1 Egy kinematikai feladathoz Az [ 1 ] példatárból való az alábbi feladat. Egy bütyök v 0 állandó nagyságú sebességgel halad jobbról balra. Kontúrjának egyenlete a hozzá kötött, vele együtt haladó O 1 xy koordináta - rendszerben y = f(x). A bütyök testére egy l hosszúságú, O - ban csapágyazott pálca támaszkodik a szabad végén. Adjuk meg ~ a pálca ω szögsebességének képletét; ~ a bütyök azon kontúrjának egyenletét, amelynél a pálca állandó nagyságú ω 0 szög - sebességgel forog! 1. ábra forrása: [ 1 ] Az 1. ábrán látható, hogy a végeredményeket közölték, ámde levezetés nélkül. Feladatunk ezen levezetés elvégzése, valamint az eredmények szemléltetése. A megoldáshoz tekintsük a 2. ábrát! Itt azt láthatjuk, hogy amíg a bütyök dt idő alatt v 0 dt utat tesz meg, addig a rúd elfordul dφ szöggel, a jobb oldali vége pedig a bütyök kontúrja mentén ds úton felcsúszik. A mellékábra szerint: ( 1 ) továbbá szinusz - tétellel: ( 2 ) most ( 1 ) és ( 2 ) - vel:
2 2. ábra ( 3 ) majd ismét a 2. ábráról: ( 4 ) így ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: ( 5 ) ezután figyelembe véve, hogy ( 6 ) ( 5 ) és ( 6 ) - tal: innen: ( 7 ) most tekintettel a ( 8 ) összefüggésre is, ( 7 ) és ( 8 ) - cal:
3 ( 9 ) egyezésben az 1. ábra első megoldás - eredményével. Most megkeressük az feltételnek megfelelő bütyök - kontúrt. Ehhez ( 9 ) és ( 10 ) - zel: ( 10 ) ( 11 ) átrendezve: ( 12 ) integrálva: ( 13 ) Most ( 13 ) jobb oldala: ( 14 ) majd ( 13 ) bal oldala: ( 15 ) ezután integráltáblázattal [ 2 ] : ( 16 ) ( 17 ) így ( 15 ), ( 16 ) és ( 17 ) szerint: ( 18 )
4 Most ( 13 ), ( 14 ) és ( 18 ) - cal: ( 19 ) majd figyelembe véve, hogy ( 19 ) és ( 20 ) - ból: ( 20 ) ( 21 ) ezután ( 19) és ( 21 ) - gyel: innen: ( 22 ) Ezzel előállt az 1. ábrán közölt második megoldás - eredmény is. A ( 22 ) függvény ábrája a 3. ábrán szemlélhető meg. 3. ábra
5 Készítéséhez az alábbi adatokat vettük fel: l = 1 ( m ); v 0 = 1 / 6 ( m / s ); ω 0 = π / 6 ( rad / s ). ( A ) Megjegyzések: M1. A ( 19 ) képletbeli c állandó mindhárom integrálás ( összevont ) állandójának tekint - hető. M2. A ( 20 ) feltétel kirovásához kellett az 1. ábra is. M3. A 3. ábra a t = 0 időpillanatbeli helyzetet rögzíti. Itt csak nemnegatív y - okra rajzol - tuk meg a grafikont, a Graph szoftver implicit függvény ábrázolási lehetőségének fel - használásával. M4. Kíváncsiak vagyunk arra is, hogy meddig tart a mozgás. A mozgás véget ér, amint y = l 4. ábra; ekkor φ max = π / 2, így t = T - vel: ( 23 ) Ez idő alatt a bütyök u elmozdulására, ( 23 ) - mal is: ( 24 ) Ugyanez másként 4. ábra : ahol: Ámde ( 22 ) - ből: ( 25 ) ( 26 ) ( 27 ) majd ( 25 ), ( 26 ) és ( 27 ) - tel: egyezésben ( 24 ) - gyel.
6 4. ábra Az előírt típusú mozgás azért ér véget y = l - nél, mert utána már a rúd a saját súlya miatt esne tovább, nem az előírt mozgást végezve, vagy meg lenne állítva. M5. A rúd vége bütyökhöz képesti sebességének v s nagysága szinusz - tétellel a 2. ábráról: innen: ( 28 ) A ( 28 ) - ban szereplő szögekre ( 4 / 2 ) és ( 12 ) - vel: ( 29 )
7 M6. Azért van szó bütyök - ről legalábbis az orosz eredetiben és itt, mert az 1. ábra szerinti szerkezet egyfajta síkbeli bütykös mechanizmus. Működésének elvi leírásával foglalkoztunk eddig. Az [ 1 ] mű 1952 - es magyar kiadásában ismert körvonalú test - et említenek. M7. A 3. ábrán a görbe felső vége hiányos; ennek valószínűleg numerikus okai lehetnek. M8. Megfordulhat az Olvasó fejében, hogy mi lehet a helyzet más előírt feltételekkel, illetve kontúrokkal. Tessék megvizsgálni! M9. Jelen dolgozatunk befejezése után találtuk egy orosz nyelvű elektronikus könyvtárban ezt 5. ábra, 10. példa : 5. ábra forrása: [ 3 ] Látható, hogy itt máshogyan dolgoztak, és csak feladatunk első részével foglalkoztak.
8 Források: [ 1 ] N. N. Buhgoljc ~ I. M. Voronkov ~ A. P. Minakov: Szbornyik zadacs po tyeoretyicseszkoj mehanyike 3. izd., Gosztyehizdat, Moszkva, 1949., c. 120 ~ 121. [ 2 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963., 442. o. [ 3 ] Je. N. Berezkin: Resenyije zadacs po tyeoretyicseszkoj mehanyike, csaszty 1. Izd. Mosz. Un., 1973., c. 20 ~ 22. Sződliget, 2017. 08. 27. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár