Mechanika I. előadás 2019. február 25. Mechanika I. előadás 2019. február 25. 1 / 31
Elérhetőségek, információk Tantárgy: Mechanika (GEMET266-ZD-B) Előadó: Dr. Lengyel Ákos József Elérhetőségek: Iroda: Miskolc, Egyetemváros, A/4. épület 428. Tel.: +36-46-565-111/18-78 E-mail: mechlen@uni-miskolc.hu Honlap: www.mech.uni-miskolc.hu/ lengyel/education Mechanika I. előadás 2019. február 25. 2 / 31
Követelmények Tantárgyi követelmény: aláírás + kollokvium (vizsga) Az aláírás megszerzése szorgalmi időszakban: 2 db 50 perces zárthelyi, melyek a 3. és 5. alkalommal kerülnek megíratásra, egyenként 40 pontért (10 pont elmélet + 30 pont példa megoldás). Az aláírás feltétele a két zh-n összesen szerezhető 80 pontból legalább 32 pont (40%) elérése összesen. Ha ez nem sikerül, akkor a 6. alkalommal pótzh megírására is van lehetőség, mely az addig elhangzott teljes tananyagot tartalmazza, 40 pontos, 50 perces zh, melyen minimum 16 pontot (40%), vagy a ponthiányt kell megírni. Az aláírás megszerzése vizsgaidőszakban: a vizsgaidőszak első két hete aláíráspótló időszak, minden héten egy-egy aláíráspótlási lehetőség, 40 pontos 50 perces zh-val, melyből 20 pontot (50%) kell elérni. Vizsgajegy megszerzése szorgalmi időszakban: a 2 db zárthelyin összesen 80 pont érhető el, a két zh pontszámait összeadva 60 ponttól megajánlott jó (4) és 70 ponttól megajánlott jeles (5) vizsgajegy szerezhető. Vizsgajegy megszerzése vizsgaidőszakban: a 6 hetes vizsgaidőszakban hetente egy vizsgalehetőség, melyen egy 40 pontos, 50 perces zárthelyit kell megírni. Ponthatárok: 0 19 elégtelen (1), 20 23 elégséges (2), 24 27 közepes (3), 28 31 jó (4), 32 jeles(5). Aki a félévközi két zh-n 32 ponttól több pontot ér el, pluszpontokat kap, melyeket a vizsgán beszámítjuk. Az elért pontszámból ki kell vonni 32 pontot, az eredményt pedig osztani kell néggyel, ennyi pluszpont jár a vizsgán (ha a hányados nem egész szám, a kerekítés szabályai érvényesek). Ebben a félévben ezek a pluszpontok minden vizsgán érvényesek. Mechanika I. előadás 2019. február 25. 3 / 31
A) Statika Mechanika I. előadás 2019. február 25. 4 / 31
1. Bevezetés, alapfogalmak Mechanika, mint tudomány tárgya: testek, anyagi rendszerek mozgásának és tartós nyugalmának feltételeit, okait vizsgálja. Műszaki mechanika: a mechanika elveinek alkalmazása műszaki feladatokra. Például tartós nyugalom biztosítása teherbíró képesség meghatározása: méretezés, ellenőrzés dinamika: előírt mozgások biztosítása Modellezés a mechanikában: modellezés: a valóságos viszonyokat a vizsgálatok szempontjából lényegesnek ítélt tulajdonságok kiemelésével leegyszerűsítjük modellt alkotunk folyamata: megfigyelés, mérés leírás törvények megfogalmazása, alkalmazása, számolás (ezzel fogunk foglalkozni) ellenőrzés, pontosítás fontosabb modellek: merev test: olyan test, amely pontjainak egymáshoz viszonyított távolsága mozgás közben nem változik, térbeli helyzetét 6 adat határozza meg. Spec. eset: anyagi pont tömegpont, olyan merev test, amelynek mozgását egyetlen pontja mozgásával írjuk le, térbeli helyzetét 3 koordináta jellemzi, szabadsági foka 3. Mechanika I. előadás 2019. február 25. 5 / 31
1. Bevezetés, alapfogalmak fontosabb modellek (folytatás): szilárd test: alakváltozásra képes test, terhelés mozgás során pontjainak egymáshoz viszonyított távolsága változik. Pl.: rugalmas test (a terhelés levétele után visszanyeri eredeti alakját), képlékeny test (a terhelés levétele után nem nyeri vissza eredeti alakját), viszkózus testek (polimerek) koncentrált erő: egyik testnek a másik testre történő hatása (gravitáció, érintkezés útján, rugó, stb.) a mechanika egy lehetséges felosztása merev testek mechanikája (statika, dinamika) szilárd testek mechanikája (szilárdságtan, rugalmasságtan) folyadékok, gázok mechanikája (áramlástan) Fizikai mennyiségek típusai [ ] skaláris mennyiség: nagyság, mértékegység (térfogat, V [cm 3 ], sűrűség, ρ kg, tömeg, m 3 m [kg], stb.) vektoriális mennyiség: nagyság, irány, mértékegység (erő, F [N], sebesség, v [ ] m s, [ ] gyorsulás, a m, stb.) s 2 tenzor mennyiség: (később) Mechanika I. előadás 2019. február 25. 6 / 31
1. Bevezetés, alapfogalmak Koordináta-rendszer: Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer (DDKR). Ez egy merev test, amihez képest a mozgásokat viszonyítjuk. z P e z r P e x e y x y bázisvektorok: e x, e y, e z koordináták: x, y, z a P pont helyvektora: r P = x e x + y e y + z e z [m] [ tetszőleges vektor: v = v x e x + v y e y + v z e m ] z s Statika tárgya: merev testekből álló rendszer tartós nyugalmának biztosításához szükséges külső és belső erők meghatározása. Mechanika I. előadás 2019. február 25. 7 / 31
2. Anyagi pont statikája 2.1 Anyagi pontra ható erő megadása a) síkbeli eset (2D): F y y F hatásvonal ϕ y ϕx = ϕ támadáspont F x x az erővektor F = F x + F y = F x e x + F y e y [N] az erő irányvektora: e, F = F e, ahol F = F = e = cos ϕ x e x + cos ϕ y e y = cos ϕ e x + sin ϕ e y F 2 x + F 2 y Mechanika I. előadás 2019. február 25. 8 / 31
2. Anyagi pont statikája b) térbeli eset (3D): z F = F x e x + F y e y + F z e z irányvektor: ϕ z F e = cos ϕ x e x + cos ϕ y e y + cos ϕ z e z x ϕ x ϕ y y e = 1 = cos 2 ϕ x + cos 2 ϕ y + cos 2 ϕ z két szög független, a harmadik belőlük számítható. Az erő nagysága: F = F = Fx 2 + Fy 2 + Fz 2 F = F e = F cos ϕ x e x + F cos ϕ y e y + F cos ϕ z e z }{{}}{{}}{{} F x F y F z Mechanika I. előadás 2019. február 25. 9 / 31
2. Anyagi pont statikája 2.2 Anyagi pontra ható erőrendszer (ER) a) értelmezés: anyagi pontra ható erők összessége z F 2 F 1 x F i y ER: F i ; i = 1, 2,..., n (adott) hatásvonalaik irányvektorai: e i ; i = 1,..., n; e i = 1 jellemző: közös támadáspont (közös ponton támadó ER) az erők nagysága: F i = F i = Fix 2 + F iy 2 + F iz 2 Mechanika I. előadás 2019. február 25. 10 / 31
2. Anyagi pont statikája b) az ER eredője Értelemzés: az F i ; i = 1,..., n db koncentrált erőből álló ER eredője az erők összege. F = F 1 + F 2 +... + F n = n F i az eredő erő koordinátái: így az eredő n F x = F 1x + F 2x +... + F nx = F ix n F y = F 1y + F 2y +... + F ny = F iy n F z = F 1z + F 2z +... + F nz = F iz F = F x e x + F y e y + F z e z Mechanika I. előadás 2019. február 25. 11 / 31
2. Anyagi pont statikája c) az anyagi pontra ható ER egyensúlya Értelmezés: az anyagi pontra ható F i, i = 1,..., n koncentrált erőkből álló ER egyensúlyi ER, ha eredőjük zérus, vagyis F = F 1 +... + F n = n F i = 0 vetületi vagy skaláris egyensúlyi egyenletek: e x : F 1x + F 2x +... + F nx = 0 e y : F 1y + F 2y +... + F ny = 0 e z : F 1z + F 2z +... + F nz = 0 3 db egyenlet d) az anyagi pont tartós nyugalma Newton I. mozgástörvénye: ha az anyagi pontra ható ER eredője zérus, akkor az anyagi pont vagy tartós nyugalomban van, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez az ER egyensúlya szükséges feltétel a tartós nyugalomhoz speciális esetek: n = 1: egyetlen erő nyugalom nem lehetséges n = 2: F 1 ; F 2 : egyensúly feltétele, hogy F 1 + F 2 = 0 F 1 = F 2 jellemzőik tehát, hogy azonos a hatásvonaluk, a nagyságuk, de ellentétes az irányuk e) anyagi pontra ható két ER egyenértékűsége Értelmezés: két különböző ER egyenértékű, ha az eredőjük megegyezik egymással (csak anyagi pontnál) Mechanika I. előadás 2019. február 25. 12 / 31
3.1 Koncentrált erő pontra számított nyomatéka a) értelmezés: a P pontban támadó F erő nyomatéka az pontra: M = r P F [Nm] következmények: ( M r P ; F ) ; M d r P ϕ támadáspont P F hatásvonal iránya a jobbkézszabály szerint M nagysága: M = r P F sin ϕ = F r P sin ϕ = F d }{{} d vagyis erőször erőkar Az erő nem ad nyomatékot hatásvonalának pontjaira (igazolás: az erő karja zérus lesz). Az erő a hatásvonala mentén eltolható, nyomatéka nem változik. (igazolás: az erőt áttoljuk a hatásvonal egy tetszőleges pontjába, az erőkar változatlan marad). Mechanika I. előadás 2019. február 25. 13 / 31
b) összefüggés két pontra számított nyomaték között M A MA = r AP F M B = r BP F = ( r BA + r AP ) F = M B r BA A r AP F = r BA F + r AP F }{{} M A B r BP P M B = M A + r BA F = M A + F r AB Mechanika I. előadás 2019. február 25. 14 / 31
3.2 Koncentrált erő tengelyre számított nyomatéka a) tengely: irányított egyenes, egységvektora: e; e = 1, például A ponton áthaladó a tengely: e a. A tengely x, y és z tengelyekkel bezárt szöge rendre α x, α y és α z, így e a = cos α x e x + cos α y e y + cos α z e z F A M A A e a A tengelyre számított nyomaték értelmezése: a P pontban támadó F erő a tengelyre számított nyomatéka: a r AP P M a = M ( A e a = r AP F ) e a [Nm] Mechanika I. előadás 2019. február 25. 15 / 31
következmények: M a az M A vektor merőleges vetülete az a tengelyre M a nagysága nem függ az A pont megválasztásától: M a = M ( A e a = MA + r A A F ) e a = M ( A e a + r A A F ) e a } {{ } =0 ha az erő hatásvonala metszi a tengelyt, akkor M a = 0. Igazolás: A rajta van F hatásvonalán és a-n is, tehát M A = 0 M a = 0 = M A e a ha az erő párhuzamos az a tengellyel, akkor M a = 0. Igazolás: mivel M A merőleges az F erőre, így M A egyúttal merőleges e a-ra is, így a két vektor skaláris szorzata 0-át ad: M A e a = 0. Mechanika I. előadás 2019. február 25. 16 / 31
Q r F r Q r P d F ϕ P 3.3 Az erőpár és nyomatéka a) értelmezés: az erőpárt két párhuzamos hatásvonalú, azonos nagyságú, ellentétes irányú erővektor alkotja (a hatásvonalak nem esnek egybe, de egyetlen síkban vannak) b) az erőpár eredője és nyomatéka eredő: F + ( F ) = 0 nyomaték a Q pontra: M Q = r QP F = r F 0 nyomaték a P pontra: M P = r PQ ( F ) = r F nyomaték a tetszőleges pontra: M = r P F ( + r Q F ) = ( ) r P r Q F = r F Mechanika I. előadás 2019. február 25. 17 / 31
következmények: az erőpár nyomatéka a test/tér bármely pontjára ugyanakkora: M = r F, nagysága: M = r F sin ϕ = F ( r sin ϕ ) = Fd }{{} d az erőpár M nyomatéka a test/tér bármely pontjába áthelyezhető ha ismert n db erőpár, akkor ezek n db nyomatékvektorral egyenértékűek: M 1 ; M 2 ;... ; M n, amelyek összegezhetők, így az eredő nyomaték: M = M 1 + M 2 +... + M n = n M i [Nm] Mechanika I. előadás 2019. február 25. 18 / 31
3.4 Koncentrált erők áthelyezése másik pontba: redukálás F F M F r P P F P F P a) a( redukált ) vektorkettős fogalma: a P pontban támadó F erő pontba redukált vektorkettőse az F ; M erő és nyomatékvektor, ahol M = r P F [Nm]; és M merőleges az F -re. b) a redukálás megfordítása: ha ismert a tetszőleges pontban egy egymásra merőleges F M erő és nyomaték, akkor léteznek olyan pontok, amelyekben az F, M csak az F erővel helyettesíthető. Ezeknek a pontoknak a mértani helye egy egyenes, amely párhuzamos az F erővel és átmegy P-n. Egyenlete ( r r P ) F = 0 ahol r = x ex + y e y + z e z Ez az egyenes az ún. centrális egyenes. Mechanika I. előadás 2019. február 25. 19 / 31
3.5 A merev testre ható általános ER redukált vektorkettőse statikai egyenértékűség: F i F F 1 M 1 P i F 1 P 1 M i M 1 F i M i + M 1 M i M Tehát adott a P i pontokban támadó F i, M i, i = 1, 2,..., n általános ER. Mechanika I. előadás 2019. február 25. 20 / 31
a) az általános ER pontba redukált vektorkettőse F i, M i áthelyezése P i -ből -ba: F i, M i = r P F i és M i, i = 1, 2,..., n Ezekkel az ER pontba redukált vektorkettőse: F = F 1 + F 2 +... + F n = n F i M = r P1 F 1 +... + r Pn F n + M 1 +... + M n = ( r Pi F i + M i ) következmény: ( a testre ) ható bármely általános ER helyettesíthető egy erővel és egy nyomatékkal: F ; M az ER pontba redukált vektorkettőse b) a redukált vektorkettős az A pontban eredő: F = n F i nyomaték: M A = n ( r APi F i + ) M i M M A kiszámítása M ismeretében: M A = M + r A F (lásd 3.1 b)) Mechanika I. előadás 2019. február 25. 21 / 31
( c) statikai egyenértékűség: a merev testre ható általános ER F i ; M ) i ; i = 1,..., n statikailag ( ) egyenértékű egy tetszőleges pontban az odaredukált vektorkettősével F ; M (egy erővel és egy nyomatékkal) d) két különböző ER egyenértékűsége a merev testre hat két ER: 1 ER: F i ; M i ; i = 1,..., n 2 ER: F j ; M j ; j = 1,..., m redukált vektorkettőseik ( ) ugyanabba az pontba: 1 ER: F ; M ( ) 2 ER: F ; M a két ER statikailag egyenértékű, ha a redukált vektorkettősük azonos egymással: F = F F x = F x : F y = F y 3 db skaláris vagy vetületi egyenlet F z = F z M = M : M x = M x M y = M y M z = M z 3 db skaláris nyomatéki egyenlet Mechanika I. előadás 2019. február 25. 22 / 31
3.6 Merev testre ható általános ER centrális egyenese a) értelmezés: a P i pontokban támadó F i ; M i ; i = 1,..., n általános ER centrális egyenese azon pontok mértani helye, amelyekben az ER eredőjével és egy vele párhuzamos nyomatékkal helyettesíthető b) a centrális egyenes egyenlete M M F M r P r C r C P F M pontba ( ) redukált vektorkettős: F ; M az M nyomaték F -fel párhuzamos és F -re merőleges összetevője: M = 1 ( ) F M F 2 F M = 1 F 2 ( F M ) F = M M 3.4 b) alapján: M és F helyettesíthető egy P ponton átmenő egyenes mentén egyetlen F erővel, az M vektort pedig áthelyezzük az egyenes P pontjába, így a centrális egyenes egyenlete: ( r r P ) F = 0. Másik alak: r F = M, r = x e x + y e y + z e z Mechanika I. előadás 2019. február 25. 23 / 31
c) a centrális egyenes ponthoz legközelebb eső C pontja: egyenlet: r C F = M ( r r C ) ( F r C F ) = F M ( ) r C F F ( ) F F r C = F M } {{ } } {{ } F 2 0 r C = 1 F 2 F M [m] a centrális egyenes egyenlete r C ismeretében: ( r C = d az F ) erő karja F ( r r C ) = 0 Mechanika I. előadás 2019. február 25. 24 / 31
d) speciális esetek, az ER-ek osztályozása: F = 0; M = 0 egyensúlyi ER Statika F = 0; M 0 egyetlen erőpár F 0; M F az ER centrális egyenesében egyetlen erővel, az F -fel helyettesíthető F 0; M F általános eset: erőcsavar a centrális egyenes mentén Mechanika I. előadás 2019. február 25. 25 / 31
3.7 Merev testre ható egyensúlyi ER, és a test tartós nyugalma a) értelmezés: a P i pontban ható F i ; M i ; i = 1,..., n általános ER egyensúlyi ER, ha a test vagy a tér egy tetszőleges pontjában a redukált vektorkettős zérus, vagyis F = M = n F i = 0 n e x : e y : e z : ( r Pi F i + M i ) = 0 F x = n F ix = 0 F y = n F iy = 0 F z = n F iz = 0 e x : M x = 0 e y : M y = 0 e z : M z = 0 3 db skaláris erőegyensúlyi egyenlet 3 db skaláris nyomatéki egyenlet összesen 6 db egyenlet. Ha az pontban zérus a redukált vektorkettős, akkor a test/tér bármely pontjában zérus: áthelyezés -ból A-ba: F = 0 M A = M }{{} + r A F }{{} = 0 0 0 Mechanika I. előadás 2019. február 25. 26 / 31
b) a merev test tartós nyugalma: A statika alaptétele: egy merev test csak akkor lehet tartós nyugalomban, ha a testre ható külső ER egyensúlyi az egyensúlyi ER szükséges feltétel a tartós nyugalomhoz, a merevtestszerű mozgást (eltolódás és forgás) a támasztó ER-nek meg kell akadályozni a külső ER: terhelés (adott) és a támasztásoknál fellépő támasztó ER (keresett) Mechanika I. előadás 2019. február 25. 27 / 31
3.8 Merev testre ható speciális ER-ek egyensúlya a) síkbeli erőrendszerek ismert: P i, F i, M i, i = 1,..., n síkbeli y ER, most F i = F ix e x + F iy e y, M i = M i e z F i az ER pontba redukált vektorkettőse: F F = n F M i = F x e x + F y e y, i r Pi P i M = n ( r Pi F i + ) M i = M e z M x egyensúlyi ER F x = n F ix = 0 F = 0 F y = n F iy = 0 M = 0 M = 0 centrális egyenes: M F mindig fennáll, ezért az ER egyetlen erővel, az F eredővel helyettesíthető a centrális egyenesben Mechanika I. előadás 2019. február 25. 28 / 31
b) merev testre ható két erő egyensúlya F 2 P 1 P 2 F 1 adott: P 1 ; F 1, keresett: P 2 ; F 2 úgy, hogy az ER egyensúlyi legyen egyensúlyi ER: F 1 + F 2 = 0 F 2 = F 1, M = 0 bármely pontra. következmény: P 2 rajta van az F 1 hatásvonalán (bárhol), F 2 pedig F 1 nagyságával azonos, de ellentétes irányú Mechanika I. előadás 2019. február 25. 29 / 31
c) merev testre ható három nem párhuzamos erő egyensúlya F 1 F 1 F 3 F 3 P 1 P 3 F 2 P 2 F 1 + F 2 F 1 + F 2 F 2 helyzetábra erőábra adott: P 1 ; F 1 ; P 2 ; F 2 ; keresett: P 3 ; F 3, ha ez ER egyensúlyi egyensúlyi ER: F 1 + F 2 + F 3 = 0 F ( 3 = F 1 + F ) 2 M = 0 F 3 hatásvonala azonos F 1 + F 2 hatásvonalával következmény: azonos síkban vannak hatásvonalaik egyetlen pontban metsződnek eredőjük zérus kell legyen erőábrában nyílfolyam folytonos Mechanika I. előadás 2019. február 25. 30 / 31
d) három párhuzamos erő egyensúlya adott: P 1 (x 1 ); F 1 ; P 2 (x 2 ); F 2, keresett: P 3 (x 3 ); F 3, ha az ER egyensúlyi egyensúlyi ( ER: F 1 + F 2 + F 3 = 0 F 3 = F 1 + F ) 2 = (F 1 + F 2 ) e y y F 1 F 2 M = 0 = F 1 x 1 e z + F 2 x 2 e z F 3 x 3 e z x 3 = F 1x 1 +F 2 x 2 ; F F 1 +F 3 = F 1 + F 2 2 megoldás másként x 3 -ra: nyomatéki egyenlet a Q(x 3 ; 0) pontra M Q = F 1 a e z + F 2 b e z = 0 F 1 a = F 2 b F 1 = b F 2 a a = x 3 x 1 ; b = x 2 x 3 Q x 1 x 3 x 2 a F 3 b x Mechanika I. előadás 2019. február 25. 31 / 31