1. Kombinatoriai bevezetés példáal, (színes golyó: (a ismétlés nélüli permutáció (sorba rendezés: n ülönböz szín golyót hányféleépp állíthatun sorba? 10-et? n! 10! (b ismétléses permutáció: n 1 piros, n 2 é,... n fehér golyót hányféleépp állíthatun sorba? 10-et, ami özül 3, 2, 4 egyforma szín van? n! n 1!n 2!...n! 9! 3!2!4! (c ismétlés nélüli variáció (iválasztás és sorba rendezés: n ülönböz szín golyó özül hányféleépp választhatun -at, ha számít a sorrendjü? 10 golyó, 3-t húzun? n! (n! 10! (10 3! (d ismétléses variáció: n-féle szín golyó van, mindb l ell en so (legalább. Húzun -at, számít a sorrend. Hányféle imenetel lehet? 10-féle golyó, mindb l legalább 3, és 3-t húzun? n 10 3 (e ismétlés nélüli ombináció (iválasztás: n ülönböz szín golyóból hányféleépp választhatun i -at, ha a sorrend nem számít? 10-b l 3-t? ( n = n!!(n! ( 10 = 3 10! 3!(10 3! (f ismétléses ombináció: n-féle sütemény van a curászdában, mindb l jó so. Mi sütit szeretnén hazavinni. Ez hányféleépp (tehet meg? 10-féle süti van, 3 darabot veszün? ( ( n + 1 10 + 3 1 2. Binomiális együttható: (a + b n = n =0 ( n a b n 3 Indolás: (a + b n = (a + b(a + b... (a + b, azaz a b n együtthatója annyi lesz, ahányféleéppen az n db zárójelb l db a-t és n db b-t választhatun ( megy 0-tól n-ig. Ez épp ( n -féleépp tehet meg (ismétlés nélüli ombináció.
3. A övetez feladato a 6 alaptípusba tartozna. Sorolja be és oldja meg et! (a Hány ülönböz (értelmes vagy értelmetlen 13-bet s szó észíthet a KOMBI- NATORIKA szó bet ib l? Megoldás: ismétléses ombináció, a magoldás 13!/(2!2!2!2!, ahol a 4 db 2!-t a 4 db étszer ismétl d bet indoolja. (b Mennyiféleéppen olvasható i a MENNYIFÉLE az alábbi rajzból, ha a bal fels saroból indulun, és csa lefelé vagy jobbra léphetün? M E N N Y I E N N Y I F N N Y I F É N Y I F É L Y I F É L E Megoldás: ismétlés nélüli ombináció, ugyanis 9-et ell mindenépp lépni, és ebb l szabadon ( választhatju i azt az 5 lépést, amit jobbra teszün meg. A 9 válasz tehát 5. (c Legalább hány lottószelvényt ell itöltenün, hogy biztosan legyen 5- találatosun? Megoldás: ismétléses ombináció: ( 90 5. (d Hány ülönböz autó-rendszám észíthet három bet b l és három számjegyb l? És 2 bet, 4 számjegyb l? Hányszor több ocsi ülönböztethet meg az els módszerrel? Megoldás: ismétléses variáció: az els esetben a válasz 26 3 10 3, a másodiban 26 2 10 4. A hányados 2 6. (e Három ocát dobun fel egyszerre. Az azonos szín ocá megülönböztethetetlene. Hány ülönböz imenetele lehet a ísérletne, ha i. mindhárom oca ülönböz szín ; ii. ét oca piros, a harmadi é; iii. a ocá azonos szín e? Megoldás: i. ülönböz szín ocá: 6 3 ii. 2 piros, 1 é: 6 3 2!1!
iii. azonos szín ocá: 6 3 3! (f Egy versenyen 23 versenyz indul. Hányféle sorrend alaulhat i? Hányféle sorrend lehet a dobogón? (ismétlés nélüli permutáció, illetve ismétlés nélüli va- Megoldás: 23! illetve 23! 20! riáció. 4. (Gyaran használt módszer: omplementer számolása: Hatszor dobun egy ocával. Hány olyan dobássorozat lehet, amelyben dobtun hatost? Megoldás: Összesen 6 6 -féle dobássorozat lehet, eze özül 5 6 olyan van, amiben nincsen 6-os. Tehát azo száma, amiben van legalább egy hatos: 6 6 5 6. 5. A binomiális együtthatóra vonatozó övetez összefüggése ombinatorius indolása: (a ( ( n + 1 n = + 1 ( n (b ( n + m = i=0 ( ( n m i i Megoldás: a másodiat így indoolhatju: egy zsában van n piros és m é golyó, az egyenl ség bal oldalán azt látju, hogy hányféleépp választhatun i a zsából (a színere nem gyelve golyót. A jobb oldalon is ez áll, hiszen a golyó özött, amit iválsztun, lehet pontosan i db piros (i = 0.., ezeet az n db piros golyó özül ( n i - féleépp választhatju, de aor n i db éet ell választanun az m db é özül, ez pedig ( m n i -féleépp tehet meg. Az els feladat enne pont az m = 1 esete.
Gyaorló feladato, végeredménnyel 1. Hányféleéppen tehetün fel egy satáblára a egy feete és egy fehér bástyát, b ét fehér bástyát, c egy feete egy fehér és egy zöld bástyát, d három fehér bástyát? 2. Hányféleéppen tölthet i egy TOTÓ-szelvény? 3. 32 lapos magyar ártyából hányféleéppen húzhatun 6 lapot egymás után (!, ha a ihúzott lapot nem tesszü vissza? És ha visszatesszü? 4. Egy 30 f s osztály diábizottságot választ: elnö, titár, sportfelel s, ultúrfelel s, gazdaság felel s. Hányféle eredmény lehet, ha Pistine mindenéppen szeretnén tisztséget adni? 5. Egy emeletes ház szintjeit szeretnén ifesteni. Hányféleéppen tehetjü ezt meg, ha piros é és sárga festé áll rendelezésre, és a ét emelet van, b három emelet van, c 20 emelet van, d 20 emelet van, de szomszédos szinte özött nem lehetne egyszín e. 6. Hányféleépp tehetün fel a satáblára 8 ülönböz szín bástyát úgy, hogy semelyi ett ne üsse egymást? És ha azonos szín e? 7. Hányféle - aár értelmetlen - szó észíthet az ANAGRAMMA szó bet ine összeavarásával? És ha nem engedjü meg, hogy ét M egymás mellett legyen? 8. Hányféleéppen soraozhat fel egy állatidomár mögött egy oroszlán, egy tigris és egy jegesmedve? S ha még egy pingvin is van? 9. Nyolc titosügynö - A, B, C, D, E, F, G, X - leül egy (I padra, (II ere asztalhoz. Hányféleéppen helyezedhetne el úgy, hogy a nincs megötés, b A, B és C egymás mellett szeretnéne ülni, ilyen sorrendben, c A, B és C egymás mellett szeretnéne ülni bármilyen sorrendben, d A B mellé, C pedig D mellé ül, e (I X csa a szélén hajlandó ülni, (II X csa F jobbja fel l hajlandó ülni, f A és B nem ülne egymás mellé, g (I X nem hajlandó a szélén ülni, (II X nem hajlandó F mellé ülni. 10. Hány buszjegyre van ahhoz szüség, hogy tetsz leges lyuombináció esetén legyen érvényes jegyün, ha a jegyen 9 számozott mez van, melyeb l a 3-at lyuaszt i a gép, b 3-at vagy 4-et lyuaszt i a gép. 11. Egy pali francia ártyából van a ezemben 10 lap, melye özött összesen három dáma van, négy pi, de az egyi a pi dáma. Hányféleéppen lehetséges ez? Végeredménye: 1. a 64 63, ismétlés nélüli variáció. b 64 63 2 ( 64, ismétlés nélüli variáció, vagy 2, 64 63 62, 3! ismétlés nélüli ombináció. c 64 63 62, ismétlés nélüli variáció. d ismétlés nélüli variáció, vagy ( 64 3 ismétlés nélüli ombináció.
2. 3 13 ismétléses variáció. 3. 32! Ha nem tesszü vissza a lapoat, aor ez ismétlés nélüli variáció. 26! Ha visszatesszü 32 6, ismétléses variáció. 4. 5 29 28 27 26, ismétlés nélüli variáció 5. a 3 3 ismétléses variáció. b 3 3 3 c 3 20 d 3 2 9 6. Ha ülönböz szín e a bástá: 64 49 36 25 16 9 4 1 Ha azonos szín e a bástyá, aor 8! 7. 9! 4!2! Ismétléses permutáció. Ha nincs a ét M egymás mellett: 9! 4!2! 8! 4! 8. 3!, de ha pingvin is van, aor 4!, mindett ismétlés nélüli permutáció. 9. (I pad, (II örasztal a (I 8! (II 7! b (I 6! (II 5! c (I 6! 3!, (II 5! 3! d (I 6! 2! 2! (II 5! 2! 2! e (I 2 7! (II 6! f (I 8! 2! 7! (II 7! 2! 6! g (I 8! 2 7! (II 7! 2! 6! ( 9 10. a 3 ( lehet ség, ( ez egy ismétlés nélüli ombináció. 9 b 3 + 9 4 ismétlés nélüli ombináció. 11. ( 3 2 ( 12 3 ( 36 4, ismétlés nélüli ombináció.
Gyaorló feladato, megoldás nélül 1. Egy csomag magyar ártyát jól összeeverün. Mennyi anna a valószín sége, hogy a 4 ász egymás után helyezedi el? 2. 100 alma özül 10 férges. Mennyi a valószín sége, hogy válogatás nélül 5 almát ivéve, özöttü lesz férges alma? 3. Két testvér ugyanabba a 27-es létszámú osztályba jár. Egy gyors soraozónál mindeni beáll valahova. a./ Mennyi a valószín sége, hogy a ét testvér özött pontosan 10-en állna? b./ Hogyan változi az eredmény, ha ör alaban helyezedne el? 4. A 32 lapos magyar ártyából 4 lapot véletlenszer en iválasztun. Mennyi anna a valószín sége, hogy a ihúzott lapo özött pontosan egy piros és egy ász lesz? 5. Egy urnában 6 piros, több fehér és feete golyó van. Anna a valószín sége, hogy egy golyót ihúzva, az fehér vagy feete lesz: ; hogy piros vagy feete szín lesz:. Hány fehér és feete golyó van az urnában? 6. Anna a valószín sége, hogy egy most felvett f isolai hallgató diplomát szerez, 0,4. Határozza meg anna a valószín ségét, hogy 5 hallgató özül a./ seni sem szerez diplomát, b./ pontosan 1 hallgató szerez diplomát, c./ legalább 1 hallgató diplomás lesz, d./ mindeni diplomát szerez! 7. Egy pénzérmét 10-szer egymás után feldobun. Ha fejet apun, azt F-fel, ha írást, azt I-vel jelöljü. Mennyi anna a valószín sége, hogy az F és I bet ne ez a 10 elem sorozata tartalmaz ét azonos bet t egymás után? 8. Egy vendégl egyi asztalánál 12 vendég ül. Összesen rendelne 3 üveg sört, 4tésztát, 3 ávét és 2 fagylaltot. ( Minden vendég csa egy tételt rendel és a sörö, tésztá, stb. teljesen egyformá. A pincér emlészi arra, hogy mib l mennyit ell hoznia, de teljesen elfelejtette, hogy mit, ine ell adnia. Találomra szétosztja amit hozott. Mennyi anna a valószín sége, hogy mindeni azt apja amit ért? 9. Mennyi a valószín sége, hogy ha valaine az 52 lapos francia ártyából 13 lapot iosztana, aor legfeljebb 3 ásza lesz? 10. A 32 lapos magyar ártyacsomagból ihúzun 6 lapot. Mennyi anna a valószín sége, hogy e hat lap özött mindegyi szín el fordul? 11. Egy rossz, de néha m öd villanyapcsoló átlagosan a 12-i próbálozásra gyújtja fel a villanyt. Mennyi a valószín sége, hogy a harmadi ísérletre gyullad fel a villany? 12. Hány ülönböz sorrend be állíthatóa az 1, 2,... n számo? 13. Hányféleéppen választhatun i az 1, 2,... n számo özül -t, ha a iválasztás sorrend je számít, és minden elemet csa egyszer választhatun? Mi a helyzet aor, ha egy elemet aárhányszor iválaszthatun?
14. Hányféleéppen választhatun i az 1, 2,... n számo özül -t, ha a iválasztás sorrendje nem számít és minden elemet csa egyszer választhatun? Mi a helyzet aor, ha egy elemet aárhányszor is iválaszthatun? 15. Hányféleéppen állíthatun sorba db egyest és n db 0-t? Hány n hosszú 0 1-sorozat van összesen? 16. Egy n elem halmazna hány részhalmaza van? 17. Tíz urnába hányféleéppen helyezhet el 5 megülönböztethetelen golyó? És 5 ülönböz? 18. Hány ülönböz autó-rendszám észíthet (három bet b l és három számból? 19. (1 + x n ifejtésében mennyi x együtthatója? ( = 0, 1,..., n 20. Hány pontosan 6 jegy (tizes számrendszerben, tízzel nem osztható szám van? 21. Hatszor dobun egy ocával. Hány olyan dobássorozat lehet, amelyben dobtun hatost? 22. Hányféle számot állíthatun össze három 1-es, négy 2-es és ilenc 3-as mindegyiéne felhasználásával (a számo tehát mind 16 jegy e leszne. 23. Legevesebb hány lottószelvényt ell az ötöslottón itölteni, hogy biztosan öttalálatosun legyen? 24. Három ocát dobun fel egyszerre. Az azonos szín ocá megülönböztethetetlene. Hány ülönböz imenetele lehet a ísérletne, ha (a mindhárom oca ülönböz szín ; (b ét oca piros, a harmadi é; (c a ocá azonos szín e? 25. Hányféleéppen festhetjü egy n-emeletes ház szintjeit fehérre, drappra és barnára, ha a szomszédos szinte nem élehetne azonos szín e? 26. Hányféleéppen állíthatun sorba 42 út és 42 lányt, ha ú és lányo felváltva ell, hogy övessé egymást? És ha csa 41 lány van? 27. Számolju i, hogy egy itöltött lottószelvényünhöz hány olyan számötöst húzhatna i, amivel 0, 1, 2, 3, 4 illetve 5 találatun lesz. 28. Egy Forma I-es futamon 18 versenyz indul. (a Hány féle lehet a beérezési sorrend? (b Hány féle sorrend alaulhat i a dobogón?
(c Tegyü fel, hogy a 18 versenyz 3 ülönböz csapathoz tartozi, mindhárom csapat 6-6 f t nevez. Hány féle imenetele lehet a versenyne a csapato szempontjából? (Például egy lehetséges imenetel: az els csapaté az 1., 4., 5., 7., 8. és 18. hely, a másodié a 9. helyt l a 14-ig, és a harmadié a maradé hat hely. 29. Tíz urnába helyezün el 5 egyforma piros, 4 egyforma é és egy zöld golyót úgy, hogy minden urnába egy golyó erüljön. Hányféleéppen tehetjü ezt meg? 30. Hányféleéppen tölthet i egy totószelvény, úgy hogy legalább ét döntetlenre aarun tippelni? 31. Tíz rabló el aar rejteni egy láda incset. Úgy aarjá laatoal lezárni a ládát, hogy semelyi három ne tudja inyitni, de bármelyi négy már igen. Hány laat ell, és hogyan osszu szét a ulcsoat? (Ez icsit nehezebb feladat.