Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) Egy korábbi dolgozatunkban címe: Két egyenes körhenger a merőlegesen metsződő tengelyű körhengerek áthatási feladatával foglalkoztunk. Most vizsgáljunk meg egy általánosabb esetet! Adott: két egyenes körhenger, melyek ~ sugara R és r, ahol R > r; ~ tengelyvonalaik 0 < β < 90 szögben metszik egymást ld.: 1. ábra! Keresett: ~ az áthatási görbék vetületeinek egyenlete; ~ specializáció az R = r esetre. Megoldás: 1. ábra Először is megállapítjuk, hogy elegendő a görbepár egyik, például a jobb oldali felével foglalkozni, mert az egyik görbe a másiknak középpontos tükörképe, C középponttal. A számítást [ 1 ] alapján végezzük. A jobb oldali áthatási görbe egy kiszemelt pontjának helyvektora, a 2. ábra szerint: V a b r p ; ( 1 ) itt: a a e z ; ( 2 ) b b e ; ( 3 ) ξ r rcos e rsin e ; ( 4 ) η ζ p p e ξ. ( 5 )
2 2. ábra Az elölnézeti kép szerint: R b rtg ; itt: 90. ( 6 ) cos Most ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ) - tel: V a ez beξ r cos eη rsin eζ p e ξ. ( 7 ) A ( 7 ) egyenlet használatához felírjuk az alkalmazott egységvektorok összefüggéseit, a 3. ábra alapján: e cos sin ; ξ ex ez eη ey; eζ sinex cos ez. ( 8 )
3 3. ábra Ezután ( 7 ) és ( 8 ) - cal, rendezés után: R V rtg p cos r sin sin r cos cos e x ey R a rtg p sin rsin cos. cos ez ( 9 ) A p mennyiség meghatározására felhasználjuk, hogy a áthatási pontnak a z tengelytől mért távolsága R ld.: a 2. ábra felülnézeti képét!, azaz 2 2 2 V ex V e y R. ( 10 ) ( 9 ) és ( 10 ) - zel, a kijelölt skalárszorzások elvégzése és átalakítások után: R r cos R r sin 1 sin p cos, ( 11 ) innen pedig R rsin 1sin R r cos p( ). cos ( 12 ) Megjegyezzük, hogy a ( 11 ) összefüggés a 2. ábráról közvetlenül leolvasható. Most ( 9 ), ( 12 ) alapján, rendezés után: r V R r cos e rcos a sin tg R r cos x ey ; cos e z ( 13 ) tudjuk, hogy V x e y e z e ; ( 14 ) x y z
4 majd ( 13 ) és ( 14 ) összehasonlításából: x R r cos ; y rcos ; r z a sin tg R r cos. cos ( 15 ) a jobb oldali áthatási görbe vonal paraméteres egyenletrendszere, ahol 0 360. Most megnézzük, hogy milyen görbék a koordináta - síkokon képződő vetületek, egyúttal teszteljük a ( 15 ), ( 16 ) képleteket. ( 15 ) ( 16 ) 1.) R = 100 mm; r = 50 mm; β = 60. ~ Az ( xy ) síkon keletkező vetület ld.: 4. ábra! ~ Az ( xz ) síkon keletkező vetület ld.: 5. ábra! ~ Az ( yz ) síkon keletkező vetület ld.: 6. ábra! A vetületi görbék képleteit itt nem részletezzük, hanem a ( 15 ) és ( 16 ) képleteket alkalmazzuk úgy, hogy a Graph függvényábrázoló program ld.: [ 2 ]! paraméteres függvény-megadási lehetőségét választjuk, az itteni φ paraméterrel.
5 y Metsződő tengelyű hengerek áthatása Vetület az ( xy ) síkon: körív. 70 60 50 40 30 20 10 x -10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190-10 -20-30 -40-50 -60-70 4. ábra ( 15 ) - ből a görbe paraméteres egyenletrendszere, általában: x R r cos ; y rcos. ( 15 / 1 )
6 z Metsződő tengelyű hengerek áthatása Vetület az ( xz ) síkon: hiperbolaív 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 x 5. ábra ( 15 ) - ből a görbe paraméteres egyenletrendszere, általában: x R r cos ; r cos z a sin tg R r cos. ( 15 / 2 )
7 Metsződő tengelyű hengerek áthatása 160 z Vetület az ( yz ) síkon: ovális görbe 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10-120 -110-100 -90-80 -70-60 -50-40 -30-20 -10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120-10 y -20 6. ábra ( 15 ) - ből a görbe paraméteres egyenletrendszere, általában: y rcos ; r cos z a sin tg R r cos. ( 15 / 3 ) 2.) R = 100 mm; r = 50 mm; β = 90. ~ Az ( xy ) síkon keletkező vetület ld.: 7. ábra! ~ Az ( xz ) síkon keletkező vetület ld.: 8. ábra! ~ Az ( yz ) síkon keletkező vetület ld.: 9. ábra!
8 Merőlegesen metsződő tengelyű hengerek áthatása - körív vetület y x ( t ) = sqrt(10000-2500*sqr(cos(t))) ; y ( t ) = 50*cos(t) 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 x -10-20 -30-40 -50 7. ábra Ez a görbe megegyezik a 4. ábra görbéjével. araméteres egyenletrendszere az ábrán található.
9 Merőlegesen metsződő tengelyű hengerek áthatása - hiperbolaív vetület 80 z x ( t ) = sqrt(10000-2500*sqr(cos(t))); z ( t ) = 50*sin(t) 70 60 50 40 30 20 10-10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 x -10-20 -30-40 -50-60 8. ábra Ez a görbe nem egyezik az 5. ábra görbéjével. araméteres egyenletrendszere az ábrán található.
10 Merőlegesen metsződő hengerek áthatása - kör vetület 50 z y ( t ) = 50*cos(t) z ( t ) = 50*sin(t) 40 30 20 10-70 -60-50 -40-30 -20-10 10 20 30 40 50 60 70 y -10-20 -30-40 -50 9. ábra Ez a görbe nem egyezik a 6. ábra görbéjével. araméteres egyenletrendszere az ábrán található.
11 Megjegyzések: M1. A R sugarú hengeren a nyílás elkészítéséhez jól jöhet, ha a r sugarú, az áthatási görbének megfelelően elkészített végű hengert odaillesztjük és körülrajzoljuk [ 3 ]. A vékonyabb hengervég kialakításához a ( 12 ) képlet adja az alapot. M2. A 2. ábráról a áthatási görbe - pont képeinek szerkesztéssel való előállítása is leolvasható. Ugyanez az ábra értelmezi a φ paraméter / segédváltozó szerepét is. M3. A fenti számítások és a szerkesztés látszólag nehéz. Ha jobban megnézzük, akkor itt is csak a ( szak - )középiskolai tanulmányok végzése során előforduló tudnivalók kapnak szerepet. Sajnos tény, hogy az idevágó ismeretek gyakran hiányoznak. R = r, β 0 speciális eset: ( S1 ) Most ( 15 ) és ( S1 ) - gyel: 2 x R r cos r r cos r 1 cos r sin tehát x (R r) r sin. ( 17 ) Folytatva: y (R r) rcos ; ( 18 ) Most vegyük alaposabban szemügyre ( 15 ) utolsó egyenletét! A benne szereplő sin φ - s tagot másképpen írjuk fel: sin sin, ha 0 180, ( 19 ) sin sin, ha 180 360. Ezután ( 15 ) utolsó egyenlete más alakban, ( S1 ) - et is tekintve: ~ a felső ág: r 1 z,felső a sin tgr sin a r sin tg, cos cos vagy 1 sin z,felső a r sin ; cos ~ az alsó ág: r 1 z,alsó a sin tgr sin a r sin tg, cos cos 1sin z,alsó a r sin. cos vagy ( 20 ) ( 21 ) Most ( 17 ), ( 20 ), ( 21 ) - gyel:
12 1 sin z,felső a x (R r), cos 1sin z,alsó a x (R r). cos ( 22 ) ( 23 ) Most fordítsuk figyelmünket az α szöget tartalmazó tényezőkre! Ehhez tekintsük a 10. ábrát is! Eszerint: 1sin tg, cos 2 ( 24 ) 1sin tg 90 cos 2 tg 90. 2 ( 25 ) 10. ábra Most ( 22 ) és ( 24 ) - gyel: 1sin z,felső a x (R r) a x (R r) tg, cos 2 ( 26 ) majd ( 23 ) és ( 25 ) - tel: 1sin z,alsó a x (R r) a x (R r) tg 90. cos 2 ( 27 ) A ( 26 ) és ( 27 ) egyenletek két, egymásra merőleges egyenes egyenletét adják. Ez azt jelenti, hogy az R = r esetben a jobb oldali áthatási görbe - vetület szétesett két, egymásra merőleges egyenesre ld. az 11. ábrát is!
13 11. ábra Látható, hogy az egyenlő sugarú hengerek esetében az és az 90 2 2 szögek éppen a hengerek tengelyei által bezárt szögek felezőit jelölik ki, vagyis az áthatási egyenesek merőlegesek egymásra és szögfelező helyzetűek is. Minthogy az egyenesek a körhengerek ferde metszeteit jelentik, így az áthatási görbék: térbeli ellipszisek. Az ellipszisek tengelyei [ 2r ; 2r / cos ( α + β / 2 )] és [ 2r ; 2r / cos ( α + β / 2 90 )] nagyságúak. A mondott egyenesek az R > r eset hiperboláinak aszimptotái. Az a tény, hogy az egyenes szakaszok merőlegesek egymásra, még úgy is belátható, hogy ezek a szakaszok egy a = 2r / sin β oldalhosszúságú rombusz átlói, ezek pedig merőlegesek egymásra ld.: [ 4 ]! Hasonlóan: a rombusz átlói felezik a szögeket. Megjegyezzük, hogy feladatunk megoldásának egy az ittenitől kissé eltérő módját találjuk a [ 5 ] munkában. Innen származik a 12. ábra is, mely a fenti feladat gyakorlati fontosságát is szemlélteti. 12. ábra
14 Feladatok F1. Az Olvasó készítse el a 2. ábra megfelelőjét, az ( S1 ) esetre! F2. Az Olvasó állítsa elő az ( S2 ) specializáció R r, β = 90 eredményeit! F3. Az Olvasó készítsen egy rövid, tömör jelentést feladatunk itteni és [ 5 ] - beli megoldási módja közti lényeges hasonlóságokról, ill. különbözőségekről! F4. Az Olvasó írja fel az ábrázolt esetekre: ~ a vetületi görbék konkrét számadatokkal bíró, hiányzó paraméteres egyenletrendszerét; ~ a vetületi görbék O( xyz ) koordináta - rendszerbeli egyenletét! Irodalom: [ 1 ] http://www.dirk-froehling.privat.t-online.de/page7/files/mechanikaufgaben.pdf [ 2 ] http://www.padowan.dk/graph/ [ 3 ] Baky Miklós: Zsebszámológép programok TK 1050 Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985. [ 4 ] I. N: Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban [ 5 ] http://geometrie.uibk.ac.at/lehre/technischemathematik/dg-techmath- SS2007.pdf Sződliget, 2009. június 21. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár