Mókusesen A két egyforma magas fiú Ottó és András a sík terepen áó fenyőfa törzsén fefeé mászó mókust figyei oyan messzirő ahonnan nézve a mókus már csak egy pontnak átszik ára ára Amikor a mókus az M pontan van akkor András a vízszintestő α Ottó β szögge néz fefeé Amikor a mókus feje mászik az M ponta akkor András az eőzőhöz képest Δα szögge néz feje Határozzuk meg hogy ugyanekkor Ottónak mekkora Δβ szögge ke fefeé fordítania a szemét ha a fiúk és a fa az ára szerint egy derékszögű háromszög csúcsain ának! Megodás: Ehhez tekintsük a árát aho a megodáshoz szükséges mennyiségeket tüntettük fe A ára aapján: M M tg c tg 0
ára tg tg ; ( ) c ismét a ára szerint: cos c ( ) így ( ) és ( ) - ve: tg cos tg ( 3 ) Megint a áráró: M M tg ctg 0 tg tg ( 4 ) c majd ( ) és ( 4 ) - gye: tg cos tg ( 5 ) Most az ismert trigonometriai azonosságga is [ ] : tgtg tg tg tg tg tg ( 6 )
3 hasonóan: tg tg tg tg tg tg Majd ( 3 ) ( 5 ) és ( 6 ) - ta: tg tg tg cos cos tg tg ( 7 ) ( 8 ) Ezután ( 7 ) és ( 8 ) - ca: tg tg cos tg cos tg tg tg tg cos tg tg tg cos tg tg tg tg tg tg tg tgcos cos tg tg ( 9 ) eő pedig: tg tg arctg tg cos cos tg tg ( 0 ) Megjegyzések: M Látjuk hogy Δβ = f ( α Δα γ ) vagyis Δβ nem függ β - tó Ezek szerint a feadatot így is megfogamazhatjuk: adott: α Δα γ ; keresett: Δβ M γ = 0 esetén ( 0 ) - ő Δβ = Δα a szeméette egyezően M3 Ha a fa eegendően magas akkor az M M távoság és így Δα Δβ nem fetétenü kicsik Ez az oka hogy a ( 0 ) szerinti pontos kifejezést tartjuk meg végképetnek M4 Most számítsuk ki a árán zödre és pirosra színezett háromszögek terüetét! Az ára jeöéseive:
4 TAM M MM ; T0M M M M c ; ezekke: T M M AMM cos T0M M c M M c TAM M T0M M cos ( ) Szavakan: a vetüeti háromszög terüete egyenő az eredeti háromszög terüetének és a két háromszög síkjai áta ezárt szög koszinuszának a szorzatáva d: [ ]! Ezt a fontos és hasznos összefüggést időnként efeejtik az emerek M5 Hozzuk más aakra a ( 9 ) képetet! Fehasznáva hogy tg tg tg tg tg azonos átaakításokka: tg tg tg tgcos cos tg tg tg tg tg tg tg tgcos tg tg cos tg tg tg tg tg tg tg tg tgcos tg tg cos tg tg tg tg tg tg tg tg tgcos tg tg cos tg tg tg tg tgcos tg tg cos tg tg tg
5 tehát: tgcos tg tg tg tg cos tg tg tg ( 9 / ) M6 Most számítsuk ki részetesen a ( ) képeten szerepő terüeteket 3 ára! 3 ára Itt a szóan forgó háromszögeket közös síka forgattuk az egyszerűség kedvéért Részetezve: T sin ; m sin TAM M AM m A AM M AM AM A AM ( ) Hasonóan: T0M M 0M m 0 T0M M 0M 0M sin ( 3 ) m0 0M sin A 3 áráró eovasható hogy AM cos AM ; cos ( 4 ) hasonóan:
6 c 0M cos c 0M cos ( 5 ) Most ( ) és ( 4 ) - gye: sin T AMM cos cos ( 6 ) majd ( 3 ) és ( 5 ) - te: c sin T 0MM cos cos ( 7 ) Ezután ( ) ( 6 ) és ( 7 ) - te: sin c sin ; cos cos cos cos c rendezve ( ) - ve is: sin cos cos cos ; sin cos cos ( a ) azonos átaakításokka: sin sin coscos cos cos cos cos cos sinsin cos cos cossin sin sin sin cos cos cos cos cos tg tg tg tg cos cos cos vagyis ( a ) és ( ) - ve: sin cos cos tgtg cos ; sin cos cos tgtg ( ) ( c )
7 ( c ) - t rendezve: sin cos tg tg cos cos ; sin cos tg tg cos most azonos átaakítássa is ( d ) - ő: tg tg tg tg cos ; tg tg tg tg ( d ) ( e ) majd ( 3 ) és ( e ) - ve: tg cos tg tg tg K cos tg tg cos tgtg cos tgtg cos tg K tg tg ; tg ( f ) ezután ( f / ) - et tg - ra megodjuk: tg K cos tg cos tg tg cos tg cos tg tg Ktg cos tg cos tg tg tg K tg cos tg K tg cos tgtg tg cos tg tg K cos tg tg cos tg tg ; ( g ) K cos tg tg most ( f / ) és ( g ) - ve: cos tg tg ; cos tg tg tg cos tg tg tg ( h ) tová aakítva ( h ) - t:
tg cos tg tg cos tg tg tg tg cos tg tg cos tg tg 8 tg tg cos tg cos tg tg tg cos tg tg cos tg tg tg cos tg tg cos tg tg tg tg cos tg cos tg tg tg tg cos tg tg tg azaz tgcos tg tg tgtg cos tg tg tg ( i ) Megáapítjuk hogy ( 9 / ) és ( i ) megegyeznek tehát ~ a feadatot kétféeképpen is megodottuk vaamint ~ kimutattuk a kétfée megodás egyezését amive egyen ~ számításainkra eenőrzést is végeztünk Irodaom: [ ] I N Bronstejn ~ K A Szemengyajev: Matematikai zsekönyv tö kiadásan Műszaki Könyvkiadó Budapest [ ] Dezső Ágnes ~ Édes Zotán ~ Sárkány Péter: Középiskoai matematikai exikon Corvina 997 Sződiget 0 novemer 7 Összeáította: Gagóczi Gyua mérnöktanár