Matematika 11. osztály

ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018

. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus.................. 4 1. Korábban tanultak ismétlése.......................... 4. Egész kitevőjű hatványok, a hatványozás azonosságai............ 5. Negatív kitevőjű hatványok.......................... 6 4. Az n-edik gyökvonás és azonosságai...................... 7 5. Feladatmegoldás................................ 8 6. A törtkitevőjű hatvány értelmezése...................... 9 7. Irracionális kitevőjű hatványok........................ 10 8. Exponenciális függvény............................. 11 9. Exponenciális függvény ábrázolása, elemzése................. 1 10. Exponenciális egyenletek megoldása...................... 1 11. Exponenciális egyenletek főbb típusai..................... 14 1. Exponenciális egyenletek gyakorlása...................... 15 1. Exponenciális egyenletrendszerek....................... 16 14. Exponenciális egyenlőtlenségek........................ 17 15. Exponenciális egyenlőtlenségek:........................ 18

Tartalomjegyzék. 16. A logaritmus fogalma.............................. 19 17. A logaritmus azonosságai............................ 0 18. A logaritmus függvény ábrázolása, elemzése................. 1 19. Az inverz függvény fogalma.......................... 0. Áttérés más alapú logaritmusra........................ 1. Logaritmust tartalmazó kifejezések...................... 4. Logaritmusos egyenletek............................ 5. Logaritmusos egyenletek............................ 6 4. Logaritmusos egyenlőtlenségek......................... 7 5. Logaritmusos egyenlőtlenségek......................... 8 6. Gyakorlás.................................... 9 7. Gyakorlás.................................... 0 8. Gyakorlás.................................... 1 9. Gyakorlás.................................... 0. Témazáró dolgozat megírása.......................... 1. Témazáró dolgozat megbeszélése....................... 4

4. 1. óra. Korábban tanultak ismétlése 1. óra Korábban tanultak ismétlése Halmazok: a. ) Számhalmazok: N, Z, Q, Q, R b. ) Halmazműveletek,, \, A Nevezetes azonosságok: a. ) (a + b) = b. ) (a b) = c. ) (a + b) (a b) = Műveletetek törtekkel: a. ) + 4 = b. ) 4 = c. ) 4 = d. ) : 4 = Értelmezési tartomány, képhalmaz: Milyen számok írhatók az x helyére, illetve milyen számok jöhetnek ki a műveletek eredményeként? a. ) x b. ) x c. ) x d. ) 10 x e. ) 1 x f. ) 4 x x 9 g. ) sin(x) h. ) tan(x) Egyenletek megoldása: a. ) Elsőfokú, egyismeretlenes: x + 5 = 0 b. ) Másodfokú, egyismeretlenes: x + 4x 7 = 0 c. ) Abszolútértékes, egyismeretlenes: x + 4 = 5 d. ) Egyenletrendszer kétféle megoldási módszerrel: x + y = 10 5x 4y = 0 e. ) Törtes egyenlőtlenség: x (x 1)(x+) < 0

. óra. Egész kitevőjű hatványok, a hatványozás azonosságai 5.. óra Egész kitevőjű hatványok, a hatványozás azonosságai Def. Legyen adott egy a 0 valós szám és egy n N +. Az a szám n-edik hatványa az a szám önmagával vett n tényezős szorzatát jelenti, azaz: a n = a a a... a }{{} n darab Megjegyzés. Az a szám első hatványa önmaga, azaz ha n = 1, akkor a n = a 1 = a Def. Legyen n N +. A nulla n-edik hatványai 1 eggyel egyenlők, azaz 0 n = 1 Áll. Legyen a, b R \ {0} és n, m N +. A hatványozás azonosságai: I. ) a n a m = a n+m II. ) III. ) IV. ) a n a m = an m (a b) n = a n b n ( a b ) n = a n b n V. ) (a n ) m = a n m = a m n 1 Megjegyzés: a 0 0 értelmezése problémákhoz vezet, így ezt most nem defináljuk.

6.. óra. Negatív kitevőjű hatványok. óra Negatív kitevőjű hatványok Def. Legyen a 0 és n N +. Az a szám negatív hatványa a következőt jelenti: a n = 1 a n 1. Feladat. Egyszerűsítsük a következő kifejezéseket a hatványozás azonosságaival! a. ) 5 = b. ) a a 5 = e. ) (a ) a 5 (a 1 ) (a 5 ) 4 a 6 = c. ) 1 b 10 = d. ) c 4 c = (a b) 4 (a b ) 5 f. ) (b 4 ) (a b ) = ( ) x 5 g. ) (x y ) ( ) y x y 1 (y ) : = x y 1. Házi feladat. Egyszerűsítsük a következő kifejezéseket! ( ) x ( ) x a. ) (x ) 1 (x 4 ) = ( ) x 5 y b. 7 ) [ ( ) 4 ( ) ] = 4 x y : x 6 4 y 5

4. óra. Az n-edik gyökvonás és azonosságai 7. 4. óra Az n-edik gyökvonás és azonosságai Def. Legyen k N +. Ekkor valamely a nemnegatív szám k-adik gyöke olyan nemnegatív szám, amelynek k-adik hatványa a, azaz k a-re igaz, hogy: ( k a ) k = a Def. Legyen k N +. Ekkor valamely a R szám k + 1-adik gyöke olyan szám, amelynek k + 1-edik hatványa a, azaz k+1 a teljesíti az alábbi feltételt: ( k+1 a ) k+1 = a. Feladat. Számítsuk ki az alábbi kifejezések pontos értékét! a. ) 81 = b. ) 8 = c. ) 1 = d. ) 7 = e. ) 4 16 = f. ) 5 = g. ) 1 = h. ) 10 104 = i. ) 11 048 = Áll. Legyen a R, b R \ {0} és n, m, k N +. Az n-edik gyökvonás azonosságai: I. ) n a b = n a n b II. ) III. ) IV. ) n a n a b = n b n a k = ( n a ) k n k a = n k a V. ) n a m = n k a m k. Házi feladat. Végezzük el az alábbi gyökvonásokat, átalakításokat! a. ) 6 4 = b. ) 4 16 = c. ) 0, 6 = d. ) 100 5 = e. ) 5 96 5 = 16 f. ) = a g. ) = 5 4 h. ) a = i. ) a a = j. ) a 4 a 5 = k. ) 0 a 1 = l. ) a 5 a 4 = m. ) 7 7 = n. ) 4 16 = o. ) 4 a b a =

8. 5. óra. Feladatmegoldás 5. óra Feladatmegoldás. Feladat. Egyszerűsítsük a következő kifejezéseket a gyökvonás azonosságaival! a. ) x x x 7 = y b. ) y y = 4 c. ) 5 a 4 5 a 1 5 a 5 a 4 5 a = 4. Feladat. Alkalmazzuk a gyökvonás azonosságait a kifejezések egyszerűsítésére! a. ) a 5 a 4 a 5 5 a4 a a = b. ) 4 a b a b 1 a 1 b 6 a b 5 = c. ) 4 81 15 5 10 18 5 =. Házi feladat. Egyszerűsítsd az alábbi kifejezéseket! a. ) x x x 7 = 6 a 7 b b. ) b 4 a 8 5 a 4 b a b =

6. óra. A törtkitevőjű hatvány értelmezése 9. 6. óra A törtkitevőjű hatvány értelmezése Def. Legyen a > 0; m Z; n N és n > 1. Ekkor az a szám m -edik hatványa n jelentse az a alap m-edik hatványának n-ik gyökét, azaz teljesüljön a következő: a m n = n a m 5. Feladat. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a. ) 8 = b. ) 9 = c. ) 7 4 = d. ) 0, 065 4 = e. ) = f. ) 81 1 4 = g. ) 5 1 = h. ) 1000 = ( ) 81 4 i. ) = 16 6. Feladat. Írjuk fel gyökjelekkel az alábbi kifejezéseket! a. ) 5 1 5 = b. ) 7 7 = c. ) 15 = d. ) 9 = e. ) 9 0,7 = f. ) 10 0, = g. ) 0,6 = h. ) 9 0, = i. ) ( 4 5 ) 4 = 4. Házi feladat. Számítsuk ki a következő kifejezések értékét! a. ) 7 7 1 6 7 4 7 1 1 49 1 4 = b. ) 1 5 6 4 = c. ) 5 5 15 4 5 5 =

10. 7. óra. Irracionális kitevőjű hatványok 7. óra Irracionális kitevőjű hatványok Számonkérés várható az óra elején!

8. óra. Exponenciális függvény 11. 8. óra Exponenciális függvény Def. Legyen a R + \ {1}. Ekkor az f(x) : R R; x a x alakban megadott függvényeket exponenciális függvénynek nevezzük. Megjegyzés. Az exponenciális függvényt definiáló kifejezés egy olyan hatványkifejezésnek is tekinthető, amelyben a hatvány alapja konstans, a függvény változója a kitevőben szerepel és a függvény értéke hatvány értékével egyenlő. 7. Feladat. Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket! a. ) f(x) : R R; x x e. ) i(x) : R R; x x 4 b. ) g(x) : R R; x x f. ) j(x) : R R; x (x+) + 1 c. ) g(x) : R R; x ( ) x 1 g. ) k(x) : R R; x ( ) x+ 1 d. ) h(x) : R R; x x 4 h. ) l(x) : R R; x 4 x + 4 5. Házi feladat. Írj egy saját exponenciális függvényt és jellemezd! 1. Szorgalmi. Ábrázold az alábbi függvényt! s(x) : R R; x 1 x 5

1. 9. óra. Exponenciális függvény ábrázolása, elemzése 9. óra Exponenciális függvény ábrázolása, elemzése 8. Feladat. Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket! a. ) f(x) : R R; x 5 x b. ) g(x) : R R; x ( ) x 4 1 c. ) h(x) : R R; x x 6 d. ) i(x) : R R; x (x+1) x x 9. Feladat. Oldjuk meg grafikusan az alábbi egyenleteket! a. ) x+ 5 = x + 4 b. ) x+1 = x + 4x + 6. Házi feladat. A plutónium felezési ideje T = 88 év. Igazoljuk, hogy 88 év eltelével valóban az fele elbomlik, ha eredetileg N 0 darab atommagunk volt és az el nem bomlott atommagokra az alábbi összefüggés írható fel: N(t) = N 0 t T a. ) Hányad része marad meg az atomoknak 440 év elteltével? b. ) Mikorra várható, hogy már csak minden 048.-ik plutónium atommag van már csak meg, mert a többi elbomlott?. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenletet külön lapra és adjuk le! 7 1 x = 49

10. óra. Exponenciális egyenletek megoldása 1. 10. óra Exponenciális egyenletek megoldása 10. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenleteket a valós számok halmazán! Végezzünk ellenőrzést is! A megoldási módszer a kitevő átalakítása legyen! a. ) 4x = 4 b. ) x = 9 c. ) 4 x = 8 4 4 d. ) 5 5 x = 5 x 7. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a. ) 4 x = 8 b. ) x 1 = 1 9. Szorgalmi. Oldjuk meg azlábbi egyenletet a valós számok halmazán! 4 x = 8 x 1

14. 11. óra. Exponenciális egyenletek főbb típusai 11. óra Exponenciális egyenletek főbb típusai 11. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenleteket a valós számok halmazán! Végezzünk ellenőrzést is! A megoldási módszer az alap átalakítása legyen! a. ) 7 x x 8 = 1 b. ) 1 x 7 = 1 c. ) 7 x+5 1 = 0 d. ) (x 1) (x+4) = 4 x 1 x+4 e. ) 0, 5 x +x 5 = 1 f. ) 4 4 x 1 = 64 1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenleteket a valós számok halmazán! Végezzünk ellenőrzést! A megoldási módszer az alapok összevonása legyen! a. ) 5 x + 5 x+1 + 5 x+ = 1 b. ) x+ + x+1 = 10 c. ) 5 x+1 + 5 x+ = 0 d. ) 4 x + x 1 = 15 e. ) x 1 5 x+ = 8 f. ) 10 x+1 10 x 1 = 970 1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenleteket a valós számok halmazán! Végezzünk ellenőrzést! A megoldási módszer a közös alap legyen! a. ) 4 x = 5 x b. ) 9 x+1 = 4 6 x c. ) 7 x 1 = 9 4x d. ) 7 x = 1 x e. ) 9 x 5 x = 100 x f. ) 16 x = 9 x 14. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! Végezzünk ellenőrzést! A megoldási módszer egy új ismeretlen bevezetése legyen! a. ) 4 x x + = 0 b. ) 9 x x = 0 c. ) 10 x + 10 x = d. ) 5 x 0 5 x + 15 = 0 e. ) 16 x+1 65 4 x + 4 = 0 f. ) 4 x 17 x + 8 = 0 8. Házi feladat. Befejezni, ami kimaradt! 4. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet és add be külön lapon! x = x+1

1. óra. Exponenciális egyenletek gyakorlása 15. 1. óra Exponenciális egyenletek gyakorlása 15. Feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a. ) 5x = 16 f. ) 10 x 5 x 1 x = 950 b. ) 7 x = 0 g. ) x+ x+1 =1 + x 1 ( ) x 1 7x+1 c. ) = 1 17 h. ) ( 1 64 ) x+ = 0, 5 d. ) ( 1 ) x+1 = x i. ) 9 x = e. ) 9 x 1 = 81 x+1 j. ) 9 x 1 + x+ = 90 9. Házi feladat. Befejezni a kimaradt feladatokat! 5. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet és add be külön lapon! ( x+1 + x ) ( x+1 x ) 1 x+ = 79

16. 1. óra. Exponenciális egyenletrendszerek 1. óra Exponenciális egyenletrendszerek 16. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket! x + y = 7 a. ) 5 x y = 11 10 x + 7 y+1 = 8 d. ) 10 x 7 y+ = 7 x+y 1 = 49 b. ) x+y+8 = 64 7 x + 5 y = 41 e. ) 5 7 x + y = 9 4 x + 4 y = 4 c. ) 11 4 x y = 1 x+ + y 1 = 17 f. ) x + 4 y = 4 10. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert! 5 x+ 5 6 y 1 = 10 100 5 x + 1 6 y = 6. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert! 9 x+y 5 = 4 x 16 x y+1 = 8 y+7

14. óra. Exponenciális egyenlőtlenségek 17. 14. óra Exponenciális egyenlőtlenségek Áll. Legyen c > b, és a > 1. Ekkor az a x exponenciális függvény szigorúan monoton növekvő, emiatt: a c > a b. 17. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenlőtlenséget! x 1 > 7 Áll. Legyen c > b, és 0 < a < 1. Ekkor az a x exponenciális függvény szigorúan monoton csökkenő, emiatt: a c < a b. 18. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenlőtlenséget! ( ) x 1 1 16 19. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenlőtlenséget! a. ) ( 8 7) 5x 4 < 1 c. ) ( 1 ) x > 9 4 b. ) ( 7 9 ) x 9 7 d. ) ( 4 ) x 1 ( ) x 4 11. Házi feladat. Maradékot otthon befejezni. 7. Szorgalmi. Beadható külön lapon: x 9x+14 < 1

18. 15. óra. Exponenciális egyenlőtlenségek: 15. óra Exponenciális egyenlőtlenségek: 0. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a. ) x x > 56 b. ) 5 x+1 x < 5 1. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket: a. ) x + 1 x > b. ) 7 x+ x+ > 49 8. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget! 6 ( x 7x + 1) > 1

16. óra. A logaritmus fogalma 19. 16. óra A logaritmus fogalma 1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Haszáljunk számológépet! a. ) x = 8 b. ) x = 16 c. ) x = 1 d. ) 10 x = 1000 e. ) 10 x = 0, 001 f. ) 10 x = 0 Def. Legyen adott a > 0 és b > 0, b 1 valós szám. Ekkor az a szám b alapú logaritmusa az egyetlen olyan kitevő, amit b-re emelve a-t kapunk 1. Jele: log b a Megjegyzés. A tízes alapú logaritmus jele: lg x Megjegyzés. Az e alapú, más néven természetes alapú logaritmus jele: ln x. Feladat. Számítsuk ki a következő logaritmusértékeket! a. ) log 4 = e. ) log 5 5 = i. ) log 4 8 = l. ) log 0 = b. ) log 7 = c. ) log ( 4) = d. ) log 4 4 = f. ) ln 1 = g. ) log 9 = h. ) log 9 = j. ) log 1 = k. ) log 1 = m. ) log y y = n. ) log k 1 = o. ) lg 0.1 =. Feladat. Számítsuk ki a következő hatványokat! a. ) 5 log 5 4 = c. ) log = e. ) 100 lg 4 = g. ) 0, 5 log = b. ) 10 lg 100 = d. ) 7 log 7 = f. ) log 4 9 = h. ) a log a 6 = 1. Házi feladat. Határozzuk meg az ismeretlenek értékét! a. ) log a = e. ) log 6 e = 0 i. ) 8 log = z m. ) log 5 15 = b. ) log 5 b = f. ) log f 7 = 0, 5 j. ) log 4 x = n. ) log 18 = c. ) log 4 c = g. ) log g 7 = k. ) log 49 y = 0.5 o. ) log 18 = d. ) log d 7 = h. ) log h 5 = 1 l. ) log z 6 = 1 p. ) lg 10 9 = 9. Szorgalmi. Számítsuk ki az x értékét!: log x 4 8 = 0, 5 1 Tehát log b a az a szám, amelyre teljesül, hogy: b log b a = a. Ha veszel normális számológépet ez lesz a LOG gomb. Az Euler-féle szám első néhány jegye: e =,718 81 88 459 045 5 60 87 471 5...

0. 17. óra. A logaritmus azonosságai 17. óra A logaritmus azonosságai Tétel. Minden x > 0, y > 0 és a > 0, a 0 valós szám esetén teljesül az alábbi: log a (x y) = log a x + log a y Megjegyzés. Szorzat logaritmusa megegyezik a tényezők logaritmusának összegével. 4. Feladat. Határozzuk meg a következő kifejezések értékét! a. ) lg 4 + lg 5 = b. ) log 40 + log 0, 8 = c. ) lg + lg 5 = d. ) ln x + ln x = Tétel. Minden x > 0, és a > 0, a 0, és k valós szám esetén teljesül az alábbi: log a x k = k log a x Megjegyzés. Hatvány logaritmusa az alap logaritmusának és kitevőjének szorzata. 5. Feladat. Határozzuk meg a következő kifejezések értékét! a. ) lg x + lg x + lg x + lg x = b. ) log 104 = c. ) log 4 16 = d. ) log 100 = e. ) 4 lg 4 1000 = f. ) lg 1000000 π 6 = g. ) log 0, 5 = h. ) lg 0, 00001 = Tétel. Minden x > 0, y > 0 és a > 0, a 0 valós szám esetén teljesül az alábbi: log a x y = log a x log a y Megjegyzés. Tört logaritmusa számláló és nevező logaritmusának különbsége. 6. Feladat. Határozzuk meg a következő kifejezések értékét! a. ) log 5 15 + log 5 1 log 5 6 = b. ) log 10 + log 1 log 15 = c. ) lg 5 + lg 8 lg 0 = d. ) lg 18 6 lg + 0, 5 lg 5 = 14. Házi feladat. Saját feladatot kitalálni, aminek a végeredménye egész és beadni. 10. Szorgalmi. log 8 00 0.5 log8 55 + log 8 40 log8 10 =

18. óra. A logaritmus függvény ábrázolása, elemzése 1. 18. óra A logaritmus függvény ábrázolása, elemzése 7. Feladat. Ábrázoljuk az f és g függvényeket pontjaik kiszámításával! f : R R + ; x x g : R + R; x log x 8. Feladat. Ábrázoljuk az e és h függvényeket és jellemezzük őket! e : R R + ; x ( ) x 1 h : R + R; x log 1 x Megjegyzés. A függvénytranszformációknál megismert szabályok a logaritmusfüggvény ábrázolása során is használhatók. 9. Feladat. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket és jellemezzük őket! a. ) log x + b. ) log (x + ) c. ) log (x 4) + d. ) log ( x) 15. Házi feladat. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket és jellemezzük őket! a. ) log x 1 b. ) log (x 1) c. ) log 1 (x 5) + d. ) log (4 x) + 11. Szorgalmi. Ábrázoljuk az alábbi függvényt: f(x) = log x

. 19. óra. Az inverz függvény fogalma 19. óra Az inverz függvény fogalma Def. Az f inverz függvénye a g, ha f képhalmaza minden elemét pontosan egyszer vette fel és minden x-re g(f(x)) = x. Áll. Ha f inverz függvénye g, akkor az f grafikonjának y=x egyenesre való tükrözésével megkapható a g grafikonja. Áll. Az f : R R + ; x a x inverz függvénye a g : R + R; x log a x. 0. Feladat. Írjuk fel az ábrán látható függvények hozzárendelési szabályát! 16. Házi feladat. Jellemezzünk az előző feladatban lévő függvények közül kettőt! 1. Szorgalmi. Egy termék eladott darabjainak száma (ezer darabban számolva) az alábbi függvény szerint alakul, ahol a t a kiadás óta eltelt évek száma: s(t) = 100 + 0 lg(7t + 1) Hány terméket adtak el a kiadás évében és hány darabot egy év múlva? Hány év múlva érné el az eladás a megjelenés évében eladott mennyiség dupláját?

0. óra. Áttérés más alapú logaritmusra. 0. óra Áttérés más alapú logaritmusra Tétel. Legyen a, b, c > 0; a 1; c 1. Ekkor teljesül az alábbi: log a b = log c b log c a 1. Feladat. Számítsuk ki számológéppel az alábbi logaritmusok értékét! a. ) log 5 = b. ) log 8 = c. ) log 4 10 = d. ) log 9 6 = e. ) log 9 π = f. ) log 0,4 9 =. Feladat. Igazoljuk az alábbi állításokat! Írjunk kikötéseket a változókhoz! a. ) log a b log b c log c a = 1 b. ) log a b = 1 log b a c. ) log a n b = 1 n log a b d. ) log a c log ab c = 1 + log a b e. ) log a k a n = n k lg(lg a) f. ) a lg a = lg a. Feladat. Melyik kifejezés számértéke nagyobb? a. ) log, 1 + log 0, 9 vagy log b. ) log 7 607 log 7 1 vagy log 1 c. ) 5 1 lg 5 1000 vagy log 5 10 15 log 5 5 d. ) (1 lg ) (1 + lg ) vagy (lg 0 lg 6) (1 + lg ) 17. Házi feladat. Írjuk fel egyszerűbb alakban az alábbi kifejezést! a log b (log b a) log b a = 1. Szorgalmi. Bizonyítsuk be a másik alapú logaritmusra való áttérés tételét!

4. 1. óra. Logaritmust tartalmazó kifejezések 1. óra Logaritmust tartalmazó kifejezések 4. Feladat. Adjuk meg az alábbi kifejezések legbővebb értelmezési tartományát! a. ) lg(x + 1) + lg(x + 4) e. ) log x (4x ) b. ) log 8 (6x 5) log 7 (5x 6) f. ) log x 4 (1 4x) c. ) log (x ) + log (4x + 1) g. ) log 5 4x 1 x + d. ) log 4 (4 5x) log 5 (7x + 5) h. ) log 7 4 5x 7x + 5 18. Házi feladat. Melyik valós számokra értelmezhető az alábbi kifejezés? log π (x ) log 11 (4x 7) + lg(x 8) 19. Házi feladat. Add meg a legbővebb értelmezési tartományt! lg( 4 x+1 + x 8)

. óra. Logaritmusos egyenletek 5.. óra Logaritmusos egyenletek 5. Feladat. Mely valós számokra értelmezhetők az alábbi kifejezések? a. ) lg(x x 8) b. ) lg ( x ) lg(x + ) c. ) log x 1 (17x ) log x(6x ) d. ) lg( x 9) lg(x + ) 6. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! a. ) log (x 1) = b. ) log 8 (x x 4) = 0 c. ) log 5 log 0.5 log 0.5 x = 1 d. ) log x 0, 15 = e. ) log x 6 = f. ) lg(x 9) + lg(x 1) = g. ) lg(x ) + lg(x ) = 1 lg 5 h. ) lg(x + 5) lg x + lg 100 = 1 4 x 7 i. ) log x 1 + log x 1 x + 1 = 1 0. Házi feladat. A maradék feladatokat otthon befejezni! 14. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! log x + log 8 x = 8

6.. óra. Logaritmusos egyenletek. óra Logaritmusos egyenletek 7. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! a. ) lg x = 1 b. ) log 0,1 x = 1 c. ) log 100 x = d. ) log 1000 x = e. ) lg x = 0, 010 f. ) lg x = 0, 447 g. ) log 0, x = h. ) log 0,5 x = 1 4 i. ) lg x = 0 8. Feladat. Számítsuk ki az alábbi logaritmusos kifejezéseket! a. ) x = lg 10 6 b. ) x = log 5 1 c. ) x = log 9. Feladat. Határozzuk meg a logaritmus alapját! a. ) log x 1 8 = b. ) log x 8 = 1 c. ) log x 6 = 40. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! a. ) log (x 1) = b. ) log 6 (x 10) = 0, 5 c. ) log x = 4 d. ) lg 5 + lg x = 1 lg e. ) lg(x 9) + lg(x 1) = f. ) lg(x ) + lg(x ) = 1 lg 5 1. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletet! ( ) ( ) x 7 x 1 log + log x 1 = 1 x + 1 15. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenletet! log log 4 log (x ) = 0

4. óra. Logaritmusos egyenlőtlenségek 7. 4. óra Logaritmusos egyenlőtlenségek 41. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket! a. ) log (x + ) > log 4 e. ) log 1 (5x 1) < 0 b. ) log 1 5x log 1 5 f. ) log 1 (5x 1) > 0 c. ) log 4 (x 4) > 0 g. ) log 1 x x 1 < 0 d. ) log 4 (x 4) < 0 h. ) log 1 x 1 x + < 1. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget! lg(x + 8) lg(x x 4) 16. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget! log 1 x + log x > 1

8. 5. óra. Logaritmusos egyenlőtlenségek 5. óra Logaritmusos egyenlőtlenségek 4. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket! a. ) log 8 x x x > 1 c. ) log x 79 > b. ) log 1 x > 6 d. ) log 1 (log 4 (x 5)) > 0. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget! lg (x 5x + 6) < 0 17. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget! log 1 (6x x 1) > 0

6. óra. Gyakorlás 9. 6. óra Gyakorlás 4. Feladat. Végezd el az alábbi műveleteket! a. ) x 6 x = d. ) 4 81 15 5 10 18 5 = 4 b. 5 ) a = e. ) a 1 b 4 5 x 4 ( a) 1 b 1 x 1 = c. ) x 1 x 5 x 4 = [ (x ) 4 ( ) ] x 6 1 f. ) = y 4 y 5 44. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a. ) x+ x = x+ + y 1 = 17 e. ) x + 4 y = 4 b. ) 5 x 0 5 x + 15 = 0 f. ) log 5 (x + 7) = log 5 (x + 1) c. ) x x > 56 g. ) lg(x + ) = lg 5 d. ) ( 1 ) x > 9 4 h. ) lg(4x ) + lg(x ) > 4. Házi feladat. Oldjunk meg mindegyik típusból egy feladatot a jegyzetből! 18. Szorgalmi. Találjunk ki saját feladatot és oldjuk meg!

0. 7. óra. Gyakorlás 7. óra Gyakorlás 45. Feladat. Alkalmazd a hatványozás és a gyökvonás azonosságait! a. ) (x y ) (x 1 y ) (x ) 5 (x 4 y ) 1 = b. ) 4 a 1 b 6 a 5 b a4 b a b = 46. Feladat. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeket! a. ) f(x) : R R; x x 4 b. ) g(x) : R + R; x log (x + ) + 4 5. Házi feladat. Mindegyik feladattípusból egyet és add le külön papíron! 19. Szorgalmi. Döntsd el azonosságok segítségével, hogy melyik a nagyobb! 45 7 75 1 vagy 15 17 5 8

8. óra. Gyakorlás 1. 8. óra Gyakorlás 47. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket és egyenlőtlenségeket! a. ) 10 x+1 4 10 x 10 x 1 = 570 b. ) ( 5 ) x+7 = ( ) x 9 5 c. ) 5 4x 15 x+1 > 5x 4 5 x 1 d. ) log (4x + 8) log (x + 5) = log (x + 9) e. ) log log 5 (x 1) < 1 f. ) log x (x 7x 0) = 6. Házi feladat. Leadni két logaritmusos és két exponenciális egyenletet! 0. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenletet! log x + 8 log x = 6

. 9. óra. Gyakorlás 9. óra Gyakorlás 48. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket! (1.) 5 log x log y = 9 (.) log x + 4 log y = 8 (1.) lg(x + y) = lg x (.) lg x = lg + lg(y 1) (1.) log x + log y = + log (.) log 1 x y = 1 (1.) 10 1+lg(x+y) = 50 (.) lg(x y) + lg(x + y) = lg 5 49. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket! a. ) log 17 (x + 4) < 1 b. ) log 4 5 x x + 1 > 0 c. ) lg( x 1 8) > 50. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletet! log x + log x + log 1 x = 6 7. Házi feladat. Felkészülni a témazáró dolgozatra! 1. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet! log (1 + log (1 + log 4 (1 + log 5 (1 + log 6 x)))) = 0

0. óra. Témazáró dolgozat megírása. 0. óra Témazáró dolgozat megírása

4. 1. óra. Témazáró dolgozat megbeszélése 1. óra Témazáró dolgozat megbeszélése