hanem egy cikkcakkos utat fut be. Ez azzal magyarázható, hogy a rendezetlen mozgást végz leveg molekulák folyamatosan lökdösik a porszemet, és emiatt a porszem sebességvektorának nagysága és iránya pillanatról pillanatra változik. Ezt a jelenséget el ször Robert Brown angol botanikus írta le 1827-ben, amikor vízben úszó pollenszemeket tanulmányozott mikroszkóp alatt. A tiszteletére a jelenségre adott matematikai modellt Brown-mozgásnak nevezzük. A továbbiakban az egyszer ség kedvéért egydimenzióban vizsgáljuk a problémát, azaz a részecske x tengely mentén való elmozdulását vizsgáljuk a t id függvényében. A matematikai modellben az út-id függvény egy W (t), t 0, valós érték és folytonos véletlen függvény, melyre teljesül, hogy tetsz leges n=1,2,... és t 1,..., t n 0 esetén a W (t 1 ),..., W (t n ) változók együttesen normális eloszlást követnek, továbbá W (0)=0 m.b., E ( W (t) ) =0, Cov ( W (s), W (t) ) =min(s, t), s, t 0. Tegyük fel, hogy a részecske az s 0 id pontban az x R helyen van. Határozzuk meg a t 0 id pontbeli pozíciójának eloszlását és várható értékét. Tehát, adjuk meg a W (t) változó feltételes eloszlását és feltételes várható értékét a W (s)=x feltételre nézve. Értemezzük a kapott várható értéket. (Tipp: Válasszuk külön a t < s és a t > s esetet.) 10

10. Feltételes eloszlás és feltételes várható érték I. 1. Egymástól függetlenül feldobok két szabályos dobókockát, és legyen X és Y a két kapott érték. a. Milyen függetlenségi kapcsolat áll fenn az X +Y és az X Y változó között? b. Mutassuk meg, hogy E[X +Y X Y ] = 7 = E[X +Y ]. 2. Legyen X exponenciális eloszlású véletlen változó, és legyen Y = X. a. Adjuk meg az Y változónak az X változóra vett feltételes eloszlását és feltételes várható értékét. b. Oldjuk meg az a. feladatrészt a két változó szerepének felcserélésével. 3. Egy m szaki berendezés esetében az üzembe helyezett darabok 0,1 valószín séggel mennek tönkre egy adott hónap alatt. Egy törvényi el írás miatt egy berendezést hat hónap után akkor is le kell selejtezni, ha addig hibaentesen m ködött. Jelölje X a szolgálatban töltött (megkezdett) hónapok számát. a. Adjuk meg az X változó eloszlását és várható értékét, feltéve, hogy a berendezést nem a törvényi el írás miatt selejtezzük le, hanem azért, mert korábban tönkremegy. b. Adjuk meg az X változó feltétel nélküli eloszlását és várható értékét. c. A berendezéseket egy beszállítótól rendeljük meg, és átvétel után teszteljük ket. Az a tapasztalat, hogy az átvett berendezések 5 százaléka gyártási hibás, ezeket nem tudjuk üzembe helyezni. Legyen Y egy frissen érkezett, még nem tesztelt berendezés esetében a szolgálatban töltött id. Határozzuk meg az Y változó eloszlását és várható értékét. 11

11. Feltételes eloszlás és feltételes várható érték II. Tétel. (A s r ségfüggvények transzformációs tétele többdimenziós esetben.) Tekintsünk X =(X 1,..., X n ) T és Y =(Y 1,..., Y n ) T véletlen oszlopvektortokat. Tegyük fel, hogy az X változó abszolút folytonos f(x), x R n, s r ségfüggvénnyel, és X =AY +m, ahol A R n n nem elfajuló mátrix és m R n. Ekkor Y is abszolút folytonos, és s r ségfüggvénye g(y) = det(a) f(ay +m), y R n. 1. Adott 10 urna, melyek 1-t l 10-ig vannak megszámozva, de kívülr l egyformák. Az n. urnában rendre n darab golyó található, melyeken 1-t l n-ig szerepelnek az egész értékek. Véletlenszer en kiválasztunk egy urnát, majd abból kihúzunk egy golyót. Legyen X az urna sorszáma, Y pedig a golyón szerepl érték. a. Határozzuk meg X és Y együttes eloszlását, valamint a két változó várható értékét és korrelációs együtthatóját. b. Adjuk meg az Y változónak az X = 4 eseményre vett feltételes várható értékét. Melyik golyónak a legnagyobb az esélye, ha a negyedik urnából húztunk? c. Adjuk meg a választott urna sorszászának várható értékét, ha a 6-os számú golyót húztuk ki. Melyik urnának a legnagyobb a valószín sége az Y = 6 feltétel mellett? 2. Legyen a Λ valószín ségi változó exponenciális eloszlású 1 várható értékkel, és legyen X feltételes eloszlása szintén exponenciális Λ paraméterrel. a. Határozzuk meg X eloszlásfüggvényét és várható értékét. b. Mi Λ eloszlása és várható értéke, ha tudjuk, hogy X értéke 10. c. Rögzített x > 0 mellett adjuk meg a Λ változónak az X > x eseményre vett feltételes eloszlását és feltételes várható értékét. 3. Tekintsünk X 1,..., X n+1 független és azonos eloszlású exponenciális változókat, és legyen S k = X 1 + + X k, ahol k = 1,..., n + 1. Határozzuk meg az S 1,..., S n változóknak az {S n+1 = 1} eseményre vett feltételes együttes s r ségfüggvényét. Hol találkoztunk korábban ezzel a s r ségfüggvénnyel? (Tipp: Alkalmazzuk a fenti transzformációs tételt.) 12

12. A nagy számok tételei és a centrális határeloszlás-tételek A gyakorlaton sajnos elkövettem egy hibát, melyet most javítok. A hiba annál a feladatnál történt, mikor az S n polinomiális eloszlású vektorváltozóra mondtunk ki és bizonyítottunk be egy MoivreLaplace típusú határeloszlástételt. A hiba forrása az volt, hogy rosszul írtam fel a többdimenziós centrális határeloszlás-tételt. A tétel helyesen így szól: Tétel. (Többdimenziós CHT.) Ha X 1, X 2,... független és azonos eloszlású d-dimenziós véletlen vektorváltozó, melyre µ = E(X) és Σ = Cov(X) <, akkor (X 1 + +X n ) nµ n D N d (0, Σ), n. A feladat megoldását azon az egy ponton kell módosítani, hogy az órán bevezetett µ vektorral és Σ mátrixszal az S n polinomiális változóra az állítás helyesen: S n nµ n D N d (0, Σ). Ha vesszük a két oldalon szerepl vektorok els komponenseit, akkor az órai jelölésekkel k n (A 1 ) np 1 n D N d (0, σ 1,1 ) = σ 1,1 N(0,1). Mivel most σ 1,1 = p 1 (1 p 1 ), ebb l azonnal jön a klasszikus MoivreLaplace tétel: k n (A 1 ) np 1 D N(0,1). np1 (1 p 1 ) Ez az, amit az órán nem sikerült kihoznom. Elnézést a kellemetlenségekért! 1. Mutassuk meg, hogy tetsz leges f(x), 0 x 1, folytonos valós függvény esetén 1 lim n 0 1 0 f ( ) ( n 1 x 1 x n dx1 dx n = f. e) 2. a. Legyen az X n változó n-edrend negatív binomiális p paraméterrel. A centrális határeloszlás-tétel alkalmazásával adjuk meg px n n n(1 p) határeloszlását, amint n. b. A kedvenc sportcsapatom egymástól függetlenül 0,51 valószín séggel nyeri meg a mérk zéseit a bajnokságban. A csapat nemrégiben ünnepelte a századik gy zelmét. Közelít leg mennyi annak a esélye, hogy ehez 200 meccsnél többet kellett lejátszani? 13

3. Tekintsünk X 1, X 2,... független véletlen változókat, melyek eloszlása rendre P ( X n = n α) = 1 2n = P ( X 2α n = n α), P ( X n = 0 ) = 1 1, n = 1,2,..., n2α valamely α > 0 konstanssal. a. Határozzuk meg, hogy mely α értékek esetén fog az X n sorozat sztochasztikusan, majdnem biztosan, r-dik középben, illetve eloszlásban konvergálni. b. Adjunk szükséges és elegend feltételt az S n =X 1 + +X n sorozat asszimptotikus normalitására. +1. Ez a feladat 2 pontot ér, de két hét múlva is be lehet adni. a. Legyen X 1, X 2,... független és azonos eloszlású véletlen változó, és rögzített n esetén deniáljuk az empirikus eloszlásfüggvényt az F n (t) = 1 n n 1 {Xi t}, t R, i=1 formulával. Ábrázoljuk az F n (t) véletlen függvényt. Bizonyítsuk be, hogy a függvény 1 valószín séggel pontonként konvergál, amint n, tehát mutassuk meg, hogy valamely F (t), t R, függvényre ( ) P F n (t) F (t), t R = 1, n. Mi a határfüggvény? (Tipp: El ször lássuk be, hogy a fenti konvergencia teljesül a racionális számok halmazán.) b. Tegyük fel, hogy az X 1, X 2,... véletlen változók függetlenek és egyenletes eloszlásúak a [0,1] intervallumon, és legyen E n (t)= n[f n (t) t], 0 t 1, az úgynevezett empirikus folyamat. Tetsz leges rögzített k = 1,2,... és 0 t 1,..., t k 1 értékek mellett adjuk meg az (E n (t 1 ),..., E n (t k )) vektorváltozó határeloszlását, ha n. (Tipp: Érdemes el ször a k = 1 esetet vizsgálni.) c. Legyen W (t), t 0, a 9.3. házi feladatban deniált Brown-mozgás, és tekintsük a B(t) = W (t) tw (1), 0 t 1, véletlen függvényt. Megmutatható, hogy ekkor tetsz leges rögzített k = 1,2,... és 0 t 1,..., t k 1 esetén (B(t 1 ),..., B(t k )) normális eloszlású vektorváltozó. Adjuk meg ennek a vektorváltozónak a várható érték vektorát és a kovariancamátrixát. 14

13. Martingálok 1. a. Adott (Ω, A, P ) valószín ségi mez n tekintsünk egy X véletlen változót és egy F 1, F 2,... sz rést. Mit állíthatunk az X n = E[X F n ], n = 1,2,..., sorozatról? b. Legyen α β 0 megállási id valamely sz résre nézve. Megállási id -e az α+β illetve az α β változó? 2. Tekintsük az X 1, X 2,... szimmetrikus bolyongást és az F 1, F 2,... generált sz rést. Rögzített a és b egész értékek mellett legyen Y n = exp(ax n + bn), n = 1,2,..., az úgynevezett exponenciális bolyongás. Adjunk szükséges és elegend feltételt arra, hogy Y 1, Y 2,... martingál legyen az F 1, F 2,... sz résre nézve. 3. A Pólya-féle urnamodell egy egyszer bb változata. Adott egy urna, benne egy piros és egy fekete golyó. Egy lépés abból áll, hogy véletlenszer en kihúzunk egy golyót, utánna visszatesszük a kihúzott golyót, és beleteszünk az urnába még egy olyan szín golyót, mint amilyet kihúztunk. Legyen X n az n. lépés után a piros golyók aránya az urnában. a. Mutassuk meg, hogy X 0, X 1,... martingál a generált sz résre nézve. b. Hogyan viselkedik az X n sorozat asszimptotikusan, amint n? 4. Legyen X 1, X 2,... pozitív érték független és azonos eloszlású véletlen változó, és tegyük fel, hogy X és ln X integrálható. Tekintsük a sorozat által generált F 1, F 2,... ltrációt, és legyen Y n = X 1 X n, n = 1,2,... a. Mikor lesz az Y 1, Y 2,... sorozat martingál, szubmartingál illetve szupermartingál a ltrációra nézve? b. Mi állíthatunk az n Y n, n=1,2,..., sorozat asszimptotikus viselkedésér l? (Tipp: Valahogyan csináljunk összeget a szorzatból.) A továbbiakban foglalkozzunk csak azzal az esettel, amikor a sorozat martingál. c. Mit állíthatunk az Y n, n = 1,2,..., sorozat asszimptotikus viselkedésér l? d. Tegyük fel, hogy p = P (X 1) > 0, és legyen α = min{n = 1,2,... : X n 1}. Határozzuk meg Y α várható értékét. 15