Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017.
A logikai ekvivalencia Az A és a B elsőrendű formulák logikailag ekvivalensek, ha minden I interpretációban és κ változókiértékelés mellett Jelölés: A B. A I,κ = B I,κ. Bármely A, B és C elsőrendű formula esetén - A A, - ha A B, akkor B A, és - ha A B és B C, akkor A C.
Példa - 1. A xp(x) és a x P(x) formulák logikailag ekvivalensek. Legyen I egy tetszőlegesen rögzített interpretáció, amelyben az univerzum U. 1. Ha xp(x) I = i, akkor xp(x) I = h, azaz van olyan u U, hogy P(x) I,x u = h, tehát P(x) I,x u = i, azaz x P(x) I = i. 2. Ha pedig xp(x) I = h, akkor xp(x) I = i, azaz minden u U-ra P(x) I,x u = i, azaz P(x) I,x u = h, tehát x P(x) I = h. Tehát xp(x) I = x P(x) I minden interpretációban.
Példa - 2. A x yq(x, y) formula nem ekvivalens a y xq(x, y) formulával. A formula lehet a {π}, {Q (π,π) },, logikai nyelv formulája. Interpretáljuk a nyelvet a következőképpen: I Srt (π) = { 1, 0, 1} és I Pr (Q) = Q I,{ ahol Q I i, ha (u1 + u (u 1, u 2 ) = 2 ) = 0, u 1, u 2 { 1, 0, 1} h, egyébként.
Példa - 2. 1. x yq(x, y) I = i, mert mind a három x-variáns változókiértékeléshez van olyan y-variáns változókiértékelés, hogy mellette Q(x, y) i igazságértékű. Legyen ugyanis κ 1 (x) = 1, κ 1 (y) = 1, κ 2 (x) = 0, κ 2 (y) = 0, κ 3 (x) = 1, κ 3 (y) = 1. Ekkor Q(x, y) I,κ 1 = Q(x, y) I,κ 2 = Q(x, y) I,κ 3 = i.
Példa - 2. 2. y xq(x, y) I = h, mert mind a három y-variáns változókiértékeléshez van olyan x-variáns változókiértékelés, hogy mellette Q(x, y) h igazságértékű. Legyen ugyanis κ 1 (y) = 1, κ 1 (x) = 1, κ 2 (y) = 0, κ 2 (x) = 1, κ 3 (y) = 1, κ 3 (x) = 1. Ekkor Q(x, y) I,κ 1 = Q(x, y) I,κ 2 = Q(x, y) I,κ 3 = h.
A kongruencia és az ekvivalencia közötti kapcsolat Legyenek A és B elsőrendű formulák. Ha A B, akkor A B. Ha x / Par(A), akkor xa A és xa A.
Kvantorkiemelés Legyenek A és B elsőrendű formulák és x / Par(B). De Morgan kvantoros törvényei xa x A xa x A Kétoldali kvantorkiemelések B xa x(b A) B xa x(b A) B xa x(b A) B xa x(b A) B xa x(b A) B xa x(b A) xa B x(a B) xa B x(a B)
Prenex alakú formulák Egy Θ 1 x 1 Θ 2 x 2... Θ n x n A (n 0) alakú formulát, ahol a A kvantormentes formula, prenex alakú formulának nevezünk. Prenexformulák: P(x, x), x y(q(x, y) P(x)) Nem prenexformula: x yq(x, y) P(x) Tetszőleges formulához konstruálható vele logikailag ekvivalens prenex alakú formula.
A prenex alakra hozás lépései 1 A kötött változók szabályos átnevezésével állítsuk elő a formulánknak az eredeteivel kongruens, így az eredetivel ekvivalens változóiban tiszta alakját. 2 Alkalmazzuk De Morgan kvantoros törvényeit és a kvantorkiemelésre vonatkozó logikai ekvivalenciákat a formula részformuláíra, amíg a formulánk prenex alakú nem lesz.
Példa - 4. Hozzuk a x( yq(x, y) xp(x)) yq(x, y) formulát prenex alakúra. 1 Változóiban tiszta alakra hozás: v( wq(v, w) zp(z)) yq(x, y) 2 De Morgan törvényeinek alkalmazása: v( wq(v, w) z P(z)) yq(x, y) 3 Kvantorkiemelés: v w z(q(v, w) P(z)) yq(x, y) 4 Kvantorkiemelés: v w z y((q(v, w) P(z)) Q(x, y))
A konjunktív és diszjunktív normálformák Az atomi formulákat és a negáltjaikat literáloknak nevezzük. Elemi konjunkció minden literál, továbbá egy elemi konjunkció és egy literál konjunkciója. Elemi diszjunkciók a literálok, továbbá egy elemi diszjunkció és egy literál diszjunkciója. A konjunktív normálformájú formula egy elemi diszjunkció, vagy egy konjunktív normálforma és egy elemi diszjunkció konjunkciója. A diszjunktív normálformájú formula egy elemi konjunkció, vagy egy diszjunktív normálforma és egy elemi konjunkció diszjunkciója.
A normálformára hozás lépései Minden kvantormentes formulához konstruálható vele logikailag ekvivalens konjunktív és diszjunktív normálformájú formula. A konstrukció lépései: 1 Minden implikációs részformula helyett vele ekvivalens diszjunkciót írunk. 2 A kettõs tagadás és De Morgan törvényeivel elérjük, hogy negáció csak atomi formulákra vonatkozzon. 3 A disztributivitást felhasználva addig alakítjuk a formulát, hogy a konjunkciók és diszjunkciók megfelelő sorrendben kövessék egymást. 4 Végül esetleg egyszerűsítünk.
A normálformára hozás során alkalmazható ekvivalenciák Legyenek A és B kvantormentes formulák. az implikációk átalakítása A B A B (A B) A B a kétszeres tagadás A A De Morgan ekvivalenciái (A B) A B (A B) A B disztributivitás A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
Példa - 5. Hozzuk a (X Y ) ( Y X Z ) formulát normálformára. 1 Eltávolítjuk az implikációkat: ( X Y ) ( Y (X Z )) 2 Elérjük, hogy negáció csak atomokra vonatkozzon: ( X Y ) ( Y X Z ) 3 Felhasználjuk a disztributivitást; az eredmény konjunktív normálforma: ( X Y Y ) ( X Y X) ( X Y Z ) 4 Egyszerűsítünk: ( X Y ) ( X Y Z ) 5 Egyszerűsítünk; az eredmény konjunktív és diszjunktív normálforma: X Y