Kontinuumok mechanikája Szabó Gábor egyetemi tanár SZTE Optikai Tanszék
Szilárd testek rugalmas alakváltozásai Nyújtás l l = l E F A Hooke törvény, E Young modulus σ = F A σ a feszültség l l l = σ E
Szilárd testek rugalmas alakváltozásai d d l = µ l µ Poisson szám (0,5 (, 0,5),)
Szilárd testek rugalmas alakváltozásai Nyírás F σ tgγγ = = G A G G nyírási modulus, σ nyírófeszültség
Folyadékok és gázok modellje Nyugvó folyadékban vagy gázban nyírófeszültségek nincsenek Következmény: nyugvó folyadék szabad felszíne merőleges a rá ható erők eredőjére. Ideális folyadék: összenyomhatatlan és súrlódásmentes
Pascal törvény Tekintsünk súlytalan, nyugvó folyadékot Az erőknek k egyensúlyban kell lenniük. x p z y = ( p y ) sinα = p z xtgα cosα tgα= z/ x yy p z y = p z x x p = z z 3 a x p y x y
Pascal törvény p 3 x x z = p cosα cosα z p 3 = p Súlytalan, nyugvó folyadékban a nyomás mindenütt ugyanakkora, függetlenül ül a felületelem l iránytásától. ától Hidraulikus prés F F = F A A A A F
Hidrosztatikai nyomás Tekintsünk a nyugvó folyadékban egy henger alakú, q keresztmetszetű részt. A henger súlyával az alaplapnál uralkodó nyomásból származó erő kell, hogy egyensúlyt tartson. h F s F ny = mg = Vρ g = = pq = qh ρ g qhρg q p = ρgh hidrosztatikai nyomás
Hidrosztatikai paradoxon A B C h q
Archimedes törvénye A hengerre a fedő és az alaplapnál uralkodó nyomásból származó erők különbsége hat azaz: F a F f = ( l + = lρgq h) ρgq F F = F = ( l + h ) ρgq lρgq a f e q l h F e = hρ gq, hq = V F = Vρg e
Archimedes törvénye
Archimedes törvénye
Gázok sztatikája, légnyomás Torricelli kísérlet Magdeburgi féltekék
Nyomásmérők Torricelli cső Bourdon cső
Nyomásmérők Elektromos Változtatható ellenállás - s +
Gázok nyomása és térfogata közötti összefüggés Boyle-Mariotte törvény Állandó hőmérsékleten tartott, állandó tömegű gáz nyomásának és tér- fogatának szorzata állandó.
Barometrikus magasságképlet Osszuk fel a légoszlopot elegendően vékony ( h) rétegekre úgy, hogy egy ilyen rétegen belül a sűrűség már állandónak legyen tekinthető. Ekkor a nyomásváltozásra írhatjuk: p = ρg h h Osszunk át h-val lé és tartassuk t k0h 0-hoz. Ekkor az alábbi, egyszerű differenciálegyenlethez jutunk. dp dh = ρ( p) g Az egyenlet megoldásához ismerni kellene a sűrűség nyomásfüggését. Ezt a Boyle-Mariotte törvényből kaphatjuk meg.
Barometrikus magasságképlet Helyettesítsük be a B-M törvénybe a térfogatot a sűrűség definíciójából (V=m/ρ). m p = C ρ Mivel m állandó ezért: p = C' ρ Tegyük fel, hogy a kiindulási szinten (h=0) a nyomás p 0, a sűrűség ρ 0. Ekkor:
Barometrikus magasságképlet ρ 0 p p = ρ = ρ 0 ρ p 0 0 p Helyettesítsük es sü ezt be a korábbi diff. Egyenletbe: e ρ d p = 0 d h p0 p ( h ) g Ezek szerint megoldásként olyan függvényt keresünk, amelynek deriváltja, önmagának negatív konstansszorosa. Ilyenek a negatív kitevőjű exponenciális függvények. Keressük tehát a megoldást a következő alakban: c h p ( h ) = c e
Barometrikus magasságképlet A c és c konstansokat a diff. egyenletbe való behelyettesítéssel határozhatjuk meg. ρ c h 0 c h cce = gc e p0 c = ρ p 0 0 g h=0 esetén, a nyomásnak p 0 -nak kell lennie, ezért c =p 0. Ezzel a keresett megoldás: ρ0 gh p0 p = p Ezt nevezzük barometrikus magasságképletnek. 0e
Kísérlet Molekuláris jelenségek
Molekuláris jelenségek Kísérlet Illeszkedési szög ϑ ϑ
Molekuláris jelenségek d Felületi feszültség F f l Ff = σl A végzett munka W = σl d Vegyük észre, hogy l d éppen a A A felület növekedés, tehát: W W A = σ
Görbületi nyomás Kísérlet Növeljük meg az R sugarú gömb sugarát R-el. Írjuk fel a felületi feszültség ellenében végzett munkát. W f = 6R Rπσ
Görbületi nyomás Másfelől a gömb belsejében uralkodó nyomás a következő nagyságú munkát végzi: W p = 4R πp R A két munkának nyilván egyenlőnek kell lennie, azaz: 4 R π p R = 6 R Rπσσ Ebből a görbületi nyomás: p 4σ = R
Kapillaritás R r Tekintsünk egy r sugarú csövet, benne egy θ illeszkedési szögű folyadékkal. A kialakuló R görbületű felület p görbületi nyomást hoz létre, amellyel az alatta levő folyadékoszlop tart egyensúlyt, azaz: σ cosϑ = ρghρ r ϑ h Ebből folyadékoszlop magassága (kapilláris emelkedés): h = σ cosϑ rρg
Folyadékok áramlása Alapfogalmak: sebességtér, áramvonal, áramlási cső. Kontinuitási egyenlet. D A tömegmegmaradás miatt: A = vρ Av ρ A,, ρ B A, ρ C A Ha a folyadék összenyomhatatlan (ρ=áll), akkor Av = áll
Bernoulli egyenlet Tekintsünk egy vékony csövet, amelyben ideális folyadék áramlik. A csőben levő folyadékra hat a cső végein levő nyomásból ából származó erő, ő valamint saját súlyának lejtő irányú komponense. α F nyom = p q p q F l h h = mg sinα = Vρg L Ezekkel fel tudjuk írni a csőben levő folyadék mozgásegyenletét:
Bernoulli egyenlet p q h h pq + Vρ g = Vρa L Tegyük fel, hogy a vizsgált időintervallumban a gyorsulás állandó. Ekkor írhatjuk: a v v tt = t t kiszámítható a mozgás átlagsebességéből: g
Bernoulli egyenlet Bernoulli egyenlet L t = v v t + = Azaz a gyorsulás: Azaz a gyorsulás: L v v L v v v v a = + = ) )( ( Ezt beírva az előbbi mozgásegyenletbe: Ezt beírva az előbbi mozgásegyenletbe: g gy g gy v v V h h g V q p p q = + ρ ρ L V L g V q p p q + ρ ρ
Bernoulli egyenlet Szorozzunk át L-el,, és vegyük észre, hogy Lq=V, q, kapjuk p Azaz: p p + ρ gh ρ gh = ρ v ρ v + ρgh + ρv = p + ρgh + ρv Vagy más alakban: Ez a Bernoulli egyenlet. p + ρ gh + ρ v = áll
Bernoulli egyenlet Alkalmazás: Pitot-cső. Írjuk fel a Bernoulli egyen- letet t (h=áll). A A B B p A + ρ 0 = pb + ρv 0 h p A p B p = p A p B = ρv 0 v = 0 p ρ A Pitot-csővel az áramlási sebesség mérhető.
Newton-féle viszkozitási törvény A súrlódó folyadékban az egymáson elcsúszó folyadékrétegek erőt fejtenek ki egymásra. A legegyszerűbb esetben ez az erő a következőképpen írható fel: A F F =η A dv dz z Ahol d/d dv/dz a nyírási sebesség, η a viszkozitás. A felülettel átoszt- va a bal oldalon a nyírófeszültség jelenik meg, azaz: F dv σ = =η Ez anewton-féle viszkozitási A dz törvény.
Newton-féle viszkozitási törvény Azokat a folyadékokat, amelyek az előző egyszerű törvénynek engedelmeskenek, newtoni folyadékoknak nevezzük. A valóságban azonban a viszkozitás általában függ a nyírási sebességtől. Ideális Bingham σ Dilatáns Newtoni írófeszültség Nyí Pszeudoplasztikus 0 Sebességgradiens dv dz