1 A dőlő fa görbüléséről Az [ 1 / 1 ] mű már korábban is két házi dolgozat írására inspirált minket; írtunk egyet a körfűrészelés, egyet a tárcsás csiszolás kapcsán 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 / 1 ] Az [ 1 / 2 ] - ben látottak indították be az alábbiakat. 2. ábra forrása: [ 1 / 2 ] A 2. ábrán felül egy egyenesen álló, majd két dőlni kezdő fenyőfát láthatunk. A kérdés, hogy a középső vagy a jobb oldali ábra - rész szerinti - e a dőlő fa görbesége. Nyilván, aki már látott fadöntést akár csak felvételről is, az tudja a helyes választ.
2 Itt most egy kis dinamikai / szilárdságtani vizsgálódás jön ez ügyben. Ennek során [ 1 / 2 ] nyomán élünk néhány egyszerűsítéssel, a tényleges problémához képest: ~ a fa testét egy egyszerű / prizmatikus, homogén rúddal helyettesítjük, melynek alsó vége csuklósan megfogott; ~ eltekintünk a levegő ellenállásától, valamint a csuklóban fellépő súrlódástól. Előbbiek a 2. ábra alsó sorában lévő ábrarészeken is fel lettek tüntetve. A feladat: a hajlítónyomaték rúdtengely menti változásának meghatározása, ugyanis ez dönti el a dőlő fa / rúd görbülésének jellegét. A mondott ábrarészen láthatjuk még azt is, hogy feltüntették a fatest helyzetét megadó φ szög - koordinátát, a rúd közepén ható G = mg nagyságú súlyerőt, valamint az O forgás - tengelytől r távolságra lévő rúdelem gyorsulásának komponenseit is. A rúd impulzusmomentumának nagysága: ( 1 ) itt: ~ a rúd szögsebessége; ~ a rúdnak az O forgástengelyre vett inercianyomatéka. Utóbbi számításához figyelembe vesszük az alábbi egyenes arányosságot: ( 2 ) majd ( 1 ) és ( 2 ) - vel:, tehát: ( 3 ) Most ( 1 ) és ( 3 ) - mal: ( 4 ) Az impulzusmomentum idő szerinti deriváltja a forgatónyomaték: A forgatónyomaték kifejezése a 2. ábra alapján: ( 5 ) ( 6 )
3 az impulzusmomentum idő szerinti deriváltja ( 4 ) - ből: ( 7 ) most ( 5 ), ( 6 ) és ( 7 ) - tel: ( 8 ) A ( 8 ) egyenlet a dőlő rúd mozgásának alapvető differenciálegyenlete. Integrálásához egy átalakítást végzünk: ( 9 ) a ( 9 ) egyenletet φ szerint integrálva: ( 10 ) most ( 8 ) és ( 10 ) - zel: innen: ( 11 ) Az utóbbi számítás már alkalmazta a ( 11 / 1 ) kezdeti feltételt is. A folytatáshoz tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra forrása: [ 1 / 2 ]
4 Itt azt látjuk, hogy a dőlő rudat egy x koordinátájú keresztmetszetében gondolatban átvágtuk, és feltüntettük ~ az átvágási keresztmetszetben az alsó rúdrész által a felsőre gyakorolt belső erőket, azaz az M M h, N, Q igénybevételi komponenseket, valamint ~ a felső rúdrészre működő, annak hosszával arányos súly - és tehetetlenségi erőket. Az igénybevételi függvényeket egyensúlyi egyenletekből nyerjük. A nyomatéki egyensúlyi egyenlet: átalakítva: ( 12 ) az integrál részletezve: Most ( 12 ) és ( 13 ) - mal: ( 13 ) ( 14 ) majd ( 8 ) és ( 14 ) - gyel: kiemeléssel: ( 15 ) azonosságokkal: ( 16 ) most ( 15 ) és ( 16 ) - tal: ( 17 / 1 ) tovább alakítva ( 17 / 1 ) - et: ( 17 / 2 )
5 A ( 17 / 2 ) függvénnyel leírt hajlítónyomaték a rudat / fát a 2. ábra felső sorának jobb szélső ábrája szerint görbíti meg. Ez egyezik a szemlélettel, illetve a tapasztalattal is. Az függvény szélsőértékének szükséges feltételei: ( 18 ) Most ( 17 / 2 ) és ( 18 / 1 ) - gyel: ( 19 ) Majd ( 17 / 2 ) és ( 18 / 2 ) - vel: innen: ( 20 ) minthogy ( 17 / 2 ) szerint M h ( x = b ) = 0, így a számunkra érdekes megoldás ( 20 ) - ból: ( 21 ) A hajlító nyomaték szélsőértéke itt, ( 17 / 2 ) és ( 21 ) - gyel: tehát: ( 22 ) Majd ( 19 ) és ( 22 ) szerint: ( 23 ) Ezek szerint a lehető legnagyobb a hajlítónyomaték a vízszintesbe érés pillanatában, a forgástengelytől a hossz egyharmadában lévő keresztmetszetben. A 4. ábra bal szélső részén ( 17 / 2 ) lefutását ábrázolták a ( 22 ) és ( 23 ) szerinti maximu - mok feltüntetésével. A 4. ábra középső és jobb oldali részén azt szemléltetik, hogy egy dőlő gyárkémény esetén valóban megfigyelhető (? ) az a jelenség, hogy a tövétől kb. a magassága harmadában már a dőlés során eltörik, így rogyva a földre. A habarcsba rakott téglákkal készült kémény esetében ez azért is jól látható, mert a habarcs húzószilárdsága elhanyagolható nagyságú.
6 4. ábra forrása: [ 1 / 2 ] Megjegyzések: M1. A most tárgyalt feladat több más helyről is ismerős lehet. Itt erdészeti vonatkozásai miatt szerepeltettük. Egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: A törési lécről és a törési lépcsőről a fenti témát a fadöntésnél a balesetelhárítás szempontjából igen fontos reakcióerőkre kihegyezve vizsgáltuk. M2. Az 1. ábra kapcsán említett korábbi dolgozataink az alábbiak: ~ A körfűrészelés statikájához; ~ A tárcsás csiszolás statikájához. M3. Már többször gondoltuk, hogy szóba kellene hoznunk azt a tényt, miszerint nem mindenki gondolja azt, hogy a dőlő kéménynek a magassága alsó egyharmadában kell eltörnie, elvileg. A [ 2 ] műben ez olvasható: A forgatónyomaték x = 1/3 l - ben maximális, és abből azt az elhamarkodott követ - keztetést vonhatnánk le, hogy ebben a magasságban törik el a kémény. A súlyerő össze - nyomó hatása miatt kerül a töréspont feljebb. ( x 0 = ½ l - re, ahol l a kémény hossza. ) Ez a nem kicsit meglepő állítás tudomásunk szerint szinte egyedülálló. Az általunk eddig látott, a fentihez hasonló vizsgálatok a magasság alsó harmadában való törést erősítik, kivéve az igencsak mértékadó [ 3 ] művet. Itt egy csonkakúp alakú, lineári - san változó sugarú, állandó falvastagságú ( tégla? - ) kémény ledőlésének részletezett szá - mítása során kimutatják, hogy az adott példabeli adatokkal bíró, h hosszúságú kémény esetében az összegzett húzófeszültség nagysága a kémény φ = 11, 3 - os dőlésénél, a felső végétől számított 0,534 h távolságra éri el a felső korlátként megadott mintegy 50 N / cm 2 értéket. Ez alátámasztja a [ 2 ] - ben mondottakat. Úgy tűnik, győztek a fizikusok
7 Az összes többi feladatgyűjtemény, tankönyvi példa szerzőinek mentségére legyen mond - va, hogy a [ 3 ] - beli számítás meglehetősen hosszú és nehéz. A [ 2 ] - beli számítás nem olyan hosszú és nehéz, viszont csak fizikai becslés - jellegűnek mondható, vagyis ennek alapján nem biztos, hogy neki mernénk látni egy kémény - bontás tervezésének. Ennek ellenére ajánljuk minden érdeklődőnek a [ 2 ] - beli vizsgálat alapos áttanulmányozását is. M4. Az 5. ábra szerint valóban mondható, hogy a dőlő gyárkémény a közepe táján törött el. 5. ábra forrása: [ 4 ] 6. ábra forrása: [ 5 ]
8 A 6. ábrán egy fenyőfa kidöntés előtti és alatti alakja látható. A görbülés a várt módon történt, melyet a gyér korona miatti viszonylag kis légellenállás sem nagyon befolyásolt. M5. A fenti, [1 / 2 ] - ből átvett számítás nem foglalkozik az N normálerő és a Q nyíróerő függvényének felírásával. Az eredeti kérdés a görbülés jellegének megválaszolásához erre nem is volt szükség. M6. A ( 12 ) képlet előtti nyomatéki egyensúlyi egyenlet kifejezés azt jelenti, hogy a dinamikai problémát formálisan statikainak tekintjük, a d Alembert - elv értelmében [ 6 ]: D Alembert elve értelmében a mozgó testre ható erők a tehetetlenségi erővel együtt egyensúlyban vannak. Ezt az egyensúlyi állapotot a statikai egyensúlytól megkülönböztetve kinetikai egyensúlynak nevezzük. M7. A ( 11 ) képletet itt nem használtuk fel. Ennek integrálásával kapható meg a dőlő fa ( a rúd ) mozgásának φ = φ( t ) időfüggvénye. Az integrálás a változók szétválasztásával könnyen elvégezhető. A ( 8 ) és ( 11 ) egyenletek a rúd mint fizikai inga mozgás - egyenletei. Az ilyen típusú egyenletek és integrálásuk részletei megtalálhatóak az Elméleti Fizika / Mechanika tankönyveiben; ehhez ld. pl.: [ 7 ]! Források: [ 1 / 1 ] Karl Wohlhart: Statik Grundlagen und Beispiele Vieweg, Braunschweig, Wiesbaden, 1998., 87 ~ 88. o. [ 1 / 2 ] Karl Wohlhart: Dynamik Grundlagen und Beispiele Vieweg, Braunschweig, Wiesbaden, 1998., 175 ~ 177. o. [ 2 ] Szerk. Nagy Károly: Elméleti fizikai példatár 4. Tankönyvkiadó, Budapest, 1984., 66., ill. 357 ~ 359. o. [ 3 ] István Szabó: Repertorium und Übungsbuch der Technischen Mechanik 2. kiadás, Springer - Verlag, Berlin - Göttingen - Heidelberg, 1963., 306 ~ 311. o. [ 4 ] https://videa.hu/videok/tudomany-technika/kemeny-robbantas-sajoszentpeteruveggyar-ztrgvtcbatjodtu9 [ 5 ] https://depositphotos.com/150991474/stock-video-big-tree-falling-down-trees.html
9 [ 6 ] https://hu.wikipedia.org/wiki/d%e2%80%99alembert-elv [ 7 ] Nagy Károly: Elméleti mechanika Tankönyvkiadó, Budapest, 1985., 77 ~ 79. o. Sződliget, 2018. 07. 26. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár